Реферат: Задача о бесконечной ортотропной пластинке - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Задача о бесконечной ортотропной пластинке

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 114 kb, скачать бесплатно
Обойти Антиплагиат
Повысьте уникальность файла до 80-100% здесь.
Промокод referatbank - cкидка 20%!

Узнайте стоимость написания уникальной работы




Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием


Оглавление


  1. Общетеоретическая часть

  2. Прикладная часть

    1. Физическая постановка задачи

    2. Упругие свойства материала

    3. Математическая постановка задачи

    4. Аналитическое решение

    5. Иллюстрация распределения напряжений

Используемая литература.

Приложение 1. (Расчетная схема на MathCad 7.0 )

Приложение 2. (График распределения напряжений).


1. Общетеоретическая часть


Рассмотрим бесконечную пластинку с некоторым отверстием в центре. Центр отверстия примем за начало координат, а оси х1, х2 направим по главным направлениям упругости. На пластинку действуют некоторые распределенные нагрузки p1, p2 вдоль соответствующих осей.

Х2


Х1


р1


р2









Общая система уравнение теории упругости выглядит следующим образом:

(1)


Уравнения равновесия применительно к рассматриваемой задаче, т.е. когда напряжения зависят только от двух координат, запишутся так:

(2)


В нашей задаче искомыми являются шесть функций компонент тензора напряжений . Но в уравнения равновесия (2) не входит , тем самым этой функции определяется особая роль. Для простоты последующих математических выкладок примем следующие предположения. Пусть для f1(x1,x2) и f2(x1,x2) существует потенциал, т.е. такая функция U(x1,x2) для которой выполняются условия:

(3)

Так как силы f1 и f2 задаются при постановки задачи, то потенциал U так же известная функция. Подставляя (3) в (2) получим:


(4)


Введем также еще две функции F(x1,x2) и (x1,x2), которые называются функциями напряжений и вводятся следующим образом:



Нетрудно видеть, что при подстановки всех этих формул в систему (4) все три уравнения будут равны нулю. Теперь если мы найдем функции F(x1,x2) и (x1,x2), то будут найдены и функции компонент тензора напряжений, кроме компоненты .

Для упрощения дальнейших выкладок сделаем следующие преобразования. Так как тензор модулей упругости Сijmn представляет собой матрицу 6х6 из которых 21 компонента независимая, то для тензора напряжений и тензора деформаций вводится матрица столбец:


Тогда уравнения Коши запишутся следующим образом:


а через напряжения компоненты деформации определяются по закону Гука:

(5)

где aij - компоненты матрицы независимых постоянных тензора упругих податливостей Dijmn.

Обозначим как неизвестную функцию D(x1,x2), тогда из закона Гука следует, что:

а выражение для будет равно:

Теперь введем приведенные коэффициенты деформации, для которых имеет место выражение:

, где i,j=1..6 (6)

Подставим выражение для в обобщенный закон Гука, тогда с учетом приведенных коэффициентов деформаций эти выражения примут вид:

Подставляя эти выражения в уравнения Коши получим следующую систему:

(7)


Уравнения системы (7) включают в себя и уравнения Коши и закон Гука. В этой системе величины - константы, величины и D зависят от двух координат x1 и x2, а перемещения ui - функции трех координат.

Система (7) является системой в частных производных относительно ui и решается последовательным интегрированием уравнений. Интегрирование следует проводить в следующем порядке - сначала необходимо проинтегрировать 3, 4 и 5 уравнения. После интегрирования 3-го уравнения получим:

(8)


Подставляя u3 в 4-ое уравнение и интегрируя его получим:

(9)

Аналогично с 5-ым уравнением:

         (10)

Подставляя полученные перемещения в неиспользованные соотношения уравнений Коши, и приравнивая к 0 сомножители при степенях x3, получим:


(11)

(12)

(13)


Исходя из того, что:

функция D будет иметь вид:

(14)

Тогда с учетом системы (7) получим:

(15)


Исключая V1, U1, W1 ( путем дифференцирования, сложения и вычитания) получим:

(16)

(17)


Подставляя в уравнения (16) и (17) выведенные нами выражения для напряжений через функции F(x1,x2) и (x1,x2) и группируя получим:

(18)

где L4, L3, L2 - дифференциальные операторы в частных производных 4-го, 3-го и 2-го порядков:


Уравнения (18) представляют собой систему 2-х дифференциальных уравнений в частных производных. Уравнения - линейные, неоднородные, с постоянными коэффициентами.

Общее решение системы (18) для функций напряжения можно представить в виде:

F0 и 0 - общее решение соответствующей однородной системы:

(19)

F* и * - частные решения неоднородной системы уравнений (18). Частные решения зависят от правых частей уравнений и если эти правые части несложны, то и частные решения обычно описать нетрудно.

Чтобы получить общее решение однородной системы (19) исключим из нее 0:

(20)

В силу симметрии L их можно менять местами:

(21)

Таким образом, мы получили линейное дифференциальное уравнение 6-го порядка для функции F. Аналогично находим уравнение для :

(22)

Оказалось, что F0 и 0 должны удовлетворять одинаковым условиям. Оператор 6-го порядка можно разложить на 6-ть линейных операторов 1-ого порядка Dk и уравнение (21) представить в виде:

(23)

Из теории диф. уравнений и условия что функция F0 зависит только от x1 и x2 для Dk имеем:

(24)

где - это корни алгебраического (характеристического) уравнения шестой степени, соответствующего дифференциальному уравнению (21).



Интегрирование линейного уравнения 6-го порядка можно свести к последовательному интегрированию шести уравнений первого порядка. В результате получим следующие общие выражения:

Если среди корней характеристического уравнения есть кратные, задача упрощается, однако решение системы (19) может быть найдено в любом случае исходя из следующих рассуждений.

Любые 6 вещественных чисел можно принять в качестве значений независимых компонент тензора напряжений в данной точке упругого анизотропного тела. Удельная потенциальная энергия деформации есть величина положительная при любых вещественных и не равных нулю значениях компонент тензора напряжений в данной точке. Исходя из этих предположений можно доказать теорему, согласно которой алгебраическое характеристическое уравнение системы (21), не имеет вещественных корней. Поэтому можно утверждать, что числа в общем решении системы (19), а также в условиях связи всегда комплексные или чисто мнимые.

Наряду с комплексными параметрами вводят и систему комплексных переменных:

Введение комплексных переменных позволяет использовать при аналитическом решении рассматриваемой задачи об упругом равновесии анизотропного тела математический аппарат и методы функций комплексных переменных. Эти методы, применительно к данной задаче являются очень эффективными и позволяют получить аналитическое решение многих плоских задач теории упругости анизотропного тела.








2. Прикладная часть


2.1 Физическая постановка задачи.

Рассмотрим бесконечную пластинку из ортотропного материала с эллиптическим отверстием в центре. Направление главных осей эллипса совпадает с главными осями упругости материала, усилия приложены на бесконечности вдоль главных осей.

р



а



2


1









Введем следующие обозначения 2a, 2b - главные оси эллипса, с=a/b, р - усилие на единицу площади. В нашем случае отношение полуосей эллипса с=1/2. Вдоль оси 1 на бесконечности приложено растягивающее усилии р, а вдоль оси 2 - сжимающее -р. Наша задача найти напряжения на краю отверстия и построить их эпюру.


2.2 Упругие свойства материала.

Пластинка сделана из стеклопластика C-II-32-50 со следующими характеристиками:


Е1=13,0 ГПа;

Е2=19,8 ГПа;

Е3=7,8 ГПа;

G12=4,05 ГПа;

G13=6,4 ГПа;

G23=3,2 ГПа;

13=0.25;

32=0.14;

12=0.176;

23=0.06.


2.3 Математическая постановка задачи.

Уравнения равновесия применительно к нашей задаче, когда напряжения зависят только от двух координат и fi=0, запишутся так:



Граничные условия будут иметь следующий вид:

или в развернутом виде применительно к нашей задаче:



где n - нормаль к контуру отверстия.


2.4 Аналитическое решение.

Решая данную задачу по методу изложенному в первой части с учетом того, что материал у нас ортотропный выясняем что характеристическое уравнение для определения коэффициентов распадается на уравнения 4 и 2 степени:

Отсюда немедленно вытекают следующие соотношения:

Как мы увидим в дальнейшем этих соотношений достаточно и искать непосредственно не требуется.

Для решения нашей задачи воспользуемся формулами полученными в работе [1]. Нам надо будет провести только некоторые обобщения и объединение этих формул.

Определим для начала необходимые нам константы аij:

введем теперь следующие обозначения:



Беря уравнение контура в параметрическом виде, т.е. полагая:

введем еще обозначения для функций, зависящих от параметра :

Нас будет интересовать только напряжение у края отверстия - где, как показывает ряд решенных задач, оно получается наибольшим. Опуская промежуточные выкладки приведем две формулы (при растяжении вдоль большой и малой оси эллипса):

для нашей задачи в силу принципа суперпозиции (а его можно применить, так как мы рассматриваем линейную связь между напряжениями и деформациями, а также считаем их малыми) получим следующую общую формулу:


2.5 Иллюстрация распределения напряжений.

Для построения эпюры напряжений на краю отверстия воспользуемся возможностями математического пакета MathCad 7.0. Используя найденную нами формулу рассчитаем напряжения в зависимости от угла и отложим их на графики от контура отверстия на продолжении лучей, проведенных из центра через данные точки контура. Положительные напряжения изображены стрелками направленными от центра к периферии, отрицательные - стрелками направленными к центру. При расчетах полагалось р=1.


Результаты расчета и график распределения напряжений приведены соответственно в приложениях 1 и 2.

Проведем небольшой анализ полученных результатов. Как мы видим максимальное напряжение наблюдается в точках , оно равно
-6р. То есть наблюдаем концентрацию в 6 раз по сравнению с пластинкой без отверстия.


Используемая литература:


  1. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. Гостехиздат М. 1950 г.

  2. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. Изд. "Наука" М. 1977 г.

  3. под ред. Любина Д. Справочник по композиционным материалам.. Машиностроение М. 1988 г.




Приложение 2. (График распределения напряжений)

1Авиация и космонавтика
2Архитектура и строительство
3Астрономия
 
4Безопасность жизнедеятельности
5Биология
 
6Военная кафедра, гражданская оборона
 
7География, экономическая география
8Геология и геодезия
9Государственное регулирование и налоги
 
10Естествознание
 
11Журналистика
 
12Законодательство и право
13Адвокатура
14Административное право
15Арбитражное процессуальное право
16Банковское право
17Государство и право
18Гражданское право и процесс
19Жилищное право
20Законодательство зарубежных стран
21Земельное право
22Конституционное право
23Конституционное право зарубежных стран
24Международное право
25Муниципальное право
26Налоговое право
27Римское право
28Семейное право
29Таможенное право
30Трудовое право
31Уголовное право и процесс
32Финансовое право
33Хозяйственное право
34Экологическое право
35Юриспруденция
36Иностранные языки
37Информатика, информационные технологии
38Базы данных
39Компьютерные сети
40Программирование
41Искусство и культура
42Краеведение
43Культурология
44Музыка
45История
46Биографии
47Историческая личность
 
48Литература
 
49Маркетинг и реклама
50Математика
51Медицина и здоровье
52Менеджмент
53Антикризисное управление
54Делопроизводство и документооборот
55Логистика
 
56Педагогика
57Политология
58Правоохранительные органы
59Криминалистика и криминология
60Прочее
61Психология
62Юридическая психология
 
63Радиоэлектроника
64Религия
 
65Сельское хозяйство и землепользование
66Социология
67Страхование
 
68Технологии
69Материаловедение
70Машиностроение
71Металлургия
72Транспорт
73Туризм
 
74Физика
75Физкультура и спорт
76Философия
 
77Химия
 
78Экология, охрана природы
79Экономика и финансы
80Анализ хозяйственной деятельности
81Банковское дело и кредитование
82Биржевое дело
83Бухгалтерский учет и аудит
84История экономических учений
85Международные отношения
86Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
87Финансы
88Ценные бумаги и фондовый рынок
89Экономика предприятия
90Экономико-математическое моделирование
91Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Перед разводом жена мне сказала:
- Двадцать лет вместе прожили, а я ничего о тебе не знаю. Знаю только, что ты мало ешь.
Фигасе я штирлиц.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Задача о бесконечной ортотропной пластинке", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2017
Рейтинг@Mail.ru