Реферат: Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 131 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

XII Графическое решение уравнений , неравенств , систем с параметром (ал гебра и начала анализа ) Оглавление I. Введение II. Уравнения с параметрами. 1. Определения. 2. Алгоритм решения. 3. Примеры. III. Нерав енства с параметрами. 1. Определения. 2. Алгоритм решения. 3. Примеры. IV. Список литературы. Введение Изучение многих физических проце ссов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами . Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения , неравенства и их системы , которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к р е шению . В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях. Готовя данную работу , я ставил цель более глубокого изучения этой темы , выявления наиболее рациональног о решения , быстро приводящего к ответу . На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами. В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений , неравенств и их систем , и , я надеюсь , что знания , полученные мной в процессе работы , помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ. 1. Основные определения Рассмотрим уравнение (a, b, c, … , , x)= (a, b, c, … , , x), (1) где a, b, c, … , , x -переменные величины. Любая система значений переме нных а = а 0 , b = b 0 , c = c 0 , … , k = k 0 , x = x 0 , при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения , называется системой допустимых значений переменных a, b, c, … , , x. Пусть А – мно жество всех допустимых значений а , B – множество всех допустимых значений b, и т.д ., Х – множество всех допустимых значений х , т.е . а А , b B, … , x X. Если у каждого и з множеств A, B, C, … , K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, … , и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е . уравнение с одним неизвестным. Переменные a, b, c, … , , которые при решении уравнения считаются постоянными , называются параметрами , а само уравнение называется уравнением , содержащим параметры. Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита : a, b, c, d, … , , l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z. Решить уравнение с параметрами – значит указать , при каких значениях параметров существуют решения и каковы они. Два уравнения , содержащие одни и те же параметры , н азываются равносильными , если : а ) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров ; б ) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот. 2. Алгоритм решения. Находим область определен ия уравнения. Выражаем a как функцию от х. В системе координат хОа строим график функции а = (х ) для тех значений х , которые входят в область определения данного уравнения. Находим точки пересечения прямой а =с , где с (- ;+ ) с графиком функции а = (х ).Если прямая а =с пересекает график а = (х ), то определяем абсциссы точек пересечения . Для этого достаточно решить уравнение а = (х ) относительно х. Записываем ответ. 3. Примеры I. Решить уравнение (1) Решение. Поскольку х =0 не является корнем уравнения , то можно разрешить уравнение относительно а : или График функции – две “склеенных” гиперболы . Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у =а. Если а (- ;-1] (1;+ ) , то прямая у =а пересекает график ура внения (1) в одной точке . Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х. Таким образом , на этом промежутке уравнение (1) имеет решение . Если а , то прямая у =а пересекает график уравнения (1) в двух точках . Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и , получаем и . Если а , то прямая у =а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет. Ответ : Если а (- ;-1] (1;+ ) , то ; Если а , то , ; Если а , то решений нет. II. Найти все значения параметра а , при которых уравнение имеет три различных корня. Решение. Переписав уравнение в виде и рассмотрев пару функций , можно заметить , что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции . В системе координат хОу построим график фун кции ). Для этого можно представить её в виде и , рассмотрев четыре возникающих с лучая , запишем эту функцию в виде Поскольку график функции – это прямая , имеющая угол наклона к оси Ох , равный , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а ), зак лючаем , что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае , когда эта прямая касается графика функции . Поэтому находим производную Ответ : . III. Найти все значения параметра а , при каждом из которых система уравнений имеет решения. Решение. Из первого уравнения системы получим при Следовательно , это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы “скользят ” вершинами по оси абсцисс. Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители Множеством точек плоскости , удовлетворяющих второму уравнению , являются две прямые и Выясним , при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых. Ес ли вершины полупарабол находятс я правее точки А , но левее точки В (точка В соответствует вершине той “полупараболы” , которая касается прямой ), то рассматриваемые графики не имеют общих точек . Если в ершина “полупараболы” совпадает с точкой А , то . Случай касания “полупараболы” с прямой определим из условия существования единственного решения системы В этом случае уравнение имеет один корень , откуда находим : Следовательно , исходная система не имеет решений при , а при или им еет хотя бы одно решение. Ответ : а (- ;-3] ( ;+ ). IV. Решить уравнение Решение . Использовав равенство , заданное уравнение перепишем в виде Это уравнение равносильно системе Уравнение перепишем в виде . (*) Последнее уравнение проще всего решить , используя геометрические соображения . Построим графики функций и Из графика следует , что при графики не пересекаются и , с ледовательно , уравнение не имеет решений. Если , то при графики функций совпадают и , следовательно , все значения являются решениями уравнения (*). При графики п ересекаются в одной точке , абсцисса которой . Таким образом , при уравнение (*) и меет единственное решение - . Исследуем теперь , при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям Пусть , тогда . Система примет вид Её решением будет промежуток х (1;5). Учитывая , что , можно заключить , что при исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3; 5). Рассмотрим случай , когда . Система нер авенств примет вид Решив эту систему , найдем а (-1;7). Но , поэтому при а (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение . Ответ : если а (- ;3), то решений нет ; если а =3, то х [3;5); если a (3;7), то ; если a [7; ), то решений нет. V. Решить уравнение , где а - параметр . (5) Решение. 1. При любом а : 2. Если , то ; если , то . 3. Строим график функции , выделяем ту его часть , которая соответствует . Затем отметим ту часть графика функции , которая соответствует . 4. По графику определяем , при каких значениях а уравнение (5) имеет решение и при каких – не имеет решения. Ответ : если , то если , то ; если , то решений нет ; если , то , . VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров и , при которых системы (1) и (2) имеют одинаковое число решений ? Реш ение . С учетом того , что имеет смысл только при , получаем после преобразовани й систему (3) равносильную системе (1). Система (2) равносильна системе (4) Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых , второе уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А (1;1) и радиусом Поскольку , а , то , и , следовательно , система (4) имеет не менее четырех решений . При окружность касается прямой и система (4) имеет пять решений. Таким образом , если , то система (4) имеет четыре решения , если , то таких решений будет больше , чем четыре. Если же иметь в виду не радиусы окружностей , а сам параметр а , то система (4) имеет четыре решения в случае , когда , и больше четырех решений , если . Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол , расположенных в первом и втором квадрантах . Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство прямых . При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два , три , или четыре решения . Число же решений зависит от того , будет ли прямая , заданная уравнением , иметь общие точки с гиперболой при (прямая всегда имеет одну точку пересечения с графиком функции ). Для решения этого рассмотрим уравне ние , которое удобнее переписать в виде Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего уравнения : * если , т.е . если , то система (3) имеет два решения ; * если , то система (3) имеет три решения ; * если , то система (3) имеет четыре решения. Таким образом , одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это четыре . И это имеет место , когда . Ответ : II. Неравенства с параметрами. 1 . Основные определения Неравенство (a, b, c, … , , x)> (a, b, c, … , , x), (1) где a, b, c, … , – параметры , а x – действительная переменная величина , называется неравенством с одним неизвестным , содержащим параметры. Любая система значений параметров а = а 0 , b = b 0 , c = c 0 , … , k = k 0 , при некоторой функции (a, b, c, … , , x) и (a, b, c, … , , x имеют смысл в области действительных чисел , называется системой допустимых значений параметров. называется допустимым значением х , если (a, b, c, … , , x) и (a, b, c, … , , x принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров. Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1). Действительн ое число х 0 называется частным решением неравенства (1), если неравенство (a, b, c, … , , x 0 )> (a, b, c, … , , x 0 ) верно при любой системе допустимых значений параметров. Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства. Решить неравенство (1) – значит указать , при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно. Два неравенства (a, b, c, … , , x)> (a, b, c, … , , x) и (1) (a, b, c, … , , x)> (a, b, c, … , , x) (2) называются равносильными , если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допу стимых значений параметров. 2. Алгоритм решения. 1. Находим область определения данного неравенства. 2. Сводим неравенство к уравнению. 3. Выражаем а как функцию от х. 4. В системе координат хОа строим графики ф ункций а = (х ) для тех значений х , которые входят в область определения данного неравенства. 5. Находим множества точек , удовлетворяющих данному неравенству. 6. Исследуем влияние параметра на результат. · найдём абсциссы т очек пересечения графиков. · зададим прямую а =со nst и будем сдвигать её от - до + 7. Записываем ответ. Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами , с использованием си стемы координат хОа . Возможны и другие методы решения , с использованием стандартной системы координат хО y. 3. Примеры I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство Решение. В области определения параметра а , определённого системой неравенств данное неравенство равносильно системе неравенств Если , то решения исходного неравенства заполняют отрезок . Ответ : , . II. При каких значениях параметра а имеет решение система Решение. Найдем корни трехчлена левой части неравенства – (*) Прямые , заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области , в каждой из которых квадратный трехчлен сохраняет постоянный знак . Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат . Тогда ре шением исходной системы будет пересечение заштрихован ной области с окружностью , где , а значения и находятся из системы а значения и находятся из системы Решая эти системы , получаем , что Ответ : III. Решить неравенство на в зависимости от значений параметра а. Решение. Находим область допустимых значений – Построим график функции в системе координат хОу. · при неравенство решений не имеет. · при для решение х удовлетворяет соотношению , где Ответ : Решения неравенства существуют при , где , причем при решения ; при решения . IV. Решить неравенство Решение. Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты ) Найдем уравнения функций , графики которых нужно построить в ПСК ; для чего перейдем к равенству : Разложим числитель на множители. т . к . то Разделим об е части равенства на при . Но является решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при . 3. Строим в ПСК хОа графики функций и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют ). Получилось девять областей. 4. Ищем , какая из областей подходит для данного неравенства , для чего берем точку из области и подставляем в нераве нство. Для наглядности составим таблицу. точка неравенство : вывод 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9 - 5. Найдем точки пересечения графиков 6. Зададим прямую а =с onst и будем сдвигать её от - до + . Ответ. при при при при решений нет при Литература 1. Далингер В . А . “Геометрия помогает алгебре” . Издательство “Школа - Пресс” . Москва 1996 г. 2. Далингер В . А . “Все для обеспечения успеха на выпус кных и вступительных экзаменах по математике” . Издательство Омского педуниверситета . Омск 1995 г. 3. Окунев А . А . “Графическое решение уравнений с параметрами” . Издательство “Школа - Пресс” . Москва 1986 г. 4. Письменский Д . Т . “Математика для старшекласс ников” . Издательство “Айрис” . Москва 1996 г. 5. Ястрибинецкий Г . А . “Уравнений и неравенства , содержащие параметры” . Издательство “Просвещение” . Москва 1972 г. 6. Г . Корн и Т.Корн “Справочник по математике” . Издательство “Наука” физико– математическая лит ература . Москва 1977 г . 7. Амелькин В . В . и Рабцевич В . Л . “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар” . Минск 1996 г.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Люся даёт себя целовать, обнимать, гладить, а дальше - ни в какую!
То есть мужиков принимает только наружно.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru