Курсовая: Вычисление кратных интегралов методом ячеек с автоматическим выбором шага - текст курсовой. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Курсовая

Вычисление кратных интегралов методом ячеек с автоматическим выбором шага

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Курсовая работа
Язык курсовой: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 144 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникальной курсовой работы

Узнайте стоимость написания уникальной работы

11 Министерство образования Украины Днепропетровский государс твенный университет – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – Факультет прикладной математики Кафедра вычислительной механики и прочности конструкций КУРСОВАЯ РАБОТА по численным методам в механике на тему Вычисление кратных интегралов мет одом ячеек с автоматическим выбором шага Исполнитель : студент группы ПД -97-1 Коваленко А.В. Руководитель : профессор Мусияка В.Г. Днепропетровск 1999 Содержание 1 Постановка задачи 2 2 Теоретическая часть 2 2.1 Понятие о кубатурных формулах 2 2.2 Метод ячеек 3 2.3 Последовательное интегрирование 5 2.4 Кубатурная формула типа Симпсона 6 2.5 Принципы построения программ с автоматическим выбором шага 8 3 Список использованной литературы 9 4 Практическая часть 9 4.1 Решение задач и 9 4.2 Блок-схема программы 10 4.3 Листинг программы 12 4.4 Результаты решения 13 1 Постановка задачи Найти при помощи метода ячеек значение интеграла , где – область , ограниченная функциями . 2 Теоретическая часть Рассмотрим K - мерный интеграл вида : (1) где - некоторая K -мерная точка . Далее для простоты все рисунки будут сделаны для случая K =2 . 2.1 Понятие о кубатурных формулах Кубатурные формулы или , иначе формулы численных кубатур предназначены для числ енного вычисления кратных интегралов. Пусть функция определена и непрерывна в некоторой ограниченной области . В этой области выбирается система точек (узлов ) . Для вычисления интеграла приближённо полагают : ( 2 ) Чтобы найти коэффициенты , потребуем точного выполнения кубатурной формулы ( 2 ) для всех полиномов ( 3 ) степень которых не п ревышает заданного числа . Для этого необходимо и достаточно , чтобы формула ( 2 ) была точной для произведения степеней . Полагая в (1) , будем иметь : ( 4 ) Таким образом , коэффициенты формулы ( 2 ), вообще говоря , могут быть определены из системы линейных уравнений ( 4 ). Для того что бы система ( 4 ) была определённой , необходимо , чтобы число неизвестных было равно числу уравнений . В случае получаем : 2.2 Метод ячеек Рассмотрим K -мерный интеграл по пространственному параллелепипеду . По аналогии с формулой средних можно приближённо заменить функцию на её значение в центральной точке параллелепипеда . Тогда интеграл легко вычисляется : ( 5 ) Для повышения точности можно разбить область на прямоугольные ячейки (рис . 2 ). Приближённо вы числяя интеграл в каждой ячейке по формуле средних и обозначая через соответственно пло щадь ячейки и координаты её центра , получим : ( 6 ) Справа стоит интегральн ая сумма ; следовательно , для любой непрерывной она сходится к зна чению интеграла , когда периметры всех ячеек стремятся к нулю. Оценим погрешность интегрирова ния . Формула ( 5 ) по самому её выводу точна для . Но непосредственной подстановкой легко убедиться , что формула точна и для любой линейной функции . В са мом дел е , разложим функцию по формуле Тейлора : ( 7 ) где , а все производные берутся в центре ячейки . Подставляя это разложение в правую и левую части квадратурной формулы ( 5 ) и сравнивая их , аналогично одномерному случаю легко получим выражение погрешности этой формулы : ( 8 ) ибо все члены разложения , нечётные относительно центра симметрии ячейки , взаимно уничтожаются. Пусть в обобщённой квадратурной формуле ( 6 ) стороны пространственного параллелепипеда разбиты соот ветст венно на N 1 , N 2 , … , N k равных частей . Тогда погрешность интегрирования ( 8 ) для единичной ячейки равна : Суммируя это выражение по всем ячейкам , получим погрешность обобщённой формулы : ( 9 ) т.е . формула имеет второй порядок точности . При этом , как и для одного измерения , можно применять метод Рунге– Ромберга , но при одном дополнительном ограничении : сетки по каждой переменной сгу щаются в одинаковое число раз. Обобщим формулу ячеек на более сложные области . Рассмотрим случай K =2 . Легко сообразить , что для линейной функции формула типа ( 5 ) будет точна в области произвольной формы , если под S подразуме вать площадь области , а под – координаты центра тяжести , вычисляемые по обычным формулам : ( 10 ) Разумеется , практическую ценность это имеет только для областей простой формы , где площадь и центр тяжести легко определяется ; например , для треугольника , правильного многоугольника , трапеции . Но это значит , что обобщённую формулу ( 6 ) можно применять к областям , ограниченным ломаной линией , ибо такую область всегда можно разбить на прямоугольники и треугольники. Для области с произвольной границей формулу ( 6 ) прим еняют иным способом . Наложим на область сетку из K - мерных параллелепипедов (рис. 3 ). Те ячейки сетки , все точки которых принадлежат области , на зовём внутренн ими ; если часть точек ячейки принадлежит области , а часть – нет , то назовём ячейку гра ничной . Объём внутренней ячейки равен произведению её сторон . Объёмом граничной ячейки будем считать объем той её части , которая попадает внутрь ; этот объём вычислим приближённо . Эти площади подставим в ( 6 ) и вычислим интеграл. Оценим погрешность формулы ( 6 ). В каждой внутренней ячейке ошибка составляет по отношению к значению интеграла по данной ячейке . В каждой граничной ячейке относительная ошибка есть , ибо центр ячейки не совпадает с центром тяжести входящей в интеграл части . Но самих граничных ячеек примерно в раз меньше , чем внутрен них . Поэтому при суммировании по ячейкам общая погрешность будет , если функция дважды непрерывно диф ференцируема ; это означает второй порядок точности. Вычис ление объёма граничной ячейки довольно трудоёмко , ибо требует определения поло жения границы внутри ячейки . Можно вычислять интегралы по граничным ячейкам более грубо или во обще не включать их в сумму ( 6 ). Погрешность при этом будет , и для хорошей точности потре буется более подробная сетка. Мы видели , что к области произволь ной формы метод ячеек трудно применять ; поэтому всегда желательно заменой переменных преобразовать об ласть интегрирования в прямоугольный параллелепипед (это относится практически ко всем методам вычисления кратных интегралов ). 2.3 Последовательное интегрирование Снова рассмотрим интеграл по K - мерной области , разбитой сеткой на ячейк и (рис. 2 ). Его можно вычислить последовательным интегрированием : Каждый однократный интеграл легко вычисляется на данной сетке по квадратурным формулам типа : Последовательное интегрирование по всем направлениям приводит к кубатурным формулам , которые являются прямым произведением одномерных квадратурных формул : ( 11 ) Например , при K =2, если по каждому направлению выбрана обобщённая формула трапеций , а сетка рав номерная , то веса кубатурной формулы равны соответственно для внутренних , граничных и угловых узлов сетки . Легко показать , что для дважды непрерывно дифференцируемых функций эта формула имеет второй порядок точно сти , и к ней применим метод Рунге– Ромберга. Вообще говоря , для разных направлений можно использовать квадратурные формулы разных порядков точности . Тогда глав ный член погрешности имеет вид : Желательно для всех направлений использовать квадратурные формулы одинакового порядка точности. Можно подобрать веса и полож ение линий сетки так , чтобы одномерная квадратурная формула была точна для многочлена максимальной степени , т.е . была бы формулой Гаусса , тогда , для случая K =2 : ( 12 ) где – нули многочленов Лежандра и соответствующие веса . Эти формулы рассчитаны на функции высокой гладкости и дают для них большую экономию в числе узлов по сравнению с более простыми формулами. Произвольная область . Метод последовательного интегрирования можно применять к области про извольной формы , например , с криволинейной границей . Рассмотрим этот случай при K =2 . Для этого проведём через область хорды , па раллельные оси , и на них введё м узлы , расположенные на каждой хорде так , как нам требуется (рис . 4 ). Представим интеграл в виде : Сначала вычислим интеграл по вдоль каждой хорды по какой-нибудь одномерной квадратурной фор муле , используя введённые узлы . Затем вычислим интеграл по ; здесь узлами будут служить проекции хорд на ось ординат. При вычислении интеграла по имеется одна тонкость . Если область ограничена гладкой кривой , то при длина хорды стремится к нулю не л инейно , а как ; значит , вблизи этой точки . То же будет при . Поэтому интегрировать непосредственно по формулам высоког о порядка точности бессмысленно . Целесообразно выделить из основную осо бенность в виде веса , которому соответствуют ортогональные многочлены Чебышева второго рода. Тогда второе интегрирование выполняется по формулам Гаусса– Кристоффеля : ( 13 ) где , а и – нули и веса многочленов Чебышева второго рода. Чтобы можно было применять эту формулу , надо ординаты хорд на рис . 4 заранее выбрать в соответстви и с узлами ( 13 ). Если это не было сделано , то придётся ограничиться интегрированием по обобщённой формуле трапеций , причём её эффективный порядок точности в этом случае будет ниже второго. 2.4 Кубатурная формула типа Симпсона Пусть сначала область интегрирования есть K - мерный пространственный параллелепипед (рис . 5 ), стороны которого параллельны осям координ ат . Каждый из промежутков разобьём по полам точками : , где . Всего таким образом , получим точек сетки . Имеем : (1 4 ) Находим K -мерный интеграл , вычисляя каждый внутренний интеграл по квадратурной формуле Симпсона на соответствующем отрезке . Проведём полностью все вычи сления для случая K=2 : Применяя к каждому интегралу снова формулу Симпсона , получим : или ( 15 ) Формулу ( 15 ) будем называть кубатурной формулой Симпсона . Следовательно, ( 15 ) где – сумма значений подынтегральной фу нкции в вершинах прямоугольника , – сумма значений в серединах сторон прямоугольника , – значение функ ции в центре прямоугольника . Кратности этих значений обозначены на рис . 5 . Если размеры пространственного паралле лепипеда велики , то для увеличения точности кубатурной формулы область разбивают на систему параллелепипедов , к каждому из которых применяют кубатурную формулу Симпсона. Опять рассмотрим случай K =2. Положим , что стороны прямоугольника мы разделили соответственно на и равных частей ; в результате получилась относительно крупная сеть прямоугольников (на рис . 6 вершины этих прямоугольников отмечен ы более крупными кружками ). Каждый из этих прямоугольников в свою очередь разделим на четыре равные части . Вершины этой последней мелкой сети прямоугольников при мем за узлы кубатурной формулы. Пусть и . Тогда сеть узл ов будет иметь следующие координаты : и Для сокращения введём обозначение Применяя формулу (15) к каждому из прямоугольников крупной сети , будем иметь (рис .6): Отсюда , делая приведение подобных членов , окончательно находим : (16) где коэффициенты являются соответствующими элементами матрицы Если область интегрирования – произвольная , то строим параллелепи пед , стороны которого параллельны осям координат (рис . 83). Рассмотрим вспомогательную функцию В таком случае , очевидно , имеем : Последний интеграл приближённо может быть вычислен по общей кубатурно й формуле (16). 2.5 Принципы построения программ с автоматическим выбором шага При написании программ численного интегрирования желательно , чтобы для любой функции распределение узлов являлось оптимальным или близким к нему . Однако в случае резко меняю щихся функций возникают некоторые проблемы . Если первоначальная сетка , на которой исследуется подынте гральная функция , частая , то сильно загружается память ЭВМ ; если она редкая , то не удаётся хорошо аппроксимировать оптимальное распределение узлов на уча с тках резкого изменения подынтегральной функции . Рассмотрим некоторые из процедур распределения узлов интегрирования , обеспечивающие лучшее приближение к оптимальному распределению узлов для функций с особенностями. Пусть на элементарном отрезке интегрирова ния вычисляется приближённое значе ние интеграла и мера по грешности . Требуется вычислить . Первая процедура , которую естественно назвать горизонтальной , определяется заданием параметров . Полагаем . Предположим , что каким-то образом уже вычислено приближён ное значение интеграла . Программа располагает в каждый момент времени некоторым значе нием , с которым надо начинать считать оставшуюся часть интеграла . Вычисляем величину , соответствующую отрезку . Если оказалось , то вычисляем приближённое значение и полагаем . Мы получили приближённое значение величины . В случае полагаем , в противном случае полагаем . Мы готовы к следующему шагу . Если оказалось , то принимаем за новое значение вели чины и возвращаемся к исходной позиции : вычислено значение интеграла и задан шаг . Начальные условия для применения процедуры : Процедура должна также иметь блок окончания работы : если оказалось , что , то следует положить . Установилась практика брать . Другая процедура , которую можно назвать вертикальной , определяется заданием числа и заключается в следующем . Пусть на каком-то шаге возникает необходимость вычисления интеграла по отрезку разбиения : ; вычисляется величина , соответствующая этому отрезку . Если она оказалась меньше , то этот интеграл вычисляется по соответствующей формуле и программа переходит к следующему справа отрезку разбиения . В противном случае отрезки и объявляются отрезками разбиения , и программа обращается к вычислению интеграла по ле вому из этих отрезков . В начале работы программа обращается к вычислению исходного интеграла . Некоторым недостатком этой процедуры является необходимость запоминания отрезков раз биения , инт егрирование по которым на данный момент не произведено. 3 Список использованной литературы . 1. Бахвалов Н.С . Численные методы . т .1 – М .: Наука . 1975. 2. Демидович Б.П ., Марон И.А . Основы вычислительной математики . – М .: Наука , 1966. 3. Калиткин Н.Н Чис ленные методы . – М .: Наука , 1978. 4. Мус і яка В.Г . Основи чисельних методів механіки . – Дніпропетровськ : Видавництво ДДУ , 1993. 4 Практическая часть 4.1 Решение задачи Наложим на область G прямоугольную сетку с шагами и , вследствие чего получим внутреннюю прямоугольн ую ячейку с площадью и координатами центра и две граничные тр еугольные ячейки с площадями и координатами центров соответственно , и . Не учитывая граничные ячейки , получаем : . Дополнение от граничных ячеек : . Окончательно получаем : 4.2 Блок-схема программы За программой и блок-схемой по данной теме обращайте сь по адресу : shuric_1@mail.ru 4. 4 Результаты решения Расчёт проводился при точности eps = 1 E -6 . Интеграл равен : 0.221612 Количество ячеек равно 8525.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
- Увы, времена благородных рыцарей прошли...
- А также оспы, чумы, инквизиции и сжигания на кострах ведьм...
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, курсовая по математике "Вычисление кратных интегралов методом ячеек с автоматическим выбором шага", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru