Министерство образования Российской Федерации
Министерство образования Республики Башкортостан
Номинация: Математика
«Возникновение геометрии»
Вехова Диана Викторовна
МБОУ ООШ д. Ключевка
МР Федоровский район
Научный руководитель:
Дементьев Виктор Анатольевич,
учитель математики,
учитель 2 категории
Ключевка 2012
ПЛАН
Введение
Основная часть:
Глава 1. Возникновении геометрии.
Глава 2. Геометрия в Древнем Египте и Индии.
Глава 3. Геометрия в Древнем Китае и Греции.
Глава 4. Пифагорская академия
Заключение.
Тезисы.
Список литератур.
ВВЕДЕНИЕ
Возникновение геометрии вызвано потребностью человека измерять землю. Слово «геометрия» означает землемерие. Таким образом, первые геометры были преимущественно землемерами. На заре своего развития, несколько тысяч лет тому назад, геометрия Египта и Вавилона состояла из отдельных правил, полученных опытным путем и предназначавшихся главным образом для вычисления площадей и границ земельных участков.
В последующие века в связи с развитием торговли и ремесел развивается и геометрия, содержание которой значительно усложняется. Перед геометрией возникли новые задачи, связанные с измерением емкости сосудов, вычисление объемов различных тел, вообще задачи, связанные с формой, размерами и взаимным расположением различных предметов.
Основная часть
Глава1
«Возникновение геометрии»
Наши первоначальные представления о геометрических формах относиться к эпохе древнего каменного века – палеолита. Уже тогда люди изготовляли орудия для охоты и рыболовства в форме ромбов, треугольников, сегментов. В эпоху позднего палеолита они стали украшать свои жилища наскальными рисунками и статуэтками, имевшими ритуальное значение. Таковы, например, рисунки в пещерах Франции и Испании пятнадцатитысячелетней давности.
С наступлением неолита произошел переход от простого собирания пищи к её производству, от охоты и рыболовства к земледелию. Постепенно рыболовы и охотники сменялись первобытными земледельцами, которые вели оседлый образ жизни. Появились простейшие ремесла. В эпоху позднего неолита люди научились плавить медь и бронзу, изготовлять орудия производства и оружие. Это повлекло оживление торговли на уровне обмена. Возникает необходимость измерения длины и емкости тел. Единицы измерения были грубы и исходили из размеров человеческого тела. При возведении построек стали вырабатываться правила построений по прямым линиям и под прямым углом. Во многих странах людей, занимавшихся межеванием, называли «натягивателями веревки». Слово «линия» происходит от латинского слова linum- лен, льняная нить, что говорит о связи между ткацким ремеслом и зарождением геометрии.
Человек неолита обладал острым чувством геометрической формы. Обжиг и раскраска глиняных сосудов, изготовление камышовых циновок, корзин и тканей, обработка металлов вырабатывали геометрические представления. Неолитические орнаменты радовали глаз, выявляя равенство, симметрию, подобие фигур. Такого рода орнаменты оставались в ходу и в исторические времена - византийская и арабская мозаика, персидские и китайские ковры. Первоначально ранние орнаменты, возможно, имели религиозное или магическое значение, но постепенно преобладающим стало их эстетическое значение.
В религии каменного века, пронизанной таинством и магией, существовали «магические» фигуры (пятиконечная звезда, свастика). Это говорит о культово-обрядовых и эстетических корнях математической и геометрической науки.
Даже у самых отсталых племен мы находим какой-то отсчет времени и, следовательно, какие-то сведенья о движения Солнца, Луны и планет. Сведенья этого рода приобрели более точный характер с развитием земледелия и торговли. Использование лунного календаря относится к очень давней эпохе в истории человечества, так как рост растений связывали с фазами Луны. Во время путешествий люди пользовались созвездиями как ориентирами. Все это дало некоторые сведения о свойствах окружности, сферы, об углах. Это был еще один путь, по которому шло развитие геометрических понятий.
Геометрические знания в Древнем Египте. Современная наука располагает сравнительно небольшим числом египетских математических документов – около пятидесяти папирусов. Самым древним из них является «московский папирус», относящийся к эпохе 1850 г. до н.э. и содержащий 25 задач с решениями.
В 1858 году в тайниках одной из египетских пирамид был найден папирус размером 544 ? 33 см ( размеры «московского папируса» 544 ? 8 см), относящийся к 1650 г. до н.э., составленный писцом Ахмесом и содержащий 84 задачи с решениями еще более раннего происхождения. Папирус ныне хранится в Британском музее, носит название «папирус Ахмеса», «папирус Райнда» или «лондонский папирус».
Другие папирусы относятся к более позднему периоду, а их содержание во многом повторяет «московский»и «лондонский». В задачах речь идет о количестве хлеба и различных сортов пива, о кормлении животных и хранении зерна. Геометрические задачи касаются преимущественно измерений и содержат правила вычисления площадей треугольников и трапеции.
Глава 2
«Геометрия в Древнем Египте и Индии»
Судя по одной из задач папируса Ахмеса, египтянам было известно свойство линий трапеции. Этот факт подтверждается рисунками на стенах храма Эдфи в Верхнем Египте, сделанными в более поздний период ( 2 в. До н.э.). В папирусах есть правила для вычисления объемов таких тел, как куб, параллелепипед, цилиндр, причем все они рассматриваются конкретно как сосуд для хранения зерна.
В Древнем Египте не было терминов «фигура», «сторона фигуры». Вместо этого использовались слова «поле», «границы поля», «длина поля».Однако и крупнейший историк древности Геродот, и философ Демокрит, и сам Аристотель именно Египет считали колыбелью геометрии. Вот что пишет об этом древнегреческий ученый Евдем Родосский. «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли вследствие разливов Нила, постоянно смывающего границы участков. Нет ничего удивительного, что эта наука, как и другие, возникла из практических потребностей человека. Всякое возникающее знание из несовершенного состояния переходит в совершенное».
Геометрия в Вавилоне. Возделывание почвы в районах блуждающих Тигра и Евфрата, текущий с Армянского нагорья, требовало большого технического искусства и регулировки, чем в районе Нила. К тому же Двуречье было перекрестком многочисленных караванных путей. Вместе с товарами в Вавилон попадали знания других народов.
Шумеры писали на глиняных плитках, которые в большом количестве находят при раскопках. В табличках даны способы решения практических задач, связанных с земледелием, строительством и торговлей.
Гордостью вавилонян по праву считается изобретение позиционной системы счисления, что существенно повышало их вычислительные возможности.
Шестидесятеричная позиционная система счисления позволила вавилонской астрономии приобрести характер настоящей науки. От вавилонян ведет начало деления круга на 360 градусов, деление градуса на 60 минут, минуты – на 60 секунд.
Основной чертой геометрии вавилонян был ее арифметико-алгебраический характер. Как и в Египте, геометрия развивалась на основе практических задач измерения, но геометрическая форма задачи обычно являлась только средством для постановки алгебраической проблемы.
Тексты глиняных табличек вавилонян содержат правила для вычисления площадей простых прямолинейных фигур и для объемов простых тел. Теорема Пифагора была известна не только для частных случаев, но и в полной общности.
Помимо простейших фигур, рассматривавшихся в Египте, математики Вавилона изучали некоторые правильные многоугольники, сегменты круга. Решались также задачи на подобие фигур. Пропорциональных отрезков, образующихся на прямых, пересеченных несколькими параллельными прямыми, была известна задолго до Фалеса. Это подтверждают клинописные таблички с задачами на построение пропорциональных отрезков путем проведения в прямоугольном треугольнике параллелей к одному из катетов. Известно было и свойство средней линии трапеции.
Древнеиндийская геометрия имела ярко выраженный практический характер и была тесно связана как с повседневными потребностями, так и с религиозными обрядами, в частности с культом жертвоприношения. В части дошедших до нас под названием « Сульва- сутра» священных древнеиндийских книг излагаются свойства фигур, связанных с построением алтарей-жертвенников.
В этих книгах встречаются вычисления площадей, построения квадрата по данной его стороне, деление отрезка пополам, есть примеры практического применения подобия треугольников и теоремы Пифагора, которая имела следующую формулировку: «квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его большей и меньшой сторон. Квадрат на диагонали квадрата в два раза больше самого квадрата».
В «Сутрах» правила и приемы приводят так же, как у египтян и вавилонян, без каких-либо объяснений. Вот как выглядит «правило Катиайаны» для построения квадрата, равновеликого кругу: «Разделить 15 равных частей и взять 13 таких частей для стороны квадрата, равного по площади данному кругу». А вот правило для построения прямого угла – перпендикуляра к направлению жертвенника: «К концам отрезка длиной 39 прикрепим концы веревки длиной 51 с узлом на расстоянии 15 от одного из концов; держа за узел и, подтянув веревку, получим прямой угол».
Началом учению о тригонометрических величинах послужила замена хорды AB окружности полухордовой AC – линей синуса, которую индейцы называли «ардхаджива» (а позже просто джива). Арабы при переводе исказили это слово в «джайб», что в 12 в. Было переведено на латынь словом sinus. Косинус индейцы называли «котиджива», то есть синус остатки (до четверти окружности), что по-латыни звучало как sinus complementi – синус дополнения, то есть sin ( 90°)
Интересно, что результаты «Сульва-сутр» не всегда встречаются в более поздних манускриптах, что говорит о существовании различных традиций, связанных с различными школами в индийской науке.
Глава 3
«Геометрия в Древнем Китае и Греции»
Древний Китай. Все сочинения, содержащие математические знания китайских ученых, дошли до нас от периода Хань, но в них содержится материал более раннего происхождения. Самое древнее китайское математико-астрономическое сочинение «Чжоу-би», написанное около 1100 г. до н.э., в первой главе содержит предложение, относящиеся к прямоугольному треугольнику, среди которых – и теорема Пифагора. В этом же сочинении содержится правило для определения площади круга: «Умножь диаметр сам на себя, раздели на четыре, возьми три раза»
В трактате «Математика в девяти книгах» первая книга названа «Измерение полей» и содержит задачи на вычисление площадей земельных участков различной геометрической формы. Среди приведенных фигур имеются треугольники, трапеции, прямоугольники, круги, круговые сегменты, сектора и кольца. Правила вычисления площадей прямолинейных фигур в основном совпадают с современными, но терминология еще несовершенна; вместо понятия «трапеция» употребляется название «косое поле», вместо «сегмента» - «поле в виде лука» и т.д. Нет особого термина для радиуса, вместо него всегда задается диаметр.
Девятая книга трактата имеет название «Гоу-гу» - так назывались катеты прямоугольного треугольника, причем гоу –вертикальный катет, гу- горизонтальный катет. Все 24 задачи этой главы решаются по правилу «гоу-гу», связывающему катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника, то есть по теореме Пифагора.
Начало греческой науки положила ионийская школа натурфилософии. Ее основателем считается милетский купец, политический деятель, астроном, математик и философ Фалес.
Античная традиция единодушно называет Фалеса отцом греческой науки, первым из семи мудрецов Древней Греции. Ученик Аристотеля Евдем Родосский называет Фалеса первым астрономом, римский писатель и ученый Плиний Старший – первым физиком, а карфагенянин Апулей – первым геометром: «Фалес Милетский – один из тех знаменитых семи мудрецов и, несомненно, самый великий из них – ведь это он был у греков первым изобретателем геометрии, самым опытном испытателем природы, самым сведущим наблюдателем светил, - проводя маленькие черточки, делал великие открытия: он изучал смены времена года, ветров дуновения, планет движения, грома дивное грохотание, звезд по кругам своим блуждания, солнца ежегодные обращения, а также луну – как она прибывает, родившись, как убывает, старея, и почему исчезает, затмившись».
Легенды рассказывают о том, как Фалес посрамил египетских мудрецов, найдя высоту пирамиды по ее тени: «Когда тень от вертикально столба будет той же длины, что и длина столба, тогда тень от пирамиды будет равна ее высоте». Еще рассказывают, будто Фалес доказал, что расстояния от середины гипотенузы прямоугольного треугольника до вершин этого треугольника равны.
Главная заслуга Фалеса состоит в том, что он, познакомившись в странах Востока с некоторых геометрическими положениями, применявшимися для решения практических задач, проявил к ним теоретический интерес и попытался их обосновать. Именно с Фалеса начинается постепенное преобразование эмпирической египетской и вавилонской математики в греческую дедуктивную математику. По словам Плутарха, «Фалес был в то время единственным ученым, которых в своих исследованиях пошел дальше того, что нужно было для практических потребностей, все остальные получили звание ученых за свое искусство в государственных делах». Вот почему из семи мудрецов самым известным является Фалес – первый естествоиспытатель и философ
Появление планиметрии.«Золотой век» Греции, ознаменовавшийся в 5 веке до н.э. победой над Персией, породил условия для появления первой в истории человечества группы критически мыслящих ученых – «софистов»
После Анаксагора перспективой занимался автор атомистической теории строения Вселенной, известный философ Демокрит из Абдер во Фракии. Как и Фалес, свои первоначальные знания Демокрит почерпнул на Востоке: «Никто не превзошел меня в построении фигур из линий, сопровождающемся доказательством, даже арпадонапты в Египте».
Свою геометрию Демокрит строил на основе атомистической структуры пространства: линии, поверхности, объемы считались им состоящими из большого числа конечных и далее неделимых элементов. Демокрит установил, что объем пирамиды равен третьей части объема призмы, а объем конуса – третьей части объема цилиндра с теми же основанием и высотой. Как сообщают Плутарх и Аристотель, он разбивал конус на ряд наложенных друг на друга кружков малой толщены, после чего находил объем всего конуса. В рассуждения Демокрита содержались зачатки исчисления бесконечно малых, впоследствии использованные Архимедом при вычислении площадей и объемов фигур.
Первый систематический курс планиметрии принадлежит ионийскому философу и математику Гиппократу из Хиоса. В этом сочинении Гиппократа уже в полном объеме применяется принцип логического заключения от одного утверждения к другому. «Начала» Гиппократа включали в себя теорию параллельных, сумму углов треугольника, площади многоугольника и вычисление площади круга. Гиппократ применяет теорему Пифагора, но и соответствующее неравенство для непрямоугольных треугольников. «Начала» Гиппократа Хиосского составили содержание первых четырех книг «Начала» Евклида.
«Начала» Гиппократа Хиосского доказывают существование уже упорядоченной плоскостной геометрии в Древней Греции.
Глава 4
«Пифагорская академия»
Представителями другой большой научно философский школы, возникшей ок. 530 г. до н.э., были пифагорейцы, назвавшие себя в чести философа, мистика и политического деятеля Пифагора. Пифагорейцы в противовес софистам подчеркивали реальность изменений и стремились найти в природе и обществе неизменное. Для этого они изучали геометрию, арифметику, астрономию и музыку – так называемый «квадривиум». Позднее, в 360 г до н.э., Платон, сформулировал идеалы рабовладельческой аристократии, предписал для нее обязательное изучение «квадривиума» для понимания законов Вселенной и умения управлять народом.
В геометрию пифагорейцев привлекали прежде всего свойства фигур, которые могут быть выражены числовыми соотношениями. Поэтому в особом почете оказалось соотношение между сторонами в прямоугольном треугольнике, которое вошло в науку как теорема Пифагора. О том, что это соотношение приписывается Пифагору, сообщает только Прокл, причем сам относится к этому с недоверием. Он же пишет о предании, что в знак благодарения за доказательство этой теоремы Пифагор принес в жертву богам 100 быков.
Вполне возможно, что ее первое доказательство действительно принадлежит школе Пифагора или даже ему самому, но это соотношение было известно и в Вавилоне времен царя Хаммурапи, и в Древнем Китае задолго до Пифагора.
Пифагорейцам были известны некоторые свойства правильных многоугольников и правильных многогранников. Они показали, как заполнить плоскость правильными треугольниками, шестиугольниками, квадратами, умели с помощью циркуля и линейки построить не только правильные треугольник, четырехугольник, шести угольник, но и пяти угольник и десятиугольник. Последние две фигуры были нужны пифагорейцам для постарения пятиконечной звезды – пентаграммы – служившей символом школы Пифагора. С пентаграммой связана легенда о том, как один из пифагорейцев по изображенной на дверях дома пятиконечной звезде нашел место, где после продолжительной болезни умер его соратник, после чего хозяин дома в знак благодарности за заботу о больном человеке был щедро вознагражден.
Главным, наиболее значительным среди открытий пифагорейской школы, было открытие несоизмеримости диагонали и стороны квадрата. Возможно, что это было связано с исследованием среднего геометрического, служившего для пифагорейцев символом аристократии. Чему равно среднее геометрическое единицы и двойки, двух священных символов? Легенда приписывает это открытие самому Пифагору.
Заключение
Таким образом, геометрия возникла на основе практической деятельности людей и в начале своего развития служила преимущественно практическим целям. В дальнейшем геометрия сформировалась как самостоятельная наука, занимающаяся изучением геометрических фигур. Высокий уровень развития современной техники ставит перед геометрией все новые и новые задачи. В настоящее время геометрия определяется как часть математики, изучающая пространственную форму, размеры и взаимное расположение фигур.
Итак, Геометрия- один из важнейших предметов, причем не только среди предметов математического цикла, но и вообще среди всех школьных предметов. Её возможности охватывает необычайно широкий арсенал, включает в себя чуть ли не все мыслимые цели образования и развития человечества.
«Возникновение геометрии»
Вехова Диана Викторовна
МБОУ ООШ д. Ключевка
МР Федоровский район
Научный руководитель:
Дементьев Виктор Анатольевич,
учитель математики,
учитель 2 категории
Тезисы
Один великий человек как-то воскликнул: «Все вокруг геометрия!». Сегодня уже в начале 21 столетия мы можем повторить это восклицание еще с большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг – всюду геометрия! Современные здания и космические станции, авиалайнеры и подводные лодки, интерьеры квартир и бытовая техника – все имеет геометрическую форму. И это уже достаточно, чтобы ответить на вопрос: «Нужна ли нам Геометрия?»
Во-первых, мировая наука начиналась с геометрии. Ребенок, еще не научившийся говорить, познает геометрические свойства окружающего мира. Многие достижения древних геометров вызывают изумление у современных ученых, и несмотря на то, что у них полностью отсутствовал алгебраический аппарат.
Во-вторых, геометрия является одной составляющей общественной культуры. Некоторые теоремы геометрии являются одними из древнейших памятников мировой культуры. Человек не может по-настоящему развиваться культурно и духовно, как я считаю, если он не изучал в школе геометрию, так как геометрия возникла не только из практических, но и из духовных потребностей человека. Таким образом роль возникновения геометрии в жизни человека неоценима.
Список литературы
Глейзер Г. И. История математики в школе 7-8 классы. Пособие для учителей.- М.:Просвещение,1982.
Гаврилюк Л. Урок первый. – М., Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября»,2001.
Свешников А. Путешествие в историю математики. – М.1995.
Болтянский В. Г. Математика атакует родителей. – М.: Педагогика, 1973.
Атанасян Л.С. Геометрия 7-9. – М.:2003.
Феоктистов И. Геометрия до Евклида в очерках и задачах. – М.: Чистые труды, 2005.