Реферат: Группы преобразований - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Группы преобразований

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 74 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Группы преобразований 1.Перемещения Пусть X - множество всех точек прямой , плоскости или трехмерного пространства . Обозначим через d ( P , Q ) расстояние между точками P и Q множества X . Отображение f : X X f ( P ) = называется перемещением , есл и для всех P и Q d ( P , Q ) = d ( , ). Примеры. 1. Пусть в выбрана правая декарт ова прямоугольная система координат ( x , y ) с началом О . Поворот плоскости на угол вокруг точки О задается формулами = R . Здесь = , R = . Очевидно , поворот является перемещением плоскости. Отметим , что (О ) =О , то есть точка О остается неподвижной при повороте . Аналогично , в можно рассмотреть поворот на угол вокруг оси , заданной единичным вектором и точкой О . Легко проверить , что это перемещение задается формулой : = R cos + ( R ) sin + (1- cos ) ( R ) . Все точки оси поворота являются неподвижными. 2. Перемещением будет и параллельный перенос на вектор v , Очевидно , = R + v . Неподвижных точек перенос не имеет. 3. Пусть l некоторая прямая в . (Зеркальное ) отражение относительно этой прямой является перемещением . Если в декартовой прямоугольной системе координат уравнение прямой имеет вид y = tg ( /2) x , то отражение задается формуло й : = R . Аналогично , если некоторая плоскость в , то отражение относительно этой плоскости будет перемещением . Если n единичный вектор нормали к плоскости , проходящей через начало координат , то = R - 2( R n ) n . Переносы и отражения (примеры 2 и 3) можно рассматривать и в . 4. Композиция U V (последовательное выполнение ) двух перемещений U и V снова будет перемещением : ( U V )( P ) = U ( V ( P )) . Например , = = - тождественное перемещение. 2. Связь с линейными операторами. Теорема 1 Пусть f : X X - перемещение , A , B , C , D - точки X , f ( A ) = и т.д . Если AB = CD ( как свободные векторы ), то = . Доказательство. Достаточно проверить , что в условиях теоремы четырехугольник является параллелограммом . Пусть О точка пересечения диагоналей AD и BC . Принадлежность точки О отрезку А D равносильно равенству : d ( A , O ) + d ( O , D ) = d ( A , D ) . Поскольку для образов этих точек имеет место аналогичное равенство d ( , ) + d ( , ) = d ( , ) , мы видим , что лежит на отрезке и делит его пополам , пос кольку d ( , ) = d ( A , O ) = 1/2 d ( A , D ) = 1/2 d ( , ) . Аналогично , лежит на и делит его пополам . Следовательно , - параллелограмм . Из теоремы 1 следует , что если - пространство свободных векторов , то для всякого перемещения f : X X определено отображение : f *: V V . Отметим , что если О - некоторая фиксированная точка X , то для любой точки P точка f ( P ) получается из переносом на вектор f *( OP ) . Отсюда в ытекает , что перемещение f однозначно определяется отображением f * и точкой . Теорема 2. Отображение f * является линейным оператором в V и сохраняет скалярное произведение. Доказательство. Свойство f *( u + v ) = f *( u ) + f *( v ) следует из определения сложения векторов : если u = AB , v = BC , то u + v = AC . Так как при перемещении любой треугольник ABC переходит в равный треугольник , то сохраняются не только длины , но и углы между векторами , а значит и скалярное произвед ение . Наконец , использую сохранение скалярного произведения , имеем : = - 2 + = - 2 + = 0 . Следовательно , f *( v ) = f *( v ) , то есть отображение f * линейно. Следствие Отображение евклидова пространства V , обладающее свойством является линейным оператором и сохраняет скалярное произведение . Как известно , оператор в конечномерном пространстве определяется своей матрицей . Матрица A оператора , сохраняющего скалярное произведен ие , называется ортогональной и имеет следующие свойства : 1. Матрица А невырождена , более того det ( A ) = 1 . Операторы с определителем 1 сохраняют ориентацию пространства , а с определителем (-1) меняют ее на противоположную. 2. Все собственные значения A - комплексные числа по модулю равные 1. Кроме того , известны простейшие формы ортогональных матриц в ортонормированном правом базисе . Эти простейшие формы указаны в сл едующей таблице : dimV det(A) = 1 Название det(A) = -1 Название 1 = (1) Тождест - венный оператор = (-1) Отраже-ние 2 = Поворот на угол = Отраже-ние 3 = Поворот на угол вокруг OZ = Зеркаль-ный пово-рот Замечание 1. Учитывая связь между перемещением f и оператором f * , можно утверждать , что в подходящей декартов ой системе координат имеет место формула : = А R + v , где А - одна из матриц из таблицы , а v - некоторый вектор. Следовательно , всякое перемещение f имеет обратное , которое задается формулой R = ( - v ) = - v . Поскольку матрица - ортогональна , обратное отображение также является перемещением. Отметим еще , что для всякой ортогональной матрицы P и любого вектора w преобразование = PR + w является перемеще нием. Замечание 2. Имеется существенное различие между математическим понятием перемещения и физическим понятием движения . Во втором случае имеется в виду непрерывное во времени изменение положения точки , в то время как в первом фиксируются только ее начал ьное и конечное положения . Перемещения с det ( A ) = 1 можно представлять себе и как движения , в то время как при det ( A )= -1 такое представление невозможно , если оставаться в пределах исходного пространства X . 3. Классификация перемещений. Напомн им , что нам уже известны некоторые перемещения . Перемещениями прямой являются тождественное преобразование I , перенос на вектор v и отражение относительно точки О . Для случая плоскости перемещениями будут уже упомянутые I и , а также поворот вокруг точки О на угол и отражение относительно прямой l . Определим дополнитель но скользящее отражение как комбинацию отражения относительно прямой l с переносом на вектор v l . Наконец, для пространства мы имеем перемещения I и , а , кроме того поворот вокруг оси , заданной точкой О и единичным направляющим вектором на угол и отражение относительно плоскости . Определим дополнительно зеркальный поворот как комбинацию отражения относительно плоскости , заданной точкой О и вектором нормали n с поворотом и скользящее отражение - композицию отражения . относительно плоскости и переноса на вектор v . Наконец , определим винтовое перемещение как комбинацию поворота и параллельного переноса на вектор h . Отметим , что некоторые из указанных выше перемещений являются частными случаями других . Например , то ждественное перемещение можно рассматривать как перенос на нулевой вектор (или как поворот на нулевой угол ), отражение является частным случаем скользящего отражения при v = 0 и т . д . Теорема 3 . Каждое перемещение f в ( n = 1, 2, 3 ) суть одно из следующих : 1. n = 1 , 2. n = 2 , , 3. n = 3 , , . Доказательство. Как уже отмечалось , можно выбрать такой ортонормированный базис , что перемещение f имеет вид = А R + v , где v - некоторый вектор . Если изменить начало координат : R = r + u , = + u , получаем : = Ar + , где = A u - u + v = ( A - E ) u + v . Мы видим , что если число 1 не является собственным значением матрицы А (или , если угодно , оператора f *) , то можно выбрать u так , что в новой системе координат = 0 . (Поскольку матрица A - E невырождена ). Тем самым утверждение теоремы доказано при n =1 и при n =2 в случае det ( A ) = 1 ( так как собственные значения суть exp ( i ) 1 при n ) . В случае матрицы можно добиться , чтобы = , что приводит к скользящему отражению . Для матрицы при n получаем = , и мы приходим к винтовому перемещению . (При = n мы приходим к переносу ). Наконец , для при n можно считать = 0 , что приводит к зеркальному повороту , а при = n - = и получается скользящее отр ажение . Замечание . ( о параметрах перемещений ) Параметр для поворота плоскости будем считать изменяющимся mod т . е . = . Такое же соглашение будем использовать и для винтового перемещения при h > 0 . Если же h = 0 , и речь идет о повороте в пространстве , надо учитывать , что = . В частности , = (отражение относительно прямой параллел ьной и проходящей через О ) . Аналогично , = . Если при этом это преобразование не зависит от вектора n и является отражением относительно точки О. 4 * Композиции 1 . Теорема 4 Если f и g два перемещения X , а f*, g* - соответствующие операторы в V, то ( f g)* = f*g* (Символом обозначена композиция перемещений ). Доказательство. Используем координатную форму записи : f( R) = AR + v , g( R) = BR + w . Тогда : (f g)( R) = f( (g( R)) = f( BR + w ) = A( BR + w ) + v = ( AB)R + ( A w + v ) . Следовательно , (f g ) * = AB = f*g* . Следствие. Композиция двух перемещений с определителями одного знака имеет определитель (+ 1 ); если знаки определителей противоположны , композиция имеет определитель (-1). Вычисление композиции перемещений пространства не вызывает затруднений . Отметим толь ко , что = ,где v =2 AB . Для случая пространства удобно использовать комплексные числа . Отождествляя их с точками плоскости , получаем удобный способ записи перемещений . Например , поворот можно записать в виде : z z + c . Точка О является неподвижной и соответствующее комплексное число находится из уравнения = + с , откуда = с /( 1- ). Таким образом , Отметим , что = при (mod ) . В то же время при = 0 указанная композиция будет переносом на вектор AD , где D = . Преобразование z + c является скользящим отражением относительно прямой Im ( = 0 на вектор 0,5 ( с + ). Если прямая l проходит через точку и ее направляющий вектор (рассматриваемый как комплексное число ) имеет аргуме нт , то перемещение можно записать в виде Композиция двух скользящих отражений относительно пересекающихся прямых будет поворотом . В то же время , если прямые параллельны , композиция - перенос .
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Купила новый купальник. Поехала в Египет. Хотела как следует оттянуться.
В первый же день, не поверишь:
- Лежала в самое пекло на пляже - обгорела спина, задница, ноги, живот, грудь.
- Играла в волейбол, упала - сбила коленки и локти.
- Прошлась без тапочек по горячему песку - сожгла ступни.
В результате - лёжа не могу, раком не могу, стоя не могу! Пропал отпуск!
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Группы преобразований", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru