Реферат: Дифференциальные уравнения I и II порядка - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Дифференциальные уравнения I и II порядка

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 239 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Дифференциальные уравнения I и II порядка Введение . Исследование поведения различных систем (технические , экономические , экологические и др .) часто приводит к анализу и решению уравнений , включающих как параметры системы , так и скорости их изменения , аналитическим выражением которых являются производные . Такие уравнения , содержащие производные , называются дифференциальными . Рассмотрим следующий пример из области рекламного дела . При организации продажи нового товара торговым предприятиям зачастую приходится прибегать к услугам рекламы . Для того , чтобы последняя была успе шной и современной , необходимо знать закон распространения информации о новом товаре среди ее потенциальных покупателей . Найдем вид указанной закономерности при следующих предположениях относительно рассматриваемого процесса . Пусть N – общее число потенциа льных покупателей нового товара , x ( t ) – число покупателей , знающих к моменту времени t о поступлении в продажу нового товара , [ N - x ( t )] – число покупателей еще не имеющих информации о товаре . Предположим , что информация о товаре распространяется среди поку пателей посредством их общения между собой . Будем считать , что в течение достаточно малого промежутка времени возможна встреча лишь двух покупателей , и вероятность этой встречи считаем равной P . Вероятность того , что при встрече покупатель , знающий о това ре , встретиться с покупателем , еще не имеющем информации о товаре , равна ( N - x )/ N . Тогда скорость изменения величины x ( t ) в момент t равняется px ( N - x )/ N систематическому ожиданию числа покупателей впервые узнавших о товаре . Таким образом , получаем уравнение или . Данное уравнение содержит величину x и ее производную , т . е . является дифференциальным . Решая полученное уравнение , найдем вид зависимости величины x от t : , где параметр A подбирается , исходя из условия x = x 0 в некоторый момент t = t 0. Например , если при t =0 величина x (0)= N ( - доля покупателей , обладающих информацией о товаре к началу рассматривае мого процесса ) , то . На рис . 1 показан график искомой функции x = x ( t ). В экономической литературе график известен как логистическая кривая . Отметим , что логистическая кри вая дает также представление о процессе распространения технологических новшеств , эпидемий и даже слухов . В качестве второго примера рассмотрим задачу представления в виде уравнения однопараметрического семейства кривых , обладающих некоторым общим свойство м . Пусть однопараметрическое семейство кривых задается уравнением Ф ( X , Y , C )=0, где C – параметр . Составим дифференциальное уравнение , которое описывает общее свойство присущее всем кривым данного семейства . Предположим , что отдельная кривая семейства заданн ых функций y = f ( x , c ). Тогда подставляя ее в общее уравнение семейства получаем тождество . Предполагая дифференцируемость функции Ф ( X , Y , C ) и дифференцируя Ф ( x , f ( x , c ), c ) по x , получаем . Рассматривая последнее вместе с уравнением Ф ( x , y , c )=0, т . е . рассматривая систему , и исключая в ней параметр C , в результате получим дифференциальной уравнение , описывающее свойство присущее всем кривым семейства . Например , пусть сем ейство кривых представляет семейство гипербол xy = c . Дифференцируя данное уравнение по x , получаем . Так как при этом автоматически произошло исключение параметра c , то последнее уравнение , являясь дифференциальным , представляет семейство вышеуказанных гипербол . 1. Основные понятия и определения . Определение . Уравнение , связывающее функцию y , ее аргумент x и ее производные , называется обыкновенным дифференциальным уравне нием . Обыкновенное дифференциальное уравнение символически можно записать в виде или . Определение . Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной , входящей в уравнение . Например : А ) является дифференциальным уравнением 1-го порядка ; Б ) является дифференциальным уравнением 2-го порядка ; В ) является дифференциальным уравнением n - го порядка . Определение . Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f ( x ), которая , будучи подставлена в уравнение , обращает его в тождество . Например , пусть дано дифференциальной уравнение . Тогда любая функция вида y = c 1 sinx + c 2 cosx , где c 1 , c 2 – произвольные постоянные , является решением этого уравнения . Дей ствительно , дифференцируя уравнение y = c 1 sinx + c 2 cosx дважды по x получаем . Подставляя выражения для и y в левую часть исходного дифференциального уравнения получаем . Процесс решения дифференциального уравнения на зывают интегрированием . Поэтому само решение называют еще интегралом уравнения . Как правило , дифференциальному уравнению отвечает множество решений (смотрите вышеприведенный пример ) , задаваемых семейством функций y = f ( x , c ) в явном виде или Ф ( x , y , c )=0 в неяв ном виде . В этих уравнениях с-параметр семейства . Таких параметров , вообще говоря , может быть несколько . В общем случае обыкновенному дифференциальному уравнению n-го порядка отвечает семейство решений , содержащих n параметров . Определение . Общим решением дифференциального уравнения n - го порядка называется функция y = f ( x , c 1 , c 2 , … , c n ), зависящая от аргумента x и n произвольных постоянных c 1 , c 2 , … , c n , которая будучи по дставлена в уравнение обращает его в тождество . Отметим , что эта функция может задаваться и неявным образом , тогда она представляется уравнением Ф ( x , y , c 1 , c 2 , … , c n )=0. Общее решение дифференциального уравнения называется также общим интегралом . Чтобы из общего уравнения выделить некоторое конкретное частное решение дифференциального уравнения , необходимо задать значения для параметров c 1 , c 2 , … , c n . Обычно значения этих произвольных постоянных c 1 , c 2 , … , c n определяются заданием начальных условий : y ( x 0 )= y 0 , . Эти начальные условия дают соответственно n уравнений , , , ……………………………… , решая которые относительно c 1 , c 2 , … , c n находят значения этих постоянных. Например , для дифференциального уравнения 1-го порядка общее решение имеет вид y = f ( x , c ). Тогда начальное условие y ( x 0 )= y 0 выделяет из всего семейства интегральных кривых кривую , проходящую через точку M ( x 0 , y 0 ). 1. Геометрическая интерпретация . Геометрическое представление решения дифференциального уравнения рассмотрим на п римере уравнения 1-го порядка вида . В плоскости введем декартову систему координат с осями x и y . Каждой точке M ( x , y ) плоскости поставим в соответствие вектор , отложенный от точки M . Таким образом дифференциальное уравнение порождает в плоскости X OY поле направлений (естественно , указанное поле существует только в области определения функции f ( x , y )). Тогда решением дифференциального уравнения будет такая кривая , которая в каждой точке касается вектора поля направляющей . Действительно , пусть y = h ( x ) уравнение указанной выше кривой . Тогда в каждой точке кривой касательная к ней имеет направление , где - угол наклона касательной к оси x . Из (условие касания кривой с вектором ) и равенства абсцисс векторов и вытекает тождество , выполняющееся в точках кривой y = h ( x ). Последнее означает , что y = h ( x ) является решением уравнения . И обратно , если y = h ( x ) решение дифференциального уравнения , то . Последнее соотношение означает , в каждой точке кривой y = h ( x ) направление ее касательной совпадает с вектором поля направлений , т . е . в каждой точке кривая y = h ( x ) касается вектора поля направлений . В качестве иллюстрации возьмем уравнение . Для построения поля направлений удобно исп ользовать метод изоклин . Изоклина это линия в каждой точке которой вектор поля направлений одинаков . Таким образом , изоклины даются уравнением f ( x , y )= , и каждой точке изоклины соответствует вектор . Для рассматриваемого дифференциального уравнения изоклины задаются уравнением или y =- x . Как видно , изоклинами являются прямые , проходящие через точку начала координат . На рис . 2 изображены изоклины отвечающие значениям , черточками изображены направления векторов в таких изоклин . Из рис . 2 видно , что интегральные кривые уравнен ия напоминают гиперболы . Действительно , как будет показано ниже , общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения имеет вид yx = c , т . е . задает семейство гипербол . Параметрам c >0 отвечают гиперболы I и III координатных узлов , значениям c <0 отвечают гиперболы II и IV координатных узлов . 2. Существование решения дифференциального уравнения первого порядка . Задано дифференциальное уравнение вида или, иначе , . Пусть y=y(x) – решение данного уравнения , удовлетворяющее начальному условию y ( x 0 )= y 0 . Тогда из следует , что f ( x , y ( x )) – производная функции y ( x ) и , следовательно , y ( x ) – первообразная для f ( x , y ( x )). Если F ( x ) – некоторая другая первообразная для f ( x , y ( x )), то , как известно , y ( x )= F ( x )+ c 0 . Из y ( x 0 )= y 0 , y ( x 0 )= F ( x 0 )+ c 0 получаем c 0 = y 0 - F ( x 0 ), т . е . y ( x )= F ( x )- F ( x 0 )+ y 0 . Семейство всех первообразных для f ( x , y ( x )) представляется неопределенным интегралом . Тогда разность F ( x )- F ( x 0 ) равна значению определенного инт еграла , И , следовательно , получаем , т . е . y ( x ) является решением интегрального уравнения . Задача поиска решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию y ( x 0 )= y 0 , получила в литературе название задачи Коши . Первое доказательство существования и единственности решения дифференциального уравн ения было получено в 1820-1830 г . г . и связано с именем Коши (1789-1857) . Теорема . Пусть задано уравнение и начальные значения x 0 , y 0 . Тогда если А ) функция f ( x , y ) непрерывна по обеим переменным x и y в замкнутой области ; Б ) функция f ( x , y ) удовлетворяет в области R по переменной y условию Липшица , т . е . , где L – постоянная ; То существ ует единственное решение y=y(x) указанного уравнения , удовлетворяющее начальному условию y ( x 0 )= y 0 и являющееся непрерывно дифференцируемым в интервале , где . Доказательство теоремы приводить не будем , укажем лишь , что может быть осуществлено методом последовательных приближений Пикара (1856-1941) , использующего ранее приведенное интег ральное уравнение . Последовательность функций , дающих приближенное решение уравнения , строится по правилу : , , ……………………………… . Далее можно показать , что функция д ает единственное решение дифференциального уравнения в промежутке . Выше был рас смотрен случай дифференциального уравнения первого порядка разрешенного относительно производной y / . Более общим видом является случай уравнения вида , не разрешимого о тносительно производной y / . Допустим , что данное уравнение может быть разрешено относительно y / , и в общем случае это дает несколько вещественных уравнений ( k=1,2,… ,m). Если при этом каждая из функций ( k=1,2,… ,m) удовлетворяет теореме существования и единственности решения , то через точку ( x 0 ,y 0 ) будет проходить m интегральных кривых уравнения . Пусть при этом каждая точка кривой имеет свой наклон касательной , отличный от других кривых . В этом случае также говорят , что задача Коши имеет единственное решение . Общим решением уравнения называют совокупность всех общи х решений каждого из уравнений ( k=1,2,… ,m), т . е . решения y=Y k (x,c) (k=1,2,… ,m). Пример . Рассматривается дифференциальное уравнение вида . Разрешая его относительно y / получаем два уравнения y / =1 и y / =-1, т . е . через каждую точку плоскости xOy проход ят две интегральные кривые , касательные к которым имеют два разных угла наклона к оси Ox в 45 0 и 135 0 . Общим решением уравнения будет семейство интегральных кривых y=x+c и y=-x+c. Особым решением дифференциального уравнения или называется решением y=y(x), которое во всех своих точках не обладает свойством единственности . Через ка ждую точку такого решения проходит не менее двух интегральных кривых , имеющих одинаковое направление касательной . Отметим , что из сказанного выше следует , что дифференциальное уравнение может иметь решения не являющиеся ни частными , ни особыми , а именно , е сли эти решения получаются склеиванием кусков из частных и особых решений . 2. Особые решения дифференциального уравнения . Пусть рассматривается дифференциальное уравнение первого порядка общего вида F(x,y,y / )=0. Тогда существование его особого решения пре жде всего может быть связано с условием , не обеспечивающим представление y / как неявной функции переменных x и y, задаваемой уравнением F(x,y,y / )=0. Таким образом , фор мируя систему уравнений , и исключая из нее переменную y / , получаем функцию y=y(x), которая может дать особое решение дифференциального уравнения F(x,y,y / )=0. Определен ие . Кривая , получаемая исключением параметра p из системы уравнений , называется дискретной кривой уравнения F(x,y,y / )=0. Для того , чтобы дискретная кривая давала особо е решение дифференциального уравнения , остается проверить , что она удовлетворяет уравнению F(x,y,y / )=0, и что через каждую ее точку проходит хотя бы одна интегральная кривая общего решения этого уравнения , т . е . проверить , что в точках дискретной кривой нар ушается свойство единственности решения дифференциального уравнения . Пример 1 . Дано уравнение . Как было указано выше его особое решение дается уравнениями y=x+c и y=-x +c. Опреляя для него дискретную кривую имеем систему уравнений . Очевидно , данная система решения не имеет , поэтому рассматриваемое дифференциальное уравнение особых реш ений не имеет . Пример 2 . Рассмотрим решение уравнения Его общее решение имеет вид . Выписывая систему уравнений или , (где p=y / ) и исключая из нее переменную p, получаем уравнение дискретной кривой y=0 ( ось Ox). Очевидно , она является решением дифференциального уравнения , так как из y=0=const следует y / =0. Кроме того через любую точку M(x 0 ;0) этой кривой проходит частное решение дифференциального уравнения , получ аемое из общего при c=-x 0 . Не трудно убедиться , что касательные в точке M(x 0 ;0) дискретной кривой и частного решения совпадают . Таким образом , дискретная кривая y=0 является особым решением исходного дифференциального уравнения . Ниже на рис . 3 изображено с емейство интегральных кривых этого уравнения , являющееся семейством парабол . Из рисунка видно , что дискретная кривая y=0, являющаяся осью Ox, касается в каждой точке некоторой кривой семейства . Выше была рассмотрена ситуация , когда уравнение F(x,y,y / )=0 не определяло y / как неявную функцию переменных x и y, так как выполнялось условие . Предположим теперь , что в области D, где ищется решение дифференциального уравнения , в ыполняется условие . В этом случае уравнение F(x,y,y / )=0 определяет y / как неявную функцию от x и y, т . е . можно считать y / =f(x,y) или даже явно выразить y / через x и y в виде y / =f(x,y). Тогда особое решение будет связано с нарушением условий приведенной выше в параграфе 3 , теоремы Коши существования и единственности решения дифференциального уравнения . Таким невыполнимым условием , обычно , берется условие Липшица , и геомет рическое место точек , в которых оно нарушается , задается условием или , считая , условием . Пример 3 . Рассматривается дифференциальное уравнение (сравните с примером 2) . Здесь . Так как , то дискретная кривая отсутствует . Из и условия , находим , что в точках кривой y=0, являющейся осью Ox, нарушается условие теоремы Коши . Следовательно , эта кривая y=0 может быть особым решением . Остается проверить , что она удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению и что в ее точках нарушается условие единстве нности прохождения интегральной кривой . Общее решение данного уравнения имеет вид , т . е . такой же , как и в примере 2 . Разбирая пример 2 , выполнимость обоих условий была проверена . Следовательно , решение y=0 действительно является особым . Пример 4 . Дано уравнение . Для него , т . е . дискретной кривой нет . Из и условия , получаем точ ки кривой y=0, в которых нарушены условия теоремы Коши . Однако , в данном случае кривая y=0 не удовлетворяет дифференциальному уравнению . Следовательно , это уравнение особых решений не имеет . Особым решением дифференциального уравнения довольно часто бывают огибающие семейства его интегральных кривых . Определение . Кривая y=y(x) называется огибающей семейства интегральных кривых интегрального уравнения , задаваемого общим решением Ф ( x,y,c)=0, если в каждой точке она касается одной из кривых данного семейства , т . е . имеет с ней в этой точке общую касательную . Для нахождения огибающей может быть использован следующий подход . Пусть огибающая задана параметрически уравнениями x=x(t),y=y(t). Со значением параметра t можно связать значение постоянной c, отвечающей той интегральной кривой семейства Ф ( x,y,c)=0, которая касается огибающей в точке M(x(t),y(t)), т . е . величину c можем рассматривать как функцию параметра t, а именно c=c(t). Подставляя функции x=x(t),y=y(t) и c=c(t) в Ф ( x,y,c)=0, получаем тождество . Предполагая , что Ф (x,y,c) имеет непрерывные частные производные первого порядка , из тождества вытекает . Покажем , что . Действительно , k-угловой коэффициент касательной для огибающей в точке x 0 =x(t 0 ), y 0 =y(t 0 ) при t=t 0 равен . Уравнение Ф ( x,y,c 0 )=0, где c 0 =c(t 0 ), задает интегральную кривую семейства , проходящую через точку M 0 (x 0 , y 0 ). Угловой коэффициент касательной к данной интегральной кривой в точке M 0 (x 0 , y 0 ) равен , где уравнение данной кривой . Рассматривая уравнение Ф ( x,y,c 0 )=0, как неявное задание уравнения интегральной кривой, значение найдем из соотношения , предполагая . Из получаем и или . Таким образом , д ля произвольного значения t 0 параметра t выполняется . Следовательно, из с учето м доказанного соотношения получаем . Но так как , ибо , то из последнего вытекает , что в точках огибающей должно выполняться условие . Таким образом , для нахождения огибающей надо рассмотреть систему уравнений . Исключая из нее параметр c, найд ем уравнение y=y(x) или Y(x,y)=0 огибающей (исключая точки , где одновременно и ) . Окончательно убеждаясь в том , что поперечная кривая является огибающей , проверяя условие касания в каждой ее точке интегральной кривой семейства . Пример 5 . Снова рассмотрим уравнение из примера 2 . Его общее решение имеет вид , т . е . . Для нахождения огибающей рассмотрим систему . Из нее получаем уравнение огибающей y=0. Далее убеждаемся , что y=0 действительно является огибающей , так как ч ерез каждую ее точку M(x 0 ;0) проходит интегральная кривая со значением параметра c=-x 0 . Пример 6 . Рассмотрим дифференциальное уравнение . Его общее решение имеет вид ( x -c) 2 +y 2 =1 получаем . Подставляя и ( x-c) 2 +y 2 =1 в левую часть уравнения, получим то ждество . Нетрудно видеть , что семейством интегральных кривых являются окружности единичного радиуса с центром в точках ( c,0), лежащих на оси Ox. На рис . 4 изображено с емейство этих окружностей . Из рисунка видно , что семейство интегральных кривых имеет две огибающие y=1 и y=-1, удовлетворяющих диффренциальному уравнению и , следовательно , дающих его два особых решения . Найдем уравнения огибающих аналитически . Из Ф ( x,y,c)=(x-c) 2 +y 2 -1, получаем следующую систему уравнений . Исключая из уравнени я параметр c, получаем y 2 =1. Данное уравнение дает две огибающих y=1 и y=-1. Пример 7 . Дано уравнение . Его общее решение будет , представляющем семейство гипербол , изображенных на рис . 5 . Из для нахождения предполагаемых огибающих получаем систему уравнений . Исключая из уравнений параметр c получаем ур авнение кривой y=0, являющейся осью Ox. Кривая y=0 удовлетворяет дифференциальному уравнению и , следовательно, является его решением . Однако , она не является огибающей , так как не имеет общих точек с интегральными кривыми семейства . Таким образом , являясь решением уравнения , она не является его особым решением . Далее будут рассмотрены методы решения отдельных типов дифференциальных уравнений . 3. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными . Определение . Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными , если оно может быть представлено в виде или . Разнося переменные x и y и их дифференциалы в разные стороны такого уравнения , оно может быть записано в вид е (отсюда происходит название данного типа уравнения ) . Можно следующую интерпретацию происхождения данного уравнения . Пусть величина Z является с одной стороны функцие й величины y, т . е . z=M(y). С другой стороны величина Z является функцией величины x, т . е . z=g(x). Например , если Z- объем выпуска продукции , то с одной стороны z зависит от величины y – объема основных фондов , с другой стороны z может рассматриваться зависи мой от величины x – объема затрачиваемых трудовых ресурсов . Таким образом , через соотношения z=H(y) и z=G(x) одна из величин y или x представляется функцией другой величины x или , соответственно , y. Исходное дифференциальное уравнение отображает эту функци ональную связь через дифференциалы функций H(y) и G(x), уравнивая их , т . е . dz=dH(y)=dG(x). Отсюда можно считать , что . Таким образом , чтобы найти эту функциональную связ ь в виде y=y(x),x=x(y) или f(x,y)=0, надо проинтегрировать каждую из частей дифференциального уравнения , получая , и затем приравнять их H(y)+c 1 =G(x)+c 2 ( имея в виду z=H(y)+c 1 , z=G(x)+c 2 , и затем z исключается ) . Вместо двух постоянных c 1 и c 2 обычно берется одна c=c 2 -c 1 , и тогда общее решение дифференциального уравнения записывается в виде H(y)=G(x)+c. Если это возможно , из него одна из величин может быть представлена явно функцией другой y=y(x) или x=x(y). Пример 1 . Рассмотрим дифференциальное уравнение получаемое при моделировании процесса распространения информации о новом товаре . Данное уравнение , очевидно , относится к уравнению с разделяющимися переменными . Разнеся переменные x и t и их дифференциалы по разные стороны , уравнение запишем в виде или . Проинтегрируем каждую из сторон этого уравнения : , . Приравнивая найденные интегралы получаем или , где c=N(c 1 -c 2 ). Отсюда далее , где . Так как по смыслу задачи , то , и тогда . Окончатель но общее решение дифференциального уравнения получает вид , где . Нетрудно прове рить , что дискретной и огибающей кривых дифференциальное уравнение не имеет . Однако беря крайние значения для равные , получаем кривые x=N и x=0, являющиеся решениями уравнения , но не особыми . Пример 2 . Возьмем дифференциальное уранение или , геометрическая иллюстрация решений которого рассматривается в параграфе 2 . Данное уравнение является с разделяющимися переменными > Разнося переменные в разн ые стороны , записываем уравнение в виде . Интегрирование левой и правой частей уравнения , дает общее решение вида , где постоянная взята в виде lnc,c>0. Далее несложно преобразовать данное уравнение к виду или , где постоянная уже н е имеет ограничений на знак . Как видно получилось семейство гипербол . Пусть из данного семейства интегральных кривых (гипербол ) необходимо выделить кривую (решение ) проходящую через точку M(1,1), т . е . выделить решение , удовлетворяющее начальному условию y( 1)=1. Для этого в общее решение уравнения подставим значения x=1, y=1, и найдем , отвечающее искомой кривой , значение постоянной . Очевидно , это значение равно . Следовательно , искомое частное решение определяется уравнением Yx=1 или . Пример 3 . Рассмотрим уравнение , приведенное в параграфе 3 . Разрешая его относительно y / , получаем два уравнения y / =1 и y / =-1 или и . Оба являются с разделяющимися переменными и приводятся к вид у dy=dx и dx=-dx. Интегрирование левых и правых частей уравнений дает следующие их общие решения y=x+c и y=-x+c. Пример 4 . Следующим уравнением возьмем уарвнение из пр имера в параграфе 4 . Разрешая его относительно y / получаем или . Разделяя перемен ные имеем . Найдем интегралы от левой и правой частей уравнения : . . Приравнивая интегралы и заменяя две постоянных на одну получаем следующий вид общего решения уравнения . Возводя в квадрат обе части данного уравнения , получаем окончательный вид общего решения ( x-c) 2 +y 2 =1. Пример 5 . Решить дифференциальное уравнение , Найти его частное решение при условии . Разрешая уравнение относительно y / , видим , что оно является уравнением с разделяющимися пере менными . Разнося переменные по разные стороны уравнения получаем . Интегрируя к аждую из частей этого уравнения , получаем следующее общее решение исходного дифференциального уравнения или . Используя начальное условие , определяем значение константы c для искомого частного решения . Искомое частное решение дается уравнением . 4. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка . Функция f(x,y) называе тся однородной степени m, если . Функция f(x,y) называется однородной нулевой степени , если . Например , функция является однородной второй степени . Действительно , . Функция однородная нулевой степени , так как . Всякая однородная функция нулевой степени может быть представлена в виде функции от отношения y/x ( или отношения x/y). Действительно , пусть f(x,y) – однородная функция нулевой степени , тогда , взяв в качестве , имеем , где может рассм атриваться как функция отношения y/x, т . е . . Определение . Дифференциальное уравнение первого порядка F(x,y,y / )=0, называется однородным , если оно может быть представлено в виде y / =f(x,y) или ., где f(x,y) – однородная функция нулевой степени . Решение однородного дифференциального уравнения сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными заменой y/x=u или y=ux, где u- функция от x. Подставляя в исходное уравнение и , получаем уравнение вида или , являющиеся с разделяющимися переменными . Если u=g(x,c) или Ф ( x,u,c)=0 является его общим решен ием , то y=xg(x,c) или Ф ( x,y/x,c)=0 будет общим решением исходного уравнения . Пример 1 . Рассматривается уравнение ( x 2 -y 2 )dx+2xydy=0. Перепишем его в виде . Справа стоит функция однородная нулевой степени . Действительно , . Итак , преобразованное уравнение является однор одным дифференциальным уравнением . Решаем его заменой y=ux. Получаем или , т . е . . Разделяя переменные приходим к уравнению . Интегрируем левую и правую части этого уравнения : . Приравнивая найденные интегралы , получаем общее решение вспо могательного дифференциального уравнения относительно переменных x и u или , где c>0. Потенциируя последнее выражение , общее решение получает вид , где c – произвольная постоянная . Заменяя u=y/x, получаем общий интеграл исходного дифференциального ур авнения или y 2 +x 2 =cx, Последнее выражение приводится к виду . Таким образом , сем ейством интегральных кривых исходного уравнения является семейство окружностей с центрами в точках , лежащих на оси x, и радиусами . Очевидно , все эти окружности касаются оси y в точке начала координат . На рис . 6 изображено семейство этих окружностей . Пример 2 . Требуется найти частное решение уравнения , Удовлетворяющих начальному условию y(1)=0. Нетрудно видеть (убедиться ) , что справа стоит однородная функция нулевой степени . Итак , исходное дифференциальное уравнение является однородным . Выполняя за мену y=ux, приводим его к виду или . Разделяем переменные , получаем . Интегрируя обе части этого уравнения , получаем общее решение вспомогательного дифференциального уравнения или . Подставим в него и получим . Логарифмируя обе части этого уравнения получаем и далее . Последнее соотношение дает общее решение исходного дифференциального уравнения . Чтобы найти частное реше ние , воспользуемся начальными условиями x=1,y=0. Подставим их в общее решение , отсюда и . Таким образом , искомое частное решение имеет вид . 5. Линейное дифферен циальное уравнение первого порядка . Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y / +g(x)y=h(x). Такое название ему дано в связи с тем , что относительно переменных y и y / его можно рассматривать как линейное . Е сли , то уравнение принимает простой вид y / =h(x), и сводится к нахождению неопределенного интеграла . Его общее решение тогда имеет вид . Если , то уравнение называется однородным линейным . Оно приобретает вид , и , как нетрудно видеть , сводится к решению ура внения с разделяющимися переменными и далее . Его общее решение имеет вид , где - некоторая первообразная для функции g(x). Предположим теперь , что , функции g(x) и h(x) являются непрерывными . Пусть y=f(x,c) – искомое общее решение линейного дифференциального уравнения . Представим исходное уравнение в виде , и подставим в выражение , стоящее в квадратных скобках , , т . е . как бы полагая в общем решении . Тогда вышеприведенное уравнение примет вид , являясь линейным однородным дифференциальным уравнением (в нем вместо y взята для удобства переменная z, чтобы не возникло путаницы решений этого уравнения с исходным ) . Общее решение этого уравнения , как уже отмечалось ранее , может быть представлено в виде , где A – произвольная постоянная . Очевидно , является его частным решением , и , сл едовательно, может быть получено при некотором значении , т . е . . Если теперь освободиться от условия фиксирования п остоянной , то получаем , что общее решение исходного уравнения имеет вид . В нем второй множитель функция является , как нетрудно видеть, частным решением при c=1 однородного линейного уравнения . Первый множитель функция представляет общее решение дифференциального уравнения u / v(x)=h(x). Действительно , подставляя в это уравнение u / x (x,c), получаем тождество . Таким образом , показано , что общее решение линейного дифференциального уравнения Представляется в виде y=u(x,c)v(x), где v(x) – частное решение однородного уравнения , решаемое при c=1, u(x,c) – общее решение уравнения u / v(x)=h(x). Нетрудно видеть , что в обоих случаях приходится решать уравнение с разделяющимися переменными . Заметим , что хотя при решении однородного уравнения бралось частное решение V(x) однородного уравнения v / +g(x)v=0, Являющегося уравнением с разделяющимися переменными . На втором этапе определяется решение u(x,c) дифференциального уравнения u / v(x)=h(x), Также являющегося уравнением с разделяющимися переменными . После их решений общее решение исходного линейного уравнения представляется в виде Y=u(x,c)v(x). Пример 1 . Решить уравнение Y / +2y=sinx. Сначала решаем однородное уравнение v / +2v=0. Из него получаем или . Интегрируя его левую и правую части , получаем его общий интеграл (решение ) в ида . Полагая в нем c=0 и потенциируя его , получаем следующее его нетривиальное частное решение . Далее решаем уравнение вида или . Разнося переменные в разные части уравнения и интегрируя их , получаем общее решение этого уравнения . Вычислим интеграл : . Рассматривая данное уравнение , как уравнение относительно интеграла , находим его вид . Следовательно , . Тогда общее решение исходного уравнения будет . Предположим теперь , что требуется выделить частное решение , проходящее через точку M(0,0), т . е . решение , удовлетворяющее начальному условию y(0)=0. Для этого подставим значения x=0, y=0 в общее решени е и найдем соответствующее значение постоянной c: , отсюда . Искомым частным реше нием является . Пример 2 . Решить уравнение , являющееся линейным дифференциальным уравнением . На первом этапе найдем решение соответствующего линейного однородного уравнения , или . Разделяя переменные по разные стороны уравнения , имеем . Интегрируя обе части данного уравнения , получаем следующее его частное решение . На втором этапе решаем уравнение вида . Делая замену , сокращая обе части уравнения на и разделяя переменные , имеем du=x 2 dx. Интегрируя правую и левую части уравнения , получаем его общее решение . Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид . 6. Дифференциальное уравнение первого порядка в полных дифференциалах . Определение . Пусть дифференциальное уравнение первого порядка представлено в виде M(x,y)dx+N(x,y)dx=0, Где M(x,y) и N(x,y) – функции двух переменных x и y. Тогда , если левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), т . е . dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy, то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах . Уравнение в полных дифференциалах кратко можно представить в виде dU(x,y)=0, а поэтому общий интеграл (решение ) такого уравнения имеет вид U(x,y)=0. Д ифференциальное уравнение такого типа возникает , когда поведение системы подчинено условию сохранения некоторой величины U( энергии , массы , стоимости и т . д .). Отметим следующий признак , позволяющий определить является ли рассматриваемое уравнение уравнением в полных дифференциалах . Путьс dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy, тогда функции M(x,y) и N(x,y) должны быть для U(x,y) частными производными первого порядка , соответственно , по переменным x и y, т . е . . Предполагая функции M(x,y) и N(x,y) непрерывными и имеющими непрерывные частные производные , соответственно , по y и x, т . е . выполнение соотношений , из тождества получаем , что для M(x,y) и N(x,y) должно выполняться условие . Полученное условие является не только необходимым , но и достаточным для того , чтобы уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 Было уравнением в полных дифференциалах . Нахождение общего решения уравнения в полных дифференциалах проводится в два этапа . На первом этапе функция U(x,y) рассматривается как функция только аргумента x, переменная y получает как бы фиксированное значение . Тогда соотношению ставится в соответствие дифференциальное уравнение . Пуст ь его общее решение представляется в виде . Но так как решение уравнения зависит от y, то в общем решении постоянная c является функцией y, т . е . c=h(y). Следовательно , общее решение предыдущего дифференциального уравнения , снимая с y условие закрепления его значения , имеет вид U(x,y)=g(x,y)+h(y). На втором этапе находится вид функции h(y). Для этого обратимся к соотношению , в котором уже закрепляется как бы значение переменной x. Используя данное соотношение и вид функции U(x,y), получаем дифференциальное уравнение , связывающее переменные h и y: или . Интегрируя это уравнение , находим его общее решение . Из , получаем окончательный вид функции U(x,y), а именно или . В последнем двойном интеграле вместо можно взять функцию (т . к . ). Тогда функция U(x,y) получает вид . Так как общее решение исхо дного дифференциального уравнения записывается в виде U(x,y)=c=const, то , заменяя две постоянных на одну , получаем следующий вид общего решения уравнения или . Пример 1 . Дано дифференциальное уравнение ( 6x 2 y 2 +6xy-1)dx+(4x 3 y+3x 2 y+2y)dy=0. В нем M(x,y)=6x 2 y 2 +6xy-1, N(x,y)=4x 3 y+3x 2 y+2y. Из и тождества , Следует , что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах . Проведем его решение в дв а этапа . На первом решаем уравнение или dU=(6x 2 y 2 +6xy-1)dx, в котором переменная y считается закрепленной . Интегрируя это уравнение , получаем U(x,y)=2x 3 y 2 +3x 2 y-x+h(y). На втором этапе определяем вид функции h(y), используя для этого соотношение и дифференциальное уравнение для h и y 4x 3 y+3x 2 +h / (y)=4x 3 y+3x 2 +2y или . Интегрируя последнее , получаем h=y 2 +c. Общий интеграл исходного уравнения тогда можно записать в виде 2 x 3 y 2 +3x 2 y-x+y 2 =c. Пример 2 . Найти решение уравнения 2 xsinydx+(3y 2 +x 2 cosy)dy=0. Пров еряем , является ли оно уравнением в полных дифференциалах ? Для этого из M(x,y)=2xsiny, N(x,y)=3y 2 +x 2 cosy Находим . Так как , очевидно , выполняется условие , то уравнение есть уравнение в полных дифференциалах . Сначала решаем уравнение или dU=2xsinydx, считая y постоянной . Интегрирование уравнения дает U(x,y)=x 2 siny+h(y). Затем находим функцию h(y), используя соотношения , с одной стороны , и , с другой стороны . Соотношения приводят к дифференциальному уравнению или . Интегрируя последнее уравнение , получаем h=y 3 +c. Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения записывается в виде X 2 siny+y 3 +c=0. Далее рассмотрим понятие интегрирующего множителя . Ранее отмечалось , что уравнение в полных дифференциалах возникает , когда поведение системы сохраняет некоторую величину U, т . е . удовлетворяет соотношению U(x,y)=c. Диффер енциальным аналогом его является уравнение dU(x,y)=0 или M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, Где . Предположим теперь , что частные производные функции U(x,y) представимы в виде . Тогда соотношению U(x,y)=e будет соответствовать уравнение в полных дифференциалах вида M(x,y)g(x,y)dx+N(x,y)g(x,y)dy=0. Если теперь данное уравнение разделить на общий множитель слагаемых g(x,y), то получим уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0. Решение последнего уравнения эквивалентно решению предыдущего , из которого оно получено , однако оно может уже не являться уравнением в полных дифференциалах , также для него возможно буд ет . В то же время после умножения его на множитель g(x,y), оно становится уравнением в полных дифференциалах . Определение . Функция g(x,y) называется интегрирующим множи телем дифференциального уравнения M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, Если после умножения его на эту функцию оно становится уравнением в полных дифференциалах . Данный способ решения дифференциального уравнения называется методом интегрирующего множителя . Найдем условие , которому должен подчиняться интегрирующий множитель g(x,y). Из предложения , что уравнение M(x,y)g(x,y)dx+N(x,y)g(x,y)dy=0 Становится уравнением в полных дифференциалах следует выполнение условия . Разверернув левую и правую части этого тождества , заключаем , что функция g(x,y) должна являться решением уравнения . В общем случае решение данного уравнения вызывает затруднения . Отметим два случая , когда его решение становится проще . Случай первый . Пусть . Тогда интегрирующий множитель можно искать в виде функции зависящей только от x. Действительно , пусть g=g(x). Тогда в виду ; получаем , что искомая функция g(x) является решением дифференциального уравнения или , интегрируя которое , находим , т . е . . Второй слуяай относится к аналогичной ситуации , когда . Тогда интегрирующий множитель ищется в виде функции толь ко от y, т . е . g=g(y). Аналогично предыдущему , не трудно видеть , что функция g(y) является решением уравнения и представляется в виде . Пример 3 . Дано уравнение ( y 2 -3xy-2x 2 )dx+(xy-x 2 )dy=0. Из M(x,y)=y 2 -3xy-2x 2 , N(x,y)=xy-x 2 , , следует , т . е . уравнение не является в полных дифференциалах . Однако из соотношения вытекает , что можно найти такой интегрирующий множитель g=g(x), после умножения на который исходное уравнен ие становится уравнением в полных дифференциалах . Указанный множитель находим из уравнения , интегрируя которое получаем , или g=xc. Так как в качестве множителя достаточно взять одну из функций , то положим c=1 и , тогда , g=x. Умножая исходное уравнение на множитель g=x, получаем ( xy 2 -3x 2 y-2x 3 )dx+(x 2 y-x 3 )dy=0, являющееся уже уравнением в полных дифференциалах . Интегрируя его , находим , , затем из U / y =x 2 y-x 3 +h / (x) и U / y =N(x,y)=x 2 y-x 3 получаем x 2 y-x 3 +h / =x 2 y-x 3 , т . е . и , следовательно , h=c=const. Таким образом , общее решение имеет вид . Пример 4 . Тр ебуется решить уравнение (2xy 2 -y)dx+(y 2 +x+y)dy=0. Из M(x,y)=2xy 2 -y, N(x,y)=y 2 +x+y, следует . Однако из соотношения , вытекает , что для исходного дифференциального уравнения существует интегрирующий множитель g=g(y), с помощью которого уравнение стан овится уравнением в полных дифференциалах . Интегрирующий множитель находится из уравнения . Интегрируя его , получаем . Умножая исходное уравнение на множитель , приходим к уравнению . Это уравнение является уже уравнением в полных дифференциалах . Решаем его , , затем из и , получаем или . Интегрируя последнее уравнение , имеем . Таким образом , общий интеграл исходного уравнения имеет вид . 7. Дифференциальные уравнения второго порядка . Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка имеет следующий общий вид F(x,y,y / ,y // )=0 или . Наше знакомство с дифференциальными уравнениями второго порядка будет ограничено рассмотрением линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами . Определение . Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y // +py / +qy=h(x), где p и q – числа , h(x) – некоторая функция от x. Если в этом уравнении , то оно называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка . Рассмотрим решение однородного уравнения . Этому явлению может быть поставлено в соответствие квадратное уравнение вида , Называемое хар актеристическим . Его корни , как известно , определяются формулами . Возможны следу ющие три случая для вида корней этого уравнения : 1) корни уравнения – действительные и различные ; 2) корни – действительные и равные ; 3) корни уравнения – комплексно-с опряженные . Для каждого из этих случаев однородное дифференциальное уравнение имеет свой вид общего интеграла . Случай 1 . Дискриминант характеристического уравнения положителен , т . е . p 2 -4q>0. Тогда оба корня действительные и различные . В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид , где c 1 , c 2 – произвольные постоянные . Де йствительно , если , то , . Подставляя выражения для y,y / и y // в уравнение получим . Случай 2 . Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю , т . е p 2 -4 q =0. Тогда оба корня действительные и равные , т . е . . В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид . Случай 3 . Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен , т . е . p 2 -4 q <0. Тогда говорят , что квадратное уравнение не имеет действительных корней (или что оба корня являются комплексно-сопряженными ) . В этом случае , обозначая , общее решение однородного уравнения дается в виде . Рассмотрим теперь решение неоднородного уравнения y // + py / + g ( y )\ h ( x ), где h ( x ) – некоторая функция от x . Пусть в этом уравнении q =0, тогда , используя подстановку y / = z , y // = z / , приходим к решению линейного дифф еренциального уравнения первого порядка z / + pz = h ( x ).
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
- Дорогой, смотри как птички пёрышки начистили, яркие такие, красивые!
- Да ладно, куплю я тебе платье на 8-е марта!
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Дифференциальные уравнения I и II порядка", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru