Реферат: Аналитическая геометрия - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Аналитическая геометрия

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 53 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

2884 ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ. Пусть задана система векторов а 1 , а 2 , а 3 ,…,а л (1) одной размерности. Определение : си стема векторов (1) называется линейно-независимой , ес ли равенство 1 а 1 + 2 а 2 +… + л а л =0 (2) вы полняется лишь в том случае , когда все числа 1 , 2 ,… , л =0 и R Определение : си стема векторов (1) называется линейно-зависимой , если равенство (2) выполнимо хотя бы при одном i 0 (i=1,… ,k) Свойства 1. Если система векторо в содержит нулевой вектор , то она линейно зависима 2. Если система векторо в содержит линейно-зависимую подсистему векторов , то она будет линейно-зависимой. 3. Если система векторо в линейно-независима , то и любая ее подсис тема будет линейно независимой. 4. Если система векторо в содержит хотя бы один вект ор , яв ляющийся линейной комбинацией других векторов , то эта система векторов будет линейно зависимой. Определение : два вектора называются коллинеа рными , если они лежат на параллельных прям ых. Определение : тр и вектора называются компланарными , если они лежа т в параллельных плоскостях. Теорема : Если заданы два вектора a и b, причем а 0 и эти векторы коллинеарны , то найдется такое действ ительное число , что b= a . Теорема : Для того что бы два вектора были линейно-за висимы необходимо и достаточно , что бы они были коллениарны. Доказательство : достаточность . Т.к . векторы коллинеарны , то b= a. Будем считать, что а ,b 0 (если нет , то система линейно-зависима по 1 свойству ). 1 b - a=0. Т.к . коэфф . При b 0, то система линейно з ависима по определен ию . Необходимость . Пус ть а и b линейно-зависимы . а + b =0, 0. а = - b / * b . а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число. Теорема : для того , чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и достаточно , чтобы они были компланарны . Необходимость. Дано : a, b, c – линейно-зависимы . Док азать : a, b, c – компланарны . Доказательство : т.к . векторы линейно-завис имы , то а + b+ c =0, 0. с = - / *а - / *b . с-диагональ параллелограмма , поэтому a, b, c лежат в одной плоскости. БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ . РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. 1. Определение : пусть задана некоторая система векторов . Базисом этой системы называется мах . совокупность линейно-независимых векторов системы. В множестве векторов на пр ямой базис состоит из одного ненулевого вектора. В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару. В множестве векторов в трехмерном про странстве базис состоит из трех некомпланарны х векторов. 2. Прямоугольная (декартова ) си стема к оординат на плоскости определяется заданием д вух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед . на осях. Прямоугольная (декартова ) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прям ых с общей точкойпересечения и одинаковой масштабной ед . на осях. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. Определение : скалярным прои зведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла м ежду ними. (а, b )= |a| |b| cos u, u<90, пр-е п олож. ; u=90, пр-е =0 ; u>90 , пр-е отриц. Свойства : 1. (а, b )= ( b,а ) 2. ( а, b )= (а, b ) 3. (а + b,с )= (а,с )+ ( b,с ) 4. (а,а )= |a| 2 – скал.квадрат. Определение : два вектора называютс я ортоганальными , когда скалярное пр-е равно 0. Определение : ве ктор называется нормированным , если его скал.к в.равен 1. Определение : ба зис множества векторов называется ортонормирован ным , если все векторы базиса взаимно-ортагонал ьны и каждый вектор нормиро ван. Теорема : Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированн ом базисе , то их скалярное произведение ра вно сумме произведений соответствующих координат. Найдем формулу угла между векторами п о определению скалярного произведения . cos u=a,b/|a||b|=x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 /sqrt(x 1 2 +y 1 2 +z 1 2 )*sqrt(x 2 2 +y 2 2 +z 2 2 ) ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. Определение : ве кторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a,b] называется вектор с удовлетворяющий след . требованиям : 1. |c|=|a||b|sin u . 2. (с,а )=0 и (с, b )=0. 3. а , b, с образуют правую тройку. Свойства : 1. [a,b]= - [b,a] 2. [ а, b] = [ а, b] 3. [a+b,c]=[a,c]+[b,c] 4. [a,a]=0 Теорема : Длина векторного произведения векторо в равна площади параллелограмма построенног о на этих векторах . Доказательство : справедливость теоремы вытекает из первого требования определения векторного произведения. Теорема : Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормиров анном базисе , тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в пе рвой строке которого наход-ся базисны векторы , во второй – координаты первого вектора , в третьей – координаты второго. Определение : ор той вектора а называется вектор ед . длины имеющий одинаковое направ ление с век тором а . e a =a/|a| РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ. 1.Общее ур-е пр . 2. Ур-е пр . в отрезка х . 3. Каноническое ур-е пр . 4. Ур-е пр . ч /з две точки . 5. Ур-е пр . с углов . коэфф . 6. Н ормальное ур-е прямой . Расст . от точки до прямой . 7. Парамет рическое ур-е пр . 8. Пучок пр . 9.Угол между пр. 1. Ах + By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю. Теорема : n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1). Доказательство : подставим коорд . т.М 0 в ур-е (1) и получим Ах 0 + By 0 +C=0 (1 ’ ). Вычтем (1)-(1 ’ ) получим А ( х-х 0 )+ B(y-y 0 )=0 , n(A,B) , М 0 М (х-х 0 , y-y 0 ). Слева в п олученном равенстве записано скалярное произведе ние векторов , оно равно 0, значит n и M 0 M ортоганальны . Т.о . n ортоганлен прямой . Вектор n(A,B) называется нормальным вектор ом прямой. Замечание : пусть ур-я А 1 х + B 1 y+C 1 =0 и А 2 х + B 2 y+C 2 =0 определяют одну и ту же прямую , тогда найдется такое действительное число t , что А 1 = t *А 2 и т.д. Определение : ес ли хотя бы один из коэффициентов в ур- ии (1) =0, то ур-е называется неполным. 1. С =0, Ах + By=0 – проходит ч /з (0,0) 2. С =0, А =0, By =0, значит у =0 3. С =0, B=0 , Ах =0, значит х =0 4. А =0, By+C=0, паралл . ОХ 5. B =0, Ах +C=0, паралл . OY 2. x/a+y/b=1 . Геом.смыс л : прямая отсекает на осях координат отрезки а и b 3. x-x 1 /e=y-y 1 /m Пусть на прямой задана точка и напр . вектор прямой (паралл.пр .). Возьмем на прямой п роизв . точки . q и M 1 М (х-х 1 ; y-y 1 ) 4. x-x 1 /x 2 -x 1 =y-y 1 /y 2 -y 1 Пусть на прямой даны две точки М 1 ( x 1 ;y 1 ) и М 2 ( x 2 ;y 2 ). Т.к . н а прямой заданы две точки , то задан на правляющий вектор q(x 2 -x 1 ; y 2 -y 1 ) 5. y=kb+b . u – угол на клона прямой . Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямо й k=tg u Пусть прямая задана в каноническом ви де . Найдем угловой коэффициент прямой tg u = m/e . Тогда видим x-x 1 /e/e=y-y 1 /m/e . y-y 1 =k(x-x 1 ) при y 1 -kx 1 =b, y=kx+b 6. xcos +ysin -P=0 - угол между вектором ОР и п оложительным напр . оси ОХ. Задача : записат ь ур-е прямой , если изветны Р и Решение : Выдели м на прямой ОР вектор ед . длины n . |n|=1 , n(cos , sin ) . Пусть М ( x,y ) – произв.точка прямой . Рассмотрим два вектора n и ОМ . Найдем двумя способвами их скал.произведе ние . 1. ОМ * n = |OM||n|cosMOP=Р . 2. ОМ * n=cos x+sin y . Приравняем правые части. Задача : прямая задана общим ур-ем . Перейти к норм . ви ду. Ах + By+C=0 xcos +ysin -P=0 т.к . уравнения определяют одну прямую , то сущ . коэфф . пропорциональности. Cos 2 =(A*t) 2 Sin 2 =(B*t) 2 -p=C*t cos 2 +sin 2 =t 2 (A 2 +B 2 ), t 2 =1/A 2 +B 2 , t= sqrt(1/ A 2 +B 2 ) . Sign t= - sign C Что бы найти нормальное ур авнение прямой нужно общ ее ур-е умножи ть на t . А t х + Bty+Ct=0, t -нормир ующий множитель. 7. Система : x=et+x 1 и y=mt+y 1 НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМ ОЙ . Расстояние от точки до прямой. 1. xcos +ysin -P=0 - уго л между вектором ОР и положительным напр . оси ОХ. Задача : записат ь ур-е прямой , если изветны Р и Решение : Выдели м на прямой ОР вектор ед . длины n . |n|=1 , n(cos , sin ) . Пусть М ( x,y ) – произв.точка прямой . Рассмотрим два вектора n и ОМ . Найдем двумя способвами их скал.произведение . 1. ОМ * n = |OM||n|cosMOP=Р . 2. О М * n=cos x+sin y . Приравняем правые части. Задача : прямая задана общим ур-ем . Перейти к норм . ви ду. Ах + By+C=0 xcos +ysin -P=0 т. к . уравнения определяют одну пря мую , то сущ . коэфф . пропорциональности. Cos 2 =(A*t) 2 Sin 2 =(B*t) 2 -p=C*t cos 2 +sin 2 =t 2 (A 2 +B 2 ), t 2 =1/A 2 +B 2 , t= sqrt(1/ A 2 +B 2 ) . Sign t= - sign C Что бы найти нормальное ур авнение прямой нужно общее ур-е умножить н а t . А t х + Bty+Ct=0, t -нормир ующий множитель. 2. Обозначим d – расстояние от точки до пря мой , а ч /з б – отклонение точки о т прямой . б = d , если нач.коорд . и точка по раз ные стороны ; = - d , если нач.коорд . и точка по одну сторону. Теорема : Пусть задано нормальное уравнение прямой xcos +ysin -P=0 и М 1 (x 1 ;y 1 ) , тогда отклонение точки М 1 = x 1 cos +y 1 sin -P=0 Задача : найти расстояние от точки М 0 (x 0 ;y 0 ) до прямой Ах + By+C=0. Т.к . d=| б |, то формула расстояний принимает вид d=| x 0 cos +y 0 sin -P| . d=| Ах 0 + By 0 +C|/sqrt(A 2 +B 2 ) ГИПЕРБОЛА. Определение : ГМ Т на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точе к , называемых фокусами , есть величина постоянн ая Каноническое уравнение : Будем считать , что фокусы гиперболы на ходятся на ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат . |F 1 F 2 |=2c , М – произвольная точка гип ерболы . r 1 , r 2 – расстояния от М до фокусов ; |r 2 -r 1 |=2a; ac ) е гиперболы >1 ( т.к . с >a ) Определение : ок ружность – эллипс у которого а = b , с =0, е =0. Выразим эксцентриситеты через а и b : е эллипса является мерой его “вытянут ости” е гиперболы характеризует угол раствора между асимпт отами 2. Директрисой D эллипса ( гиперболы ), соответствующей фокусу F , называется прямая расположенная в полуплоскости перпендикуляр но большой оси эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а /е >a ( а /е 0 r 1 =xe+a d 1 – расстояние от М ( x,y) до п рямой D 1 xcos180+ysin180-p=0 x=-p x=-a/e б м =-x-a/e d 1 =- б м ( минус , т.к . прямая и точка по одну стороно о нача ла коорд .) Определение : ГМ Т на плоскости , отношение расстояния от ко торых до фокуса , к расстоянию до соответст вующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс , если <1 , гиперболу , есл и >1 , параболу , если =1. ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА , ГИ ПЕРБОЛЫ , ПАРАБОЛЫ. Пусть задан эллипс , парабола или правая ветвь гиперболы. Пусть задан фокус этих кривых . Помести м полюс полярной системы в фокус кривой , а полярную ось совместим с осью симмет рии , на котор ой находится фокус. r= d=p+ cos e= /p+ cos - полярное уравнение эллипса , параболы и правой ветви гиперболы. КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО П ОРЯДКА. Пусть задан эллипс в канон ическом ви де . Найдем уравнение касательно й к нему , проходящей через М 0 ( x 0 ;y 0 ) – точка касания , она принадлежит эллип су значит справедливо : у-у 0 = y ’ (x 0 )(x-x 0 ) Рассмотрим касательную к криво й следовательно ya 2 y 0 -a 2 y 0 2 +b 2 x 0 x-b 2 x 0 2 =0 - уравнение касательной к эллипсу. - уравнение касательной к гиперболе. - уравнение касательной к параболе. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГ ОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ. Преобразование на плоскости ес ть применение преобразований параллельного перен оса и поворота. Пусть две прямоугольные системы коо рдинат имеют общее начало . Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных вектор ов двумя способами : (е 1 ;е 1 ’ )=cos u (е 1 ;е 2 ’ )=cos (90+u)= -sin u (е 2 ;е 1 ’ )=cos (90-u)=sin u (е 2 ;е 2 ’ )=cos u Базис рассматривается ортонормиро ванный : (е 1 ;е 1 ’ )=(е 1 , 11 е 1 + 12 е 2 )= 11 (е 1 ;е 2 ’ )= (е 1 , 21 е 1 + 22 е 2 )= 21 (е 2 ;е 1 ’ )= 12 (е 2 ;е 2 ’ )= 22 Приравниваем : 11 =cos u 21 = - sin u 12 =sin u 22 =cos u Получаем : x=a+x ’ cos u – y ’ sin u y=b+x ’ sin u – y ’ cos u - формулы поворота системы координат на угол u . ------------ x=a+x ’ y=b+y ’ - формулы паралле льного переноса ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА. Определение : Инвариантой ур -я (1) линии второго порядка относительно преобр азования системы координат , называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не м еняющая своего значения при преобразовании системы координат. Теорема : инвари антами уравнения (1) линии второго порядка относ ительно преобразования системы координат являютс я следующие величины : I 1 ; I 2 ; I 3 Вывод : при преобразовании системы координат 3 величины остают ся неизменными , поэтому они характеризуют линию. Определение : I 2 >0 – элип тический тип I 2 <0 – гипе рболический тип I 2 =0 – пара болический тип ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА. Пусть задана на плоскости линия уравн ением (1). Параллельный перенос : Параллельно перенесем систему XOY н а вектор OO ’ т.о . что бы в системе X ’ O ’ Y ’ коэфф . при x ’ и y ’ преобразованного уравнения кривой оказалис ь равными нулю . После этого : a 11 x ’ 2 +2a 12 x ’ y ’ +a 22 y ’ 2 +a ’ 33 =0 (2) точка О ’ находится из условия : a 13 ’ =0 и a 23 ’ =0 . Получается система a 11 x 0 +a 12 y 0 +a 13 =0 и a 1 2 x 0 +a 22 y 0 +a 23 =0 Покажем , что новое начало координат (е сли система разрешима ) является центром симме трии кривой : f(x ’ ;y ’ )=0, f(-x ’ ;-y ’ )= f(x ’ ;y ’ ) Но точка О ’ существует если знаме натели у x 0 и y 0 отличны от нуля. Точка O ’ – единственная точка. Центр симмет рии кривой существует если I 2 0 т.е . центр сим метрии имеют линии элиптического и гиперболич еского типа Поворот : Пусть система XOY повернута на угол u . В новой системе координат уравнение не содержит члена с x ’ y ’ т.е . мы делаем коэфф . а 12 =0. a 12 ’ = -0,5(a 11 -a 22 )sin2u+a 12 cos2u=0 ( разделим на sin2u) , получим : , после такого преобразования уравнение принимает вид a 11 ’ x ’ 2 +a 22 ’ y ’ 2 +2a 13 ’ x ’ +2a 23 ’ y ’ +a 33 ’ =0 (3) ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГ О ТИПА. Теорема : Пусть задана линия элиптического типа т.е . I 2 >0 и пусть I 1 >0 следовательно уравнение (1) определяе т : 1. I 3 <0 – эллипс ; 2. I 3 =0 – точка ; 3. I 3 >0 – ур-е (1) не определяет . Если I 3 =0 говоря т , что эллипс вырождается в точку . Если I 3 >0 говорят , что задается мнимый эллипс . Пусть после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*). Доказательство : 1. пусть I 2 >0, I 1 >0, I 3 <0, тогда а 11 ’ ’ x ’ ’ 2 +a 22 ’ ’ y ’ ’ 2 = -I 3 /I 2 I 2 =a 11 ’ ’ a 22 ’ ’ > 0 I 1 = a 11 ’ ’ +a 22 ’ ’ > 0 a 11 ’ ’ > 0; a 22 ’ ’ > 0 Итак , под корнями стоят положительные числа , следоват ельно , уравнение эллипса. 2. I 3 >0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа , сле довательно уравнение не определяет действительно го геометрического образа. 3. I 3 =0 в данном случае т (0,0) – случай в ырождения эллипса. ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕС КОГО ТИПА. Теорема : Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа . Т.е . I 2 <0, I 3 0 - ур-е (1) определяет гиперболу ; I 3 =0 – пару пересекающихся прямых. Доказательство : I 2 <0; I 2 = a 11 ’ ’ a 22 ’ ’ < 0 . Пусть a 11 ’ ’ >0; a 22 ’ ’ <0 Пусть I 3 >0 В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ. Пусть I 3 <0 -(-а 11 ’ ’ )x ’ ’ 2 +a 22 ’ ’ y ’ ’ 2 = -I 3 /I 2 В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью О Y Пусть I 3 =0 а 11 ’ ’ x ’ ’ 2 -(-a 22 ’ ’ )y ’ ’ 2 =0 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫ Х 2-ГО ПОРЯДКА. Пусть крива второго порядка задана ур авнением (1). Рассмотрим квадратную часть этого уравнения : u(x,y)= a 11 x 2 +2a 12 xy+a 22 y 2 Определение : н енулевой вектор ( , ) координаты которого обращают в ноль квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной кривой. ( , ) – вектор асимптотического направления. a 11 2 +2a 12 +a 22 2 =0 (*) Рассмотрим ( ’ , ’ ) параллельный ( , ): следовательно . Дробь / характеризует вектор ас имптотического направления. Задача : выяснит ь какие асимптотические направления имеют кри в ые 2-го порядка. Решение : положи м , что 0 и поделим н а 2 , получим : a 11 ( / ) 2 +2a 12 / +a 22 =0 из этого квадра тного уравнения найдем / . т.к . у линий гиперболического и парабо лического типов I 2 0 , то они имеют асимптотические направления . Т.к . у эл липса I 2 >0 сл едов ательно таких у него нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления ). Найдем асимптотические направления у гипе рболы : ( , ) 1 =( a,b) ( , ) 2 =( -a,b) Векторы асимптотического направлен ия являются направляющими векторами для асимп тот. Итак : гипербола имеет два асимптотич еских направления , которые определяются асимптота ми гиперболы. Найдем асимптотические направления у пара болы : y 2 =2px y 2 -2px=0 u(x,y)= y 2 +0, y=0 ( , ) =(0,0) Итак : вект ор асимптотическо го направления параболы лежит на оси симм етрии параболы , т.е . прямая асимптотического на правления пересекает параболу в одной точке , след . асимптотой не является . Парабола им еет одно асимптотическое направление , но асим птот не имеет. РАЗЛ ИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСК ОСТИ. Пусть задано трехмерное пространство. Теорема : Плоско сть в афинной системе координат задается уравнением первой степени от трех переменных : Ax+By+Cz+D=0 , где A,B,C 0 одновреенно . Справедлив а и обратная теорема. Теорема : Вектор n(A, B, C) ортога нален плоскости , задаваемой общим уравнением. Вектор n – нормальный вектор плоскости. 2. Уравнение плоскости в отрезках : 3. Уравнение плоскости , определенной нормальн ым вектором и точкой. Пусть n(A,B,C) и М ( x 0 ;y 0 ;z 0 ) . Запишем ур-е пл-ти : Ax+By+Cz+D=0 Ax 0 +By 0 +Cz 0 =-D A(x-x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0 5. Уравнение плоскости ч /з 3 точки . Пусть известны три точки не принадл . одной прямой. М 1 ( x 1 ;y 1 ;z 1 ); М 2 ( x 2 ;y 2 ;z 2 ); М 3 ( x 3 ;y 3 ;z 3 ) Пусть М ( x;y;z) – произвольная точка плоскости . Т.к . точки принадл . одной плоскости то векторы компланарны. М 1 М x-x 1 y-y 1 z-z 1 М 1 М 2 x 2 -x 1 y 2 -y 1 z 2 -z 1 =0 М 1 М 3 x 3 -x 1 y 3 -y 1 z 3 -z 1 6. Параметрическое ур-е плоскости. Пусть плоскость определена точкой и парой некомпланарных векторов . V(V 1 ;V 2 ;V 3 ); U(U 1 ;U 2 ;U 3 ); M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ), тогда плостость имеет вид : система : x=x 0 +V 1 t+U 1 s и y=y 0 +V 2 t+U 2 s и z=z 0 +V 3 t+U 3 s РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ Д О ПЛОСКОСТИ. Ax+By+Cz+D=0; M 0 (x 0 ;y 0 ; z 0 ) ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ. Угол между плоскостями : пусть заданы две плоскости : A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0; A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0, поэтому n 1 (A 1 ;B 1 ;C 1 ); n 2 (A 2 ;B 2 ;C 2 ) . Отыскание угла между плоскостями сводится к отысканию его между нормальными векторами.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Спать боюсь!
После того, как поспишь, на работу нужно идти.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Аналитическая геометрия", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru