Реферат: Дедукция и индукция - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Дедукция и индукция

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 17 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Дедукция и индукция В основу всякого научного исследован ия , в том числе и математич еского , лежат дедуктивный и индуктивный метод ы . Дедукция (от латинского “ deductio” - выведение ) - переход от общего к частному , индукци я (от латинского “ inductio” - наведение ) - вид обобщений , связанных с предвос хищением результа тов наблюдений и экспери ментов на основе данных прошлых лет . В математике дедуктивный метод мы применяем , например , в рассуждениях такого типа : данная фигура - прямоугольник ; у каждого прямоугольника диагонали равны . Индуктивный подход обычно начинается с анализа и сравнения данных наблюдения или эксперимента . Многократно сть повторения какого-либо факта приводит к индуктивному обобщению . Индуктивный подход люди , часто сами того не замечая , применяют почти во всех сферах деятельности . Так , например , рассужд е ния , с помощью к оторых суд приходит к решению , можно сравн ить с индуктивными рассуждениями . Такие сравн ения уже предлагались и обсуждались авторитет ами по судебной практике . На основании нек оторых известных фактов выдвигается какое-либо предположение (гип о теза ). Если всё вновь выявленные факты не противоречат это му предположению и являются следствием его , то это предположение становится более прав доподобным . Конечно , для практики повседневного и научного мышления характерны обобщения н а основе исследования не всех случ аев , а только некоторых , поскольку число в сех случаев , как правило , практически необозри мо . Такие обобщения называются неполной индукцией. Если же общее утверждение удаётся доказать во всех возможных случаях , то та кая индукция называется п олной . Результат , полученный неполной индукцией , вообще говоря , не явл яется логически обоснованным , доказанным . Известно много случаев , когда утверждения , полученные неполной индукцией , были неверными В мате матике примером такого утверждения может служ ить следующее . Рассматривая числа вида 2^2^n+1, французский математик П . Ферма заметил , что при n=1,2,3,4 получаются простые числа . Он предп оложил , что все числа такого вида простые . Однако Л . Эйлер нашел , что уже при n=5 число 2^32+1 не является простым : он о делится на 641. Вместе с тем неполная индукция является мощным эвристическим метод ом открытия новых истин , которые подтверждают ся иногда спустя много лет . Тот же П . Ферма в 1630 г . сформулировал и другую теор ему : “Для любого натурального числа n>2 уравне н ие x^n+y^n=z^n не имеет решений целых ненулевых числах x,y,z” . Многие математики пыта лись доказать или опровергнуть это утверждени е , но только в 1993 году (спустя 360 лет !) амер иканский математик из Принстонского университета Andrew Wiles (андре Вайлье ) д о казал эту теорему. Интересно , что Л . Эйлеру принадлежит утверждение , которое до сих пор не дока зано : “Любое целое число вида 8n=3 является с уммой квадрата и удвоенного простого числа” . Сам Эйлер удовлетворился , что это утверж дение верно для всех целых чисел та кого вида до 200. После него такая эмпирическ ая работа была проведена для чисел до 1000. Доказывает ли это гипотезу Эйлера ? Никоим образом . Тем не менее каждое подтверждени е делает это предположение более правдоподобн ым. Метод математическо й инд укции. Неполная ин дукция , как мы видели , приводит часто к ошибочным результатам . Метод полной индукции имеет лишь ограниченное применение . Многие интересные математические утверждения охватывают бесконечное число частных случаев , а провести прове рку для бесконечного числа случ аев человек не может. Во многих случаях выход из такого рода затруднений заключается в обращении к особому методу рассуждений , называемому м етодом математической индукции . Доказательства эт им методом опираются на следующ ую акс иому. Принцип (аксиома ) математической индукции. Утверждение , з ависящее от натурального числа n , справедливо для любог о n , если выполнены два условия : а ) утверждение справедливо при n=1 ; б ) при любом натуральном значении k из спр аведливости утверждения для n=k вытекает его справедлив ость и для n=k+1 . Приведем примеры доказат ельств методом математической индукции. Пример 1. Доказат ь , что при любых n N справедливо Sn = 1+3+5+...+(2n-1)=n^2 Реше ние . а ) S1 = 1 = 1^2, следовательно , утверждение равно при n=1. б ) Пусть k - любое натур альное число и пусть утверждение справедливо для n=k, то есть Sk = 1+3+5+...+(2k-1)=k^2 Докажем , что тогда утверждение справедливо и для следую щего натурального чи сла n=k+1, то есть док ажем , что Sk+1=1+3+5+...+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)^2 В самом дел е , Sk+1 =Sk+)2k+1)=k^2+2k+1=(k+1)^2. Тем самым п о принципу математической индукции утверждение доказано для любого натурального значения n. Прогрессии. 1. Арифметическо й прогрессией называется числовая последовательность , кажды й член которой , начиная со второго , равен предыдущему , сложенному с одним и тем же числом . Это неизменное число называется разностью прогрессии . Члены арифметической прогрессии обозна чают через a1, a2, ..., an, ..., разность прогрессии - чере з d. Примеры. 1. Натуральный ряд чисел N= 1, 2, 3, 4, 5,.... есть арифметическая прогрессия с разностью d=1. 2. Последовательность чисел 10, 8, 6, 4, 2, 0, -2, -4, ... есть арифметическая прогрессия с разностью d=-2/ Для задания арифметической прогрессии достаточно задать её первый член a1 и её разность d. Любой член арифм етической прогрессии можно вычи слить по формуле an=a1+d(n-1) (1) Докажем эту формулу методом математическо й индукции. а ) При n=1 получим a1=a1+d(1-1)=a1. Следовательно формула верна. б ) Пусть k - любое натуральное число и пусть формула справедлива при n=k, то есть ak=a1+d(k-1). Докажем , что тогда формула верна и для следующего н атурального числа n=k+1, то есть докажем , что ak+1=a1+d(k). По определению арифметической прогрессии имеем ak+1=ak+d. Подставим в это равенство выражение для ak, которое , согла сно предполож ению индукции , считаем верны м . Получим ak+1=ak+d=a1+d(k-1)+d=a1+d(k). Значит , формула (1) верна для всех n. Задача 1. Курс воздушных ванн врачи рекомендуют начинать с 15 мин в 1-й день , а за тем увеличив ать время этой процедуры каждый следующий день на 10 мин . Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном ре жиме , чтобы достичь их максимальной продолжит ельности в 1 час 45 мин ? Решение . Продол жительность приёма воздушных ванн в каждый день представляет собой арифметическую прогрес сию с первым чл еном a1=15 мини разностью d=10мин . Спрашивается , в какой день продолжи тельность достигает 1 час 45 мин , то есть 105 ми н ? Воспользуемся формулой (1) общего члена арифм етической прогрессии : an=a1+d(n-1)=105. Отсюда получим 15+10(n-1)=105 или n=10 (дней ). Основное свой ство арифметической прогрессии. Последовательность a1, a2, a3, ..., an, ... является арифметической прогрессией тогда и только тогда , когда каждый её член , начиная со второго , равен среднему арифм етическому двух соседних с ним членов , то ес ть an-1+an+1 an= ------------------- , n 2 2 Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии : a1+an 2a1+(n-1)d Sn=-------- *n = --------------- *n. 2 2 2. Геометрической прогрессией называется последовательность не равных нулю чисел , каждый член которой , начиная со второго , равен предыдущему , ум ноженному на одно и то же число . Это постоянное число называется зна менателем прогрессии. Чле ны геометрической прогрессии обозначают через b1, b2, b3, ..., bn, ... , знаменатель прогрессии - через q. Примеры. 1. Числа 5, 10, 20 ,40, ... образуют г еометрическую прогрессию со знаменателем q=2 (возрас тающую ). 2 . Числа 1; 0,1; 0,01; 0,001; ... образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q=0,1 (убывающую ). 3. Числа 3, -6, 12, -24, ... образуют геометрическую прогр ессию со знаменателем q=-2 (отметим , что знаменате ль может быть любым числом , не равным 0). Для задания геометрической прогрессии достаточно задать её первый член b1 и её знаменатель q. Любой член ге ометрической прогрессии можно в ычислить по формуле bn=b1*q^(n-1) (3) Докажем эту формулу также мето дом математической индукции. а ) При n=1 получим b1=b1*q^0=b1. Следовательно , форм ула верна. б ) Пусть k - любое натуральное число и пусть формула справедлива при n=k, то есть bk= b1*q^(k-1). По определению геометрической прогрессии имеем bk+1=bk*q . Подст авим в это равенство выражение для bk, котор ое , согласно предположению индукции , считаем в ерным . Получим bk+1= b1*q^(k-1)*q= b1*qk. Значит формула (3) верна для всех n. Основное свой ство геометрической прогрессии. Последовательность не равных нулю чисел b1, b2, b3, ..., bn, ... является геометрической прогрессией тогда и только тогда , когда квадрат каждого её члена , нач иная со второго , равен произведению двух с оседних с ним членов , то есть bn^2=bn-1*bn+1, n 2. Формулы суммы n первых членов геометрич еской прогрессии : bn*q-b1 b1(q^n-1) Sn=------------ = ----------------, q 1; (4) q-1 q-1 Sn=b1*n, q=1. Задача 2. Согласно д ревней легенде индийский царь Шерам был в осхищен новой игрой - шахматами и предложил её изобретателю - мудрецу Сете любую награду . Сете попросил плату пшени цей исходя из следующего расчёта : за первую клетку доски заплатить 1 зерно , за вторую 2 зерна , за третью 4 зерна , и т.д . - за каждую следующую клетку дать в 2 раза больше зёре н , чем за предыдущую . Сколько зёрен потреб овал Сете за изобретение шахмат ? Решени е . Последовательность чисел , которая показывает , сколько зёрен должен был заплатить царь за каждую из 64 клеток шахматной доски , является геометрической прогрессией с первым членом b1=1 и знаменателем q=2. Чтобы найти количе ство зёрен , нам надо найти сумму S64=1+2+2^2+2^3+...+2^63. Воспользуемся формулой (4) и получим 2^64-2 S64=------------- =2^64-1. 2 - 1 Это очень большо е число . Если его посчитать , то получится 18446744073709551615 (восемнадцать квинтиллионов четыреста сорок шесть квадриллио нов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три миллиарда семьсот девять миллионов п ятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадц ат ь !) К сожалению , при вычислении такого числа нельзя воспользоваться ни микро калькулятором , ни персональным компьютером , так как это число содержит 20 цифр , а МК , например , даёт только восемь первых точных цифр , ПК - шестнадцать. 3. Бесконечно убывающей ге о метрической прогрессией на зывают геометрическую прогрессию , у которой м одуль знаменателя меньше единицы , то есть q<1. Сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по форму ле b1 S=-------, q<1 1-q Проценты. Процентом ( от лат . “ pro cento” - с сотни ) числа называется сотая часть этого числа . Три основные задачи на проценты таковы : Задача 1. Найти указанный процент данного числа. Для этого данное чис ло умножается на число процентов ; результат делится на 100, то есть a*p p% от числа a составляет -------. 100 Задача 2. Найти число по данной величине указан ного его процента. Для этого данная вел ичина делится на число процентов ; результат умножается на 100, то есть a*100 если p% от x равно b, то x=------------. p Задача 3. Найти выражение одного числа в процентах друго го. Для этого умножаем первое число на 100; результат делим на второе числ о , то есть b*100 a от b составляет -----------. b Указания . При решении задач на проценты необходимо твёрд о помнить , что : 1) при нахождении нескольких процентов от числа данное число принимается за 100%; 2) при нахождении числа по данным его процентам искомое число принимается за 100%; 3) при нахождении процентного отношения двух чисел за 100% принимается число , с которым сравнивается другое.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
О чём вообще можно говорить с человеком, который, открыв йогурт, крышку не облизывает?
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Дедукция и индукция", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru