Реферат: Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем

Банк рефератов / Информатика, информационные технологии

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 717 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

39 Реферат по математическим основам теории систем на тему Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем Содержание: Содержание 2 1. Появление дифференциальных уравнений при описании систем управления 3 2. Элементы теории дифференциальных уравнений 4 2.1. Понятие дифференциального уравнения 4 2.2. Нормальная система дифференциальных уравнений 4 2.3. Задача Коши 5 2.4. Свойства дифференциальных уравнений 6 2.5. Ломаная Эйлера и -приближенное решение 6 2.6. Непрерывная зависимость решений от начальных условий и параметров 7 2.7. Линейные дифференциальные уравнения 8 2.7.1. Нормальная линейная система дифференциальных уравнений 8 2.7.2. Общее решение линейной однородной системы 9 2.7.3. Определитель Вронского. Формула Лиувилля 9 2.7.4. Линейная неоднородная система. Метод вариации произвольных постоя н ных 10 2.7.5. Формула Коши 12 2.7.6. Линейное уравнение n -го порядка 13 2.7.7. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициент а ми 14 2.7.8. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 15 3. Дифференциальные уравнения при описании непрерывных систем 16 3.1. Составление и линеаризация дифференциальных уравнений элементов сист е мы 16 3.2. Понятие пространства состояний 18 3.3. Описание непрерывных систем с помощью системы дифференциальных уравнений 18 3.4. Описание систем переменными состояния 19 3.5. Понятие наблюдаемости системы 19 3.6. Понятие управляемости системы 20 3.7. Описание непрерывных систем с помощью одного дифференциального ура в нения 21 3.8. Переход от системы дифференциальных уравнений к одному уравнению 22 3.9. Переход от одного уравнения к системе дифференциальных уравнений 22 Список литературы 24 1. Появление дифференциальных уравнений при описании систем управл е ния Любая система автоматического регулирования представляет совокупность отдельных взаимодействующих друг с другом элементов, соединенных между собой связями. Первым этапом при составлении дифференциальных уравнений си с тем автоматического регулирования является разделение системы на отдельные элементы и составление уравнений этих элементов. Эти уравнения могут быть интегральными, линейными, трансцендентными, но чаще всего это оказываются дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения элементов и ура в нения связей между отдельными элементами описывают процесс в системе, то есть изменение по времени всех координат системы. Состояние системы, а также каждого входящего в нее элемента характериз у ется некоторым числом независимых переменных. Этими переменными могут быть как электрические величины (ток, напряжение и т. д.), так и механические (скорость, угол поворота и т. д.). Обычно, чтобы характеризовать состояние си с темы или ее элемента, выбирают одну обобщенную коо р динату на входе системы или элемента и одну – на выходе. Будем обозначать входную величину g ( t ), а в ы ходную x ( t ). В ряде случаев такое представление невозможно, так как система или ее элемент могут иметь несколько входных и выходных величин. В многомерных системах можно рассматривать векторные входную и выходную величины с ра з мерностями, совпадающими соответственно с числом входных и выходных эл е ментов системы. Рассмотрим пример: управление сам о летом по углу рыскания. Предположим, что осевая линия самолета под действием пор ы вов ветра отклонилась от заданного направления y на угол (рис.1). Возвращение с а молета на заданный курс осуществляется с помощью руля, отклонение которого равно . Предполагается, что относительно оси, проходящей через центр тяжести ЦТ, самолет имеет момент инерции J . Восстанавливающая сила руля пропорциональна , тр е нием в воздухе пренебрегаем. Уравнение движения запишется по второму закону Ньютона: где k ( t ) – восстанавливающая сила; m ( t ) – момент, вызванный порывами ветра. Разделив это уравнение на J и обозначив b =– k / J , ( t )= m ( t )/ J , а также принимая ( t ) за управляющее во з действие u ( t ), получаем Вводя в рассмотрение переменные состояния к двум дифференциальным уравнениям первого порядка которые в векторной форме запишутся так Вводя векторно-матричные обозначения приходим к дифференциальному уравнению: 2. Элементы теории дифференциальных уравнений 2.1. Понятие дифференциального уравнения Уравнения, которые, кроме неизвестных функций одного или нескольких п е ременных, содержат также их производные, называются дифференциальными. Дифференциальные уравнения называются обыкновенными, если неизвестные функции являются функциями одного переменного, в противном случае дифференциальные уравнения называются уравнениями в ч а стных производных. Соотношение вида называется дифференциальным уравнением n -го порядка. Решением дифф е ренциального уравнения называется функция x= x ( t ), определенная на некотором интервале t , которая, будучи подставлена в это уравнение, обращает его в то ж дество на всем интервале . Это уравнение можно рассматривать как функцию, определяющую неявно производную n -го порядка x ( n ). При определенных усл о виях его можно решить относительно x ( n ): Пусть x= x ( t ) – решение данного дифференциального уравнения. Тогда x ( t ) является непрерывной и непрерывно дифференцируемой функцией t. На плоск о сти ( t , x ) решению x = x ( t ) будет соответствовать непрерывная кривая, называемая интегральной кривой. Функция x = x ( t , C ) называется общим решением дифференциального уравн е ния, если путем соответствующего выбора постоянной можно любую интеграл ь ную кривую. 2.2. Нормальная система дифференциальных уравнений В дифференциальные уравнения вида может входить n неизвестных функций x 1,…, xn . Тогда системой диффере н циальных уравнений будет совокупность соотношений Предположим, что эту систему можно разрешить относительно старших производных. В этом случае получим систему уравнений: Такая система называется канонической системой дифференциальных ура в нений. Вводя новые неизвестные функции, можно привести эту систему к системе первого порядка. Пусть Тогда наша система перепишется в виде В дальнейшем будем рассматривать систему из n уравнений первого порядка в виде Эта система называется нормальной (канонической) системой дифференциальных ура в нений. Эту систему будем записывать в векторной форме: Тогда данная система будет представлена в виде: Решением этой системы на интервале G называется совокупность n функций xi = xi ( t ), о п ределенных на интервале G и таких, что подстановка их в эту систему обращает каждое ее уравнение в тождество на всем интервале G . Если вектор-функция не зависит явно от времени t , то эта система называется автономной (стационарной). 2.3. Задача Коши Начальной задачей или задачей Коши для системы называется следующая задача. Найти решение системы дифференциальных уравнений, определенное на некотором интервале G , содержащем точку t 0, и удовлетворяющее условиям: причем t 0, xi 0 ( i =1, 2,…, n ) называются начальными значениями для решения x 1( t ), …, x n( t ), а эти условия – начальными условиями. Если ввести в рассмотр е ние ( n +1)-мерное пространство с координатами t , x 1,…, xn , то совокупность n функций xi = xi ( t ) будет представлять линию в n -мерном пространстве. Начальные значения t 0, x 10,…, xn 0 представляют собой точку в этом пр о странстве. 2.4. Свойства дифференциальных уравнений Пусть имеется нормальная система дифференциальных уравнений в векто р ной форме (1) Общим решением системы (1) в области G называется совокупность n фун к ций xi = xi ( t , c 1,…, cn ), i =1,2,…, n . Будем говорить, что функция f ( t , x 1,…, xn ) удовл е творяет условию Липшица в области G по переменным x 1,…, xn , если существует такое постоянное число L >0, что для любой пары точек ( t , x 1,…, xn ) и ( t , xs 1,…, xsn ), принадлежащих G , выполняется неравенс т во Пусть в системе (1) функции fi ( t , x ) непрерывны по t и удовлетворяют усл о вию Липшица по x 1,…, xn в некоторой области G . Тогда существует и притом единственное решение xi = xi ( t ), I =1,2,… n системы (1), удовлетворяющее начальным условиям xi ( t 0)= xi 0, определенное на отре з ке K , содержащем точку t 0. Теорема утверждает существование единственного решения на отрезке K , содержащем точку t 0. Однако, это решение может быть продолжено за пределы отрезка K вплоть до границы области G . Если функция f ( t , x 1, ..., х n ) имеет ограниченные частные производные по xi в выпуклой области G , то эта функция удовлетворяет условию Липшица. 2.5. Ломаная Эйлера и -приближенное решение Рассмотрим систему уравнений (2) причем будем полагать, что эта система удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Совокупность n функций z 1( t ), ..., zn ( t ) называется -приближенным решен и ем системы (2) на отрезке А, если каждая из этих функций непрерывна, имеет кусочно-непрерывную прои з водную и во всех точках t K , кроме точек разрыва непрерывности этой прои з водной. Пусть задана начальная точка ( t 0, x 10, …, хn0) и пусть функции fi ( t , xi ,...,х n ) непрерывны по t в области G и удовлетворяют в этой о б ласти условию Липшица по переменным t , x 1, х2, ..., х n . Можно показать, что в этом случае функции fi ( t , x 1,..., х n ) будут непрерывны по совокупности переме н ных t , x 1,..., х n в области G . Из непрерывности функций fi ( t , x 1,..., хn) в замкнутой области G сле дует их равномерная н е прерывность. Таким образом, для любого >0 найдется такое >0, зависящее только от , что при будет справедливо неравенство Построим -приближенное решение системы (2). Для этого разобьем область G на кубы со сторонами, меньшими (для случая n =1 построение проведено на рис. 2, в этом случае область разбивается на квадраты). Из точки ( t , xlo , ..., х n 0) проведем прямую Эту прямую продолжим до пересечения с одной из сторон соответствующего куба. Обозначим точку пересечения ( t 1, x 11,..., x n 1). Из этой точки проведем пр я мую которую продолжим до пересечения с одной из сторон куба; обозначим точку пересеч е ния ( t 2, x 12,..., x n 2), через эту точку проводим новую прямую и так далее. В результате указанных действий получим ломаную xi = xi ( t ) ( i = l , 2, ..., n ), называемую ломаной Эйлера. Эта ломаная представляет собой непрерывную кусо ч но-линейную функцию. Ломаную Эйлера мы можем продолжить до границы о б ласти G . Пусть xi ( t ) ( i = l , 2, ..., n ) — точное решение системы (2), удовлетво ряющее н а чальным условиям. Обозначим через si ( t ) ( i =1, 2, ..., n ) -приближенное решение системы (1) для тех же н а чальных условий. Тогда Отсюда следует, что если | t – t 0|< h , то Таким образом, при 0 решение xi ( t ) ( i =1, 2, ..., n ) равномерно сходится к решению si ( t ) ( i = l , 2, ..., n ) и ломаная Эйлера, исходящая из точки ( t 0, xi ( t 0)), ра в номерно сходится к точному решению. Это неравенство дает оценку погрешности при замене точного решения -приближенным. Полученные неравенства мы используем для выяснения важной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных условий и параметров уравнений. 2.6. Непрерывная зависимость решений от начальных условий и параметров Пусть задана нормальная система дифференциальных уравнений (2), причем функции fi ( t , xl ,..., х n ) непрерывны по t и удовлетворяют условию Липшица по х1, ..., х n в некоторой области G . Пусть далее x = x ( t , t 0, x 0) — решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям. Положим, что это решение определено на отрезке | t - t 0|
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Ничто так не помогает осознать сколько всякой фигни содержится в мозгу, как разгадывание кроссворда...
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по информатике и информационным технологиям "Дифференциальные уравнения и описание непрерывных систем", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru