Реферат: Геометрия Гильбертового Пространства - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Геометрия Гильбертового Пространства

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 190 kb, скачать бесплатно
Обойти Антиплагиат
Повысьте уникальность файла до 80-100% здесь.
Промокод referatbank - cкидка 20%!

Узнайте стоимость написания уникальной работы

25


Министерство общего образования Российской Федерации



Рязанская государственная радиотехническая академия



Кафедра высшей математики







Научный доклад по математическому анализу


Геометрия гильбертова пространства





Выполнили:

ст. группы 232

Прокофьева Анна

Луковникова Анастасия


Проверил

Яковлев Михаил Константинович






РЯЗАНЬ, 2004


Содержание.


  1. Предварительные определения, понятие скалярного произведения,

нормы, метрики, плотности, полноты…………………………………………. 3



  1. Определение гильбертова пространства,

теорема о линейном пр-ве в гильбертовом……………………………………. 8



  1. Ортогональные разложения в гильбертовых пр-вах(определение, свойства ортогональности, коэффициенты Фурье, основная теорема о разложении, критерий полноты системы………………………………………………….. 10


4 Изоморфизм…………………………………………………………………. 16


5 Сепарабельность………………………………………………………………19


6 Линейные операторы. Определение, примеры, действия с операторами, норма линейного оператора, собственные вектора, симметричные и вполне непрерывные операторы………………………………………………………………………….20


7. Список литературы……………………………………………………………….26












1.


Рассмотрим пространства, являющиеся обобщением n-мерных векторных арифметических евклидовых пространств. Для определения Гильбертового пространства важно рассмотреть следующие понятия.

Определение. Пусть X — линейное пространство. Число­вая функция, обычно обозначаемая (х,у), х X, у X, заданная на множестве упорядоченных пар точек (векторов) пространства X, называется скалярным произведением, если для любых точек х X, у X, z X и любых чисел µ R , и ? R выполняются следующие условия:

1) (коммутативность) (х,у) = (у,х);

2) (линейность) (? х +µ у,z) = ? (х,z) + µ (у,z);

3)(х,х) 0;

4) если (х,х) = 0, то x = 0.

Функция (х,у), удовлетворяющая условиям 1)-3), называется почти скалярным произведением. Очевидно, что скалярное произве­дение является и почти скалярным.

Лемма. Если (х,у) — почти скалярное произведение в линей­ном пространстве X, то для любых

х X и у X выполняется нера­венство


(х,у)* (1)


Это неравенство называется неравенством Коши-Буняковского.

Следствие. Для любых точек х X и у X имеет место неравенство (называемое неравенством треугольника

+ (2)

Скалярное произведение позволяет ввести понятие длины (нормы вектора).

Следствие. Если (х,у) — почти скалярное (в частности, ска­лярное) произведение в линейном пространстве X, то функция

=

является полунормой (соответственно нормой) в этом пространства и неравенство Коши-Буняковского можно записать в виде


(х,у) *

Вспомним, что норма – это некоторая функция, отображающая линейное пространство в пространство [0;] такая, что:

1). >0 x0

2). = *, R

3). +

Свойства полунормы (соответственно нормы) для функции = проверяются непосредственно. Например,


Докажем лемму. В силу свойства 3) почти скалярного произве­дения для любого действительного числа

t имеем

(tx+y, tx+y)0

Применив свойства 1) и 2) почти скалярного произведения, получим


t2(х,х) + 2t(х,у) + (у,у)0.(1)

Если (х, х) = 0, то 2t(х, у) + (у, у) 0. Поскольку это неравенство выполняется для любого действительного t, то (х,у) = 0 (в самом деле, если бы было (х,у) 0, то на числа t налагалось бы


ограниче­ние t- . Следовательно, неравенство (1) имеет место: обе его части обращаются в нуль.

Если же (х, х) 0, то дискриминант получившегося квадратного относительно t трёхчлена неположителен, т. е.

(х,у)2-(х,х)*(у,у)0. (*)

Это неравенство равносильно неравенству

\(х,у)\ *

(оно также называется неравенством Коши-Буняковского), из кото­рого очевидным образом вытекает неравенство (1). Докажем теперь неравенство (2):

(x+y, x+y) = (x, x) + (x, y) + (y, x)+ (y, y) (x, x)+2 * +(y, y)= (+)2


( это следует из неравенства (1)).


Если х 0, у 0, то по аналогии с конечномерным случаем коси­нус угла ? = ху между векторами х X и у X линейного прост­ранства X со скалярным произведением определяется равенством

Cos ?=(x,y)/ (* )


а сам угол ? определяется этим значением косинуса. Это равенство следует из неравенства Коши – Буняковского. Действительно, рассмотрим когда cos ? =1. Это возможно, только если дискриминант в доказательстве леммы (*) равен 0 ((x, y)= * ). Тогда один вещественный корень t0, а само уравнение t2(х,х) + 2t(х,у) + (у,у)= (t0x-y,t0x-y)=0.Откуда, в силу аксиомы (4) находим, что t0x-y=0 или y=t0x. Наш результат может быть сформулирован в геометрических терминах: если скалярное произведение двух векторов по абсолютной величине равно произведению их длин, то эти вектора коллинеарны.

В общем случае,

(x,y)= * *cos ?


Если e X, = 1, то вектор х = (х,е)*е называется проекцией вектора х на прямую у = t*е ,

- < t < +, а число

(х,е) =*cos xe

— величиной этой проекции.

Пример1. Множество действительных чисел R является прост­ранством со скалярным произведением, если под скалярным про­изведением (х,у) чисел х и у понимать их обычное произведение: (х,у)=x*y..

Пример 2. В арифметическом действительном линейном n -мерном пространстве R функция

(x,y)=