Реферат: Вопросы по теории вероятностей - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Вопросы по теории вероятностей

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 176 kb, скачать бесплатно
Обойти Антиплагиат
Повысьте уникальность файла до 80-100% здесь.
Промокод referatbank - cкидка 20%!

Узнайте стоимость написания уникальной работы





Вопросы по теории вероятностей

  1. +Основные понятия теории вероятностей: события, вероятность события, частота события, случайная величина.

  2. +Сумма и произведение событий, теоремы сложения и умножения вероятностей.

  3. +Дискретные случайные величины. Ряд, многоугольник и функция распределения.

  4. +Непрерывные случайные величины. Функция и плотность распределения.

  5. +Функция распределения; квантиль и а -процентная точка распределения.

  6. +Формула полной вероятности и теорема гипотез.

  7. +Числовые характеристики случайных величин: моменты; дисперсия; и среднеквадратичное отклонение.

  8. -

  9. +Равномерное распределение, его числовые характеристики.

  10. +Биномиальное распределение, распределение Пуассона.

  11. +Нормальное (Гаусовское) распределение, стандартные нормальные распределения.

  12. Стандартная нормальная случайная величина.

  13. +Независимые и зависимые случайные величины: ковариация, корреляция, коэффициент корреляции.

  14. +Теоремы о числовых характеристиках.

  15. +Закон больших чисел, неравенства и теоремы Чебышева, Бернулли.

  16. +Центральная предельная теорема теории вероятностей.

  17. Выборки, объем выборки.

  18. Состоятельные, не смешенные и эффективные оценки; оценивание среднего значения и дисперсии.

  19. +Доверительные интервалы.

  • +Теорема о повторении опытов.

  • Задача_1

  • Задача_2

  • Задача_3

  • Задача_4

  • Задача_5

  • Задача_6

  • Задача_7

  • Задача_8

  • Задача_9





Ответ на билет 1


X – случайная величина.

x – значение случайной величины.



- непрерывная случайная величина



Дискретная случайная величина – можно пересчитать.

Практически не возможное событие, вероятность которого близка к нулю 0 (0,01; 0,1).

Практически достоверное событие, вероятность которого близка к единице 1 (0,99; 0,9888).


Вернуться к вопросам



Ответ на билет 2


Сумма событий и произведение событий.

А,В,….,G - события

Суммой событий называется некоторое событие S=A+B+….+G=AB….G, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Пример: Допустим идет стрельба по мишени

А1 - попадание при первом выстреле

А2 - попадание при втором выстреле

S=A1+A2 (хотя бы одно попадание)


Произведением некоторых событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. S=ABC…G=

Пример: А1 - промах при первом выстреле

А2 - промах при втором выстреле

А3 - промах при третьем выстреле

(не одного попадания)


Теорема сложения вероятностей.

Вероятность двух не совместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

P(A) P(B)

P(A+B)=P(A)+P(B)

S=S1+S2+…+Sn

P(S)=P(S1)+P(S2)+…+P(Sn)

Следствие: Если событие S1, S2, …, Sn образуют полную группу не совместных событий, то сумма их вероятностей равна 1.

Противоположными событиями называются два не совместных события, образующие полную группу

. (пример - монетка имеющая орел и орешко)

Если два события A и B совместны, то вероятность совместного появления двух событий вычисляется по формуле:

Условие независимости события А от события В: P(A|B)=P(A), то P(B|A)=P(B)

Условие зависимости события А от события В: P(A|B)P(A), P(B|A) P(B) (Если А не зависит от В, то и В не зависит от А - условие не зависимости условий взаимно).

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что событие первое имело место:

P(AB)=P(A)P(B|A), P(AB)=P(B)P(A|B)

Следствие: Вероятность произведения нескольких не зависимых событий равна произведению вероятностей этих событий. P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)

Пример: на монете выпадет орел 2 раза

S=AорAор S=P2(A)=(1/2)2=1/4


Вернуться к вопросам



Ответ на билет 3


Закон распределения случайных величин

Ряд и многоугольник распределений. Случайная величина - это величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение не известное заранее какое.

Большие буквы - случайные величины. Малые буквы - их возможные решения.

Рассмотрим случайную дискретную величину Х с возможными значениями x1, x2, …, xn

В результате опыта :

Обозначим вероятность соответствующих событий через Pi

, так как рассматриваемые события образуют полную группу не совместных событий, то

Х полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим распределение вероятности pi(i=1,2…,n), то есть в точности указаны решения вероятности pi каждого события xi

Этим будет установлен закон случайной величины xi.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение устанавливающее связь между возможными значениями случайных величин и соответствующими вероятностями.

Простейшей формой записи законов распределения является таблица:


X

x1, x2, …, xn

P

p1, p2, …, pn



Многоугольник и ряд распределения полностью характеризует случайную величину и является одной из форм законов распределения. (Для непрерывной случайной величины построить невозможно).


Вернуться к вопросам



Ответ на билет 4


Плотность и функция распределения.

Функция распределения непрерывной случайной величины (Х), задана выражением:

  1. Найти коэффициент а

  2. Найти плотность распределения F(x)

  3. Найти вероятность попадания случайной величины на участок P(0,5

  4. Построить график функций

F(x)


F(4)=1 -> a4=1, a=0,25

1


f(x)

- два способа решения.


Вернуться к вопросам



Ответ на билет 5


Функция распределения

Для непрерывной случайной величины Х вместо вероятности равенства Х=х используют вероятность Р(Х<х>

F-функция распределения случайной величины х

F(x) -интегральный закон распределения или интегральная функция распределения.

F(x) -самая универсальная характеристика случайной величины, она существует для всех случайных величин как дискретных так и непрерывных.

Основные свойства функции распределения.

  1. Функция распределения F(x) есть не убывающая функция своего аргумента, т.е. при x2>x1 F(x2)>=F(x1)

  2. При функция распределения F(x)=0; F()=0

  3. При F(x)=1; F()=1






Для дискретной случайной величины:

Функция распределения любой дискретной случайной

величины всегда есть разрывная ступенчатая функция,

скачки которых происходят в точках соответствующих

возможных значений случайных величин и равны

вероятностям этих значений. Сумма всех скачков

равна 1.

F(x) непрерывной случайной величины

Часто используют величины квантиль и -процентная точка

Квантиль - решение уравнения

- процентная точка определяется из уравнения





Вернуться к вопросам



Ответ на билет 6


Формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий H1, H2, …, Hn, образующие полную группу не совместных событий. Эти события назовем гипотезами. Докажем, что в этом случае вероятность событий:

Вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятностей каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе.

применяем 2е теоремы:

-формула полной вероятности







Теорема гипотез (формула Байеса).

Пусть вероятность полной группы не совместных гипотез H1, H2, …, Hn известны и равны P(H1), P(H2), …, P(Hn). Событие А может появиться совместно с условной вероятностью P(A|Hi) (i=1,2,…,n).

Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез после проведения опытов в связи с появлением этого события. Иными словами, требуется найти условную вероятность P(Hi,A).


Формула Байеса:



Вернуться к вопросам



Ответ на билет 7


Числовые характеристики случайных величин.


Закон распределения случайных величин, представленный в той или иной форме, дает исчерпывающее описание случайной величины. Наиболее существенные особенности распределения в компактной форме описываются так называемыми числовыми характеристиками случайных величин. Они играют в теории вероятности огромную роль, с их помощью облегчается решение вероятностных задач. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся числовые характеристики.


Характеристики положения.



Мат. Ожидание Мода Медиана


Важнейшая характеристика математическое ожидание, которая показывает среднее значение случайной величины.

Математическое ожидание величины Х обозначается М[X], или mx.

Для дискретных случайных величин математическое ожидание:

Сумма значений соответствующего значения на вероятность случайных величин.


Модой (Mod) случайной величины Х называют ее наиболее вероятное значение.

Для дискретной случайной величины. Для непрерывной случайной величины.










Mod=X3 Mod=X0

Одно-модальное распределение



Много модальное распределение

В общем случае Mod и математическое ожидание не

совпадают.






Медианой (Med) случайной величины Х называют такое значение, для которой вероятность того что P(XMed). У любого распределения Med может быть только один.


Med разделяет площадь под кривой на 2 равные части. В случае одно-модального и симметричного распределения

mx=Mod=Med






Моменты.

Чаще всего на практике применяются моменты двух видов начальное и центральное.

Начальный момент. -го порядка дискретной случайной величины Х называется сумма вида:

Для непрерывной случайной величины Х начальным моментом порядка называется интеграл , очевидно, что математическое ожидание случайной величины есть первый начальный момент.

Пользуясь знаком (оператором) М, начальный момент -го порядка можно представить как мат. ожидание -ой степени некоторой случайной величины.


Центрированной случайной величиной соответственной случайной величины Х называют отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания:

Математическое ожидание центрированной случайной величины равно 0.

Для дискретных случайных величин имеем:














Моменты центрированной случайной величины носят название Центральных моментов


Центральный момент порядка случайной величины Х называют математическим ожиданием -ой степени соответствующей центрированной случайной величины.

Для дискретных случайных величин:

Для непрерывных случайных величин:


Связь между центральными и начальными моментами различных порядков

Из всех моментов в качестве характеристики случайной величины чаще всего применяют первый момент (мат. ожидание) и второй центральный момент .


Второй центральный момент называют дисперсией случайной величины. Он имеет обозначение:

Согласно определению

Для дискретной случайной величины:

Для непрерывной случайной величины:

Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеянности (разбросанности) случайных величин Х около ее математического ожидания.

Дисперсия означает рассеивание. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины.

Для наглядной характеристики рассеивания удобнее использовать величину, my той, что и размерность случайной величины. С этой целью из дисперсии извлекают корень и получают величину, называемую - среднеквадратичным отклонением (СКО) случайной величины Х, при этом вводят обозначение:

Среднеквадратичное отклонение иногда называют "стандартом" случайной величины Х.

Итак:


Математическое ожидание mx и Dx (или СКО ) наиболее частые употребляемые характеристики случайных величин, так как они определяют наиболее важные черты распределения, его положения и степень разбросанности.


Вернуться к вопросам



Ответ на билет 8



Вернуться к вопросам



Ответ на билет 9


Равномерное распределение

Равномерная плотность распределения определяется следующим образом:

Функция распределения определяется:



Найдем числовые характеристики:

(математическое ожидание)

(медиана), Mod - не существует для данного распределения

(дисперсия), (среднеквадратичное отклонение)


Вернуться к вопросам



Ответ на билет 10


Закон распределения Пуасона

Рассмотрим дискретную случайную величину х, имеющую ряд распределения:

X

X0=0

X1=1

Xm=m

P

P0

P1

Pm

Говорят, что данное случайное распределение подчинено закону распределения Пуасона.

(k=m-1)


Вернуться к вопросам



Ответ на билет 11


Нормальный закон распределения (закон Гауса)

Главная особенность в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие распределения, при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида:





Можно показать, что дисперсия


Вернуться к вопросам



Ответ на билет 12



Вернуться к вопросам



Ответ на билет 13


Независимые случайные величины.


Случайные величины x и y независимы если вероятность .


Для зависимых величин x и y вероятность


Корреляционным моментом или Ковариацией случайных величин x и y называют величину:

Можно показать, что для независимых случайных величин cov(x,y)=0


Коэффициент корреляций



Случайные величины x1, x2, x3, …, xn, называются не коррелированными, если


Вернуться к вопросам



Ответ на билет 14


Теорема о числовых характеристиках


  1. Если c не случайная (детерминированная) величина, то M[c]=c и D[c]=0


  1. Если c не случайная - постоянная, а Х случайная (детерминированная), то:


  1. Математическое ожидание суммы нескольких величин равно сумме их ожиданий.


  1. Математическое ожидание линейной функции равно той же линейной функции от математических ожиданий аргументов.


  1. Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий плюс удвоенный их корреляционный момент.


В общем случае:

, где


Для не корреляционных случайных величин:



Вернуться к вопросам



Ответ на билет 15

В широком смысле слова, закон больших чисел характеризует устойчивость средних. При очень большом числе случайных явлений - перестает быть случайным и может быть предсказан с большей степенью определенности. В узком смысле под законом больших чисел понимается ряд математических теорем, в которых устанавливаются факты приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным. Другая группа предельных теорем касается уже не предельных значений случайных величин, а предельных законов распределения. Эта группа теорем известна под названием "центральной предельной теоремы".

Неравенство Чебышева.

P( |X-mx| > E) <= Dx/E2






Теорема Чебышева

Теорема Чебышева дает одну из наиболее возможных форм закона больших чисел. Она устанавливает связь между средним арифметическим и ее математическим ожиданием наблюденных значений случайной величины.

Yn=( X1 + X2 + …. + Xn) * 1/n = 1/n

M[Yn] = i/n = 1/n * = 1/n * n * mx = mx

Мат ожидание среднего не зависит от n

Теорема Чебышева устанавливает в точной количественной форме это свойство устойчивости среднего арифметического.

Теорема Чебышева: При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины сходится по вероятности n т ее математическому ожиданию.

В можематической форме это означает следующее:

, где и сколь угодно положительные числа и .


Теорема Бернулли

Теорема Бернулли: При неограниченном увеличении числа опытов n, частота события a сходится по вероятности к его вероятности P

- (вероятность). m-произошло событие. n-число опытов.

близко к 0



Вернуться к вопросам



Ответ на билет 16


Центральная предельная теорема

Рассмотрим одну из наиболее общих форм центральной предельной теоремы:

Пусть имеется взвешенная сумма независимых случайных непрерывных величин x1, x2, x3, …., xn с произвольными законами распределения:

, где постоянная, фиксированная числа.

Пусть i-ая случайная величина имеет и (i=1,2,3,…,n-1,n)

Согласно теореме о числовых характеристиках случайных величин, получим:

Центральная предельная теорема утверждает, что при достаточно общих условиях распределения суммарной Yn при стремиться к нормальному распределению


Опыт показывает, что когда или меньше, то закон распределения суммы может быть заменен нормальным.

Вернуться к вопросам



Ответ на билет 17



Вернуться к вопросам



Ответ на билет 18



Вернуться к вопросам



Ответ на билет 19


Доверительный интервал и доверительная вероятность используется в математической статистике точности и надежности полученной оценки a* неизвестного параметра a.


=0,95 или 0,98; 0,99 - Назначим вероятность достаточно большую.

Найдем значение интервала , при котором вероятность a*-a

вероятность, что выйдет за пределы интервала:

Интервал, покрывающий a называется доверительным интервалом.

Вероятность называется доверительной вероятностью.







Оценка a* называется точечной оценкой.

Оценка называется интервальной оценкой.

Вернуться к вопросам


Теорема о повторении опытов


Рассмотрим серию из n однородных, не зависимых опытов, проводимых в одинаковых условиях, в каждом из которых может появиться или не появиться событие А. Вероятность появления F=P, не появления q=1-P. Предполагается, что вероятность р остается одной и той же в каждом опыте.

Требуется найти вероятность Рm,n того, что А в этих n опытах появится ровно m раз (0<=m<=n).

-Биномиальное распределение.

, где

Если производится n неизвестных опытов в каждом из которых событие А появляется с вероятностью Р, то вероятность того что событие А появится ровно m раз выражается формулой:


Вернуться к билетам.


Задача 1


Задача на схему случаев

В урне 3 белых и 4 черных шара. Какова вероятность изъятия из урны трех черных шаров?


n - общее число возможных случаев изъятия 3 шаров из урны.

m - число благоприятных случаев. (все три шара черные)


,


Вернуться к билетам.



Задача 2


Задача на не совместные события.

Мишень состоит из 2-х зон, при одном выстреле вероятность попадания в зону 1=0,2, в зону 2=0,4

Найти вероятность промаха?


- попадание.

- промах.

А=А12; P(A)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2); P(A1A2)=0

Вернуться к билетам.



Задача 3


Задача на умножение вероятностей.

В урне находится 3 белых и 2 черных шара. Вынимается по 2 шара.

Найти вероятность того, что оба шара белые?


А1 - первый шар белый.

А2 - второй шар белый.

А=А1А2

Вернуться к билетам.



Задача 4


Задача на умножение вероятностей.

В урне находятся 3 белых и 2 черных шара. Вынимают по очереди 2 шара, причем первый обратно возвращают.

Какова вероятность что будут вынуты оба черных шара?


Вернуться к билетам.



Задача 5


Задача на формулу полной вероятности.

Имеется 3 урны.

В одной 2 белых и 1 черный шар

Во второй 1 белый и 1 черный шар.

В третьей 3 белых и 2 черных шара.

Выбирается одна из урн и из нее 1 шар. Какова вероятность, что шар черный?


А - черный шар. P(A)=?

n=10 m=4


Второй способ через формулу полной вероятности.

H1; H2; H3;

Вернуться к билетам.



Задача 6


Задача на теорему о повторении опытов.

Проводят 4 независимых опыта. Вероятность события в каждом из опыте равна 0,3

Построить ряд и многогранник числа событий.


Введем Х-число появлений событий в результате проведенных опытов.

X=X0=0

X=X1=1

X=X2=2

X=X3=3

X=X4=4


- теорема о повторении опытов.


X

0

1

2

3

4

P

0,0024

0,588





P0,4=1*1*0,74=0,0024

P1,4=*0,31*0,73=0,588

P2,4=*0,32*0,72=

P3,4=*0,33*0,71=

P4,4=*0,34*0,70=



Вернуться к билетам.



Задача 7


Задача на подсчет вероятностей

Мишень состоит из 4 зон, производится один выстрел.

Найти вероятность промоха, если вероятность попадание в зоны известна и равна:

P1=0,1

P2=0,15

P3=0,20

P4=0,25


A - попадание в мишень.

- промах.



Вернуться к билетам.



Задача 8


Задача на условную вероятность.

В урне находятся 3 белых и 2 черных шара. Вынимаются 2 шара.

Найти вероятность, что оба шара белые.

А1 - белый шар

А2 - белый шар

P(A1A2)=?


C=A1A2


Если первый шар возвращается в урну.

P(A1)=P(A2)


Вернуться к билетам.



Задача 9


a=? F(x)=? mx=?




Вернуться к билетам.



1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
"Мне не нравится, что у тебя на левой руке есть локоть!" — Ночная претензия жены. 21-я неделя беременности.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Вопросы по теории вероятностей", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2017
Рейтинг@Mail.ru