Реферат: Задачи пятого турнира юных математиков - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Задачи пятого турнира юных математиков

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 102 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

УЗШ «Эрудит» Реферат по теме «Задачи пятого турнира юных математиков » ученика 10 го класса Гончаренко Никиты Предисловие Настоящий реферат рассматривает решения задач некоторых задач отборочного этапа Пятого Всеукраинского турнира юных математиков (проводившегося г . Сумы ). В кратком условии участия было от мечено , что «предлагаемые задачи достаточно сложны и необязательно должны быть решены полностью . Оцениваться будут и отдельные продвижения и разбор частных случаев . В некоторых случаях можно решить аналогичную или более простую задачу» . Данный реферат име е т несколько не доведенных до конца задач , либо решенных частично . Также приведены некоторые задач финального тура. «Геометрические миниатюры» Условие : Зафиксируем на плоскости АВС и обозначим через S L , S M , S K площади треугольников , вершинами которых есть , соответственно , основания биссектрис , медиан и точек касания вписанной окружности . Доказать , что . Решение Решение задачи разобъем на четыре этапа : 1. 1. Докажем , что 2. Докажем , что 3. Докажем , что 1. 4. Из этапов (2) и (3) ясно , что , поэтому докажем , что Этап 1 : Найдем отношение площади треугольника , вершинами которого являются точки касания вписанной окружности , к площади данного треугольника АВС. Пусть окружность касается с торон АВ , ВС и АС соответственно в точках P , S и Q . Обозначим отрезки AP , CQ и BS как x , y и z соответственно . Тогда из «отрезки касательных , проведенных из одной точки равны» , следует , что AC = AQ = x , CQ = CS = y , BS = BP = z . Составим и решим систему. Найдем отношение площади PSQ к площади АВС через разность площадей S PSQ = S АВС – ( S APQ + S CQS + S BPS ). Аналогично , и Тогда из S PSQ = S АВС – ( S APQ + S CQS + S BPS ) Подставим значения Раскрыв скобки , выражение можно записать как Длины сторон треугольника всегда положительны , значит использ уем неравенство Коши : . Аналогично , для трех чисел : Подстав им неравенства в числители дробей . Итак , отношение площади треугольника PSQ (по условию - S k ) , вершинами которого являются точки касания вписанной окружности , к площади данного треугольника АВС : . Этап 2 : Найдем отношение площади треугольника , вершины которого – основания биссектрис данного треугольника , к площади данного треугольника АВС. Пусть АН , BG , CF – биссектрисы АВС , тогда FGH – искомый треугольник . Найдем отношение площадей данного треугольника и FGH . Обозначим AF = x , BH = y , CG = z . По свойству биссектрис («биссектриса делит сторону треугол ьника на отрезки , пропорциональные двум другим сторонам» ), тогда Значит , По аналогии с предыдущей задачей найдем отношение FBH , HCG , FAG к площади ABC . Аналогично, и . Тогда Упростив это выражение , получаем . Теперь , из неравенства Коши ( ) . Итак, отношение площади треугольника FHG (по условию - S l ), вершины которого – основания биссектрис данного треугольника , к площади треугольника АВС - . Этап 3 : Найдем отношение площади треугольника , образованного основаниями медиан , к данному треугольнику ABC . Проведем из вершин АВС медианы , пересекающие стороны АВ , ВС и АС соответственно в точках E , R и T . Рассмотрим AERT . RT , по свойству средней линии равен половине АЕ и АЕ RT . ER = AT и ER AT по этим же признакам AERT – параллелограмм. Значит EAT = ERT (*) – по свойству параллелограмма. Аналогичным образом рассмотрим параллелограммы ER CT , BETR . Из них RET = RCT , RBE = ETR (**). Из (*) и (**) ERT подобен АВС при (по свойству средней линии ). По свойству «площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициентов подобия» , . Итак , отношение площади треугольника (по условию S K ), образованного основаниями медиан , к площади данного треугольника АВС - . Этап 4 : докажем , что . В процессе решения задачи данный этап был разрешен , но найденное решение оказалось крайне не рациональное и очень объемное , поэтому здесь не приведено. Значит , дейс твительно , площадь треугольника , образованного основаниями медиан больше площади треугольника , образованного основаниями биссектрис , который больше площади треугольника , образованного точками касания вписанной окружности . ЧТД. Задача 1 Финального тура Усл овие : Решить уравнение xy 2 + xy + x 2 – 2 y – 1 = 0 в целых числах. Решение Представим исходное уравнение в виде : Из этого следует , что х – делитель 2у +1. Введем замену : 2у +1 = kx , где k . Тогда Т.к . ищем решения в целых числах , из этого равенства видно , что k – число нечетное. Подставим значения в преобразованное уравнение. Введем замену : х 1 = -х . Тогда полученное уравнение примет вид . Решим данное уравнение относительно х 1 (очевидно , что ). 1. Рассмотрим случай , когда k = 1. Отсюда , х = 1 или х = = -5, тогда y = 0 или у = -3; Ответ : (1;0), (0;-3); 2. Рассмотрим случай , когда k = -1. Отсюда , х = -1 или х = = -3, тогда у = 0 или у = 1; Ответ : (-1;0), (-3;1); 3. Рассмотрим случай , когда k = 3. Отсюда у = -14. Ответ : (-9;-14) 4. Рассмотрим случай , когда k = -3. - нет решений в области целых чисе л. Итак , в результате вышеописанных вычислений были найдены следующие решения : (1;0), (0;-3), (-1;0), (-3;1), (-9;-14). C умма производных Условие : Пусть . Доказать , что для нечетных - число четное , а для четных - число нечетное. Решение Рассмотрим производные P ( x ): Далее замечаем , что . Рассмотрим это число : 1. n = 2 k .. 4 k 2 (2 k -1) – это число четное. 2. n = 2 k +1. 2 k *(2 k +1) 2 – также число четное. Отсюда следует , что - число четное при любых допустимых значениях n . Значит, , как сумма четных чисел , число четное. Введем н екоторую функцию F ( x ). Рассмотрим возможные случаи для х : 1. х – число четное - число нечетное, - число четное F ( x ) – нечетное. Значит , -нечетное число , ЧТД. 2. х – число нечетное a. n – нечетное - число четн ое, - при четном х – четное , значит сумма четна F ( x ) – четное. b. n – четное - число нечетное, - при четном х – четное , значит сумма нечетна F ( x ) – четное. Значит , при любом нечетном х , всегда F ( x ) будет четной при любом (четном /нечетном ) значении n - четное ЧТД В результа те рассмотренных выше случаев , выводим , что для нечетных - число четное , а для четных - число нечетное . ЧТД. Необычное уравнение Условие : Для m натуральных через P ( m ), обозначается произведение всех цифр его десятичной записи , а через S ( m ) – их сумма . Найти количество k ( n ) решений уравнения при n = 2002. Исследуйте величину k ( n ) решений уравнения. Решение Рассмотрим различные случаи числа x . Пусть в записи х есть ноль , тогда P ( x ) = 0, значит Пусть S ( x )= y , S ( x ) = n и в записи числа есть ноль , тогда Значит , P ( S ( x )) = P ( y ) = 0, т.к . число содержит ноль. S ( S ( x ))= S ( y )= n . Имеется бесконечно много решений. Т.е . для решения данного уравнения подходят числа , S ( S ( x )) которых равна n . Т.к . решений бесконечно много , то имеем множество решений для любых случаев. Идем от обратного : S ( y )= n где , a + b + c +… + f = n , т.е . от перестановки цифр сумма не меняется. При n = 2002, S(x) = 4, P(S(x)) = 4, S(S(X)) = 4 – . Рассмотрев решения для данного случая , убеждаемся , что n можно подобрать относительно х или наоборот. Задание 6 Финального Тура Найти все функции , для которых выполняется Решение Пусть х = 1. . Заменим f ( y ) на а , имеем : . (*) Проверим полученную функцию. y = 1, тогда Теперь подставим в исходную функцию. Значит , одно из возможных значений функции - . Математический Анализ Условие : Рассматриваются различные непрерывно дифференцируемые функции (это значит , что для произвольного , существует ), причем функция g непрерывна на сегменте [0;1]; под произодными функции f в конечных точках сегмента [0;1] считаются конечные производные соответственно ), для которых f (0)= f (1)=0 и . Охарактеризовать множество всех точек , координатной плоскости xOy , через которые могут про ходить графики всех функций. Решение Используем неравенство Коши-Буняковского для определенного интеграла , но , прежде , распишем определенный интеграл : Распишем , также , формулу Ньютона-Лейбница : . Итак, Значит . Значит , . Тогда , . , т.к . (по условию ). Рассмотрим два случая : 1. y 2 = x – x 2 (точка лежит на контуре ) Т.е . графиком данной функции будет произвольная кривая , в которую впи сан угол (угол OMK = 90 0 ) ПРОТИВОРЕЧИЕ !!! 2. Т.е . всегда можно построить гладкую кривую , проходящую через точку Х. Бесконечные Биномиальные Коэффициенты Условие : упростить выражение . Решение Отметим , что если n – четное , что количество членов ряда нечетно , а если n – нечетно , то их количество четно. Рассмот рим четные и нечетные n . 1. n = 2 k + 1 – нечетное Тогда , ряд будет иметь вид : . Зная , что , упростим этот ряд. . Видим , что равноудаленные от концов ряда члены сокращаются , и , т.к . количество их четно , следовательно с умма ряда рана нулю. , при n = 2k + 1. 2. n = 2k Этот случай не был решен до конца , но в результате расчетов первых четных чисел была выведена и проверена, однако не доказана , формула , где n – четное. Работа Гончаренко Никиты, Г . Краматорск , ОШ #35
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Президент запретил больным министрам ходить на работу, но не уточнил вид заболевания, освобождающий от работы.
На следующий день все министры не вышли на работу, так как они все там больны: кто клептоманией, кто словесным поносом, кто острой формой склероза на свои обещания, а у большинства министров хроническая форма аллергии на любую общественно-полезную работу.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Задачи пятого турнира юных математиков", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru