Реферат: Задача о бесконечной ортотропной пластинке - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Задача о бесконечной ортотропной пластинке

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 114 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

10 Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверсти ем Оглавление 1. Общетеоретическая часть 2. Прикладная часть 2.1 Физическая постановка задачи 2.2 Упругие свойства материала 2.3 Математическая постановка задачи 2.4 Аналитическое решение 2.5 Иллюстрация распределения напряжений Используемая литература. Приложение 1 . (Расчетная схема на MathCad 7.0 ) Приложение 2. (График распределения напряжений ). 1. Общетеоретическая часть Рассмотрим бесконечную пластинку с некоторым отверстием в центре . Центр отверстия примем за начало коор динат , а оси х 1 , х 2 направим по главным направлениям упругости . На пластинку действуют некоторые распределенные нагрузки p 1 , p 2 вдоль соответствующих осей. Общая система уравнение теории упругости выглядит следующим образом : (1) Уравнения равновесия применительно к рассматриваемой задаче , т.е . когда напряжения зависят только от двух координат , запишутся так : (2) В нашей задаче искомыми являются шесть функций компонент тензора напряжений . Но в уравнения рав новесия (2) не входит , тем самым этой функции определяется особая роль . Для простоты последующих математических выкладок примем следующие предположения . Пусть для f 1 ( x 1 , x 2 ) и f 2 ( x 1 , x 2 ) существует потенциал , т.е . такая функция U ( x 1 , x 2 ) для которой выполняются условия : (3) Так как силы f 1 и f 2 задаются при постановки задачи , то пот енциал U так же известная функция . Подставляя (3) в (2) получим : (4) Введем также еще две функции F ( x 1 , x 2 ) и ( x 1 , x 2 ), которые назы ваются функциями напряжений и вводятся следующим образом : Нетрудно видеть , что при подстановки всех этих формул в систему (4) все три уравнения будут равны нулю . Тепе рь если мы найдем функции F ( x 1 , x 2 ) и ( x 1 , x 2 ), то будут найдены и функции компонент тензора напряжений , кроме компоненты . Для упрощения да льнейших выкладок сделаем следующие преобразования . Так как тензор модулей упругости С ijmn представляет собой матрицу 6х 6 из которых 21 компонента независимая , то для тензора напряжений и тензора деформаций вводится матрица столбец : Тогда уравнения Коши запишутся следующим образом : а через напряжения компоненты деформации определяю тся по закону Гука : (5) где a ij - компоненты матрицы независимых постоянных тензора упругих податливостей D ijmn . Обозначим как неизвестную функцию D ( x 1 , x 2 ) , тогда из закона Гука следует , что : а выражение для будет равно : Теперь введем приведенные коэффициенты деформации , для которых имеет место выражение : , где i , j =1..6 (6) Подставим выражение для в обобщенный закон Гука , тогда с учетом приведенных коэффициентов деформаций эти выражения примут вид : Подставляя эти вы ражения в уравнения Коши получим следующую систему : (7) Уравнения системы (7) включают в себя и уравнения Коши и закон Гука . В этой системе величины - константы , величины и D зависят от двух координат x 1 и x 2 , а перемещения u i - функции трех координат. Система (7) является системой в частных производных относительно u i и решается последовательным интегрированием уравнений . Интегрирование следует проводить в следующем порядке - сначала необходимо проинтегрировать 3, 4 и 5 уравнения . После интег рирования 3-го уравнения получим : (8) Подставляя u 3 в 4-ое уравнение и интегрируя его получим : (9) Аналогично с 5-ым уравнением : (10) Подставляя полученные перемещения в неиспользованные соотношен ия уравнений Коши , и приравнивая к 0 сомножители при степенях x 3 , получим : (11) (12) (13) Исходя из того , что : функция D будет иметь вид : (14) Тогда с учетом системы (7) получим : (15) Исключая V 1 , U 1 , W 1 ( путем дифференцирования , сложения и вычитания ) получим : (16) (17) Подставляя в уравнения (16) и (17) выведенные нами выражения для напряжений через функции F ( x 1 , x 2 ) и ( x 1 , x 2 ) и группируя получим : (18) где L 4 , L 3 , L 2 - дифференциальные операторы в частных производных 4-го , 3-го и 2-го порядков : Уравнения (18) представляют собой систему 2-х дифференциальных уравнений в частных производных . Уравнения - линейные , неоднородные , с постоянными коэффициентами. Общее решение системы (18) для функций напряжения можно представить в виде : F 0 и 0 - общее решение соответствующей однородной системы : (19) F * и * - частные решения неоднородной системы уравнений (18). Частные решения зависят от правых частей уравнений и если эти правые части несложны , то и частные решения обычно описать нетрудно. Чтобы получить общее решение однородной системы (19) исключим из нее 0: (20) В силу симметрии L их можно ме нять местами : (21) Таким образом , мы получили линейное дифференциальное уравнение 6-го порядка для функции F . Аналогично находим уравнение для : (22) Оказалось , что F 0 и 0 должны удовлетворять одинаковым условиям . Оператор 6-го порядка можно разложить на 6-ть линей ных операторов 1-ого порядка D k и уравнение (21) представить в виде : (23) Из теории диф . уравнений и условия что функция F 0 зависит только от x 1 и x 2 для D k имеем : (24) где - это корни алгебраического (характеристического ) уравнения шестой степени , соответствующего дифференциальному уравнению (21). Интегрирование линейного уравнения 6-го порядка можно свести к последов ательному интегрированию шести уравнений первого порядка . В результате получим следующие общие выражения : Если среди корней характеристического уравнения есть кратные, задача упрощается , однако решение системы (19) может быть найдено в любом случае исходя из следующих рассуждений. Любые 6 вещественных чисел можно принять в качестве значений независимых компонент тензора напряжений в данной точке упругого анизотропного т ела . Удельная потенциальная энергия деформации есть величина положительная при любых вещественных и не равных нулю значениях компонент тензора напряжений в данной точке . Исходя из этих предположений можно доказать теорему , согласно которой алгебраическое х арактеристическое уравнение системы (21), не имеет вещественных корней . Поэтому можно утверждать , что числа в общем решении системы (19), а также в условиях связи всегд а комплексные или чисто мнимые. Наряду с комплексными параметрами вводят и систему комплексных переменных : Введение комплексных переменных позволяет использовать при аналитическом решении рассматриваемой задачи об упругом равновесии анизотропного тела математический аппарат и методы функций комплексных пере менных . Эти методы , применительно к данной задаче являются очень эффективными и позволяют получить аналитическое решение многих плоских задач теории упругости анизотропного тела. 2. Прикладная часть 2.1 Физическая постановка задачи. Рассмотрим бесконечную пластинку из ортотропного материала с эллиптическим отверстием в центре . Направление главных осей эллипса совпадает с главными осями упругости материала , усилия приложены на бесконечности вдоль главных осей. Вв едем следующие обозначения 2 a , 2 b - главные оси эллипса , с = a / b , р - усилие на единицу площади . В нашем случае отношение полуосей эллипса с =1/2. Вдоль оси 1 на бесконечности приложено растягивающее усилии р , а вдоль оси 2 - сжимающее -р . Наша задача найти н апряжения на краю отверстия и построить их эпюру. 2.2 Упругие свойства материала. Пластинка сделана из стеклопластика C - II -32-50 со следующими характеристиками : Е 1 =13,0 ГПа ; Е 2 =19,8 ГПа ; Е 3 =7,8 ГПа ; G 12 =4,05 ГПа ; G 13 =6,4 ГПа ; G 23 =3,2 ГПа ; 13 =0.25; 32 =0.14; 12 =0.176; 23 =0.06. 2.3 Математическая постановка задачи. Уравнения равновесия применительно к нашей задаче , когда напряжения зависят только от двух координат и f i =0, запишутся так : Граничные условия будут иметь следующий вид : или в развернутом виде применительно к нашей задаче : где n - нормаль к контуру отверстия. 2.4 Аналитическое ре шение. Решая данную задачу по методу изложенному в первой части с учетом того , что материал у нас ортотропный выясняем что характеристическое уравнение для определения коэффициентов распадается на уравнения 4 и 2 степени : Отсюда немедленно вытекают следующие соотношения : Как мы увидим в дальнейшем этих соотношений достаточно и искать непосредственно не требуется. Для решен ия нашей задачи воспользуемся формулами полученными в работе [1] . Нам надо будет провести только некоторые обобщения и объединение этих формул . Определим для начала необходимые нам константы а ij : введем теперь следующие обозначения : Беря уравнение контура в параметрическом виде , т.е . полагая : введем еще обозначения для функций , зависящих от параметра : Нас будет интересовать только напряжение у края отверстия - где , как показывает ряд решенных задач , оно получается наибольшим . Опуская промежуточные выкладки приведем две формулы (при растяжении вдоль большой и малой оси эллипса ): для нашей задачи в силу принципа суперпозиции (а его можно применить , так как мы рассматриваем линейную связь между напряжениями и деформациями , а также считаем их м алыми ) получим следующую общую формулу : 2.5 Иллюстрация распределения напряжений. Для построения эпюры напряжений на краю отверстия воспользуемся возможностями матема тического пакета MathCad 7.0. Используя найденную нами формулу рассчитаем напряжения в зависимости от угла и отложим их на графики от контура отверстия на продолжении л учей , проведенных из центра через данные точки контура . Положительные напряжения изображены стрелками направленными от центра к периферии , отрицательные - стрелками направленными к центру . При расчетах полагалось р =1. Результаты расчета и график распредел ения напряжений приведены соответственно в приложениях 1 и 2. Проведем небольшой анализ полученных результатов . Как мы видим максимальное напряжение наблюдается в точках , оно равно -6р . То есть наблюдаем концентрацию в 6 раз по сравнению с пластинкой без отверстия. Используемая литература : 1. Лехницкий С.Г . Теория упругости анизотропного тела . Гостехиздат М . 1950 г. 2. Лехницкий С.Г . Теория упругости анизотропного тела . Изд . "Наука " М . 1977 г . 3. под ред . Любина Д . Справочник по композиционным материалам .. Машиностроение М . 1988 г. Приложение 2. (График распределения напряжений )
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Когда я лежу, я выгляжу более худым. Думаю, что мне надо больше лежать.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Задача о бесконечной ортотропной пластинке", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru