Реферат: Динамическое программирование и вариационное исчисление - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Динамическое программирование и вариационное исчисление

Банк рефератов / Информатика, информационные технологии

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 63 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

19 Реферат по математическим основам теории систем на тему Динамическое программирование и вариационное исчисление 1. Динамические задачи оптимизации управления 1.1. Постановка задачи динамического программирования Среди разнообразных задач кибернетики значительное место занимают задачи, в которых об ъ ект управления находится в состоянии непрерывного движения и изменения под воздействием различных внешних и внутренних факторов. Задачи упра в ления такими объектами относятся к классу динамических задач управления. Объект называется управляемым, если среди действующих на него разнообра з ных факторов имеются такие, распоряжаясь которыми, можно изменять характер его движения. Такие целенаправленные воздействия называются управлениями и обозначаются u ( t ). Характер движения объекта управления определяется системой дифференциал ь ных уравнений, которую удобно сокращенно записывать в векторной форме в виде одного дифференциального ура в нения: x ( t )= g ( x , u ), x (0)= c . Управление u ( t ) входит в уравнение, так что это уравнение определяет не просто конкретное движение объекта, а лишь его технические возможности, которые могут быть реализованы путем и с пользования того или иного управления из пространства допустимых управлений U . Оценить, насколько при том или ином способе управления достигаются поста в ленные цели, можно, как и раньше, путем введения целевой функции, которую в да н ном случае удобно записать в виде J = J [ x ( t ), x ( t ), u ( t ), t ]. Так, если u( t ) - мгновенный расход топлива, а x ( t ) - мгновенная скорость самолета, то с точки зрения расхода топлива качество управления в любой момент времени м о жет быть охарактеризовано величиной J ( t )= u ( t )/ x ( t ) (мгновенный расход топлива на едини цу пути), которая, естественно, будет зависеть от состояния природы, т.е. от совокупности внешних факторов, определяющих условия п о лета. Целевая функция в виде, записанном выше, используется редко, так как она дает оценку лишь мгновенных значений управляемого процесса, тогда как в большинстве задач бывает необходимо оценить процессы в объекте управления на протяжении вс е го времени управления от 0 до Т. Во многих случаях целевую функцию удается подобрать так, что оценку процесса в объекте управления можно произвести путем интегрирования целевой функции за все время управления, т.е. за критерий качества управления принять функционал J ( u )= . Так, если целевая функция имеет физический смысл потерь, то можно определяет суммарные потери за весь процесс управления. Иногда в качестве цели управления удается задать желаемый ход процесса z ( t ). При этом в к а честве целевой функции можно взять квадрат или абсолютное значение отклонения процесса x ( t ) от желаемого: J =[ x ( t )- z ( t )]2, J =| x ( t )- z ( t )| . В этих случаях критерий качества управления будет определять полную квадратичную или а б солютную ошибку. В динамических задачах управления наряду с ограничениями, определяющими пространство допусхидшх. управлений U , приходится иметь дело с интегральными о г раничениями вида . Весьма часто, например, приходится сталкиваться с необходимостью ограничения пределов изменения мгновенного значения некоторого параметра а(х, u ) в процессе управления. Обозначим через a0 то значение параметра а, превышение которого является нежелательным. Если подынтеграл ь ную функцию H(х, u), называемую в данном случае функцией штрафа, определить из соотношения то интегральное ограничение будет выражать требование, чтобы мгновенное параме т ра а могло превышать а0 лишь кратковременно и на незначительную величину. Это условие будет выполняться тем жестче, чем меньше К. так, при К=0 ограничение в о обще не будет допускать превышениен а над а0. Такие ограничения возникают также тогда, когда приходится иметь дело с огр а ниченными ресурсами: может быть ограничено находящееся в распоряже нии колич е ство энергии, топлива,если речь идет о траекториях, и т.п. Приведенные соотношения позволяют дать следующее определение оптимальн о го управления в динамических системах. Оптимальным называется управление u *(t), выбираемое из прастранства допустимых управлений U , такое, которое для объекта, описываемого дифференциальным уравнен и ем, минимизирует критерий качества при заданных ограничениях на используемые ресурсы. 1.2. Многошаговые процессы управления 1.2.1. Поведение динамической системы как функция начального состояния Нахождение оптимального управления в динамических системах во многих случаях сущес т венно облегчается, если процесс управления удается разбить естественным или искусственным п у тем на отдельные шаги или этапы. Для того чтобы вести рассмотрение в общем виде, будем считать, что состояние объекта описывается мн о гомерной переменной х= x 1,...,х n ). Предполагая, что процесс является неуправляемым и неопределенность в состо я нии природы отсутствует, дифференциальное уравнение, определяющее движение объекта, запишем в виде: x ( t )= g ( x ), x (0)= c . Решение этого уравнения записывают обычно как х=х( t ), чем подчеркивается зависимость решения от времени. Однако не менее важно то, что решение уравнения зависит от начального состо я ния с. Поэто му более строгой является такая форма записи, которая показывает явную зависимость решения х как от времени, так и начального состояния: х=х( c , t )=х[ x (0), t ]. Такая форма записи позволяет рассматривать состояние системы в произвольный момент времени t как не которое преобразование начального состояния х(0)=с на и н тервале t . Рассмотрим движение объекта на интервале от 0 до t 2, который промежуточной точкой t 1 раз о бьем на два ин тервала длительностью t 1 и ф= t 2- t 1. Рассмотрим три состояния объекта управления: начальное состояние х(о) =с; состояние х(с, t 1) в промежуточный момент t 1 ; состояние х(с, t 2) в конечный момент t 2; К описанию последнего состояния можно подойти двояким образом. Это состо я ние можно рассматривать или как преобразование начального состояния х(о)=с на и н тервале t 2= t 1+ ф: х(с, t 2)= х(с, t 1 + ф) или как преобразование состояния х(с, t 1) на и н тервале ф: х(с, t 2)= х[ x (с, t 1), ф]. Так как оба выражения описывают одно и то же со стояние, то, приравнивая их, получаем соо т ношение: х(с, t 1 + ф)= х[ x (с, t 1), ф]. 1.2.2. Представление динамического процесса в виде последовательности преобраз о ваний Предположим, что динамический процесс х(с, t ) на интервале от 0 до tf может быть естественным или искусственным образом представлен как многошаговый, и найдем подходящий способ описания такого процесса. Для того чтобы получить мн о гошаговый процесс, интервал от 0 до tf следует разбить на n последовательных шагов, длительности которых примем равными ф1,ф2,..., ф n . Обозначим через tk ( k =0,..., n ) м о менты окончания k-го шага так, что tk +1= t k +ф k +1, а через xk - состояние объекта в момент tk : xk = x ( c , tk ). Рассмотрим состояние xk +1= x ( c , tk +1)= x ( c ,t k +ф k +1). Это выражение в можно представить в виде: xk +1= x [ x ( c , tk ),ф k +1]= x ( xk ,ф k +1). Это соотношение представляет состояние объекта xk +1 как результат преобраз о вания состояния xk на (k+1)-м шаге. Введем в рассмотрение оператор Т, который будет означать преобразование состояния проце с са за один шаг: Т ( xk ) = x ( xk , ф k +1), k = 0, n -1. Тогда получим: xk +1=Т ( xk ). Полагая k =0,n-1, можем описать весь динамический процесс в виде последовательности прео б разований x 0= c , x 1=Т ( x 0), …, xn =Т ( xn -1). 1.2.3. Многошаговый процесс управления Динамический процесс, описываемый преобразованием xk +1=Т( xk ), является неуправляемым. Для получения управляемого многошагового процесса необходимо иметь возможность на каждом шаге осуществлять не одно преобразование Т(х k ), а о д но из множества преобразований Т i (х k ). Удобно считать, что конкретный вид преобразования будет зависеть от параме т ра uk , который на k -м шаге может принимать одно из множества значений U k. Параметр uk будем называть управл е нием, а множество Uk - пространством допустимых управлений на k -м шаге. Преобразование, осущ е ствляемое на k -м шаге, теперь можно записать в виде xk +1=Т( xk , uk ), uk Uk . Если в этом соотношении положить последовательно tk =0, n -1 и учесть начальное с о стояние х0, то получим описание всего управляемого многошагового процесса: xk +1=Т( xk , uk ), uk Uk , tk =0, n -1, х0=x(0)=c. Данное соотношение, называемое разностным уравнением объекта управления, анал о гично дифференциальному уравнению, дающему описание непрерывного динамич е ского процесса. 2. Оптимальное управление как вариационная задача 2.1. Математическая формулировка задачи оптимального управления Характерной тенденцией в построении современных систем автоматического управления является стремление получать системы, которые в некотором смысле являются наилучшими. При упра в лении технологическими процессами это стремление выражается в том, чтобы улучать максимальное количество продукции высокого кач е ства при ограниченном использовании ресурсов (сырья, энергии и т.п.). В системах управления кораблями, самолетами, ракетами стремятся минимизировать время, по истечении которого объект выходит в заданную точку или на заданную траекторию при огран и чении угла отклонения рулей, количества расходуемого топлива и т. п. В следящих и стабилизирующих системах представляет интерес достижение максимальной точности при наличии всево з можных ограничений, накладываемых на координаты регулируемого объекта, исполнительные эл е менты и регулятор. Во всех этих примерах задачи управления сводятся к нахождению наилучшего в опред е ленном смысле слова процесса из множества возможных процессов, т.е. относятся к классу динам и ческих задач управления. Как было показано ранее, математическая формулировка динамических задач оптимального управления сводится к следующему. Имеется объект управления, состо я ние которого характеризуется многомерной переменной х= х1,…, xn . Характер пр о цессов в объекте управления можно изменять, используя то или иное упвление u из пространства допустимых правлений U . В общем случае управление u U может быть также многомерной величиной u = u 1,..., um . Характер движения об ъ екта управления описывается системой дифференциальных уравнений х= g (х, u ), х (0)=с. За критерий качества управления принимается интегральная оценка вида J ( u )= ,имеющая физический смысл потерь, где Т- время протекания процесса управления, a Q [ x ( t ), u ( t )]= q ( t ) - мгновенные потери в момент t при состоянии системы x ( t ) и упра в лении u ( t ). Добавочными ограничениями могут быть ограничения, накладываемые на количество ресурсов или пределы изменения некоторых параме т ров, выражающиеся математически соотношением . Как было установлено ранее, оптимальным называется такое управление u * из множ е ства допустимых управлений U , при котором для объекта, описываемого дифференциальным уравнением, и з а данных огра ничениях на используемые ресурсы критерий качества управления принимает мин и мальное (максимальное) значение. Сформулированная подобным образом задача оптимального управления относится к классу в а риационных задач, решением которых занимается раздел математики, получивший название вари а ционного исчисления. Величина J ( u ) получила название функционала. В отличие от функции, например, f ( x ), численные значения которой з а даются на множестве значений аргумента х, численные значения функционала J (u) задаются на множестве всевозможных управлений u( t ). Задача нахожд е ния оптимального управления сводится к тому, чтобы из множества допустимых управлений U в ы брать такое, при котором функционал J (t) принимает минимальное численное знач е ние. 2.2. Постановка вариационной задачи Обычно задачи, требующие минимизации функционала, подчиненного диффере н циальному соот ношению, при наличии интегрального ограничения заменяются минимизацией нового функцион а ла J ( u )= + л , подчиненного только дифференциальному соотношению. Параметр л , в функционале, пол у чивший название множителя Лагранжа, в задачах оптимизации управления играет роль «цены» ограниченных ресурсов. Его значение находится из граничных у с ловий вариационной задачи. Возможность упрощения вариационной задачи с интегральными ограничениями посредством введения множителей Лагранжа вытекает из следующей теоремы. Теорема 1. Если u ( t )-оптимальное управление, при котором функционал J ( u )= + л достигает абсолютного минимума и выполняется ограничение , тогда при u ( t ) достигается абсолютный минимум фун к ционала J ( u )= , подчиненного ограничению . Доказательство: следует от противного. Пусть v ( t )-другое управление, отличное от u ( t ), пр и чем такое, что < и выполнено условие . Тогда + л
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Последний рабочий день перед отпуском, как концентрат из понедельников.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по информатике и информационным технологиям "Динамическое программирование и вариационное исчисление", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru