Контрольная: Задача линейного програмирования - текст контрольной. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Контрольная

Задача линейного програмирования

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Контрольная работа
Язык контрольной: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 314 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникальной работы

Узнайте стоимость написания уникальной работы

- 28 - ~ .. '.~ Содержание. Задание 1. Задача линейного программирования…………………………………………………. 3 Задание 2. Транспортная задача…………………………………………………………………… 15 Задание 3. Моделирование систем массового обслуживания…………………………………… 23 Список использованной литературы …………………………………………………. 30 Вариант 3 . Задание №1. Задача линейного программирования. Предприятие выпускает два вида продукции А и В, для производства которых ис пользуется сырье 3 трех видов. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья каждого вида а 1 , а 2 , а 3 кг соответственно, а для единицы изделия В – b 1 , b 2 , b 3 кг. Производство обеспеченно сырьем каждого вида в количестве Р 1 , Р 2 , Р 3 кг соответственно. Стоимость единицы изделия А составляет руб., а единицы изделия В - руб. Требуется составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную стоимость готовой продукции: а) решите задачу симплекс-методом; б) сформулируйте двойственную задачу и найдите ее решение; в) определите интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к измене нию сырья каждого вида в отдельности; г) оцените стоимость готовой продукции, если запасы сырья каждого вида на производстве изменились на величину , , кг соответственно; д) решите исходную задачу геометрически. а 1 а 2 а 3 b 1 b 2 b 3 Р 1 Р 2 Р 3 8 10 2 3 9 9 960 1620 1260 -140 -145 -65 50 70 Решение: Составим экономико-математическую модель задачи. Для этого обозначим - количество изделий вида А, - количество изделий вида В. эта задача является задачей оптимального использования сырья, поэтому система ограничений имеет вид: (1) где справа стоит количество каждого вида сырья, которое не может быть превышено в процессе производства изделий. Эти ограничения являются нетривиальными. Далее, количество изделий физически является неотрицательными (нельзя произвести отрицательное количество изделий), что дает нам тривиальные ограничения задачи: (2) Наконец, функция цели (целевая функция) представляет собой общую стоимость произведенной продукции, и эта функция в данной задаче оптимизируется на максимум: (3) Для решения задачи симплекс- методом приведем задачу (1) - (3) к каноническому ви ду; введя дополнительные балансовые переменные, которые означают остатки сырья соответственно l-го, 2-го и 3-го типов. При этом неравенства (1) преобразуются в уравнения (другими словами, левые части сбалансированы с правыми частями): (4) По смыслу балансовые переменные также неотрицательны, поэтому тривиальная сис тема ограничений принимает вид: . (5) Введем балансовые переменные и в целевую функцию с нулевыми коэффициентами: (6) Задача в форме (4)-(6) имеет канонический вид. При этом систему (4) можно записать векторной форме: где , , , , , . Здесь векторы , и имеют предпочтительный вид, т.е. являются единичными в одном из компонентов и нулевыми во всех остальных компонентах. Вектор называется столбцом свободных членов системы ограничений. Для решения задачи (4)-(6) симплекс-методом необходимо иметь опорный план, т.е. допустимое базисное решение системы (4). Для этого все векторы надо разделить на две груп пы - базисные и свободные. Сначала выбираем базисные. Поскольку нетривиальных ограни чений всего три, то и базисных векторов будет тоже три. В качестве базисных выбирают век торы, имеющие предпочтительный вид, т.е. в данном случае , и . Им соответствуют базисные переменные системы (4). Остальные переменные будут свобод ными. При получении базисного решения все свободные переменные приравниваются к нулю. Подставив в (4) , легко получаем остальные компоненты опорного плана: . В векторном виде этот опорный план выглядит так: . Подставив компоненты в (6), получим значение целевой функции для этого плана: . Теперь составим первоначальную симплексную таблицу: С Б Б 0 50 70 0 0 0 0 960 8 3 1 0 0 0 1620 10 9 0 1 0 0 1260 2 0 0 1 0 0 0 0 В верхней строке, над обозначениями векторов, стоят коэффициенты целевой функции при соответствующих переменных. Нулевое значение над говорит о том, что свободный член в целевой функции отсутствует. Нижняя строка таблицы, которая называется индексной строкой, содержит взятые с обратным знаком значения коэффициентов из верхней строки. Второй столбец таблицы состоит из обозначений базисных векторов. Порядок, в к отором они записаны, не случаен. Каждый вектор поставлен в той строке, где в столбце коэффициентов этого вектора находится единица. Слева от базисных векторов, в первом столбце таблицы, поставлены соответствующие коэффициенты целевой функции (из верхней строки). Переход к новому, лучшему опорному плану называется итерацией симплекс-метода. Она представляет собой преобразование однократного замещения, поскольку при этом происходит переход к новому базису: один из базисных векторов становится свободным, а в базис, наоборот, входит один из бывших свободных векторов. Найдем эту пару векторов. Сначала определим вектор, который войдет в базис. Это, должен быть один из свободных векторов, т.е. или . Выбираем тот вектор, которому в индексной строке соответствует самое отрицательное число (- 70 , обозначено стрелкой). Значит, вектор становится базисным. Теперь определим вектор, «покидающий» базис. Это делается с помощью симплексных отношений, обозначенных в последнем столбце симплекс-таблицы. Как видно из заголовка столбца, числителем симплексного отношения является свободный член ограничения, а знаменателем - положительные коэффициенты ведущего столбца, т.е. столбца (вектора, который теперь войдет в базис). Строка, в которой находится минимальное симплексное от ношение, называется ведущей строкой. В той же строке находится вектор , покидающий наш первоначальный базис. Только при этом условии гарантируется неотрицательность сво бодных членов при пересчете таблицы. Отметим также, что при симплексные отно шения являются не допустимыми или не существуют; их не следует рассматривать при оп ределении минимального отношения. Элемент таблицы, находящийся на пересечении ведущего столбца и ведущей строки, называется ведущим элементам таблицы (он обозначен сплошным квадратом). Теперь приступим к пересчету таблицы. Это делается в три этапа. Сначала ведущая строка делится на ведущий элемент. Далее впишем в таблицу столбцы новых базисных векторов. При этом, поскольку и остались в базисе, их столбцы остаются без изменений, а столбец становится точно таким же, каким до этого был . Наконец, на третьем этапе определим значения в оставшихся девяти клетках таблицы. Их нужно пересчитать по правилу прямоугольника. Для любого элемента первоначальной таблицы можно определить прямоугольник (см. рис.). Здесь - ведущий элемент, - старое значение элемента в искомой ячейке, и - эле менты, находящиеся с ними на пересечении строк и столбцов. Новое значение элемента а н получается из формулы: . Получаем таблицу первой итерации симплекс-метода: С Б Б 0 5 0 7 0 0 0 0 0 540 22/3 0 1 0 -1/3 0 360 0 0 1 -1 7 0 140 2/9 1 0 0 1/9 9800 0 0 0 70/9 Произошел переход новому базису: , , . При этом переменные являют ся свободными, и в опорном плане их значения равны нулю. Значения остальных перемен ных получаем из нового столбца свободных членов: . Запишем опорный план в векторной форме: . Этому плану соответствует значение целевой функции, равное 980 0. В новой таблице это значение зафиксировано в индексной строке в столбце свободных членов. В индексной строке остался один отрицательный элемент, поэтому полученный план не является оптимальным. Значение находится в столбце , поэтому войдет в новый базис. Минимальное симплексное отношение достигается в строке базисного вектора , который выходит из базиса. П ересчитываем таблицу первой итерации и получаем таблицу второй итерации: С Б Б 0 5 0 7 0 0 0 0 0 210 0 0 1 -11/12 7/12 50 45 1 0 0 1/8 -1/8 7 0 130 0 1 0 -1/36 5/36 11350 0 0 0 155/36 125/36 Аналогично определяем новый опорный план: Ему соответствует значение целевой функции, равное 11350 . Поскольку в индексной строке больше нет отрицательных элементов, план является оптимальным: . Итак, задача линейного программирования решена. б) Двойственная задача и её решение. Рассмотрим исходную задачу (1)- (3). При переходе к двойственной задаче нужно вы полнить ряд правил. Во-первых, каждому ограничению (1) исходной задачи соответствует переменная двойственной задачи. Таким образом, здесь будут три двойственные переменные . Во-вторых, ограничения двойственной задачи соответствуют столбцам системы (1); неравенства типа превращаются в неравенства типа , а свободными членами становятся коэффициенты при соответствующих переменных целевой функции (3). В-третьих, целевая функция двойственной задачи оптимизируются не на максимум, а на минимум; коэф фициентами становятся свободные члены системы (1). Наконец, двойственные переменные , как и переменные задачи (1)-(3), подчиняются тривиальным условиям неотрицательно сти. С учетом этих замечаний задача, двойственная задаче (1)-(3), имеет вид: , (7) (8) (9) Эта задача тоже является задачей линейного программирования и также может быть решена симплекс-методом. Однако обе задачи, прямая и двойственная, тесно связаны между собой, и поэтому мы можем гораздо проще получить решение одну из них, если известно решение другой. Оптимальное решение задачи (7)-(9) находится в индексной строке последней симплекс-таблицы и столбцах, соответствующих первоначальному базису. Отсюда находим: , . Таким образом, Это означает, что при производстве данного вида изделий ресурс второго и третьего типа дефицитны, т.е. используются полностью, а первый ресурс используется не полностью (поскольку ). в) Определение интервалов устойчивости двойственных оценок к изменению запа сов сырья. Согласно теории линейного программирования, двойственные оценки различных видов сырья (т.е. значения ) будут устойчивы к изменению запасов ресурсов (не поменяют своих значений), если выполняется условие (для всех компонент): . Здесь - матрица состоящая из столбцов первоначального базиса (т.е. ) последней симплекс-таблицы: . Вектор - вектор первоначальных запасов сырья, - вектор изменения запасов сырья. В данном случае: ; . Сначала определим интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к изменению сырья каждого вида. Запишем неравенство (10): . Матричное неравенство преобразуем в систему скалярных неравенств: или: Рассмотрим устойчивость двойственных оценок к изменению запасов только первого вида сырья, т.е. . Подставляя в систему, найдем: Объединяя эти неравенства, получаем: . Изменение запасов сырья только второго вида дает нам сле дующее: Отсюда получаем: . Аналогично исследуем устойчивость по третьему виду сырья ( : . Как и следовало ожидать, произвольное увеличение недефицитного первого вида сы рья не изменит его нулевой двойственной оценки. г) Определение нового оптимального плана при измененных запасах сырья . Проверим выполнение неравенства (10) для условий нашей задачи: Так как все компоненты полученного вектора неотрицательны, то, при заданных изме нениях запаса сырья двойственные оценки не изменятся. Это означает, что второй и третий виды сырья также будут использованы полностью, поэтому второе и третье неравенства системы (1) с измененными правыми частями можно записать как уравнения: Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными. Решая её, получаем новый оптимальный план: . Новая стоимость продукции получается подстановкой новых оптимальных значений в целевую функцию (3): . д) Геометрическое решение исходной задачи. Рассмотрим исходную задачу (1 ) - (3). Поскольку в ней только две переменные , то её можно решить графически на координатной плоскости . Тривиальные неравенства (2) означают, что решение следует искать в первом квадранте системы координат. Нетривиальные неравенства (1) представляют собой полуплоскости, пересечение которых в пределах первого квадранта образует так называемую область допустимых решений (ОДP) задачи линейного программирования. Оптимальный план представляет собой одну из угловых точек ОДР. Построим, например, полуплоскость, отвечающую первому неравенству системы (1): . Эта полуплоскость лежит с одной стороны от прямой, заданной уравнением: Линию, если она не проходит через начало координат, проще всего построить по двум точкам на осях координат. Строем прямую, получаем две полуплоскости, выше и ниже этой прямой. Исходному неравенству отвечает только одна из этих полуплоскостей. Она опреде ляется подстановкой в неравенство пробной точки, не лежащей на граничной прямой. Например, такой точкой может быть начало координат. Аналогично построив две другие полуплоскости, получим ОДР (рис.1). Теперь надо найти угловую точку ОДР, в которой целевая функция достигает макси мума. Для этого построим вектор роста целевой функции = ( 5 0; 7 0) , который состоит из коэффициентов целевой функции при соответствующих переменных и опорную прямую , перпендикулярную вектору . Передвигая опорную прямую вдоль вектора роста и перпендикулярно ему, получаем, что максимум целевой функции достигается в точке Х – это последняя точка п ересечения опорной прямой и ОДР. Точка Х образована пересечением границ 2-го и 3-ro нера венств, поэтому эти неравенства запишутся как уравнения: Из (1): , подставим в (2): Решение этой системы дает оптимальный план первоначальной задачи: Как и следовало ожидать, полученные числа совпадают с решением симплекс-методом. Рис.1. Графическое решение задачи линейного программирования. Задание 2. Транспортная задача. На трех базах находится однородный груз в количестве т соот ветственно. Этот груз необходимо развезти пяти потребителям потребно сти которых в данном грузе равны т. Стоимость перевозок пропорцио нальна расстоянию и количеству перевозимого груза. Задана матрица тарифов - стои мости перевозки единиц груза от каждой базы каждому потребителю. Необходимо спла нировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной. Матрица тарифов: Решение. Составим транспортную таблицу по условиям задачи: ПН ПО Запасы, 16 9 10 12 13 100 5 11 8 6 9 150 7 4 5 16 25 250 Потребности, 100 40 140 60 160 Строки таблицы соответствуют базам (пунктам отправления, ПО), а столбцы - заказчи кам (пунктам назначения, ПН). Каждая клетка на пересечении некоторого столбца и какой либо строки соответствует одному маршруту перевозок. Тарифы перевозок указаны в правом верх нем углу каждой клетки. Так как сумма запасов равна сумме потреб ностей: , то говорят, что такая транспортная задача имеет закрытую модель. Решение транспортной задачи с закрытой моделью поводится по следующему алго ритму: Шаг 1. Находится первоначальный опорный план задачи. Шаг 2. Полученный план проверяется на оптимальность (с помощью метода потенциалов). Если план оптимален, то он и будет решением. Иначе переходим к шагу 3. Шаг 3. Улучшаем план с помощью метода пересчета по циклу и возвращаемся к шагу 2. На Шаге 1 подготавливается первоначальный опорный план тремя разными методами: методом северо-западного угла, методом минимальной стоимости и методом двойного предпочтения. Затем из этих трех планов выбирается самый выгодный. Его и под вергают процедуре дальнейшей оптимизации методом потенциалов. Рассмотрим метод северо-западного угла, или диагональный метод. В этом методе за полнение транспортной таблицы всегда начинается с клетки , т.е. "северо-западного угла" таблицы. Далее, заполнение идет вокруг диагонали таблицы и всегда заканчивается в правом нижнем углу (клетка (3; 5 ). В каждой клетке объем перевозки определяется как наименьшее значение из двух чисел: остатка запаса на базе и остатка заявки потребителя. Отсюда: В результате получаем опорный план : ПН ПО 100 40 140 60 160 100 16 100 9 10 12 13 150 5 11 40 8 110 6 9 250 7 4 5 30 16 6 0 25 160 В этом опорном плане 6 занятых клеток. В невырожденном плане их должно быть , где т - число баз, п - число заказчиков. Полученный план является выро жденным. Подсчитаем общую стоимость перевозок. Она складывается из произведений объемов перевозок и тарифов по всем занятым клеткам: Как видим, при распределении грузов совсем не учитывается стоимость перевозок. Поэто му, как правило, метод северо-западного угла дает опорный план, далекий от оптимального. Построим опорный план методом минимальной стоимости (или минимального элемента). Сначала из всей таблицы выбираем клетку с самым ма леньким тарифом. В эту клетку помещаем максимально возможную перевозку, а затем вычеркиваем клетки, ставшие ненужными. Затем в оставшейся части таблицы процесс повторя ем, пока вся таблица не будет заполнена. Запишем последовательность заполнения клеток: В результате получаем новый опорный план : ПН ПО 100 40 140 60 160 100 16 9 10 12 10 13 90 150 5 100 11 8 6 50 9 250 7 4 40 5 140 16 25 70 . Теперь построим опорный план методом двойного предпочтения. При этом сначала в каждом столбце отметим галочкой клетку с наименьшей стоимостью, затем то же самое де лаем с каждой строкой. Далее максимально возможные объемы перевозок помещаем в клет ки, отмеченные двойной галочкой. Затем распределяем перевозки по клеткам, отмеченным одной галочкой начиная с наименьшей. В оставшейся части таблицы перевозки распределя ем по методу минимальной стоимости. Клетки с двумя галочками: Клетки с одной галочкой: Остальные клетки: Получаем новый опорный план: ПН ПО 100 40 140 60 160 100 16 9 10 12 10 13 90 150 5 100 11 8 6 50 9 250 7 4 40 5 140 16 2 5 70 . В этом опорном плане 7 занятых клеток. Полученный план является не выро жденным. Шаг 2: проверка плана по методу потенциалов. Определяем потенциалы поставщиков и потребителей. На этом этапе составляем систему уравнений для потенциалов, используя только заня тые клетки. Используем последний опорный план: Заметим, что в этой системе всего неизвестных, а уравнений всего , поскольку в невырожденном опорном плане всего 7 заполненных клеток. Для однозначного решения не хватает одного уравнения. В этом случае один из потенциалов, например, приравнивают нулю. Получаем: . Для свободных клеток вычисляем оценки: (11) Среди полученных оценок имеются отрицательные, значит, найденный план неоптимальный. Произведем загрузку клетки (3, 1) с наименьшей оценкой . Строим замкнутый цикл: ПН ПО 100 40 140 60 160 100 16 9 10 «-» 12 10 «+» 13 90 150 «-» 5 100 11 8 «+» 6 50 9 250 «+» 7 4 40 5 140 16 «-» 25 70 Получим новый опорный план: ПН ПО 100 40 140 60 160 100 16 9 10 12 13 100 150 5 90 11 8 6 60 9 250 7 10 4 40 5 140 16 25 60 . Вы числяем оценки свободных клеток : Произведем загрузку клетки (2, 5) . Строим замкнутый цикл: ПН ПО 100 40 140 60 160 100 16 9 10 12 13 100 150 «-» 5 90 11 8 6 60 «+» 9 250 «+» 7 10 4 40 5 140 16 «-» 25 60 Получим новый опорный план: ПН ПО 100 40 140 60 160 100 16 9 10 12 13 100 150 5 30 11 8 6 60 9 60 250 7 70 4 40 5 140 16 25 . Вычисляем оценки свободных клеток: Так как все оценки неотрицательны, то получен оптимальный план. Запишем решение транспортной задачи: . Задание № 3. Моделирование систем массового обслуживания. Станция автосервиса работает 12 часов в сутки. На станции два здания для рабочих разной специализации. В первом - боксов для обслуживания отечественных автомоби лей, во втором - боксов для ремонта «иномарок». Бригада «отечественного» бокса об служивает отечественный автомобиль в среднем за минут, а «иностранная» бригада тратит на иномарку в среднем минут. В течение рабочего дня автомобили прибывают на станцию, в случайные моменты времени с интенсивностью: отечественные - авто мобилей в день, иномарки - автомобилей в день. Если хотя бы один из необходимых боксов свободен, то автомобиль сразу же начинает обслуживаться. Если все заняты, то ав томобиль занимает свободное место на стоянке около соответствующего здания. Если за няты все места, то он уезжает не обслуженным. Около «отечественного» здания мест, около «иностранного» - . Средняя прибыль, получаемая с отечественных и иностран ных автомобилей, одинакова и равна С руб. за машину. Компания рассматривает проект объединенной работы двух зданий, при которой каждый поступающий автомобиль без учета специфики поступает в любой свободный бокс или на объединенную стоянку. Известно, «отечественная» бригада будет тратить на иномарки в среднем минут, а бригада, квалифицирующаяся на иномарках, минут на отечественный автомобиль. Определить целесообразность такого объединения с точки зрения: 1. Максимизации средней прибыли компании. 2. Минимизации среднего времени нахождения автомобиля на станции. Данные к задаче приведены в следующей таблице: С 2 3 45 60 56 36 4 3 340 70 55 Решение. 1. Сначала определим основные параметры системы до объединения. Находим интенсивность обслуживания автомобилей одним боксом по формуле: . (12) (авт./мин), (авт./мин). Переведем интенсивность из авт./мин в авт./день. С учетом того, что рабочий день на станции 12 часов, а в часу 60 минут, получим: (авт./день), (авт./день). Вычислим интенсивность нагрузки по формуле: . (13) Определим вероятность того, что все боксы будут свободны по формуле: (14) где: при , при (15) (16) В нашей задаче: . То есть около 1 % времени простаивают все «отечественные» боксы и около 4 % «иностранные». Вероятность отказа в обслуживании из-за занятости всех боксов и всех мест в очере ди определяется по формуле: (17) То есть не обслуживаются из-за полной загруженности 44,2 % отечественных автомобилей и 17 % иномарок. Относительная пропускная способность каждого здания равна: (18) Абсолютная пропускная способность - среднее число автомобилей, получив ших обслуживание за день, определяется по формуле: (19) Тогда средняя прибыль компании за день равна: (руб.) Среднее время пребывания одного автомобиля на станции (среднее время пребывания в системе) вычисляется по формуле: (20) где - среднее число обслуживаемых автомобилей, - среднее число автомобилей в очереди. (21) (22) при при (23) В нашей задаче: (раб.день) (мин.). То есть, в «отечественном» здании занято в среднем 1,95 бокса, 2,9 места на стоянке, а отечественный автомобиль проводит на станции в среднем 111,7 минуты (в очереди и во время обслуживания). (раб.день) (мин.). То есть, в «иностранном» здании занято в среднем 2,49 бокса, 0, 51 места на стоянке, а иномарка проводит на станции в среднем 72,3 минут. Для определения среднего времени автомобиля на станции воспользуемся формулой: , где - доли «отечественных» и «импортных» машин в общем потоке. Доля отечествен ных автомобилей равна , а доля импортных - . (мин.). То есть «средний» автомобиль проводит на станции 96,3 мин. 2. Теперь определим параметры системы после объединения. Эти параметры будем обозначать волной. Общее число бригад (каналов обслуживания) стало равно: Общая длина очереди: Вычислим общую интенсивность входящего потока: (авт./день). Определим среднюю интенсивность обслуживания одного «среднего» автомобиля «средней» бригадой. Она может быть вычислена по формуле: , где и - доли «отечественных» и «импортных» бригад в объединенной станции автосервиса; и - средние интенсивности; и - средние времена обслуживания соответ ствующими бригадами одной машины объединенного потока. Эти параметры определим по формулам: (авт./мин) = (авт./день) (авт./мин)= (авт./день) Доля «отечественных» бригад в общем количестве равна , а доля «импортных» бригад - . Тогда обобщенная интенсивность обслуживания равна: (авт./день). Используя формулы (13) – (22), найдем параметры данной системы. . То есть не обслуживаются из-за полной загруженности «объединенной» станции 30,5% а втомобилей. Относительная пропускная способность объединенного автосервиса равна: Среднее число автомобилей, получивших обслуживание за день, равно : С редняя прибыль компании за день при объединенном автосервисе равна: (руб.) То есть средняя прибыль компании увеличилась. Увеличение прибыли составило около 5 %: Вычислим теперь среднее время пребывания автомобиля на «объединенной» станции. (раб. день) (мин). Таким образом, среднее время пребывания автомобиля на станции заметно увеличилось почти на 16 %: %. В итоге, из анализа данной системы массового обслуживания, можно сделать следующий вывод: объединение двух зданий может привести к незначительному увеличению прибыли при заметном увеличении времени, проводимом автомобилем на станции. Послед ний факт может пагубно сказаться на имидже компании, и привести к большим потерям. Для данной станции автосервиса объединение нецелесообразно. Список использованной литературы. 1. Исследование операций в экономике: Уч. пособие для вузов / Под ред. Н.Ш.Кремера . – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2004. – 407 с. 2. Волошин Г.Я. Методы оптимизации в экономике: Уч. пособие. – М.: ДИС, 2004. – 320 с. 3. Фомин Г.П. Системы и модели массового обслуживания в коммерческой деятельности. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 144 с.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Дураки с годами не умнеют. Они лишь совершенствуются.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, контрольная по математике "Задача линейного програмирования", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru