Реферат: Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 131 kb, скачать бесплатно
Обойти Антиплагиат
Повысьте уникальность файла до 80-100% здесь.
Промокод referatbank - cкидка 20%!

Узнайте стоимость написания уникальной работы




Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром

(алгебра и начала анализа)


Оглавление

I. Введение

II. Уравнения с параметрами.

1. Определения.

2. Алгоритм решения.

3. Примеры.

III. Неравенства с параметрами.

1. Определения.

2. Алгоритм решения.

3. Примеры.

IV. Список литературы.


Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.

1. Основные определения

Рассмотрим уравнение

(a, b, c, …, , x)=(a, b, c, …, , x), (1)

где a, b, c, …, , x -переменные величины.

Любая система значений переменных

а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, , x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аА, bB, …, xX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …,  и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, …, , которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, , l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.


2. Алгоритм решения.

  1. Находим область определения уравнения.

  1. Выражаем a как функцию от х.

  1. В системе координат хОа строим график функции а=(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой а=с, где с(-;+) с графиком функции а=(х).Если прямая а=с пересекает график а=(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=(х) относительно х.

  1. Записываем ответ.


3. Примеры

I. Решить уравнение


(1)

Решение.

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а :

или

График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

Если а  (-;-1](1;+) , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение .


Если а  , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и , получаем

и .

Если а  , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.


Ответ:

Если а  (-;-1](1;+), то ;

Если а  , то , ;

Если а  , то решений нет.


II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет три различных корня.


Решение.

Переписав уравнение в виде и рассмотрев пару функций , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции .

В системе координат хОу построим график функции ). Для этого можно представить её в виде и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде


Поскольку график функции – это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный , и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции . Поэтому находим производную

Ответ: .


III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

имеет решения.


Решение.

Из первого уравнения системы получим при Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы “скользят” вершинами по оси абсцисс.

Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители

Множеством точек плоскости , удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые

и

Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.

Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается

прямой ), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то .

Случай касания “полупараболы” с прямой определим из условия существования единственного решения системы

В этом случае уравнение

имеет один корень, откуда находим :

Следовательно, исходная система не имеет решений при , а при или имеет хотя бы одно решение.

Ответ: а  (-;-3] (;+).


IV. Решить уравнение

Решение.

Использовав равенство , заданное уравнение перепишем в виде

Это уравнение равносильно системе

Уравнение перепишем в виде

. (*)

Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций и Из графика следует, что при графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.

Если , то при графики функций совпадают и, следовательно, все значения являются решениями уравнения (*).

При графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой . Таким образом, при уравнение (*) имеет единственное решение - .



Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям

Пусть , тогда . Система примет вид

Её решением будет промежуток х (1;5). Учитывая, что , можно заключить, что при исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка [3; 5).

Рассмотрим случай, когда . Система неравенств примет вид

Решив эту систему, найдем а (-1;7). Но , поэтому при а (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение .

Ответ:

если а (-;3), то решений нет;

если а=3, то х [3;5);

если a (3;7), то ;

если a [7;), то решений нет.


V. Решить уравнение

, где а - параметр. (5)


Решение.

  1. При любом а :

  2. Если , то ;

если , то .

  1. Строим график функции , выделяем ту его часть , которая соответствует . Затем отметим ту часть графика функции , которая соответствует .

  2. По графику определяем, при каких значениях а уравнение (5) имеет решение и при каких – не имеет решения.


Ответ:

если , то

если , то ;

если , то решений нет;

если , то , .

VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров и , при которых системы

(1)

и

(2)

имеют одинаковое число решений ?


Решение.

С учетом того, что имеет смысл только при , получаем после преобразований систему

(3)

равносильную системе (1).

Система (2) равносильна системе

(4)

Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых, второе уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А(1;1) и радиусом

Поскольку , а , то , и, следовательно, система (4) имеет не менее четырех решений. При окружность касается прямой и система (4) имеет пять решений.

Таким образом, если , то система (4) имеет четыре решения, если , то таких решений будет больше, чем четыре.

Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то система (4) имеет четыре решения в случае, когда , и больше четырех решений, если .

Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство прямых.


При фиксированных положительных а и b система (3) может иметь два, три, или четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная уравнением , иметь общие точки с гиперболой при (прямая всегда имеет одну точку пересечения с графиком функции ).

Для решения этого рассмотрим уравнение

,

которое удобнее переписать в виде

Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D последнего уравнения:

  1. если , т.е. если , то система (3) имеет два решения;

  2. если , то система (3) имеет три решения;

  3. если , то система (3) имеет четыре решения.

Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это четыре. И это имеет место, когда .

Ответ:


II. Неравенства с параметрами.

1. Основные определения

Неравенство

(a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, , x), (1)

где a, b, c, …,  – параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, при некоторой функции

(a, b, c, …, , x) и

(a, b, c, …, , x

имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.

называется допустимым значением х, если

(a, b, c, …, , x) и

(a, b, c, …, , x

принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).

Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1), если неравенство

(a, b, c, …, , x0)>(a, b, c, …, , x0)

верно при любой системе допустимых значений параметров.

Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.

Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.

Два неравенства

(a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, , x) и (1)

(a, b, c, …, , x)>(a, b, c, …, , x) (2)

называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.


2. Алгоритм решения.

  1. Находим область определения данного неравенства.

  2. Сводим неравенство к уравнению.

  3. Выражаем а как функцию от х.

  4. В системе координат хОа строим графики функций а = (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.

  5. Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.

  6. Исследуем влияние параметра на результат.

  • найдём абсциссы точек пересечения графиков.

  • зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от - до+

  1. Записываем ответ.


Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.


3. Примеры

I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство


Решение.

В области определения параметра а, определённого системой неравенств

данное неравенство равносильно системе неравенств

Если , то решения исходного неравенства заполняют отрезок .

Ответ: , .


II. При каких значениях параметра а имеет решение система


Решение.

Найдем корни трехчлена левой части неравенства –

(*)

Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен

сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован

ной области с окружностью, где , а значения и находятся из системы

а значения и находятся из системы

Решая эти системы, получаем, что

Ответ:


III. Решить неравенство на в зависимости от значений параметра а.


Решение.

  1. Находим область допустимых значений –

  1. Построим график функции в системе координат хОу.

  • при неравенство решений не имеет.

  • при для решение х удовлетворяет соотношению , где


Ответ: Решения неравенства существуют при

, где , причем при решения ; при решения .

IV. Решить неравенство


Решение.

  1. Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)



  1. Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству :


Разложим числитель на множители.

т. к. то

Разделим обе части равенства на при . Но является решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при .

3. Строим в ПСК хОа графики функций

и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.

4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.

Для наглядности составим таблицу.



точка

неравенство:

вывод

1

-

2

+

3

-

4

+

5

-

6

+

7

-

8

+

9

-


5. Найдем точки пересечения графиков

6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от - до +.


Ответ.

при

при

при

при решений нет

при


Литература

  1. Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.

  1. Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.

  1. Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.

  1. Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.

  1. Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.

  1. Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико–математическая литература. Москва 1977 г.

  1. Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Минск 1996 г.



1Авиация и космонавтика
2Архитектура и строительство
3Астрономия
 
4Безопасность жизнедеятельности
5Биология
 
6Военная кафедра, гражданская оборона
 
7География, экономическая география
8Геология и геодезия
9Государственное регулирование и налоги
 
10Естествознание
 
11Журналистика
 
12Законодательство и право
13Адвокатура
14Административное право
15Арбитражное процессуальное право
16Банковское право
17Государство и право
18Гражданское право и процесс
19Жилищное право
20Законодательство зарубежных стран
21Земельное право
22Конституционное право
23Конституционное право зарубежных стран
24Международное право
25Муниципальное право
26Налоговое право
27Римское право
28Семейное право
29Таможенное право
30Трудовое право
31Уголовное право и процесс
32Финансовое право
33Хозяйственное право
34Экологическое право
35Юриспруденция
36Иностранные языки
37Информатика, информационные технологии
38Базы данных
39Компьютерные сети
40Программирование
41Искусство и культура
42Краеведение
43Культурология
44Музыка
45История
46Биографии
47Историческая личность
 
48Литература
 
49Маркетинг и реклама
50Математика
51Медицина и здоровье
52Менеджмент
53Антикризисное управление
54Делопроизводство и документооборот
55Логистика
 
56Педагогика
57Политология
58Правоохранительные органы
59Криминалистика и криминология
60Прочее
61Психология
62Юридическая психология
 
63Радиоэлектроника
64Религия
 
65Сельское хозяйство и землепользование
66Социология
67Страхование
 
68Технологии
69Материаловедение
70Машиностроение
71Металлургия
72Транспорт
73Туризм
 
74Физика
75Физкультура и спорт
76Философия
 
77Химия
 
78Экология, охрана природы
79Экономика и финансы
80Анализ хозяйственной деятельности
81Банковское дело и кредитование
82Биржевое дело
83Бухгалтерский учет и аудит
84История экономических учений
85Международные отношения
86Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
87Финансы
88Ценные бумаги и фондовый рынок
89Экономика предприятия
90Экономико-математическое моделирование
91Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Прямо сейчас из корзины под кухонной раковиной за тобой наблюдают тысячи маленьких глазок. Это картофель.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2017
Рейтинг@Mail.ru