Реферат: Булева алгебра - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Булева алгебра

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 23 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Технический университет Молдовы РЕФЕРАТ ПО ПРОГРАММИРОВАН ИЮ ТЕМА : Булева алгебра. Факультет CIM Группа С - 092 Подготовил Плис Владимир. Кишинёв 1999 г. План : Введение. 1) Предмет математич еской логики. 2) Калькуляция выска зываний. 3) Заключение. Библиография. ВВЕДЕНИЕ В данном реферате я попытаюсь раскрыть , некоторые аспекты булевой алгебры . Математическая логика является современной формой , так называемой формальной логики , применяющей математические м етоды для исследо вания своего предмета . (Други е ее названия : симв о лическая логик а , теоретическая логика , логистика .) В формально й логике и , соответственно , в математической логике , собраны результаты законов структуры пра вильных выводов . Вывод является таким м ыслительным процессом , в результате которого появляются новы е открытия на основа нии уже имеющихся (которые предполагаются пра вильными ), без практических исследований . В дей ствительности , новое открытие , полученное в ре зуль тате вывода , (так называемый окончательный вывод ) в скрытой форме находится в пред варительно и меющихся знаниях , в так называемых предпосылках. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИЧЕ СКОЙ ЛОГИКИ Простейшие закономерности выводов открывались человечеством эмпи рическим путем в ходе общественного производства (например , простей шие соотношения ариф метики и г еометрии ). Открытие более сложных законов связ ано с результатами науки формальной логики . Первое круп ное обобщение формальной логики принадлежит Аристотелю . В фор мальной логике с самого начала применялись (в единичных случаях ) математические м е тоды , но развитие логики не успевало за применени ем таких методов по сравнению с другими областями математики . Поэтому формальная логика отстала от потребностей науки (в первую очередь от требований математики ); отставание оказалось особенно очевидным в н о вую эру . Главными недостатками формальной логики являлись сле дующие . 1. Она не сумела привести законы выво дов к небольшому количеству надежных логическ их законов ; поэтому подтвердила правильность не которых выводов на основе экспериментов , ко торые позже были опро вергнуты примерами , доказывающими обратное. 2. Она была неспособна анализировать знач ительную часть выводов , применяемых в повседн евной и научной жизни ; доказать правильность или неправильность таких выводов . (Например , не могла доказать , что из правильност и предложения «Каждая трапеция является четыр ех угольником» вытекает правильность предложения «Кто рисует трапецию , тот рисует четырехуголь ник ). Задача математизации формальной логики бы ла поставлена и осущест влена Лейбницем . Его работу продолж или математики XIX века . На рубеже столетия с открытием противоречий в теории множеств (см . гл . «Теория множес тв» ) развитие математической логики получило широкий размах . В настоящее время результаты математической логики исполь зуются во всех традиционны х областях формальной л огики ; открыты совершенно новые области . В настоящее время «традиционная» формаль ная логика по сравнению с математической логикой имеет значение только для истории науки. Математическая логика не претендует на от крытие законов мышления вообще , или еще в меньшей степени на анализ филосо фских проблем , связанных с человеческим мышле нием . Эти вопросы больше относятся к «логи ке» (в более общем смысле слова ) и к философии . (В дальнейшем под словом «логика» будем подраз у мевать математическую логику .) ЧТО Т АКОЕ ВЫВОД ? Для бол ее точного определения предмета математической логики сле довало бы уточнить , что подразум евается под термином логически пра вильного в ывода . Чтобы сформулировать хотя бы одно в ременное опре деление , р ассмотрим пример в ывода . (В соответствии с традиционной формой записывания , предпосылки отделяются от окончате льного вы вода горизонтальной чертой ): 1. ( Предпосылки ) Если будет раздача премии , то мы выполнили план . Буде т раздача премии. ( Окончательный вывод ) Мы выполнили план. Если принять пр авильность предпосылок , то следует принять и пра вильность окончательного вывода . Другой , аналогичный пример : Если мн е выпадет туз , то я иду ва-банк . Мне выпал туз. Я иду ва-банк. Обычно вместо предложений (мне выпал туз ) и (я иду ва-банк ) могут быть записаны любые такие изъявительные предложения , значения кото рых может быть правильно или ложно ; следуе т оставить неизменными только расположение сл ов «если» и «то» и расположение предполож ений , то есть структуру вывода . Пусть А и В обозначает любые заменяющие предлож е ния . Структуру вывода можно выразить следующей схемой ; Если А , то В А В Под определением , что данная схема пре дставляет собой (логически правильную ) схему в ыводов , подразумевается следующее . Если вместо А и В подставить такие предложения , что предпосылки , полученные в результате за мены , будут правильными , то и окончательный вывод будет правильным . Любой человек , котор ый понимает значение союзов «если . . . то» , п оймет , что это правильная схема вывода . В схеме вывода фигу рируют несколько слов с постоянны м значением , далее нескол ько сим волов (букв ) с меняющимся значением . Символы с меняющимся значением могут быть переменными разных типов . В соответствии с их типом вместо символов могут быть подставлены разные грамматические формации (на пример : изъявител ь ные предложения , сло ва , выражающие свойства , названия предметов и т . д .). В предыдущем примере переменные А и В заменяются только изъявительными предложениями . На основе «регуляр ной» замены переменных некоторой (правильной ) схемы вывода должен возникать п равильный вывод. Но определение «регулярной замены» означа ет не только соблюдение грамматических правил . В предыдущей схеме А и В могут о значать только такие изъявительные предложения , правильность или ложность которых может бы ть решена однозначно . Такие и зъявительные предложения будем называть высказываниями. На основе любой схемы вывода может быть получен правильный вывод только при соблюдении условий подобного характера . Путем изменения условий могут быть построены р азличные теории логики. Важнейшими гла вами математической лог ики являются калькуляция высказываний и кальк уляция предикатов . В рамках данных глав мо жет быть исследована схема вывода в самом общем случае при наименьшем числе услови й. В других главах логики рассматриваются специальные схемы выво да , являющиеся ме нее общими. КАЛЬКУЛЯЦИЯ ВЫС КАЗЫВАНИЙ ВЫСКАЗЫВАНИЕ Предметом кальку ляции высказываний является анализ таких схем вывода , при которых с заменой переменных на высказывания , получаются правильные вывод ы. Под терм ином высказывания подразумевае тся такое и зъявительное предложение , которое является однозн ачно или правильным , или лож ным ; итак : а ) оно не может одновременно быть и правильным , и ложным (прин цип непротиворечив ости ); б ) исключено , чтобы оно было и непр авильным , и неложным (принцип ис ключения третьей возможности ). Свойства «правильное» и «ложное» подразум еваются в их обычном смысле ; они не ну ждаются в дальнейшем анализе. При данных обстоятельствах приведенные вы ше изъявительные пред ложения удовлетворяют (с «хорошим приближением» ) этим двум условия м ; их можно считать высказываниями . Поэтому логика , построенная на этих двух условиях , может получить весьма широкое применение . Естественно , существуют такие «тонкие обстояте льства» , при которых некоторых изъявительных предложений нельзя счит ать высказываниями (например , если дано предложение : «Иван прос ыпается» , вряд ли можно сомневаться в прав ильности или ложности предложения «Иван спит» ). Математические термины определяются таким о бразом , что предложения , выражающие соотношения между ними, всегда считаются высказывания ми ; такое по ложение существует во всех то чных науках. Понятие «высказывание» иногда обозначается словами «утверждение» , «суждение». В выводах могут фигурировать высказывания (либо в виде предпосы лок , либо как ок ончательный в ывод ), возникшие из одного или несколь ких высказываний , путем применения некоторого грамматического ме тода ; они назыв аются сложными высказываниями . Во многих случ аях правильность вывода зависит от вида ф ормирования сложного высказы вания . Поэтому необхо д имо заниматься видом формирования сложных высказываний некоторых типов. Под термином калькуляции высказываний под разумевается такой метод , с помощью которого из одного или нескольких высказываний (чл енов операции калькуляции высказываний ) получаетс я такое выска зывание (результат операции ), правильность или ложность которого однозначно определяется правильностью или ложностью чле нов. ОТРИЦАНИЕ И КОН ЪЮНКЦИЯ Двумя простейшим и примерами вышеприведенной операции являются отрицание и конъюнкция . (Операция и резу льтат операции здесь обозна чается одним и тем же названием .) Под отри цанием высказывания А подразумевается высказыван ие «Не правильно , что А» (или некоторая гра мматически преобразованная форма данного высказы вания ). По значению выражения «неправильно» отр ицание А правильно тогда и только тогда , если самое А неправильно ; следователь но , отрицание действительно есть операция кал ькуляции высказываний (в соответствии с вышеп риведенным определением ). Пример : Отрицанием предложения «мотор работает» является пред ложение «неправда , что мотор работает» или , иначе : «мотор не работает». Отрицание является одночленной операцией . Отрицание «А» обозна чается символом « ~А» (читается : «не А» ). Применяются также и обозна чения « ~ А» , «— А» , «А». Под конъюнкцией двух высказ ываний А и В подразумевается высказы вание «А и В» (или некоторая грамматически измененная форма данного высказывания ). По значению союза «и» конъюнкция является правильной тогд а и только тогда , если оба ее члена правильны. Таким образом , конъюнкция также явля ется операцией калькуляции высказываний . Операция конъюнкции «А и В» представляет собой двучленную операцию ; ее обозначают , «А & В» , «АВ» . При возник новении конъюнкции союз «и » иногда заменяется другим союзом (напри мер , «Анатолий здесь , но Бориса не т » или «Анатолий здесь , хотя Борис ушел» и т . д .). Это не влияет на правильност ь или ложность результата , имеет только эм оциональное значение . Иногда союз вообще проп ускается . Если сказуемые двух предложений , свя занных между собой путем конъ юнкции , совпад а ют , то общее сказуемое представле но только в одном из предложений . Например , конъюнкция «я питаюсь хлебом и питаюсь водой» после преобразования имеет следующий вид : «я питаюсь хлебом и водой». Изучение остальных операций калькуляции в ысказываний уточняется и облегчается с помощью следующего рассуждения. Пусть свойства высказываний «правильное» и «ложное» называются логическими значениями и обозначаются знаками пил . Правильность (или ложность ) некоторого высказывания А выражает ся и в такой форме , что логичес ким значением высказывания А является п (или л ). Если задаются логические значения отдельн ых членов в некоторой операции калькуляции высказываний , то данной операцией логическое значение результата определяется однозначно . Эт о позволяет определе ние таких операций для логических значений (кроме вышеприведенного определения для высказываний ) следующим образом : На место и членов и результата подст авляются логические значения ; причем , вместо р е зультата подставляется логическое значение выск азывания , образую щ ееся данной операци ей из высказываний с соответствующими членам логическими значениями. Например , отрицания логических значений определяются так : (так как отрицание правильного выска зывания является ложным ), (так как отрицание ложного высказывани я я вляется правильным ); а конъю нкции логических значений так : (так как конъюнкция двух правильных высказываний я вляется правильной ), (так как если одно или оба из двух высказываний являются ложными , то и их конъюнкция будет ложной ) На основ е вышепривед енного рассуждения изучение о пераций , про веденных на высказываниях , может б ыть заменено изучением операций , проведенных на логических значениях . Этого достаточно для исследо вания выводов (на уровне калькуляции высказываний ). АЛГЕБРА ЛОГИЧЕСКИХ ЗНАЧЕНИЙ Операции , провод имые на логических значениях , называются логи ческими операциями . Для выражения любых логич еских значении вво дятся логические переменные ; они обозначаются символами p, q, r, ..., р , р, … Итак , логические переменные могут принимать два «зн ач ения» : п или л . При использовании нескольких операций пос ледовательно порядок выполнения отдельных операц ии обозначается скобками ; например , ~(р ) А q) (и ногда скобки опускаются ). Например , вместо выра жения (7 p )/\ q пишется 7р /\ q при предварительном пояс нении , чт о в случае появления выражения без скобок знак относится только к следующему знаку . В общем смысле слова n -членной логичес кой операцией называется каждая такая функция , областью существования которой является упо рядоченное множество всех выражен ий , обра зуемых из логических зна чений пиле длиной выражения n , а значением ее является одно из двух логических значений п и л. Любая логическая операция может быть выражена через операции от рицания и конъюнкц ии . НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В об ласти операций на логических переменных помимо отрицания и конъюнкции оказываются полезными некоторые другие операции. В области од номерных логических операций фактический интерес пред ставляет только отрицание . дизъюнкция Операция называется дизъюнкцией и обозначается си мволом « p \ / q » (иначе ее называют альтернацией , адъюнкцией , логическим сложением ), или «р + q » . Дизъюнкция выражается с помощью операций конъюнкции и отрицания. Связь , со зданная между двумя высказываниями при помощи уступитель ного союза « или» , является такой операцией , которой в области логиче с ких значений соответствует операция дизъюнкции : высказывание является ложным тогда и толь ко тогда , если оба высказывания ложны. (Союз «или» в таком случае применяе тся в значении допущения , если до пуска ется правильность обоих высказываний ). Например : «выпал дождь или полили парк» . Поэтому такое соединение двух высказываний также назы вается дизъюнкцией . (Символ « V» читается т акже как «или» ). Операция конъюнкция выражается с помощью операций дизъюнкци и. Таким образом , руководствуясь теоремой , что каждая логическая операция может быть выражена с помощью только операций дизъюнк ции и отрицания «ни-ни» ИМПЛИКАЦИЯ Операция «р влечёт q» и называется имплика цией (с пред варительным членом р и с последующим ч леном q ). Допустим , что если р = п , то значени е выражения р влечёт q будет или п , или л в зависимости от того , является ли значение q п , или л . Это анало гично том у , что высказывание типа «если А , то В» , в котором первый член А является пра вильным , считае тся или правильным , или ложным в за висимости от того , правильный или ложный второй его член В . Поэтому соединению типа «если А , то В» соответству ет импликация в области ло гических значений . Но в то же время при ложном выск азывании А пред ложение типа «е с л и А , то В» может вообще не считаться высказыванием Например : если горит лампочка , то лифт работает. Если выс казывание «горит лампочка» правильно , то прав ильностью высказывания «лифт работает» однозначн о решается правильность выше приведенного предлож ения. Но если высказывание «горит лампоч ка» ложно , то ничего нельзя сказать о правильности вышеприведенного предложения . Можно сказать : надо подождать , пока лампочка загорит ся Приведем пример , в котором не будет даже возможности «подождать» : Если 2 * 2 = 5, то Дунай является европейск ой рекой . Если принять то , что соединение типа «если . . .то» соответствует операции и мпликации , при соблюдении последнего тождества высказывание «если А , то В» вы ражалось бы с помощью операций конъюнкции и отрица ния в следующем в иде : «неправильно , что : А и не В» (здесь присутствует выражение «не В» вместо выражения «неправи льно , что В» ; таким образом , ясно , что в ыражение «неправильно , что» , расположенное в н ачале высказывания , относится не только к Л , но и к выражению «А и не В » ). В соответствии с этим приведе нные выше два предложения в примере могут быть пере формулированы следующим образом : а ) Неправильно , что горит лампочка и лифт не работает. б ) Неправильно , что 2 * 2 = 5 и Дунай не я вляется европейской рекой . Если выражение «горит лампочка» ложно , то ложно и выражение «лампочка горит и лифт не ра ботает» , а отрицание его — по а ) — является правильным . Выражение . « 2 * 2 = 5» ложно , ложно также и выражение «Дунай не яв ляется европейской рекой» ; их конъюнкция — также ложна , а от р ицание этой конъюнкции — по б ) — является правиль ным . Здесь нет противоречия по сравнению с обычным пониманием вещей , так как обычно не обращают внимание на правильность сло жного пред ложения типа «если . . . то» в том случае , когда первый член соединения является ложным. Выражения вида «если А , то В» можн о считать синонимами выражений вида «неправил ьно , что : «А и не В» ; они называются импликациями (с предварительным членом А , с последующим членом В ); для их обо значения применяется символ А влечёт В. Предс тавленное в области логических значений понятие импликации типа р влечёт q соответствует понятию вышеприведенной операции высказы вания. Операции на высказываниях , выражаемые с помощью союзов и частиц , сформулированы нед остаточно точно ; в большинстве случ аев , они до некоторой степени двусмысленны . По всей вероятности распознавание операций конъ юнкции и отрицания наименее проблематично в их грамма тической форме представления . Поэто му большое значение имеет воз можность выраже ния любой логической операции ч ерез операции конъ юнкции и отрицания . Как был о показано выше , это позволило нам истолко вать образование сложного предложения вида «е сли . . . то» как операцию. Упоминаются еще некоторые грамматические синонимы операции «А влечёт В» : «В , если только Л» , «Т олько тогда А , если В» , «Достаточным условием В является А» , «Необходимым условием А является В» , «В если не А». И конъюнкция и дизъюнкция выражаются с помощью операций импли кации и отрицания. Поэтому любая логическая операция может быть выражена с помощь ю операций отрицания и импликации. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ Последний вид выражения операции эквивалентности. Так как высказывание p эквивалентно q = n тогда и только тогда , когда p = q , то данная логическая операция соответствует образованию сл ожного предложения в ида «А тогда и только тогда , когда В» . Понимание и логи ческое значение предложения такого характера , образованного из двух любых высказываний , и ногда затруднительно для восприятия человека , как и понимание предложения вида «если . . . то» . Например , « 2 < 3 тогда и толь ко тогда , если светит солнце». Поэтому данное предложение понимается опе рацией калькуляции высказываний исключительно в том случае , если считать его синонимом высказываний вида «неправильно , что А и не В , и , неправильно , что не А и В» . В этом случае данная операция «А влечёт В» и называется эквивалентностью. Часто встречаются следующие синонимы данн ой операции : «Для А необходимо и достаточн о б» , «А именно тогда , когда В». Заключен и е Булеву алгебру образуют все подмножества некоторого множества . То , что о ни образуют решетчатую структуру , очевидно . Не трудно доказать и выполнение дистрибутивности . Нулевым элементом является пустое множество , а единичным — все основное множество . Для каждого подмножества существует дополни тельный элемент — дополнение к множеству в теоретико-множественном смысле . Булевы алгебр ы находят применение главным образом в те ории мно жеств , в математической логике , в теории вероятностей и в функциональ ном анал и зе. Библиография 1. Малая математическая энциклопедия . Э . Ф рид ., И . Пастор ., И . Рейман ., П . Ревес ., И . Ружа . Издательсво академии наук Венгрии . Бу дапешт 1976 г. 2. Математический анализ . Часть III . В.А.Зоричь . Мо сква «наука» . 1984 г. 3. П особие по математика для пост упающих в ВУЗЫ . Под редакцией Г . Н . Яко влева Москва «наука» 1988 г.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
ИГИЛ есть? А если найду?
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Булева алгебра", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru