Реферат: Двойное векторное произведение - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Двойное векторное произведение

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 40 kb, скачать бесплатно
Обойти Антиплагиат
Повысьте уникальность файла до 80-100% здесь.
Промокод referatbank - cкидка 20%!

Узнайте стоимость написания уникальной работы


Двойное векторное произведение

Трём векторам a, b и c можно поставить в соответствие вектор, равный a?(b?c). Этот вектор называют двойным векторным произведением векторов a, b и c. Двойное векторное произведение встречается в механике и физике.

Двойное векторное произведение выражается через линейную комбинацию двух или трёх своих сомножителей по формуле


a?(b?c) = b(ac) - c(ab).


Докажем это. Обозначим через x разность левой и правой частей этого равенства


x = a?(b?c) - b(ac) + c(ab).


Нам достаточно показать, что x = 0.

Предположим, что векторы b и c коллинеарны. Если они оба нулевые, то в выражении для вектора x все слагаемые равны нулевому вектору и поэтому равеноство

x = 0 выполнено. Если же один из коллинеарных векторов b, c ненулевой, например c, то для другого вектора при некотором ? є R выполнено равенство b=?c. Но тогда


x=a?(?c?c)-?c(ac)+c?(ac)=0.


Предположим теперь, что векторы b и c неколлинеарны. Тогда их векторное произведение не равно нулевому вектору и ортогонально ненулевому вектору b. Векторы








образуют правый ортонормированный базис в V3 (это и отражается в обозначениях). В этом базисе справедливы следующие разложения векторов:


b=|b|i , c = c1i+c2k , a = a1i + a2j + a3k ,


и поэтому


b?c = - |b|c2j , a?(b?c) = - |b|c2(a1k – a3i).


Кроме того,


ac = a1c1 – a3c2 , ab = a1|b|.


В результате находим, что и в случае неколлинеарных векторов b и c выполнено равенство

x= -|b|c2(a1k – a3i) – (a1c1 – a3c2)|b|i + a1|b|(c1i + c2k) = 0.



Произведение (a?b)?c ортогонально вектору a?b, то есть в случае, когда векторы a и b не коллинеарны, лежит в плоскости векторов a и b. Следовательно, оно разлагается по векторам a и b, то есть существуют такие два числа x и y, что

(a?b)?c=xa+yb.


Чтобы найти эти числа, мы воспользуемся леммой, согласно которой существуют положительно ориентированный ортонормированный базис е1, е2, е3 ,связанный с векторами a, b и с формулами

a=a1e1

b=b1e1+b2e2,

c=c1e1+c2e2+c3e3.


В этом базисе вектор a?b имеет координаты (0,0, a1b2) , и потому вектор (a?b)?c – координаты





Так как вектор xa+yb имеет координаты (xa1+yb1, yb2, 0), то, следовательно, формула (a?b)?c=xa+yb будет иметь место при

x = -b1c1b2c2 , y = a1c1.

Поскольку, с другой стороны, а1с1 = ас и b1c1+b2c2 = bc, этим доказано следующее предложение:

ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Для любых векторов a, b, c имеет место равенство (a?b)?c=(ac)b-(bc)a.

Из этой формулы непосредственно вытекает следующее тождество Якоби:

(a?b)?c+(c?a)?b+(b?c)?a=0.


Действительно, в силу коммутативности скалярного умножения

(ac)b-(bc)a+(cb)a-(ab)c+(ba)c-(ca)b=0.


С помощью формулы (a?b)?c=(ac)b-(bc)a легко вычисляется также скалярное произведение (a?b)(x?y) двух векторных произведений. Действительно пользуясь антикоммутативностью смешанного произведения, мы немедленно получим, что

(a?b)(x?y)=((xa)y-(ya)x)b=(xa)(yb)-(ya)(xb),

то есть





Определитель в правой части этой формулы называется взаимным определителем Грамма пар векторов a,b и x,y.

При a=x и b=y формула даёт формулу





которую можно переписать также в следующем изящном виде:

|a?b|2+|ab|2 = a2 b2.


Определитель в правой части предыдущей формулы называется определителем Грамма пары векторов a и b.

Поскольку |a?b| равно площади S параллелограмма, построенного на векторах a, b, формула

равносильна формуле






в которой векторные произведения явно не участвуют. Таким образом, мы видим, что определитель Грама пары векторов равен квадрату площади параллелограмма, построенного на этих векторах.


Вычислив скалярные произведения через координаты мы немедленно получим следующее тождество Лагранжа :

При а3=0 , b3 = 0 («случай плоскости») тождество Лагранжа равносильно тождеству

(a21+a22)(b21+b22) = (a1b1 + a2b2)2 + (a1b2 – a2b1)2,

Известному из теории комплексных чисел (тождество выражает тот факт, что произведение модулей комплексных чисел a1+ia2 и b1+ib2 равно модулю их произведения).

Аналогом вышеприведённых формулы и тождества существует и для трёх векторов a, b, c. В нём участвует определитель






называемый определителем Грамма тройки векторов a, b, c. В координатах относительно ортонормированного базиса e1, e2, e3 , в котором векторы a, b, c выражаются по формулам

a=a1e1

b=b1e1+b2e2,

c=c1e1+c2e2+c3e3 , этот определитель имеет вид





Автоматическое вычисление показывает, что он равен a21b22c23. С другой стороны, как мы уже знаем, a1b2c3= abc. Таким образом




, то есть




где V – объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c.


Аналог формулы имеет вид







где определитель справа называется взаимным определителем Грама троек a, b, c и x, y, z.





Министерство образования и науки Украины

Запорожский национальный университет

Кафедра алгебры и геометрии










Реферат

По теме: «Двойное векторное произведение»












Выполнила: Ильенко

Ульяна Игоревна,

студентка 1 курса,

математического факультета

Проверил: Зиновеев

Игорь Валерьевич







Запорожье

2006 год

1Авиация и космонавтика
2Архитектура и строительство
3Астрономия
 
4Безопасность жизнедеятельности
5Биология
 
6Военная кафедра, гражданская оборона
 
7География, экономическая география
8Геология и геодезия
9Государственное регулирование и налоги
 
10Естествознание
 
11Журналистика
 
12Законодательство и право
13Адвокатура
14Административное право
15Арбитражное процессуальное право
16Банковское право
17Государство и право
18Гражданское право и процесс
19Жилищное право
20Законодательство зарубежных стран
21Земельное право
22Конституционное право
23Конституционное право зарубежных стран
24Международное право
25Муниципальное право
26Налоговое право
27Римское право
28Семейное право
29Таможенное право
30Трудовое право
31Уголовное право и процесс
32Финансовое право
33Хозяйственное право
34Экологическое право
35Юриспруденция
36Иностранные языки
37Информатика, информационные технологии
38Базы данных
39Компьютерные сети
40Программирование
41Искусство и культура
42Краеведение
43Культурология
44Музыка
45История
46Биографии
47Историческая личность
 
48Литература
 
49Маркетинг и реклама
50Математика
51Медицина и здоровье
52Менеджмент
53Антикризисное управление
54Делопроизводство и документооборот
55Логистика
 
56Педагогика
57Политология
58Правоохранительные органы
59Криминалистика и криминология
60Прочее
61Психология
62Юридическая психология
 
63Радиоэлектроника
64Религия
 
65Сельское хозяйство и землепользование
66Социология
67Страхование
 
68Технологии
69Материаловедение
70Машиностроение
71Металлургия
72Транспорт
73Туризм
 
74Физика
75Физкультура и спорт
76Философия
 
77Химия
 
78Экология, охрана природы
79Экономика и финансы
80Анализ хозяйственной деятельности
81Банковское дело и кредитование
82Биржевое дело
83Бухгалтерский учет и аудит
84История экономических учений
85Международные отношения
86Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
87Финансы
88Ценные бумаги и фондовый рынок
89Экономика предприятия
90Экономико-математическое моделирование
91Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Янукович начал год лошади с того, что нёс бред сивой кобылы.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Двойное векторное произведение", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2017
Рейтинг@Mail.ru