Вход

Геометрия Гильбертового Пространства

Реферат* по математике
Дата добавления: 29 октября 2006
Язык реферата: Русский
Word, rtf, 703 кб (архив zip, 190 кб)
Реферат можно скачать бесплатно
Скачать
Данная работа не подходит - план Б:
Создаете заказ
Выбираете исполнителя
Готовый результат
Исполнители предлагают свои условия
Автор работает
Заказать
Не подходит данная работа?
Вы можете заказать написание любой учебной работы на любую тему.
Заказать новую работу
* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.
Очень похожие работы

25


Министерство общего образования Российской Федерации



Рязанская государственная радиотехническая академия



Кафедра высшей математики







Научный доклад по математическому анализу


Геометрия гильбертова пространства





Выполнили:

ст. группы 232

Прокофьева Анна

Луковникова Анастасия


Проверил

Яковлев Михаил Константинович






РЯЗАНЬ, 2004


Содержание.


  1. Предварительные определения, понятие скалярного произведения,

нормы, метрики, плотности, полноты…………………………………………. 3



  1. Определение гильбертова пространства,

теорема о линейном пр-ве в гильбертовом……………………………………. 8



  1. Ортогональные разложения в гильбертовых пр-вах(определение, свойства ортогональности, коэффициенты Фурье, основная теорема о разложении, критерий полноты системы………………………………………………….. 10


4 Изоморфизм…………………………………………………………………. 16


5 Сепарабельность………………………………………………………………19


6 Линейные операторы. Определение, примеры, действия с операторами, норма линейного оператора, собственные вектора, симметричные и вполне непрерывные операторы………………………………………………………………………….20


7. Список литературы……………………………………………………………….26












1.


Рассмотрим пространства, являющиеся обобщением n-мерных векторных арифметических евклидовых пространств. Для определения Гильбертового пространства важно рассмотреть следующие понятия.

Определение. Пусть X — линейное пространство. Число­вая функция, обычно обозначаемая (х,у), х X, у X, заданная на множестве упорядоченных пар точек (векторов) пространства X, называется скалярным произведением, если для любых точек х X, у X, z X и любых чисел µ R , и ? R выполняются следующие условия:

1) (коммутативность) (х,у) = (у,х);

2) (линейность) (? х +µ у,z) = ? (х,z) + µ (у,z);

3)(х,х) 0;

4) если (х,х) = 0, то x = 0.

Функция (х,у), удовлетворяющая условиям 1)-3), называется почти скалярным произведением. Очевидно, что скалярное произве­дение является и почти скалярным.

Лемма. Если (х,у) — почти скалярное произведение в линей­ном пространстве X, то для любых

х X и у X выполняется нера­венство


(х,у)* (1)


Это неравенство называется неравенством Коши-Буняковского.

Следствие. Для любых точек х X и у X имеет место неравенство (называемое неравенством треугольника

+ (2)

Скалярное произведение позволяет ввести понятие длины (нормы вектора).

Следствие. Если (х,у) — почти скалярное (в частности, ска­лярное) произведение в линейном пространстве X, то функция

=

является полунормой (соответственно нормой) в этом пространства и неравенство Коши-Буняковского можно записать в виде


(х,у) *

Вспомним, что норма – это некоторая функция, отображающая линейное пространство в пространство [0;] такая, что:

1). >0 x0

2). = *, R

3). +

Свойства полунормы (соответственно нормы) для функции = проверяются непосредственно. Например,


Докажем лемму. В силу свойства 3) почти скалярного произве­дения для любого действительного числа

t имеем

(tx+y, tx+y)0

Применив свойства 1) и 2) почти скалярного произведения, получим


t2(х,х) + 2t(х,у) + (у,у)0.(1)

Если (х, х) = 0, то 2t(х, у) + (у, у) 0. Поскольку это неравенство выполняется для любого действительного t, то (х,у) = 0 (в самом деле, если бы было (х,у) 0, то на числа t налагалось бы


ограниче­ние t- . Следовательно, неравенство (1) имеет место: обе его части обращаются в нуль.

Если же (х, х) 0, то дискриминант получившегося квадратного относительно t трёхчлена неположителен, т. е.

(х,у)2-(х,х)*(у,у)0. (*)

Это неравенство равносильно неравенству

\(х,у)\ *

(оно также называется неравенством Коши-Буняковского), из кото­рого очевидным образом вытекает неравенство (1). Докажем теперь неравенство (2):

(x+y, x+y) = (x, x) + (x, y) + (y, x)+ (y, y) (x, x)+2 * +(y, y)= (+)2


( это следует из неравенства (1)).


Если х 0, у 0, то по аналогии с конечномерным случаем коси­нус угла ? = ху между векторами х X и у X линейного прост­ранства X со скалярным произведением определяется равенством

Cos ?=(x,y)/ (* )


а сам угол ? определяется этим значением косинуса. Это равенство следует из неравенства Коши – Буняковского. Действительно, рассмотрим когда cos ? =1. Это возможно, только если дискриминант в доказательстве леммы (*) равен 0 ((x, y)= * ). Тогда один вещественный корень t0, а само уравнение t2(х,х) + 2t(х,у) + (у,у)= (t0x-y,t0x-y)=0.Откуда, в силу аксиомы (4) находим, что t0x-y=0 или y=t0x. Наш результат может быть сформулирован в геометрических терминах: если скалярное произведение двух векторов по абсолютной величине равно произведению их длин, то эти вектора коллинеарны.

В общем случае,

(x,y)= * *cos ?


Если e X, = 1, то вектор х = (х,е)*е называется проекцией вектора х на прямую у = t*е ,

- < t < +, а число

(х,е) =*cos xe

— величиной этой проекции.

Пример1. Множество действительных чисел R является прост­ранством со скалярным произведением, если под скалярным про­изведением (х,у) чисел х и у понимать их обычное произведение: (х,у)=x*y..

Пример 2. В арифметическом действительном линейном n -мерном пространстве R функция

(x,y)= , x=(x, … , x), y=(y, … , y),

x R, y R, i = 1,2, … , n ,

является скалярным произведением.

Конечномерное линейное пространство со скалярным произведе­нием называется евклидовым пространством.

Имеет место следующее замечание:

Замечание. Для содержательности понятий скалярного и почти скалярного произведений, в комплексных пространствах необ­ходимо изменить определяющие их аксиомы, так как единственная функция в комплексном линейном пространстве, удовлетворяющая аксиомам 1-3 почти скалярного произведения, тождественно равна нулю. Действительно, если для любого элемента х пространства и любого комплексного числа справедливо равенство (х, х) = (х, х), в частности, при =i равенство (iх, iх) = —(x,x), то поскольку (iх, iх) 0 и (х, х) 0, то (х, х)= 0. Отсюда в силу неравенства Коши - Буняковского (1) для любых элементов х и у пространства имеем (х, у) = 0.

Для комплексных линейных пространств определения скалярного и почти скалярного произведений отличаются только первым усло­вием определения этих произведений в действительных линей­ных пространствах: вместо выполнения условий коммутативности (х, у) = (у,х) требуется, чтобы для всех элементов х и у рассмат­риваемого линейного пространства выполнялось равенство

(х,у) =

где черта над числом обозначает, как всегда, число, сопряженное стоя­щему под чертой комплексному числу.

Из этого свойства следует, что для любого комплексного числа
имеет место равенство

(x,y)=(x,у).
В самом деле,

(x, y ) = = = = (x,y)

В n-мерном комплексном арифметическом пространстве скалярное произведение задается формулой

(х,у)=x+x+…+x, x=(x, … , x) C, y=(y, … , y) C

Из этой формулы следует, что скалярное произведение на n-мерном действительном арифметическом пространстве яв­ляется сужением на это пространство скалярного произведения комп­лексного пространства Сn.

Имеет место также неравенство Коши – Буняковского:

(x,x) *(y,y)

Рассмотрим другой пример:

L=


Пусть нам даны f(x) , q(x). Тогда,

(f,q) - так определяется скалярное произведение. Докажем, что данный интеграл и удовлетворяет всем условиям :

(f q) = f2fq+q0;

<(f2+q2)/2


1/2 - конечен, то есть .



Рассмотрим норму =0, но

если =0 , то отсюда в общем случае не следует, что ||f||=0

для выполнения 1-го свойства нормы необходимо ввести следующее определение.


Две функции f и q будем считать эквивалентными, если =0.

Рассмотрим свойства эквивалентности:

1).f

2).

3).

Докажем это:

=0, ,

Введённое отношение эквивалентности делит всё множество функций, интегрируемых на отрезке [a,b] с квадратом, на классы эквивалентности.

Каждая функция из пространства L принадлежит одному и только одному классу эквивалентности и называется представителем этого класса эквивалентности.

Как мы видели, скалярное произведение (x,y) порождает норму ||x||=, а норма – метрику ?(x,y)=||x-y||. Напомним, что метрика-это некоторая функция , ставящее в соответствие паре векторов (x,y) из множества М некоторое вещественное число, удовлетворяющее следующим правилам

1 ?(x,x)=0, если x y то ? (x,y)>0

2 ?(x,y) ?(x,z)+ ?(z,y)

3 ?(x,y)= ?(y,x)


Таким образом, всякое линейное пространство со скалярным произведением является метрическим пространством с метрикой

?(x,y)=||x-y||=
Введём следующие определения:

Определение:

Последовательность называется фундаментальной, если

lim

Определение:

Пространство называется полным, если в нём всякая фундаментальная последовательность имеет предел.


Теперь, наконец, мы можем ввести определение Гильбертового пространства.


2


Определение:

Полное линейное пространство со скалярным произведением называется гильбертовым пространством.

Всякое конечномерное линейное пространство полно , а поэтому является гильбертовым. В этом случае, оно называется обычно евклидовым.

Проверим, что n- мерное пространство R с расстоянием

является полным.

Пусть x=( ?1(?),…., ?n(?) ) – фундаментальная последовательность. Поскольку


|| ?j(?) – ?j(?)||2 |?j(?) – ?j(?)||2=?2(x?-x?)

то числовая последовательность ?j(?) (? =1,2,,,,,) при каждом фиксированном j=1,2,…,n является фундаментальной числовой последовательностью и как таковая имеет некоторый предел .Числа ?1, ?2 ,…., ?n определяют вектор x.Поскольку

||x-x?||2[ ?i- ?j?]2=?2(x?,x?)

вектор x есть предел взятой фундаментальной последовательности. Итак, каждая фундаментальная последовательность пространства R имеет в этом пространстве предел, что нам и требуется.


Теорема. Всякое линейное пространство со скалярным про­изведением содержится и плотно в некотором гильбертовом прост­ранстве.

Это гильбертово пространство называется пополнением исходного пространства со скалярным произведением.

Для доказательства данной теоремы введём несколько понятий.

Определение:

Подмножество E метрического пространства X называется плотным в пространстве X, если его замыкание совпадает со всем пространством X: =X.

Определение:

Замыкание – это объединение множества с совокупностью всех его предельных точек.

> Если Xлинейное пространство со скалярным произведением, то обозначим через X* его пополнение как метрического прост­ранства .

Определение:

Полное метрическое пространство X* называется пополнением метрического пространства X, если X плотно в нём: =X*.

Линейную операцию определим в пространстве X* по формуле

?x*+?y*=limn( ?xn+?yn)

Скалярное произведение элементов пространства X* также определим с помощью предельно­го перехода следующим образом. Пусть х* X*, у* X*; поскольку = X*, то существуют такие фундаментальные последовательности хп X, уп X, п = 1,2,..., что

limn( xn)=x* и limn( yn)=y*.Положим

(x*,y*)= limn( xn,yn) (*)

Легко проверить, что при заданных элементах х* и у* определе­ние (*) имеет смысл. Это следует из того, что числовая последовательность {(хп,Уп)} является фундаментальной (и, следовательно, сходящейся), что вытекает из неравенства


|(xn,yn)-(xm,ym)||xn-xm,yn|+|xm,yn-ym)||| xn-xm|| ||yn||+||xm|| ||yn-ym)||

Предел (*) не зависит от выбора последовательностей xnx*, yny*, n=1,2,…

Это ясно в силу неравенства

|(xn,yn)-(x’n,y’n)| || xn-x’n|| ||yn||+||xn|| ||yn-y’n)||


Наконец то, что функционал (x*,y*) на пространстве X* удов­летворяет аксиомам скалярного произведения, получается предель­ным переходом из свойств скалярного произведения (х,у) в пространстве X.


3



Для определения всех последующих выкладок, касающихся Гильбертового пространства необходимо рассмотреть понятие ортогональных векторов.

Определение: Векторы x и y называются ортогональными, если (x,y)=0. Если x0 и y0, то это определение в соответствии с общим определением угла между двумя векторами означает, что x и y образуют угол в 90 градусов. Нулевой вектор оказывается ортогональным любому вектору.

В пространстве L2(a,b) условие ортогональности векторов ?(x) и ?(x) имеет вид


?(x)?(x)dx=0


Легко можно проверить, вычислив соответствующие интегралы, что в пространстве L2(-?, ?) любые два вектора «тригонометрической системы»


1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, … , cos nx, sin nx, …

взаимно ортогональны.



Очевидно, что в бесконечномерном пространстве заведомо имеются бесконечные ортонормальные системы. Будем называть ортонормальную систему

е1 , е2 ,…, еn ,…

полной в пространстве H, если в пространстве Н не существует ни одного ненулевого вектора, ортогонального всем векторам данной системы. Иначе говоря, система

е1 , е2 ,…, еn ,…

полна, если из условий

xH, (en,x)=0 (n=1,2,3,,,)


вытекает, что x=0



Покажем, что полная ортонормальная система в гильбертовом пространстве является базисом в том смысле, что для каждого вектора fН существует разложение в сходящийся по норме ряд


f=cjej (1)

причём


| f |2 = cj2 (2)


Для доказательства найдём сначала выражения коэффициентов разложения (1), предполагая, что они существуют. Для этого умножим скалярно обе части равенства (1) на вектор еk . Так как скалярное произведение непрерывно, то


(f, еk)= (cjej ,ek )=(lim(n) cjej , еk)= lim(n) ( cjej , еk) = lim(n) сk= сk


Мы получаем формулу


сk=(f, ek). (3)


Коэффициенты сk , определённые по формулам (3), называются коэффициентами Фурье вектора f по системе { ek }. Отметим, что эти числа можно составить прямо по вектору f и системе { ek }, не зная ещё, имеет ли место разложение (1). Они имеют простой геометрический смысл: поскольку

(f, ek )=|| f || * || ek || *cos (f ^ ek ) =||f|| * cos (f ^ ek ),


коэффициенты сk есть проекция вектора f на направление вектора ek .


Одно из важнейших свойств коэффициентов Фурье, это то, что квадраты коэффициентов Фурье любого вектора f по любой ортонормированной системе е1 , е2 ,…, еn,… образуют сходящийся ряд.


Покажем это:


Пусть f – заданный вектор и е1 , е2 ,…, еn - фиксированная конечная ортонормальная система(неполная, вообще говоря). Составим вектор


g= (f,ek) , еk


Этот вектор принадлежит к подпространству Hn , порождённому векторами

е1 , е2 ,…, еn ,… .Определим далее вектор h условием


f=h+h


Мы утверждаем, что вектор h ортогонален каждому из векторов е1 , е2 ,…, еn ( и, следовательно, всему подпространству Нn ) Действительно, мы имеем

(h,ej)= (f,ej)- (g,ej) = (f,ej)- ((f,ek),ek,ej) = (f,ej)- (f,ej) = 0 (j=1,2,…n).

На языке геометрии h есть перпендикуляр, опущенный из конца вектора f на подпространство Hn ; а вектор g есть проекция f на это подпространство. Применим теорему Пифагора

( а здесь имеет место теорема Пифагора в общем Гильбертовом пространстве: Пусть векторы x и y ортогональны, тогда вектор x+y можно назвать гипотенузой прямоугольного треугольника, построенного на векторах x и y, мы получаем:


|| x+y||2=(x+y, x+y)=(x,x)+ 2(x,y)+(y,y) =(x, x) +(y, y)= ||x||2+||y||2 )


Итак, применив теорему Пифагора, получим


||f||2=||g||2 +||h||2= (f,ek)2 +||h||2(f,ek)2


Полученное неравенство

(f,ek)2 ||f||2 (4)

имеющее место для любого вектора f и любой ортонормальной системы е1 , е2 ,…, еn, называется неравенством Бесселя. Если нам дана бесконечномерная ортонормальная система е1 , е2 ,…, еn,…, то, поскольку неравенство Бесселя справедливо при любом n, мы после перехода к пределу получаем

(f,ek)2 ||f||2 (5)


Иными словами, квадраты коэффициентов Фурье любого вектора f по любой ортонормированной системе е1 , е2 ,…, еn,… образуют сходящийся ряд.


Неравенство (5) также называется неравенством Бесселя.


Теперь можно перейти к формулировке и доказательству основной теоремы:



Теорема

Пусть в гильбертовом пространстве Н выбрана полная ортонормальная система

е1 , е2 ,…, еn,… Тогда для любого вектора имеет место разложение


f= (f,ej) , еj (6)


причём


||f||2= (f,ej)2 (7)


Последнее равенство, представляющее собой бесконечномерное обобщение теоремы Пифагора, называется обычно равенством Парсеваля


Доказательство:


Положим для сокращения (f,en)=an

Пусть sp есть сумма p слагаемых ряда (6) и q>p

Тогда:


|| sq- sp||2 = || (a,ej)||2 = a2j


При p эта величина стремится к нулю вследствие сходимости ряда из чисел a2j . Поэтому суммы sp образуют фундаментальную последовательность. Вследствии полноты гильбертового пространства суммы sp при p имеют некоторый предел sH. Покажем, что s=f .Для этого заметим, что при фиксированном k и p>k



(s,ek)= lim(p) (sp, еk) = lim(p) (ajej , еk) =lim(p) ak= ak=(f,ek)

поэтому для любого k


(f-s, ek)=(f, ek )-(s, ek)=0


Так как система { ek} предположена полной, то из равенства следует f=s. Таким образом,


f = lim(p) (sp)= ajej.

Далее, в силу непрерывности скалярного произведения,


|| f ||2=(f,f)=( lim(p) (sp), lim(p) (sp))= lim(p) (sp, sp)=

=lim(p) ak2 = ak2


что и требовалось доказать.

Замечание1: Если g- любой другой вектор пространства, то, вычисляя подобным же образом скалярное произведение (f,g) получим формулу


(f,g)= (f, ek)(g, ek). (7)

( * Действительно, пусть sp’= ajej., где aj=(f,ej),

sp’’= bjej., где bj=(g,ej),

(f,g)=( lim(p) (s’p), lim(p) (s’’p))= lim(p) (s’p, s’’p)=

= lim(p) akbk = akbk=(f, ek)(g, ek). * )


Замечание2: Если а1,…,аn,…-любая последовательность чисел со сходящимся рядом квадратов, то ряд


ajej.,


как видно из доказательства, сходится в пространстве H. Если обозначить его

сумму через f, то, как и выше, будут иметь место равенства аn=(f,en) (n=1,2…). Итак,

любая числовая последовательность со сходящимся рядом из квадратов есть последовательность коэффициентов Фурье некоторого вектора пространства



Критерий полноты системы

Для применения доказанной только что основной теоремы, нужно располагать полной ортонормальной системой e1,e2,…,en,…Если непосредственно не видно, является ли данная ортонормальная система e1,e2,…,en,… полной в пространстве Н, можно воспользоваться следующим критерием полноты:


Теорема:

Данная ортонормальная система e1,e2,…,en,… полна в Гильбертовом пространстве Н тогда и только тогда, когда линейные комбинации векторов этой системы образуют множество, плотное в Н.


Доказательство:

Обратная: Если система

e1,e2,…,en,…

полна, то в силу ранее доказанной основной теоремы каждый вектор f Н есть предел линейных комбинаций векторов системы {en}, так что совокупность линейных комбинаций этой системы образуют множество, плотное в пространстве Н.


Прямая: Пусть известно, что линейные комбинации векторов системы {en} образуют плотное множество в пространстве Н, и пусть для некоторого вектора g выполнены равенства: (g,ek)=0 (k=1,2,…) Ортогональное дополнение к вектору g содержит все векторы ek , все линейные комбинации этих векторов и замыкание множества линейных комбинаций, то есть , фактически, всё пространство Н. В частности, (g,g)=0.Отсюда следует, чтоg=0.Таким образом, система {en} в данном случае полна, что и требовалось доказать.



4



Рассмотрим вопрос о изоморфности гильбертовых пространств.

Гильбертово пространство мы будем считать счётномерным, если в нём имеется счётная полная ортонормальная система. Покажем, что любые 2 счётномерных гильбертовых пространства изоморфны.

Согласно основной теореме, каждый вектор f гильбертового счётномерного пространства Н с полной ортонормальной системой e1,e2,…,en,… допускает разложение


f=ckek., где сk =(f,ek ) и ряд из квадратов чисел сk сходится. С другой стороны, как было замечено, если с12,…,сk,…- произвольная последовательность чисел со сходящимся рядом из квадратов, то существует вектор fH, коэффициенты разложения которого по системе {ek}суть числа{сk}.

Пользуясь этим, мы можем установить взаимно однозначное соответствие между произвольным счётномерным гильбертовым пространством Н и пространством l2

Элементом этого пространства является лю­бая последовательность чисел x =(?1…,?n…) со сходящейся суммой квадратов:

?n,2<

Линейные операции определяются естественным образом:

(?1…,?n ,…)+(?1,…, ?n…)=( ?1+ ?1,…,?n+ ?n,…);

?(?1…,?n ,…) = (? ?1…, ? ?n ,…)

Скалярное произведение векторов x=(?1…,?n ,…) и у =(?1,…, ?n…) задается по формуле


(х,у) = ?n, ?n (3)

Необходимо проверить корректность этих определений. Прежде всего, из элементарного неравенства


?n, ?n ?( ?n2+ ?n2)

.

следует, что ряд (3) для xl2 , yl2 всегда является сходящимся.


Далее, равенства

(??k )2=?2?k 2


(?k +?k)2= ?k 2 +2?k ?k+ ?k 2


показывают, что для xl2 , yl2 сходятся ряды

(??k )2

(?k +?k)2

и, следовательно, определенные нами операции сложения векторов и умножения на число выполнимы в пределах пространства /2.

Остается проверить выполнение аксиом скалярного произведения,но достаточно одного взгляда, чтобы убедиться в их справедливости.


Взаимно однозначное соответствие между произвольным счётномерным пространством Н и пространством l2 можно установить, ставя в соответствие вектору fН последовательность сn =(f,en) коэффициентов Фурье вектора f по полной ортонормальной системе e1,e2,…,en,… Такое соответствие сохраняет, очевидно, линейные операции. Оно сохраняет и скалярное произведение, так как если

f=?kek

g=bkek

то по формуле (7) из замечания1


(f,g)=?kbk,

а именно по такой формуле определялось и скалярное произведение элементов x=(?k), y=(bk) пространства l2. (В частности, заново получается, что l2 есть полное пространство) Мы видим, что L2[a,b], как гильбертово счётномерное пространство, изоморфно пространству l2. Далее, любые два счётномерных гильбертова пространства изоморфны пространству l2 и, следовательно, изоморфны друг другу.




5


Сепарабельность

Конечномерные и счётномерные гильбертовы пространства могут быть определены, как сепарабельные пространства, или обладающие счётным плотным множеством.


Действительно, если пространство Н конечно- или счётномерно, то в нём есть конечная или счётная полная ортонормальная система. В силу основной теоремы линейные комбинации векторов e1,e2,…,en,… образуют плотное множество в Н. Если ограничиться при этом лишь линейными комбинациями, имеющими рациональные коэффициенты, то получится счётное множество элементов по-прежнему плотное в Н. Таким образом

конечномерные и счётномерные гильбертовы пространства обладают счётным плотным множеством.

Обратно, пусть f1,f2,…,fn,…-счётное плотное множество в H.Если провести ортогонализацию элементов f1,f2,…,fn,…то, согласно критерию полноты системы получится полная ортогональная в Н система, причём она по построению будет не более чем счётной. Таким образом, Н конечно-или счётномерно.


Заметим, что в сепарабельном пространстве Н и каждое подпространство H’H сепарабельно.

Для большего понимания доказательства, переформулируем определение плотного в некотором пространстве множества.

Итак, множество А, расположенное в метрическом пространстве М, называется плотным в М, если всякая точка bM есть предел последовательности точек аnА(не обязательно различных) Иными словами, А плотно в М, если в любом шаре с центром в точке bM имеется точка аА

Теперь для доказательства фиксируем n и k и отметим элемент ?nkH’, если таковой имеется в шаре радиуса 1/k с центром в точке fn счётного плотного в Н множества f1,f2,…,fn,….Мы утверждаем, что полученное счётное множество элементов ?nk (k,n=1,2,…) плотно в H’ .(тогда мы докажем сепарабельность H’)

Действительно, для любого ?H’ и любого k мы можем в шаре радиуса 1/k найти некоторый элемент fn (это следует из определения плотного множества (в данном случае fn плотно в Н, поэтому в любом шаре с центром в точке ?H’Н найдётся fn)); тогда заведомо имеются элементы множества Н’ в шаре радиуса 1/k с центром в точке fn. Имеется, следовательно, элемент ?nkH’, причём заведомо

|| ?- ?nk || < || ?-fn || + || fn- ?nk || < 2\k

То есть последовательность ?nk-счётное плотное в Н’ множество(по определению, так как в любом шаре с центром в точке ?H’ имеется точка ?hk

что и требовалось доказать

В частности, в любом замкнутом подпространстве H’ сепарабельного гильбертового пространства Н (замкнутость обеспечивает полноту) имеется полная ортогональная система e1,e2,…,en,… (по критерию полноты системы)



6


Линейные операторы в гильбертовом пространстве


Пусть R — линейное простран­ство. Оператор А, определенный в пространстве R, есть функция, которая каждому элементу хR ставит в соответствие элемент у = Ах этого же пространства.

Оператор А называется линейным, если выполняются условия

А (х +у) = Ах + Ау для любых х и у из R;

(II) А(?.х) = аАх для любого хR и любого числа а.

Из формул (I) и (II) легко получается более общая формула

A(?11 +… ?kk)= ?.11+…+ ?.kk

для любых чисел x1,…,xkR и любых вещественных чисел ?1,…, ?k




Примеры

1. Оператор, который каждому вектору пространства ставит в соответствие нуль-вектор, очевидно, является линейным. Он называется нулевым оператором.

2. Оператор Е, ставящий в соответствие каждому вектору х сам вектор х, очевидно, линейный; он называется единичным или тож­дественным оператором.

3. Линейный оператор А, переводящий каждый вектор х в х (фиксированное число), называется оператором подобия.

4. Пусть Н—счетномерное гильбертово пространство и е1 , ег , ..., е п, ... —полная ортонормированная система в Н. Фиксируем огра­ниченную последовательность вещественных чисел 1, 2,….,n …,,|| C и для любого вектора


x=?jejH

положим по определению

Аx=j?jej (2)

Так как 2j ?2j j?jej оператор Ах определен формулой (2) во всем пространстве H. Легко проверить, что этот оператор удовлетворяет условиям (I), (II). Оператор А, построенный по указан­ному правилу, будем называть оператором нормального вида. Каждый базисный вектор еn переводится оператором А в себя самого с коэф­фициентом n.


Aen=nen



Действия с линейными операторами. Над линейными операторами, определенными в линейном пространстве R, можно произ­водить различные действия, приводящие в результате к новым линей­ным операторам.

1) Сложение операторов. Если даны линейные операторы А и В, то оператор С = А+В определяется формулой

Сх = (А +В) х = Ах + Вх.

2) Умножение оператора на число. Если А — линейный оператор, ?— вещественное число, то оператор В = ? А определяется формулой

Bx=( ?A)x= ?(Ax)

Следствие: A(0)=A(0*0)=0*A(0)=0

3) Умножение операторов. Если А и В — линейные операторы, то оператор С = АВ определяется условием

Сх = АВх = А (Вх)

(т. е. сначала на вектор х действует оператор В, а затем на результат действует оператор A).

Следствие: A(0)=A(0*0)=0*A(0)=0

Легко проверить, что в результате всех этих действий получаются снова линейные операторы. Для указанных действий справедливы обычные алгебраические законы: коммутативность сложения, ассоциа­тивность, дистрибутивность (за исключением коммутативности умноже­ния операторов). Степени оператора А определяются естественными рекуррентными формулами

А° = Е, Аn = ААп-1 (n=1, 2, ...).

Оператор В называется обратным к оператору А, если выполняются равенства

АВ=ВА=Е;

обратный оператор к оператору А обозначается через A-1. Если операторы С и D обладают обратными С-1 и D-1, то и СD обладает обратным (CD)-1=D-1C-1.

3. Норма линейного оператора. Будем предполагать, что линейный оператор А действует в линейном нормированном про­странстве R.

Наличие метрики в пространстве R позволяет целесообразно сопо­ставить каждому линейному оператору А неотрицательное число || А ||, называемое нормой оператора А. Именно, мы рассмотрим числовую функцию F(х)=|Ах|, определенную для векторов хR. Нормой оператора А называется точная верхняя грань (возможно, равная ) значений этой функции на единичных векторах х:

||A||=sup|Ax|

Оператор А с конечной нормой называется ограниченным.

В n-мерном евклидовом пространстве величина || А \\ конечна для всякого линейного оператора А. Действительно, длина вектора Ах, очевидно, есть непрерывная функция от координат ?1,…, ?n этого вектора; каждая же из этих координат есть линейная функция от координат ?1…,?n вектора х. В конечном счете \Ах| есть непрерывная функция от координат ?1…,?n вектора х. Так как сфера | х \ = 1 является ограниченным и замкнутым множеством в n-мерном пространстве, то непре­рывная функция | Ах \ ограничена на этой сфере. Поскольку всякое ограниченное множество имеет точную верхнюю грань, число || А \\ существует. Более того, на сфере \х\ = \ имеется и точка ха, в которой непрерывная функция \Ах\ достигает своей точной верхней грани.


Пример:

Норма оператора нормального типа в гильбертовом пространстве

. Ax=A(?jej)= j?jej
равна точной верхней грани чисел | n |. Действительно, если С= sup| n| и

|x|2=?j2=1, мы имеем

|Ax|2=2j?2 jC2?j2=C2,

откуда || А || С; с другой стороны ( из определения) || А \\ sup | Аеn \ = sup | nen | = sup |n| = С; полученные неравенства и доказывают наше утверж­дение.

Остановимся на двух простых свойствах операторов с конечной нормой.

1) Для любого вектора xR и любого линейного оператора А с конечной нормой||А|| имеет место неравенство

|Ax|||A|||x| (*)

Действительно, неравенство справедливо для любого единичного вектора по самому определению нормы оператора А. Если же x — произвольный вектор, отличный от нуля (для нуль-вектора неравенство , очевидно, выполнено), то x/|x| — единичный вектор и,

следовательно,


|A|||A|| (**)

Но, поскольку А — линейный оператор, имеем:

|A|= |Ax|


умножая теперь неравенство (**) на |x|, мы и получаем требуемое неравенство (*).

2) Если А и В—операторы с конечной нормой, то

||A+B||||A||+||B||

||AB||||A|| ||B||

Действительно, если |х| = 1, то | (A+B)x| = | Ax+Bx||Ax|+|Bx|||A||+||B||, чем доказано первое из неравенств. Далее

|ABx|=|A(Bx)|||A|| |Bx|||A|| ||B||

чем доказано и второе неравенство.


Собственные векторы.

Подпространство Rлинейного пространства R называется инвариантным относительно оператора A, если из xR' следует АхR'.

.

Особую роль играют одномерные инвариантные подпространства оператора А. Всякий (ненулевой) вектор, принадлежащий одномерному инвариантному подпространству оператора А, называется собственным вектором оператора А; иначе говоря, вектор х0 называется соб­ственным вектором оператора А, если оператор А переводит вектор х в коллинеарный ему вектор

Ax=?x

Число ?, фигурирующее в этом равенстве, называется собственным значением (собственным числом) оператора А, соответствующим собственному вектору х.

Например,

Оператор нормального типа по самому определению имеет собственные векторы е1, е2, ..., еп, ... с собственными значе­ниями соответственно?1, ?2,, …, ?n, …

Симметричные и вполне непрерывные операто­ры. Если известно, что некоторый линейный оператор А в гильбер­товом пространстве есть оператор нормального типа, то изучение свойств этого оператора значительно облегчается. Базис из собственных векторов оператора А определяет естественную «систему координат», в которой удобно решать задачи, связанные с оператором А.

Необходимым условием приводимости оператора А к нормальному виду служит равенство

(Ах, у) = (х, Ау), (1)

которое должно быть выполнено при любых х и у из пространства Н. Действительно, если



x=?jej; y=ej ?j, Ax=j?jej Ay=jej?j, то очевидно


(Ax,y)= j?j?j, (y, Ax)= j?j?j

так что равенство (1) выполняется. Операторы, удовлетворяющие условию (1), будем называть симметричными.

Условие симметричности не является еще достаточным условием приводимости оператора А к нормальному виду. Например, оператор умножения на x в пространстве Lг (а, b) симметричен

(x?,?)=




но этот оператор, не имеет собственных векто­ров( так как нет такой измеримой функции ?(x), которая удовлетворяла бы уравнению

x ?(x)= ? ?(x) и была бы отличной от нуля )

и поэтому не приводится к нормальному виду. Мы наложим на оператор А, кроме требования симметричности, еще дополнительное условие, которое будем называть условием полной непрерывности:

Из каждой последовательности векторов Аfп, где числа |fn| ограничены, можно выбрать сходящуюся последовательность.

Операторы, обладающие этим свойством, будем называть вполне непрерывными.

Вполне непрерывный оператор является ограниченным (и, следо­вательно, непрерывным): если бы для некоторой последовательности fn, |fn|=1, мы имели |Afn|, например, |Afn|>n, то из последовательности Afn нельзя было бы выбрать сходящейся последовательности в противоречие с предположением.

Теперь можно сформулировать фундаментальную теорему о симметричных вполне непрерывных операторах.

Теорема (Д. Гильберт). В полном гильбертовом сепарабельном пространстве всякий симметричный вполне непрерывный опе­ратор обладает полной ортогональной системой собственных векторов.


Список литературы



1.Шилов Г.Е. «Математический анализ. Специальный курс», Москва, 1961 год



2.Кудрявцев Л.Д. «Краткий курс математического анализа, том2- Дифференциальное и интегральное исчисление функций многих переменных. Гармонический анализ» Москва, 2002

© Рефератбанк, 2002 - 2024