Дискретная математика

Дискретная математика

Введение

Общество 21в. – общество информационное. Центр тяжести в решении задач переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению средство формирования и организации…

Такое владение математикой богатой культуры, понимание важности точных формулировок.

В дисциплине мало методов, но много определений и терминов. В основе дискретной математике 4 раздела:

1. Язык дискретной математики;

2. Логические функции и автоматы;

3. Теория алгоритмов;

4. Графы и дискретные экстремальные задачи.

Теория алгоритмов и формальных систем является центральной в дисциплине. В настоящие время от нее возникли ответвления, например, разработка алгоритмических языков программирования.

Одной из важнейших проблем в дискретной математики является проблема сложности вычислений.

Теория сложности вычислений помогает оценить расход времени и памяти при решении задач на ЭВМ. Теория сложности позволяет выделить объективно сложные задачи (задачи перебора) и неразрешимые задачи.

Мы будем заниматься решением задач реальной размерности с учетом ограниченности временных и емкостных ресурсов ЭВМ.

Множества и операции над ними

Одно из основных понятий математики – множество.

Определение:

Множеством называется совокупность, набор предметов, объектов или элементов.

Множество обозначают: M,N …..

m₁, m₂, m_n – элементы множества.

Символика

A  M – принадлежность элемента к множеству;

А  М – непринадлежность элемента к множеству.

Примеры числовых множеств:

1,2,3,… множество натуральных чисел N;

…,-2,-1,0,1,2,… - множество целых чисел Z.

множество рациональных чисел а.

I – множество иррациональных чисел.

R – множество действительных чисел.

K – множество комплексных чисел.

Множество А называется подмножеством В, если всякий элемент А является элементом В.

А  В – А подмножество В (нестрогое включение)

Множества А и В равны, если их элементы совпадают.

A = B

Если А  В и А  В то А  В (строгое включение).

Множества бывают конечные и бесконечные.

|М| - мощность множества (число его элементов).

Конечное множество имеет конечное количество элементов.

Пустое множество не содержит элементов: M = .

Пример: пустое множество:

1) множество действительных корней уравнения x²+1=0 пустое: M = .

2) множество , сумма углов которого  180⁰ пустое: M = .

Если дано множество Е и множество и мы рассматриваем все его подмножества, то множество Е называется униварсельным.

Пример: Если за Е взять множество книг то его подмножества: художественные книги, книги по математике, физики, физики …

Если универсальное множество состоит из n элементов, то число подмножеств = 2ⁿ.

Если , состоящее из элементов E, не принадлежащих А, называется дополненным.

Множество можно задать:

1. Списком элементов {a,b,c,d,e};

2. Интервалом 1

3. Порождающей процедурой: x_k=k sinx=0;

Операции над множествами

1. Объединение множеств А и В (союз или). Множество, состоящие из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В называется объединенным.

А  В

Отношение множеств наглядно иллюстрируется с помощью диаграмм Венна.

Диаграмма Венна – это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы множества.

Объединение двух множеств

Объединение системы множеств можно записать

А

В

- объединение системы n множеств.

Пример: объединение множеств, когда они

заданы списком.

A = {a,b,d} B = {b,d,e,h} AUB = {a,b,c,d,e,h}

Объединение трех множеств:

AUB AUB

2) Пересечением множеств А и В называется множество, состоящие из элементов принадлежащих одновременно множествам А и В.

A

C

B

A

B

A B

А

А

С

В

В

Пересечение прямой и плоскости

1. если прямые || пл., то множество пересечений – единственная точка;

2. если прямые II пл., то M ;

3. если прямые совпадают, то множество пересечений = множество прямой.

Пересечение системы множеств:

1. Разностью 2-х множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов А, не входящих в В.

С = А \ В

A \ B

A \ B

А \ В

А

В

А

В

A

B

A = {a,b,d}; B = {b,c,d,h} C = A \ B={a}.

В отличии от предыдущих операций разность: 1) строго двухместна;

2) не коммутативна, т.е. A\B  B\A.

4) дополнение

E – универсальное множество.

-- дополнение

Операции объединения, пересечения и дополнения называются Булевыми.

Основные законы операций над множествами.

Некоторые свойства ,  похожи на алгебраические операции, однако многие свойства операций над множествами все же отличаются.

Основные свойства

1. AUB=BUA; AB=BA – переместительный закон объединения и пересечения.

2. (АUB)UC = AU(BUC); (AB)C=A(BC) – сочетательный закон.

3. АU=A, A=, A \ =A, A \ A=

1,2,3 – есть аналог в алгебре.

3.а)  \ A =  - нет аналога.

1. ; E \ A =; A \ E=; AUA=A; AA=A; AUE=E; AE=A;

5.а) свойства 1-4 очевидны и не нуждаются в доказательствах.

1. A(BUC)=(AB)(AC) – есть аналогичный распределительный закон  относительно U.

Прямые произведения и функции

Прямым декартовым “х” множеством А и В называется множество всех пар (a;b), таких, что аА, bB.

С=AхВ, если А=В то С=А².

Прямыми “х” n множеств A₁x,…,xA_n называется множество векторов (a₁,…a_n) таких, что a_1A₁,…, A_nA_n.

Через теорию множеств введем понятие функции.

Подмножество FM_x x M_y называется функцией, если для каждого элемента хM_x найдется yМ_у не более одного.

(x;y)F, y=F(x).

Соответствие между аргументом и функцией можно изобразить с помощью диаграммы Венна:

М_х

M_y

а) взаимнооднозначное соответствеие (отображение)

а) не взаимнооднозначное соответствеие (отображение)

Определение: Между множествами M_X и M_Y установлено взаимноодназночное соответствие, если каждому хM_X соответствует 1 элемент yM_Y и обратное справедливо.

Пример: 1) (х,у) в круге

x=2  y=2

y=2  x=2..4

не взаимнооднозначное соответствие.

2) x = sinx

2

2 3 4

y

X

R R

/2

-/2

Пусть даны две функции f: AB и g: BC, то функция y:AC называется композицией функций f и g.

Y=f o g o – композиция.

Способы задания функций:

1. таблицы, определены для конечных множеств;

2. формула;

3. графики;

Способы 1-3 частные случаи выч. процедуры.

Пример процедуры, не относящейся к 3 способам задания функций n!

Взаимнооднозначное соответствие и мощности множеств.

Определение: Множества равномощны |A|=|B| если между ними взаимнооднозначное соответствие.

Теорема: Если для конечного множества А мощность равна |A| то количество всех подмножеств 2^|A|=2ⁿ.

Множества равномощные N называются счетными, т.е. в них можно выполнить нумерацию элементов. N – множество натуральных чисел.

Множество N² – счетно.

Доказательство

Разобьем N² на классы

К 1-ому классу отнесем N₁ (1; 1)

1-ый элемент 1-го множества

1-ый элемент

2-го множества

Ко 2-му классу N₂ {(1;2), (2;1)}

К i-му классу N_i {(a;b)| (a+b=i+1}

Каждый класс будет содержать i пар.

Упорядоченный классы по возрастанию индекса i, а пары внутри класса упорядоченные по направлению первого элемента а.

Занумеруем последовательность классов, что и доказывает счетность множества N².

Аналогично доказывается счетность множеств N³,…,N^k.

Теорема Кантора:

Множество всех действительных чисел на отрезке [0;1] не является счетным.

Доказательство

Допустим это множество счетно изобразим его числа десятичными дробями.

}

1-я 0, a₁₁, a₁₂ ….

1

2-я 0, а₂₁, a₂₂ ….

………………….

Возьмем произвольное число 0,b₁,b₂,b₃

b₁  a₁₁, b₂  a₂₂, …

Эта дробь не может выйти в последовательность т.к. отличается от всех чисел, значит нельзя пронумеровать числа на отрезке [0;1].

Множество нечетно и называется континуальным, а его мощность континуум.

Метод, используемый при доказательстве, называется диагональным методом Кантора.

Отношение

Пусть дано RMⁿ – n местное отношение на множество М.

Будем изучать двухместные или бинарные отношения. Если а и b находятся в отношении R, то записывается а R b.

Проведем отношение на множество N:

А) отношение  выполняется для пар (7,9) (7,7_

Б) (9,7) не выполняется.

Пример отношения на множество R

А) отношение находится на одинаковом расстоянии от начала координат выполняется для пар (3; 4) и (2; 21)

Б) (3; 4) и (1; 6) не выполняется.

Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания множеств.

Для конечных множеств используют матричный способ задания множеств.

Матрица бинарного отношения на множество M={1;2;3;4}, тогда матрица отношения С равна

Отношение Е заданные единичной матрицей называется отношением равенства.

Отношением назовется обратным к отношением R, если a_jR_ai тогда и только тогда, когда a_jR_ai обозначают R^-1.

Свойства отношений

1. Если aRa ==> очн. рефлексивное и матрица содержит на главной диагонали единицу

если ни для какого а не … ==> отношение антирефлексивное

главная диагональ содержит нули

Пр. отношнний

 рефлексивное

< антирефлексивное

2. Если из aRb следует bRa, ==> отношение R симметричное. В матрице отношения элементы

сумм C_ij=C_ji. Если из aRb и bRa следует a=b ==> отношение R – антисимметричное.

Пр. Если а  b и b  a ==> a=b

1. Если дано  a,b,c из aRb и aRc следует aRC ==> отношение называемое транзитивным.

2. Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пр. отношение равенства E

5. Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно,

антисимметрично и транзитивно. Отношение называется отношением строгого порядка,

если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Пр. а) отношение  u  для чисел отношение нестрогого

б) отношение < u > для чисел отношение строгого

Элементы общей алгебры

Операции на множествах

Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций  = {₁,…, _m}, т.е. система А = {М₁;₁,…, _m} называется алгеброй.  - сигнатура.

Если M_1M и если значения ( M₁), т.е. замкнуто ==> A₁₌{М₁;₁,…, _m} подалгебра A.

Пр. 1. Алгебра (R;+;*) – называется полем действительных чисел обе операции бинарные и

поэтому тип этой алгебры (2;2)

1. B=(Б;;) – булева алгебра. тип операций (2;2;1)

Р. Свойства бинарных алгебраических операций

запись ab.

1. (ab)c=a(bc) – ассоциативная операция

Пр. +,x – сложение и умножения чисел ассоциативно

2. ab = ba – коммутативная операция

Пр. +,x – коммутат.

–; : – некоммут.

умножение мат AB  BA – некоммутативно.

3. a(bc) = (ab) (ac) –дистрибутивность слева

(ab)c) = (aс) (bc) –дистрибутивность справа.

Пр. (ab)^e=a^eb^e – возведение в степень дистрибутивного отношения произведения справа

но не a^bc  a^ba^c

Гомоморфизм и изоморфизм

Алгебры с разными членами имеют различные строения. Алгебры с одинаковыми членами имеют сходство. Пусть даны две алгебры A=(K; _I) и B=(M; _I) – одинакового типа.

Пусть отображение Г:KM при условии Г(_I)= _I(Г), (1) т.е. результат не зависит от последовательности возможных операций: Или сначала вып. операции _I b А и затем отображении Г, или сначала отображение Г, или сначала отображение Г и затем отображение _I в В.

Тогда условие (1) называется Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В.

Когда существует взаимооднозначный гомоморфизм его называют изоморфизмом. В этом случае существует обратное отображение Г^-1.

Мощности изоморфных алгебр равны.

Пр. Алгебры (Q_N; +) и (Q_2; +) – отображение типа и условие (1) запишется как 2(а+b)=2а+2b.

Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр, т.е вычисление рефлексивное, симметричности и транзитивности. Изоморфизм важнейшее понятие в математике. Полученные соотношения в алгебре А автоматически …. на изоморфные алгебры.