Реферат: Движения. Преобразования фигур - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Движения. Преобразования фигур

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 16 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Движения. Преобразования фигур Движением в геометрии называется отображение, сохраняющее расстояние. Следует разъяснить, что подразумевается под словом "отображение". 1. Отображения, образы, композиции отображений. Отображением множества M в множество N называется соответствие каждому э лементу из M единственного элемента из N. Мы будем рассматривать только отображение фигур в пространстве. Никаки е другие отображения не рассматриваются, и потому слово "отображение" оз начает соответствие точкам точек. О точке X', соответствующей при данном отображении f точке X, говорят, что она является образом точки X, и пишут X' = f(X) . Множество точек X', соответствующих т очкам фигуры M, при отображении f называется образом фигуры M и обозначаетс я M' = f(M) . Если образом M является вся фигура N, т.е. f(M) = N, то говорят об отображении фигур ы M на фигуру N. Отображение называется взаимно однозначным, если при этом отображении образы каждых двух различных точек различны. Пусть у нас есть взаимно однозначное отображение f множества M на N. Тогда к аждая точка X' множества N является образом только одной (единственной) точ ки X множества M. Поэтому каждой точке X' (N можно поставить в соответствие ту единственную точку X (M, образом которой при отображении f является точка X'. Тем самым мы определим отображение множества N на множество M, оно называе тся обратным для отображения f и обозначается f. Если отображение f имеет о братное, то оно называется обратимым. Неподвижной точкой отображения (называется такая точка A, что ((A) = A. Из данных определений непосредственно следует, что если отображение f об ратимо, то обратное ему отображение f также обратимо и (f) = f. Поэтому отображ ения f и f называются также взаимно обратными. Пусть заданы два отображения: отображение f множества M в множество N и ото бражение g множества N в множество P. Если при отображении f точка X (N перешла в точку X' = f(X) (N, а затем X' при отображении g перешла в точку X'' (P, то тем самым в резу льтате X перешла в X''. В результате получается некоторое отображение h множества M в множество P. Отображение h называется композицией отображения f с последующим отобра жением g. Если данное отображение f обратимо, то, применяя его, а потом обратное ему отображение f, вернем, очевидно, все точки в исходное положение, т.е. получи м тождественное отображение, такое, которое каждой точке сопоставляет э ту же точку. 2. Определение движения. Движением (или перемещением) фигуры называется такое ее отображение, при котором каждым двум ее точкам A и B соответствуют такие точки A' и B', что |A'B'| = |AB|. Тождественное отображение является одним из частных случаев движения. Фигура F' называется равной фигуре F, если она может быть получена из F движе нием. 3. Общие свойства движения. Свойство 1 (сохранение прямолинейности) . При движении три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, лежащие н а прямой, причем точка, лежащая между двумя другими, переходит в точку, леж ащую между образами двух других точек (сохраняется порядок их взаимного расположения) . Доказательство. Из планиметрии известно, что три точки A, B, C лежат на прямой тогда и только тогда, когда одна из них, например точка B, лежит между двумя другими - точками A и C, т.е. когда выполняется равенство |AB| + |BC| = |AC|. При движении расстояния сохраняются, а значит, соответствующее равенст во выполняется и для точек A', B', C': |A'B'| + |B'C'| = |A'C'|. Таким образом, точки A', B', C' лежат на одной прямой, и именно точка B' лежит между A' и C'. Из данного свойства следуют также еще несколько свойств: Свойство 2. Образом отрезка при движении является отрезок. Свойство 3. Образом прямой при движении является прямая, а образом луча - л уч. Свойство 4. При движении образом треугольника является равный ему треуго льник, образом плоскости - плоскость, причем параллельные плоскости отоб ражаются на параллельные плоскости, образом полуплоскости - полуплоско сть. Свойство 5. При движении образом тетраэдра является тетраэдр, образом пр остранства - все пространство, образом полупространства - полупространс тво. Свойство 6. При движении углы сохраняются, т.е. всякий угол отображается на угол того же вида и той же величины. Аналогичное верно и для двугранных уг лов. Сначала я рассмотрю все основные виды движений, а затем сведу их в единую систему. 4. Параллельный перенос. Определение. Параллельным переносом, или, короче, переносом фигуры, назы вается такое ее отображение, при котором все ее точки смещаются в одном и том же направлении на равные расстояния, т.е. при переносе каждым двум точ кам X и Y фигуры сопоставляются такие точки X' и Y', что XX' = YY'. Основное свойство переноса: Параллельный перенос сохраняет расстояния и направления, т.е. X'Y' = XY. Отсюда выходит, что параллельный перенос есть движение, сохраняющее нап равление и наоборот, движение, сохраняющее направление, есть параллельн ый перенос. Из этих утверждений также вытекает, что композиция параллельных перено сов есть параллельный перенос. Параллельный перенос фигуры задается указанием одной пары соответству ющих точек. Например, если указано, в какую точку A' переходит данная точка A, то этот перенос задан вектором AA', и это означает, что все точки смещаются на один и тот же вектор, т.е. XX' = AA' для всех точек Х. 5. Центральная симметрия. Определение 1. Точки A и A' называются симметричными относительно точки О, если точки A, A', O л ежат на одной прямой и OX = OX'. Точка О считается симметричной сама себе (относ ительно О) . Две фигуры называются симметричными относительно точки О, если для кажд ой точки одной фигуры есть симметричная ей относительно точки О точка в другой фигуре и обратно. Как частный случай, фигура может быть симметрична сама себе относительн о некоей точки О. Тогда эта точка О называется центром симметрии фигуры, а фигура центрально-симметричной. Определение 2. Центральной симметрией фигуры относительно О называется такое отобра жение этой фигуры, которое сопоставляет каждой ее точке точку, симметрич ную относительно О. Основное свойство: Центральная симметрия сохраняет расстояние, а напра вление изменяет на противоположное. Иначе говоря, любым двум точкам X и Y ф игуры F соответствуют такие точки X' и Y', что X'Y' = -XY. Доказательство. Пусть при центральной симметрии с центром в точке О точк и X и Y отобразились на X' и Y'. Тогда, как ясно из определения центральной симме трии, OX' = -OX, OY' = -OY. Вместе с тем XY = OY - OX, X'Y' = OY' - OX'. Поэтому имеем: X'Y' = -OY + OX = -XY. Отсюда выходит, что центральная симметрия является движением, изменяющ им направление на противоположное и наоборот, движение, изменяющее напр авление на противоположное, есть центральная симметрия. Центральная симметрия фигуры задается указанием одной пары существующ их точек: если точка А отображается на А', то центр симметрии это середина отрезка AA'. 6. Зеркальная симметрия (отражение в плоскости) . Определение 1. Точки A и A' называются симметричными относительно плоскости (, если отрез ок AA' перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам. Любая точка пло скости (считается симметричной самой себе относительно этой плоскости. Две фигуры F и F' называются симметричными относительно данной плоскости, если они состоят из точек, попарно симметричных относительно этой плоск ости, т.е. если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей точка в другой фигуре. Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигур у в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости (, а пл оскость (плоскостью симметрии. Определение 2. Отображение фигуры, при котором каждой ее точке соответствует точка, си мметричная ей относительно данной плоскости, называется отражением фи гуры в этой плоскости (или зеркальной симметрией) . Теорема 1. Отражение в плоскости сохраняет расстояния и, стало быть, являе тся движением. См. Доказательство 1. Теорема 2. Движение, при котором все точки некоторой плоскости неподвижн ы, является отражением в этой плоскости или тождественным отображением. Зеркальная симметрия задается указанием одной пары соответствующих то чек, не лежащих в плоскости симметрии: плоскость симметрии проходит чере з середину отрезка, соединяющего эти точки, перпендикулярно к нему. 7. Поворот вокруг прямой. Для более четкого представления о повороте вокруг прямой следует вспом нить поворот на плоскости около данной точки. Поворотом на плоскости око ло данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исход ящий из данной точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении. Перейдем теперь к повороту в пространстве. Определение. Поворотом фигуры вокруг прямой a на угол (называется такое о тображение, при котором в каждой плоскости, перпендикулярной прямой a, пр оисходит поворот вокруг точки ее пересечения с прямой a на один и тот же уг ол (в одном и том же направлении. Прямая a называется осью поворота, а угол (- углом поворота. Отсюда видим, что поворот всегда задается осью, углом и направлением пов орота. Теорема 1. Поворот вокруг прямой сохраняет расстояния, т.е. является движе нием. См. Доказательство 2. Теорема 2. Если движение пространства имеет множеством своих неподвижны х точек прямую, то оно является поворотом вокруг этой прямой. 7.1. Фигуры вращения. Фигура называется фигурой вращения, если существует такая прямая, любой поворот вокруг которой совмещает фигуру саму с собой, другими словами, о тображает ее саму на себя. Такая прямая называется осью вращения фигуры. Простейшие тела вращения: шар, прямой круговой цилиндр, прямой круговой конус. 7.2. Осевая симметрия. Частным случаем поворота вокруг прямой является поворот на 180(. При поворо те вокруг прямой a на 180(каждая точка A переходит в такую точку A', что прямая a п ерпендикулярна отрезку AA' и пересекает его в середине. Про такие точки A и A' говорят, что они симметричны относительно оси a. Поэтому поворот на 180(вокр уг прямой является называется осевой симметрией в пространстве. 8.1. Неподвижные точки движений пространства. Важной характеристикой движения пространства является множество его н еподвижных точек. Здесь могут представиться лишь следующие пять случае в: У движения неподвижных точек нет (нетождественный параллельный перен ос) . Движение имеет лишь одну неподвижную точку (центральная симметрия) . Множество неподвижных точек движения пространства является прямой (по ворот вокруг прямой) . Множество неподвижных точек движения пространства является плоскость ю (зеркальная симметрия) . Множество неподвижных точек движения пространства является всем прост ранством (тождественное движение) . Данная классификация очень удобна, так как представляет все виды движен ия как единую систему. 8.2. Основные теоремы о задании движений пространства. Теорема 1. Пусть в пространстве даны два равных треугольника ABC и A'B'C'. Тогда с уществуют два и только два таких движения пространства, которые перевод ят A в A', B в B', C в C'. Каждое из этих движений получается из другого с помощью комп озиции его с отражением в плоскости A'B'C'. Теорема 2. Пусть в пространстве заданы два равных тетраэдра ABCD и A'B'C'D'. Тогда с уществует единственное движение пространства (такое, что ((A) = A', ((B) = B', ((C) = C', ((D) = D'. 9. Два рода движений. Следует также знать, что все движения подразделяются на два рода в завис имости от того, непрерывны они или нет. Для лучшего понимания сущности эт ого разделения введу понятие базиса и его ориентации. 9.1. Базисы и их ориентация. Базисом в пространстве называется любая тройка векторов, непараллельн ых одновременно никакой плоскости. Тройка базисных векторов называется правой (левой) , если эти векторы, отл оженные от одной точки, располагаются так, как расположены соответствен но большой, указательный и средний пальцы правой (левой) руки. Если имеются две правые (левые) тройки векторов, говорят, что эти тройки ор иентированы одинаково. Если одна тройка является правой, а вторая - левой, то они ориентированы противоположно. 9.2. Два рода движения. Движения первого рода - такие движения, которые сохраняют ориентацию баз исов некоей фигуры. Они могут быть реализованы непрерывными движениями. Движения второго рода - такие движения, которые изменяют ориентацию бази сов на противоположную. Они не могут быть реализованы непрерывными движ ениями. Примерами движений первого рода являются перенос и поворот вокруг прям ой, а движениями второго рода - центральная и зеркальная симметрии. Композицией любого числа движений первого рода является движение перв ого рода. Композиция четного числа движений второго рода есть движение 1 рода, а ко мпозиция нечетного числа движений 2 рода - движение 2 рода. 10. Некоторые распространенные композиции. Рассмотрим теперь некоторые комбинации движений, используемые достато чно часто, но не уделяя им особого внимания. 10.1. Композиции отражений в плоскости. Теорема 1. Движение пространства первого рода представимо в виде компози ции двух или четырех отражений в плоскости. Движение пространства второго вида есть либо отражение в плоскости, либ о представимо в виде композиции трех отражений в плоскости. Отсюда мы можем объяснить уже известные нам движения так: Композиция отр ажения в 2 параллельных плоскостях есть параллельный перенос. Композиция отражения в 2 пересекающихся плоскостях есть поворот вокруг прямой пересечения этих плоскостей. Центральная симметрия относительно данной точки является композицией 3 отражений относительно любых 3 взаимно перпендикулярных плоскостей, п ересекающихся в этой точке. 10.2. Винтовые движения. Определение. Винтовым движением называется композиция поворота и пере носа на вектор, параллельный оси поворота. Представление о таком движени и дает ввинчивающийся или вывинчивающийся винт. Теорема 2. Любое движение пространства первого рода - винтовое движение (в частности поворот вокруг прямой или перенос) . 10.3. Зеркальный поворот. Определение. Зеркальным поворотом вокруг оси a на угол (называется компо зиция поворота вокруг оси a на угол (и отражения в плоскости, перпендикуля рной оси поворота. Теорема 3. Любое движение пространства второго рода, имеющее неподвижную точку, является зеркальным поворотом, который, в частности, может быть це нтральной или зеркальной симметрией. 10.4. Скользящие отражения. Определение. Скользящим отражением называется композиция отражения в некоей плоскости и переноса на вектор, параллельный этой плоскости. Теорема 4. Движение пространства второго рода, не имеющее неподвижных то чек, есть скользящее отражение. Теорема Шаля. Движение плоскости первого рода является либо поворотом, л ибо параллельным переносом. Движение плоскости второго рода является скользящим отражением. При создании реферата были использованы следующие книги: 1. "Геометрия для 9-10 классов". А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. 2. "Геометрия". Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. 3. "Математика". В. А. Гусев, А. Г. Мордкович.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Надежда Бабкина, Алла Пугачева, Алёна Свиридова... В отличие от Анджелины Джоли российские звёзды не усыновляют детей, а выходят за них замуж.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Движения. Преобразования фигур", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru