Курсовая: Алгебраические числа - текст курсовой. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Курсовая

Алгебраические числа

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Курсовая работа
Язык курсовой: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 59 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникальной курсовой работы

Узнайте стоимость написания уникальной работы

18 Содержание. 1. Введение 2 2. I . Краткий исторический очерк 3 3. II. Поле алгебраических чисел 4 4. 2.1. Понятие числового поля 4 5. 2.2. Алгебраическое число 5 6. 2.3. Поле алгебраических чисел 11 7. III . Рациональные приближения алгебраических чисел 14 8. 3.1 Теорема Лиувиля 14 9. 3.2 Трансцендентные числа Лиуви ля 16 10. Заключение 18 Курсовая по алгебре Тема : “Алгебраические числа” Введение. Первоначальные элементы математики связаны с появлением навыков счета , возникающих в примитивной форме на сравнительно ранних ступенях развития человеческого общес тва , в процессе трудовой деятельности. Исторически теория чисел возникла как непосредственное развитие арифметики . В настоящее время в теорию чисел включают значительно более широкий круг вопросов , выходящих за рамки изучения натуральных чисел . В теории чи сел рассматриваются не только натуральные числа , но и множество всех целых чисел , а так же множество рациональных чисел. Если рассматривать корни многочленов : f(x)=x n +a 1 x n-1 +… +a n с целыми коэффициентами , то обычные целые числа соответствуют случаю , когда э тот многочлен имеет степень n=1. Во множестве комплексных чисел естественно выделить так называемые целые алгебраические числа , представляющие собой корни многочленов с целыми коэффициентами. Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важ нейших разделов современной теории чисел , называемого алгебраической теорией чисел . Она связана с изучением различных классов алгебраических чисел. I . Краткий исторический очерк. Огромное значение в развитии теории чисел имели замечательные работы К . Гау сса (1777-1855). Гаусс наряду с изучением обычных чисел начал рассматривать так же и арифметику чисел , получивших название целых гауссовских чисел , а именно числа вида a+bi, где a и b – обычные целые числа . Эти его исследования положили начала алгебраичес к ой теории чисел. Теория алгебраических чисел была построена в работах Куммера (1810-1893) и Дирихле (1805-1859) и развита затем Кронекером (1823-1891), Дедекиндом (1831-1916) и Е.И . Золотаревым (1847-1878). Работы Лиувилля (1809-1882) и Эрмита (1822-1901) явились основой трансцендентных чисел. Вопросы аппроксимации алгебраических чисел рациональными были существенно продвинуты в начале века А . Туэ , а затем в пятидесятых годах в работах К . Рота. В последнее время все большее внимание специалистов по теории ч исел привлекает алгебраическая теория чисел. Здесь надо назвать работы Г . Хассе , Е . Гекке , а в особенности французского математика А . Вейля , результаты которого были использованы во многих теорико-числовых исследованиях , как например Д . Берджессом в пробле ме о наименьшем квадратичном вычете. К алгебраической теории чисел относятся и интересные работы советского математика И.Р . Шафаревича , а так же работы Б.Н . Делонга по теории кубических форм. II. Поле алгебраических чисел. 2.1 Понятие числового поля Есте ственный и важный подход к выделению и изучению тех или иных множеств чисел связан с замкнутостью множеств чисел относительно тех или иных действий. Определение 1 : Мы говорим , что некоторое множество чисел М замкнуто относительно некоторого действия , если для всяких двух чисел их М , для которых определен результат данного действия над ним , число , является этим результатом , всегда принадлежащим М . Пример : 1) N Множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения , т.к . a, b N (a+b) N. В отношении умножения множество N так же замкнуто . Но оно не является замкнутым относительно вычитания и деления . Дейс твительно : 5, 7 N, но 5-7=-2 N, 3, 2 N, но 3:2=1,5 N 2) Множество целых чисел Z замкнуто относительно сложения , вычитания и умножени я. 3) Множество чисел вида 2 к , к N, замкнуто относительно умножения и деления. 2к 2l=2k+l 2к :2l=2k-l В связи с замкнутостью действий на множестве выделились классы числовых множеств. Рассмотрим о дин их классов , называемых полем. Определение 2: Множество чисел М , содержащие не менее двух чисел , называется числовым полем , если оно замкнуто относительно действий сложения , вычитания , умножения и деления. Последнее означает , что для любых a, b M, должно иметь место a+b, a-b, a*b M. Так же для любого a M и любого b 0 из М , должно выполняться a:b M. При мер : Среди важнейших числовых полей наиболее важными являются : 1) поле всех рациональных чисел ; 2) поле всех вещественных чисел ; 3) поле всех комплексных чисел. Что касается множества всех целых чисел , то оно не является числовым полем , ибо не замкнуто относительно деления. Существует бесконечно много числовых полей . Нас , в данном случае интересует поле алгебраических чисел. 2. 2 Определение алгебраического числа. Существуют различные признаки , по которым их общего множества Z выделяю те или иные подмнож ества , подвергаемые специальному изучению . С точки зрения важного для алгебры понятия алгебраического уравнения , естественным представляется выделение классов чисел , являющихся корнями алгебраических уравнений , коэффициенты которых принадлежат тому или ин о му классу чисел. Определение 3: Число Z называется алгебраическим , если оно является корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с целыми коэффициентами : a n x n +a n-1 x n-1 +… +a 1 x+a 0 =0 (a 0 , a 1 , … ,a n Z; a n 0), т.е . выполняется : a n z n +a n-1 z n-1 +… +a 1 z+a 0 =0 Числа не являющиеся алгебраическими называются трансцендентными. В определении алгебраического числа можно допустить , чтобы коэффициенты a 0 , a 1 , … ,a n-1 , a n были любыми рациональными числами , поскольк у , умножив левую и правую части уравнения на целое число , являющиеся общим кратным знаменателем всех коэффициентов , мы получили уравнение с целыми коэффициентами , корнем которого будет наше число. К алгебраическим числам принадлежат , в частности , и все рац иональные числа . Действительно , рациональное число z= (p, q N) очевидно является корнем уравнения : qx-p=0. Также всякое значение корня любой степени из рационального числа является алгебраическим числом . Действительно , число z= (p, q N) является корнем урав нения : qx n -p=0. Существуют и другие алгебраические числа , нежели указанное выше. Пример : 1) Чи cло z= является алгебраическим . Действительно , возводя в квадр ат обе части равенства , определяющего число z, получим : z 2 =2+2 +3. Отсюда z 2 -5= . Возводя в квадрат обе части этого равенства , получим : z 4 -10z 2 +25=24. Отсюда следует , что число z является корнем следующего уравнения : x 4 -10x 2 +1=0 2) Всякое число z=a+bi, у которого компоненты a и b – рациональные числа , являются алгеб раическими . Докажем это. , (p, q, N). Из равенства , получаем : . Отсюда , возводя в квадрат , получим : . Следовательно , я является корнем уравнения : все коэффициенты которого целые числа. В дальнейшем мы будем рассматривать только действительные алгебраические числа , не оговаривая этого каждый раз. Из f(x)=0 следует f(z) (x)=0, где в качестве (x) можно взять любой многочлен с целыми коэффициентами . Таким образом для любого алгебраического числа z, из всех этих многочленов обычно рассматривают многочлен наименьшей степени. Определение 4: Число n называется степенью алгебраического числа z, если z есть корень некоторого многочлена n-ой степени с рациональными коэффициентами и не существует тождественно не равного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени , меньшей чем n, корнем которого является z. Если корень многочлена n-ой степени с целыми рациональными коэффициентами z не является корнем ни одного тождественно неравного нулю многочлена с целыми коэффициентами степени меньшей чем n, то z не может быть корнем и тождественно неравного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени меньшей чем n, т.е . z – алгебраическое число степени n. Рациональные числа являются алгебраическими числами первой степени . Любая квадратическая и ррациональность представляет собой алгебраическое число 2-й степени , так как , являясь корнем квадратичного уравнения с целыми коэффициентами , она не является корнем какого-либо уравнения 1-й степени с целыми коэффициентами . Алгебраические числа 3-й степен и часто называют кубическими иррациональностями , а 4-й степени биквадратическими иррациональностями. Пример : 1) - алгебраическое число 3-й степени , т.е . куби ческая иррациональность . Действительно , это число есть корень многочлена 3-й степени с целыми коэффициентами x 3 -2=0 и не является корнем какого-либо многочле на 1-й или 2-й степени с целыми коэффициентами. Определение 5 : Если алгебраическое число n-й степени z является корнем многочлена f(x)=x n +b 1 x n-1 + … +b n (n 1) (1) с рациональными коэффициентами , то f(x) называется минимальным многочленом для z. Таким образом , минимальным многочленом для z называется многочлен наименьшей степени с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом , равном единице , корнем которого является z. Если вместо многочлена (1) взять какой-либо другой многочлен с рациональными коэффициентами степени n, корнем которого является z, то многочлен (1) может быть получен из него делением всех коэффициентов на старший член. Пример : 1) Минимальным многочленом для является x 3 -2, так как корень этого многочлена не является корнем какого-либо многочлена степени с рацио нальными коэффициентами. Теорема 1: Если f(x) минимальный многочлен алгебраического числа z и f(x) многочлен с рациональными коэффициентами , такой , что F(z)=0, то f(x) делитель F(x), т.е . F(x)=f(x)g(x), где g(x) также многочлен с рациональными коэффициент ами. Доказательство : Согласно известной теореме алгебры F(x) можно представить в виде : F(x)=f(x)g(x)+r(x) где g(x) и к (ч ) – многочлены с рациональными коэффициентами , причем степень r(x) меньше степени f(x). Поскольку F(x)=0 и f(z)=0, то придавая x значен ие z, получаем r(z)=0; z – корень многочлена r(x) с рациональными коэффициентами степени , меньшей чем у минимального для z многочлена , т.е . меньшей чем степень z. Это может быть только если r(x) тождественно равен нулю , а значит F(x)=f(x)g(x). Теорема док а зана. Теорема 2: Для любого алгебраического числа z минимальный многочлен неприводим над полем рациональных чисел. Доказательство : Пусть f(x) – минимальный многочлен для z. Предположим , что f(x) приводим над полем рациональных чисел , т.е ., что f(x)= (x) (x), (x) (x) – многочлены с рациональными коэффициентами , степени меньшей , чем n. Из равенства (x) (x)=f(x)=0 следует , что из двух чисел (x) и (x), по крайней мере одно равно нулю . Пусть например (x)=0, тогда z – корень тождественно не ра вного нулю многочлена (x) с рациональными коэффициентами , степени меньшей , чем n, т.е . меньшей чем у f(x). А это противоречит тому , что f(x) – минимальный многочлен для z. Предположение , что f(x) приводим над полем рациональн ых чисел , оказалось неверным , т.е . f(x) неприводим над этим полем . Теорема доказана. Теорема 3: Если z корень неприводимого над полем рациональных чисел многочлена F(x) с рациональными коэффициентами степени n, то z – алгебраическое число степени n. Доказ ательство : Обозначим минимальный многочлен для z через f(x). Согласно теоремы 1: F(x)=f(x)g(x); где g(x) – многочлен с рациональными коэффициентами . Поскольку F(x) неприводим над полем рациональных чисел и f(x) отлично от постоянного , то g(x)=c, где c – р ационально . F(x)=cf(x), т.е . z – алгебраическое число n-й степени . Теорема доказана. Пример : Пусть p – простое число. при любом простом целом a (a>1), не рав ном p-ой степени другого целого , представляет собой алгебраическое число степени p. Действительно это число есть корень неприводимого над полем рациональных чисел многочлена. x p -a=0 Если z – алгебраическое число степени n и f(x) – минимальный многочлен для z, то все корни z 1 , z 2 , … z n уравнения f(x)=0, отличные от z, называют сопряженным с z. Один из корней совпадает с z, будем ставить его на первое место , т.е . z=z 1 . 2.3. Поле алгебраических чисел Теорема 4: Множество всех действительных алгебраических чис ел представляет собой поле , т.е . сумма , разность , произведение и частное двух алгебраических чисел и (для частного при 0) являются ал гебраическими числами. Доказательство : 1) Пусть - корень многочлена f(x) степени n с целыми коэффициентами , корни которого 1 , 2 , … , n , и - корень многочлена (x) степени m с целыми коэффициентами , корни которого 1 , 2 , … m ( = 1 ). Рассмотрим многочлен : F(x)= (x-( i + i ))= = (x- 1 - 1 ) (x- 1 - 2 ) … (x- 1 - m ) (x- 2 - 1 ) (x- 2 - 2 ) … (x- 2 - m ) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (x- n - 1 ) (x- n - 2 ) … (x- n - m ) (2) Если в этом произведении сделать какую угодно подстановку величин 1 , 2 , … , n , то некоторые строки переставляется местами , но произведение в целом не изменится . Это значит , что F(x) – симметрический многочлен по отношению 1 , 2 , … m . В целом F(x) – симметрический многочлен от двух систем аргументов : 1 , 2 , … , n и 1 , 2 , … m . Согласно известным теоремам о симметрических многочленах , коэффициенты многочлена F(x) могут быть выражены рационально через элементарные симметрически е функции от 1 , 2 , … , n и 1 , 2 , … m , т.е . через целые коэффициенты , f(x) и (x). Это значит , что коэффициенты F(x) рациональны , и , следовательно , число + = 1 + 1 , являющегося , как это не посредственно видно из формулы (2), корнем F(x), есть алгебраическое число. 2) Для доказательства того , что произведение двух алгебраических чисел и есть алгебраическое число , достаточно , анало гично тому , как это было только что сделано для многочлена (2), рассмотреть многочлен : F(x)= (x- i i ) (3) Этот многочлен имеет в качестве одного из своих корней 1 1 = . 3) Пусть - корень многочлена (x)=b 0 x n + b 1 x n-1 + … b n , (b i – целые числа ). Тогда - является корнем многочлена с целыми коэффициентами. (-x)=(-1) n b 0 x n +(-1) n-1 b 1 x n-1 + … b n , а при 0 корень многочлена x n ( )=b 0 +b 1 x+ … b n x n . Таким образом , вместе с алгебраическими числами являются - и . Разность может быть представлена в виде +(- ), т.е . в виде суммы двух алгебраических чисел . При 0 частное , являясь произведен ием двух алгебраических чисел , представляет собой так же алгебраическое число. Если степени алгебраических чисел и равны m и n, то , взяв в качестве f(x) и (x) соот ветствующие минимальные многочлены будем в (2) и (3) иметь многочлены степени mn, и алгебраические числа степени , не большей , чем mn. Многочлены (x), (-x), и x n одинаковой степени , а , следовательно , , - , - алгебраические числа одной и той же степени , откуда следует , что и - и имеют степени не больше , чем mn. Теорема доказана. Пример : 1) и алгебраические числа 2-й степени , а - алгебраическое число 4 степени . Действительно , если = , то 2 =5+ , 2 4 -10 2 +1=0, т.е . корень многочлена f(x)=x4-10x2+1 с целыми коэффициентами , и f(x)=(x- )(x- )(x+ )(x+ ) (4) Из теоремы единственности над полем рациональных чисел множители f(x) должны являться произв едением каких-то множителей правой части равенства (4). Легко видеть , что из этих множителей нельзя составить многочлен с рациональными коэффициентами степени меньшей , чем 4, т.е . f(x) – неприводимый над полем рациональных чисел многочлен , а , следовательн о , согласно теореме 3, - алгебраическое число 4-й степени. 2) = и = , как легко видеть , это алгебраические числа 6-й степени , а произведен ие = - алгебраическое число 3-й степени. III . Рациональные приближения алгебраических чисел. 3.1. Теорема Лиувилля. Алгебраические числа не могут иметь слишком хороших рациональных приближений : погрешность при замене алгебраического числа рациональной дробью не может быть достаточно мала по порядку в сравнении с величиной , обратной знаменателю рац иональной дроби. Для алгебраического числа 1-й степени существует постоянная c>0, такая , что для любой рациональной дроби , отличной от , будет выполняться неравенство : (5) Для алгебраического числа 2-й степени можно подобрать c>0, такое , что для любой рациональной дроби , будет иметь м есто неравенство : (6) В 1844 г ., французским математиком Лиувиллем , впервые была доказана общая теорема : Теорема 5: Для любого действительного алгебраическо го числа степени n можно подобрать положительное c, зависящее только от , такое , что для всех рациональных чисел ( ) будет иметь место неравенство : (7) Доказательство : Пусть f(x)=A 0 x n + A 1 x n-1 +A n неприводимый многочлен с целыми коэффициентами , корнем которого является . В качестве f(x) можно , например , взять многочлен , пол учающийся из минимального для многочлена после умножения всех коэффициентов на наименьшее кратное их знаменателей. Согласно теореме Безу , имеем : f(x)=(x- )g(x), (8) где g(x) – многочлен с действит ельными коэффициентами. Возьмем произвольное >0. |g(x)| - непрерывная , а следовательно , ограниченная функция от x в сегменте - ; + , т.е . существует положительное число M, такое , что |g(x)| M, для всех x из этого сегмента . Обозначим через c=min , так , что и . Для произвольного рационального числа могут представиться две возможности : 1) лежит вне сегмента | - ; + |, тогда 2) удовлетворяет неравенствам : - + , тогда |g( )| M и , подставляя в (8) вместо x значение , получаем : (9) Неприводимый над полем рациональных чисел многочлен f(x) степени n 2 не имеет рациональных корней , а при n=1 не имеет корней , отличных от , так что : f( )= Поскольку числитель - целое неотрицательное , отличное от нуля , т.е . число большее или равное 1, то (10). Сравнивая неравенства ( 9) и (10) получаем , так что и в этом случае имеем : . Теорема доказана. Пример : Пусть z – неквадратное целое число . Найти c >0, такое , что для всех рациональных чисел имело бы место неравенство : . - корень многочлена x -В . Деля x 2 -D на x- , находим g(x)=x+ . При - < x < + имеем , т.е . M = + . В качестве c берем , при этом выгодней всего взять так , что 2 + -1=0, т.е . = . При таком получаем , так что при любых целых a и b имеем : . 3.2. Трансцендентные числа Лиувилля. Числа , являющиеся корнями уравнений с целыми коэффициентами , не исчерпывают все множество действительных чисел , т.е . существуют действительные числа отличные от а лгебраических. Определение 6: Любое неалгебраическое число называется трансцендентным . Впервые существование трансцендентных чисел доказано Лиувиллем . Доказательство существования трансцендентных чисел у Лаувилля эффективно ; на основе следующей теоремы , я вляющейся непосредственным следствием теоремы 5, строятся конкретные примеры трансцендентных чисел. Теорема 6: Пусть – действительное число . Если для любого натурального n 1 и любого действительн ого c >0 существует хотя бы одна рациональная дробь , такая , что (11), то – трансцендентное число. Доказательство : Если бы было алгебраическим , то нашлось бы (теорема 5) целое положительное n и действительное c >0 такие , что для любой дроби было бы , а это противоречит тому , что имеет место (11). Предположение , чт о алгебраическое число , т.е . трансцендентное число . Теорема доказана. Числа , для которых при любых n 1 и c >0 неравенство (11) имеет решение в целых числах a и b наз ываются трансцендентными числами Лиувилля. Пример : 1) a – трансцендентное число. Возьмем произвольные действительные n 1 и c > 0. Пусть , где k выбрано настолько большим , что и k n , тогда Поскольку для произвольных n 1 и c >0 можно найти дробь такую , что , то – трансцендентное число. Заключение. Алгебраические числа имеют широкое применение в теории чисел , алгебре , геометрии и других разделов математики . Они позволяют раскрыть вариантности алгебры для практических приложений . Это имеет большое значение в подготовке учителя для средн ей школы. Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел , называемого алгебраической теорией чисел. К этому разделу относятся вопросы , связанные с изучением различных классов алгебраических чисел. Э та работа может служить в качестве учебного пособия при изучении теории алгебраических чисел . А так же она удобна в использовании при подготовке к экзамену. В работе введена сплошная нумерация теорем и определений арабскими цифрами . Все теоремы даны с полн ыми доказательствами . Приведенные примеры алгебраических чисел и действий над ними , даны с доступными пояснениями и , при необходимости , с доказательством. Большое место в работе занимают теоретические сведения о развитии алгебры теории чисел . Помимо введен ия , дающего общий очерк развития теории чисел , первый параграф посвящен уже конкретно развитию теории алгебраических чисел . Так же на протяжении всей работы можно наблюдать исторические комментарии. Данная работа дает представление о современном состоянии рассматриваемого вопроса и дает представление о теории алгебраических чисел и о теории чисел вообще , как о развивающейся науке.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Разговор по телефону:
- Дорогой, я на парковке попала в аварию.
- Как, опять?! Ну, что на этот раз?! Красилась или по мобильному разговаривала? Ну, сколько же можно, в конце-то концов?
- Почему сразу я?! Хватит на меня орать! Почему ты уверен, что это я виновата? Может, это он в меня въехал?
- Ну, хорошо. Передай ему трубку, я хочу спросить у него, как так получилось.
- Э-м-м-м... Он ещё не подошёл.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, курсовая по математике "Алгебраические числа", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru