Реферат: Задачи графических преобразований в приложениях моделирования с использованием ЭВМ - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Задачи графических преобразований в приложениях моделирования с использованием ЭВМ

Банк рефератов / Программирование

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 45 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

18 Содержание 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. Афинные преоб разования на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 3. Однородные ко ординаты точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4. Аффинные прео бразования в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5. Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 6. Список литера туры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1. Введение Вывод изображен ия на экран дисплея и разнообразные дейст вия с ним , в том числе и визуаль ный анализ , требуют от пользователя достаточн ой геометрической грамотности . Геометрические пон ятия , формулы и факты , относящиеся , прежде всего , к плоскому и трехмерному случаям , и грают в задачах компьютерной графики особую роль. Геометрические соображения , подх оды и идеи в соединении с постоянно р асширяющимися возможностями вычислительной техники являются неиссякаемым источником существенных продвижений на пути развития компьютерной гра фики , ее эффективного использования в научны х и иных исследованиях . Порой да же самые простые геометрические методики обес печивают заметные продвижения на отдельных эт апах решения большой графической задачи . Прежде всего , необходимо заметить , что особенности использования геометрических понятий , форм ул и фактов , как простых и хорошо известных , так и новых более сложны х , требуют особого взгляда на них и ин ого осмысления . Теперь необходимо рассмотреть графическую реализацию 3-х мерных объектов , т.к . она тесно связана со свойствами объектов . Система коо рдинат экрана , как известно , является двумерной , поэтому на экране возможна эму ляция 3-х мерной системы координат , расположено й наиболее удобно для последующих расчетов . В дальнейшем все объекты считаются 3-х м ерными , а отображение осуществляется с помощь ю набора функций разработанной библ иотеки. Одним из примеров реализации данного подхода может служить следующий . Каждый объек т , в простейшем случае , представляет собой параллелепипед и хранится в памяти размерами по трем осям . Также в его структуру входит н абор специальных точек , отвечаю щих за соединение блоков в пространстве . В общем случае , это точка привязки и ис ходная точка . В целом , получается гибкая г рафическая модель , которая позволяет изменять размеры блоков практически мгновенно . Таким о бразом , поя в ляется возможность осущес твить простейший графический редактор трехмерных объектов . При этом все блоки будут из меняться , создавая общую графическую модель . И мея дело с графической моделью , можно реал изовать вращение совокупности трехмерных объекто в . Это о с уществляется с помощью набора функций , которые производят вращение объектов . Для вращения каждого объекта суще ствует алгоритм , который разбивает объект (в простейшем случае параллелепипед ) на набор точек , каждая из которых вращается , используя простейшие п реобразования в простр анстве путем умножения матрицы радиус-вектора на матрицы преобразований в пространстве . Рас смотрим более подробно данный подход с фо рмальной стороны. 2. Афинные прео бразования на плоскости В компьютерн ой графике все , что относит ся к дв умерному случаю принято обозначать символом (2 D) (2-dimention). Допустим , чт о на плоскости введена прямолинейная координа тная система . Тогда каждой точке М ставитс я в соответствие упорядоченная пара чисел (х , у ) ее координат (рис . 1). Вводя на пл оск ости еще одну прямолинейную систему координат , мы ставим в соответствие той же точке М другую пару чисел – ( x * , y * ). Рис . 1 Переход от одной прямолинейной координатной системы на плоскости к друг ой описывается следующими соотношениями : x * = a x + b y + l, (2.1) y * = g x + b y + m, (2.2) где a, b, g, l, m -- произвольные числа , связанные неравенством : a b = 0. (2.3) g d Формулы (2.1) и (2.2) можно рассматрива ть двояко : либо сохраняется точка и изменя ется координатная система (рис . 2) – в этом случае произвольная точка М остае тся той же , изменяются лишь ее координаты (х , у ) | (х * , y * ), либо изменяетс я точка и сохраняется координатная система (рис . 3) – в этом случае формулы (2.1) и (2.2) задают отображение , переводящее произвольную то чку М (х , у ) в точку М * (х *, у *), коо рдина ты которой определены в той же координатной системе. X* Y* Рис . 2 Рис . 3 В дальнейшем , формулы (2.1) и (2.2) будут рассматриваться как правило , согласно к оторому в заданной систе ме прямолинейных координат преобразуются точки плоскости. В аффинных преобразованиях плоскости особую роль играют несколько в жных частных случаев , имеющих хорошо прослежи ваемыегеометрические характеристики . При исследовании геометрического смысла числовых коэффицент ов в формулах (2.1) и (2.2) для этих случаев у добно считать , что заданная система координат является прямоугольной декартовой. 1. По ворот вокруг начальной точки на угол j (рис . 4) опи сывается формулами : х * = x cos j - y sin j, (2.3) y* = x sin j - y cos j. (2.4) 2. Растяжение (сжатие ) вдоль координатных осей можно задать так : x* = a x, (2.5) y* = d y, (2.6) a > 0, d > 0. (2.7) Растяжени е (сжатие ) вдоль оси абсцисс обеспечивается при условии , что a > 1 (a < 1). На рис. 5 a = d > 1. 3. Отражение (отно сительно оси абсцисс ) (рис . 6) задается при п омощи формул : x* = x, (2.8) y* = -y. (2.9) 4. На рис . 7 ве ктор переноса ММ * имеет координаты l, m . Перенос обеспечивает соотношения : x* = x + l, (2.10) y* = y + m. (2.11) Рис . 4 Рис . 5 Рис . 6 Рис . 7 Выбор этих четырех частных случаев определяется двумя обстоятельствами. 1. Каждое из приведенных выше преобразований имеет прос той и наглядный г еометрический смысл ( геометрическим смыслом наделены и постоянные числа , входящие в приведенные формулы ). 2. Как известно из курса аналитической геометрии , любое преобразование вида (2.1) всегда можно п редставить как последовательное исполнение (супер пози цию ) простейших преобразований вида 1 – 4 (или части этих преобразований ). Таким о бразом , справедливо следующее важное свойство аффинных преобразований плоскости : любое отображе ние вида (2.1) можно описать при помощи отобр ажений , задаваемых формулами (2.3 ) – (2.11). Для эффективного использования этих извес тных формул в задачах компьютерной графики более удобной является их матричная запись . Матрицы , соответствующие случаям 1 – 3, строятс я легко и имеют соответственно следующий вид : cos j sin j a 0 1 0 -sin j cos j 0 d 0 -1 3. Однородные к оординаты точки Пуст ь М – произвольная точка плоскости с координатами х и у , вычисленными относитель но заданной прямолинейной координатной системы . Однородными координата ми этой точки на зывается любая тройка одновременно не равных нулю чисел х 1 , х 2 , х 3 , связанных с заданными числами х и у следующими с оотношениями : x 1 / x 3 = x, x 2 / x 3 = y (3.1) При решении задач компьютерно й графики о днородные координаты обычно вводятся так : про извольной точке М (х , у ) плоскости ставится в соответствие точка М Э (х , у , 1) в пространстве. Необходимо заметить , что произвольная точ ка на прямой , соединяющей начало координат , точку О (0, 0, 0), с точкой М Э (х , у , 1),может быть задана тройкой чисел вида ( hx, hy, h). Будем считать , что h = 0 . Вектор с координатами hx, hy, h являет ся направляющим вектором прямой , соединяющей точки О (0, 0, 0) и М Э (х , у , 1). Эта прямая пересекает плоскос ть z = 1 в точ ке (х , у , 1), которая однозначно опре деляет точку (х , у ) координатной плоскости ху . Тем самым между произвольной точкой с координатами (х , у ) и множеством троек чисел вида ( hx, hy, h), h = 0, устанавливается взаимно однозначное соо тветствие , позволяющее с читать числа hx, hy, h новыми коор динатами этой точки. Широко используемые в проективной геометр ии однородные координаты позволяют эффективно описывать так называемые несобственные элемент ы (по существу , те , которыми проектная плос кость отличается от привы чной евклидовой плоскости ). В проективной геометрии для однородных координат принято следующее обозначение : х : у : 1 (3.2) или , более общо, х 1 : х 2 : х 3 (3.3) (здесь непре менно требуется , чтобы числа х 1 , х 2 , х 3 одновременно в ну ль не обращались ). Прим енение однородных координат оказывается удобным уже при решении простейших задач. Рассмотрим , например , вопросы , связанные с изменением масштаба . Если устройство отображ ения ра ботает только с целыми числами (или если необходимо работать только с целыми числами ), то для произвольного значен ия h (напр имер , h = 1) точку с однородными координатами (0.5, 0.1, 2.5) представить нельзя . Однако при разумном выборе h можно добит ься того , чтобы координаты этой точки были целыми числами . В частности , при h = 10 для рас сматриваемого примера имеем (5, 1, 25). Рассмотрим другой случай . Чтобы результат ы преобразования не приводили к арифметическо му переполнению для точки с координатами (80000, 4 0000, 1000) можно взять , например , h = 0.001. В результате получим (80, 40, 1). Приведенные примеры показывают полезность использования однородных координат при проведе нии расчетов . Однако основной целью введения однородных координат в компьютерной графике является их несомненное удобство в применении к геометрическим преобразованиям . При помощи троек однородных координат и матриц третьего порядка можно описать любое аффинное преобразование плоскости. Считая , h = 1 , сравним две записи : a g 0 (x * y * 1) = (x y 1) b d 0 (3.4) l m 1 Нетр удно заметить , что после перемножения выражен ий , стоящих в правой части последнего соот ношения , мы получим формулы (2.1) и (2.2) и верное числовое равенство 1 = 1. Тем самым сравниваемые записи мо жно считать равносильными. Элементы произвольной матрицы аффинного п реобразования не несут в себе явно выраже нного геометрического смысла . Поэтомучтобы реализ овать то или иное отображение , то есть найти элементы соответствующей матрицы по заданному геометр ическому описанию , необходим ы специальные приемы . Обычно построение этой матрицы в соответствии со сложностью пос тавленной задачи и с описанными выше част ными случаями рзбивают на несколько этапов. На каждом этапе пишется матрица , соотв етствующая тому или иному из выделенных выше случаев 1 – 4, обладающих хорошо выраж енными геометрическими свойствами. Выпишнм соответствующие матрицы третьего порядка. А. Матрица вращения ( rotation) cos j sin j 0 [ R ] = - sin j cos j 0 (3.5) 0 0 1 Б . Матрица растяжения-сжатия ( dilatation) a 0 0 [ D ] = 0 d 0 (3.6) 0 0 1 В . Матрица отражения (reflection) 1 0 0 [ M ] = 0 -1 0 (3.7) 0 0 1 Г . Матрица переноса ( translation) 1 0 0 [ T ] = 0 1 0 (3.8) l m 1 Рассмотрим примеры аффинных преобразований плоскости. Пример 1. Построить матрицу по ворота вокруг точки А (a, b) на угол j (рис . 9). j Рис . 8 1- й шаг . Перенос на вектор – А ( -a, -b) для смещения центра поворота с началом координат ; 1 0 0 [ T -A ] = 0 1 0 (3.9) -a -b 1 матрица соответствующего преобразо вания. 2-й шаг . Поворот н а угол j; cos j sin j 0 [ R j ] = -sin j cos j 0 (3.10) 0 0 1 ма трица соответствующего преобразования. 3-й шаг . Перенос на вектор А (a, b) для возвращени я центра поворота в прежнее положение ; 1 0 0 [ T A ] = 0 1 0 (3.11) a b 1 матрица соответствующего преобразо вания. Перемножим матрицы в т ом же порядке , как они выписаны : [ T -A ] [ R j ] [ T A ]. В результате получим , что и скомое преобразование (в матричной записи ) буд ет выглядеть следующим образом : cos j sin j 0 (x* y* 1) = (x y 1) -sin j cos j 0 (3.12) -a cos j + b sin j + a -a sin j - b cos j + b 1 Элементы полученной матриц ы (особенно в последней строке ) не так легко запомнить . В то же время каждая из трех перем ножаемых матриц по геометрическому описанию с оответствующего отображения легко строится. Пример 2. Построить матри цу растяжения с коэффицентами растяжения a вдоль о си абсцисс и b вдоль оси ординат и с центром в точке А ( a, b). 1-й шаг . Пе ренос на вектор – А ( -a, -b) для совмещения центра раст яжения с началом координат ; 1 0 0 [ T -A ] = 0 1 0 (3.13) -a -b 1 матрица соответствующего преобразо вания. 2-й шаг . Растяжение вдол ь координатных осей с коэффицентами a и b соответст венно ; матрица преобразования имеет вид a 0 0 [ D ] = 0 d 0 (3.14) 0 0 1 3-й шаг . Перенос на вектор А (a, b) для возвращения центра растяжения в п режнее положение ; матрица соотве тствующего преобразования : 1 0 0 [ T A ] = 0 1 0 (3.15) a b 1 Премножив матрицы в том же порядке [ T -A ] [ D ] [ T A ], получим окончат ельно a 0 0 ( x* y* 1) = (x y 1) 0 d 0 (3.16) (1 - a )a (1 - d )b 1 Рассуждая подобным образом , то есть разбивая предложенное преобразование на этапы , поддер живаемые матрицами [ R ], [ D ], [ M ], [ T ], можно построить матрицу любого аффинного преобразования по его г еом етрическому описанию. 4. Аффинные преобразования в пространстве Рассмотрим трехмерный случай (3 D) (3-dimension) и сразу введем однородные к оординаты. Потупая аналогично тому , как это было сделано в размерности два , заменим коорди натную тройку ( x, y, z), з адающую точку в пространстве , на четверку чисел (x y z 1) или , боле е общо , на четверку ( hx hy hz), h = 0. Каждая точка пространства (кроме начально й точки О ) может быть задана четверкой одновременно не равных нулю чисел ; эта четверка чисел оп ределена однозначно с точностью до общего множителя. Предложенный переход к новому способу задания точек дает возможность воспользоваться матричной записью и в более сложных трехмерных задачах. Любое аффинное преобразование в трехмерно м пространстве может быть представленно в виде суперпозиции вращений , растяжений , от ражений и переносов . Поэтому вполне уместно сначала подробно описать матрицы именно эт их преобразований (ясно , что в данном случ ае порядок матриц должен быть равен четыр ем ). А. Матрицы вр ащения в пространстве. Матрица вращения вокруг оси абсцисс на угол j : 1 0 0 0 0 cos j sin j 0 0 -sin j cos j 0 0 0 0 1 Матрица вращения вокруг оси ординат на угол y: cos y 0 -sin y 0 0 1 0 1 sin y 0 cos y 0 0 0 0 1 Матрица вращения вокруг оси аппикат на угол c : cos c sin c 0 0 -sin c cos c 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Полезно обратить внимание на место знака “ - ” в каждой из трех приведенных матриц. Б. Матрица ра стяжения-сжатия : a 0 0 0 0 b 0 0 0 0 g 0 0 0 0 1 где a > 0 – коэф фицент растяжения (сжатия ) вдоль оси абсцисс ; b > 0 – коэффицент растяжения (сжати я ) вдоль оси ординат ; g > 0 – коэффицент растяжения (сжати я ) вдоль оси аппликат. В. Матрицы от ражения Матрица отражения относительно плоскости ху : 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 Матрица отражения относительно плоскости yz: -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Матрица о тражения относите льно плоскости zx: 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Г. Матрица переноса (здесь ( l, m, n) - вектор переноса ): 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 l m n 1 Как и в двумерном случае , все выписанные матрицы невырождены. Приведем важный пример построения матрицы сложног о преобразования по его геоме трическому описанию. Пример 3. Построит ь матрицу вращения на угол j вокруг прямо й L , прохо дящей через точку А ( a, b, c) и имеющую направляющий ве ктор (l, m, n). Мо жно считать , что направляющий вектор прямой является единичным : l 2 + m 2 + n 2 = 1 На рис . 10 схематично показано , матрицу какого преобразования требуется найти. L X Рис . 10 Решение сформулированной задачи р азбивается на несколько шагов . Опишем последовательно каждый из них. 1-й шаг . Пер енос на вектор – А ( -a, -b, -c) при помощи матрицы 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -a -b -c 1 В результате этого преноса мы добиваемся того , чтобы прямая L проходила через начало координат. 2-й шаг . Со вмещение оси аппликатс прямой L двумя поворотами вокруг оси абсцисс и оси ординат. 1-й поворот – вокруг оси абсци сс на угол y (подлежащий определению ). Чтобы найти этот угол , рассмотрим ортогональную п роекцию L ’ исходной прямой L на плоскость X = 0 (рис . 11). L ’ L q Y Y 0 Рис . 11 Направляющий вектор прямой L ’ определяется просто – он раве н (0, m, n). Отсюда сразу же вытекает , ч то cos y = n / d, sin y = m / d, (4.10) где d = m 2 + n 2 (4.11) Соответствующая матри ца в ращения имеет следующий вид : 1 0 0 0 0 n/d m/d 0 0 -m/d n/d 0 0 0 0 1 Под действием преобразования , описываемого этой матрицей , координаты вектор а ( l, m, n) изменятся . П одсчитав их , в результате получим ( l, m, n, 1)[ R x ] = ( l , 0, d, 1). (4.13) 2- й поворот вокруг оси оси ординат на угол q , определяемый соотношениями с os q = l, sin q = -d (4.14) C оответствующая матрица вращения записывается в следующем виде : l 0 d 0 0 1 0 0 -d 0 l 0 0 0 0 1 3-й ш аг . Вращение вокруг прямой L на заданны й угол j. Так ка теперь прямая L совпадает с осью аппликат , то соответствующая матрица и меет следующий вид : cos j sin j 0 0 -sin j cos j 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 4- й шаг . Поворо т вокруг оси ординат на угол - q. 5-й шаг . Пов орот вокруг оси абсцисс на угол - y. Однако вращение в пространстве некоммутативно . Поэтому порядок , в котором проводятся вращения , является весьма суще ственным. 6-й шаг . Пер енос на вектор А ( a, b, c) . Перемножив найденные матрицы в порядке их построения , получим следующую матрицу : [ T ][ R x ][ R y ][ R z ][ R y ] -1 [ R x ] -1 [ T ] -1 . Выпишем окончательный результат , считая для простоты , что ось вращения ходит через начальную точку. l 2 + cos j (1 – l 2 ) l (1 – cos j) m + n sin j l (1 – cos j )n – m sin j 0 l (1 – cos j) m – n sin j m 2 + cos j( 1 – m 2 ) m(1 – cos j) n + l sin j 0 l (1 – cos j ) n + m sin j m(1 – cos j) n – l sin j n 2 + cos j(1 - n 2 ) 0 0 0 0 1 Рассматрива я примеры подобного рода , мы будем п олучать в результате невырожденные матрицы ви да a 1 a 2 a 3 0 b 1 b 2 b 3 0 g 1 g 2 g 3 0 l m n 1 При пом ощи таких матриц можно преобр азовать любые плоские и пространственные фигуры. Пример 4. Требуетс я подвергнуть заданному аффинному преобразованию выпуклый многогранник. Для этого сначала по геометрическому описанию отображения находим его матрицу [ A ] . Замечая да лее , что произвольный выпуклый многогранник однозначно задается набором всех своих в ершин V i ( x i , y i , z i ), i = 1,… ,n, Строим матрицу x 1 y 1 z 1 1 V = . . . . . . . . . . (4.18) x n y n z n 1 Подвергая этот набор преобразованию , опис ываемому найденной невырожденной матрицей четвер того порядка , [ V ][ A ] , мы получаем набор вершин нового выпуклого многогранника – образа исходного (рис . 12). Z 0 Y X Рис . 11 5. Заключени е Учитывая выше описанные принципы , была разработана программа моделирования синтез а металлорежущих станк ов , которая наглядно показывает зависимость к омпоновки станка от формы обрабатываемой пове рхности через код компоновки , а также возм ожность построения модели станка из стандартн ых узлов для последующей оценки компоновки . В виду того, что данная программ а разрабатывалась как исследование , в ней лишь наглядно демонстрируется модель станка д ля обработки произвольной поверхности. Программа построена на основе принципо в объектно-ориентированного программирования (ООП ). Такой подход был пр изнан оптимальным для данной задачи с учетом того , что модель станка строится на основе компоново чного кода . При реализации сначала была ра ссмотрена цепочка узлов , представляющая станок . Это привело к трудностям и неудобству реализации отображения 3-х мер н ой модели в эмулированном графическом пространстве . Поэтому была реализована концепция , рассматр ивающая станок , как “дерево” объектов , исходя из того , что один из узлов станка , а именно станина , является неподвижным и зафиксированным жесткой привязкой к с и стеме координат . Таким образом , полученная модель представляла собой объект , из кото рого выходили две “ветви” объектов. Принципы ООП позволили создать базовый класс , из которого были получены дочерние классы для станины и остальных узлов . К аждый объект инк апсулировал свои свойства и “видел” лишь свои геометрические разме ры и координаты , в которые он должен б ыть помещен , в результате чего модель полу чилась гибкой. 6. Список использ уемой литературы. 1. Шишкин Е . В ., Боресков А . В . Компьютерная графика . М. : Диалог-МИФИ , 1995. – 288 с ., ил. 2. Вайсберг А . В ., Гриценко М . Е . Формирование структуры станка на ранних стадиях проек тирования . – Точность автоматизированных произво дств (ТАП – 97). Сборник статей международной научно-технической конференции . Пенза , 1997., с . 52 – 53.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Как говорят долгожители гор:
- После 50-ти в жизни ничего не меняется. После 100 начинаешь что-то ощущать. И только после 150-ти надо закусить.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по программированию "Задачи графических преобразований в приложениях моделирования с использованием ЭВМ", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru