Курсовая: Метод конечных разностей или метод сеток - текст курсовой. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Курсовая

Метод конечных разностей или метод сеток

Банк рефератов / Радиоэлектроника

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Курсовая работа
Язык курсовой: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 40 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникальной курсовой работы

Узнайте стоимость написания уникальной работы

ВВЕДЕНИЕ Значительнаое число задач физики и техники привод ят к дифференциальным уравнениям в частных прозводных (уравнения математической физики ). Устан овившиеся процессы различной физической природы описываются уравнениями эллиптического типа. Точные решения краевых задач для элли птических уравнений удаётся полу чить лишь в частных случаях . Поэтому эти задачи решают в основном приближённо . Одним из наиболее универсальных и эффективных методов , получивших в настоящее время широкое распр остранение для приближённого решения уравнений математической физики , является м етод конечных разностей или метод сеток. Суть метода состоит в следующем . Облас ть непрерывного изменения аргументов , заменяется дискретным множеством точек (узлов ), которое называется сеткой или решёткой . Вместо функ ции непрерывного аргумента рассматривают ся функции дискретного аргумента , определённые в узлах сетки и называемые сеточными функц иями . Производные , входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия , заменяются р азностными производными , при этом краевая зад ача для дифференциального уравн е ния заменяется системой линейных или нелинейных алгебраических уравнений (сеточных или разно стных уравнений ). Такие системы часто называют разностными схемами . И эти схемы решаются относительно неизвестной сеточной функции. Далее мы будем рассматривать при м енение итерационного метода Зейделя для вычис ления неизвестной сеточной функции в краевой задаче с неоднородным бигармоническим уравне нием. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть у нас есть бигармоническое уравнение : 2 U = f Заданное на области G= (x,y) : 0<=x<=a, 0<=y<=b . Пусть также заданы краевые условия на границе области G . U = 0 Y x=0 b U xxx = 0 x=0 G U x = 0 x=a U xxx = 0 0 a X x=a U = 0 U = 0 y=0 y=b U y = 0 U xx + U yy = 0 y=0 y=b y=b Надо решить э ту задачу численно. Для ре шения будем использовать итерационный мет од Зейделя для решения сеточных задач. По нашей области G построим р авномерные сетки W x и W y с шагами h x и h y соответственно . W x = x(i)=i h x , i=0,1...N, h x N=a W y = y(j)=j h y , j=0,1...M, h y M=b Множество уз лов U ij =(x(i),y(j)) имеющих координаты на плоскости х (i) , y(j) называется сеткой в прямоугольнике G и обозначает ся : W= U ij =(ih x ,j h y ), i=0,1...N, j=0,1...M, h x N=a, h y M=b Сетка W очевидно состоит из точек пересечения прямых x=x(i) и y=y(j) . Пусть з адана сетка W .Множество всех сеточных функций заданных на W обра зует векторное пространство с определённом на нём сложениемфункций и умножением функции на число . На пространстве сеточных функций можно определитьразностные или сеточные опер аторы . 0 ператор A преобразующий сеточную функцию U в сеточн ую функцию f = A U называется разностным или сеточным оператором . Множество узлов сетки используемое при написании разностного оператора в узле сетки называется шаблоном этого оператора. Простейшим разностны м оператором явля ется оператор дифференцирования сеточной функции , который порождает разностные производные . Пу сть W - сетка с шагом h введённая на R т.е. W = X i = a + ih , i =0, + 1, + 2... Тогда разностные производные первого порядка для сеточной функции Y i = Y ( X i ) , X i из W , определяется по формулам : L 1 Y i = Y i - Y i-1 , L 2 Y i = L 1 Y i+1 h и называются соответственно л евой и правой производной . Используется так же центральная производная : L 3 Y i = Y i +1 - Y i -1 = ( L 1 + L 2 ) Y i 2 h 2 Разностные операторы A 1 , A 2 , A 3 имеют шаблоны состоящие 2х точек и используются при апроксимации первой производн ой Lu = u ’ . Разностные произво дные n - ого поряд ка определяются как сеточные функции получаем ые путём вычисления первой разностной произво дной от функции , являющейся разностной произв одной n -1 порядка , например : Y xxi = Y xi+1 - Y xi = Y i-1 -2Y i +Y i+1 2 h h Y xxi = Y xi+1 -Y xi-1 = Y i-2 - 2Y i +Y i+ 2 2 2 h 4 h которые использую тся при апроксимации второй производной . Соот ветствующие разностные операторы имеют 3х точ ечный шаблон. Анологично не представляет труда определить разностные произ водные о т сеточных функций нескольких переменных. Аппроксомируем нашу задачу с помощью разностных производных . И применим к получивш ейся сеточной задаче метод Зейделя. МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ Одним из сп особов решения сеточных уравнений является ит ерационный метод Зейделя. Пусть нам дана система линейных уравн ений : A U = f или в развёрн утом виде : M a ij U j = f i , i=1,2...M i=1 Итерационный метод Зейделя в предположении что диагональны е элементы матрицы А =( a ij ) отличны от нуля ( a ii <>0 ) записывается в следующем виде : i (k+1) M (k) a ij Y j + a ij Y j = f i , i=1,2...M j =1 j = i +1 ( k ) где Y j - j ая комп онента итерационного приближения номер а k . В качестве начального приближения выбирается произ вольный вектор. Определение ( k +1) -ой итерации на чинается с i =1 (k+1) M (k) a 11 Y 1 = - a 1j Y j + f 1 j =2 ( k +1) Так как a 11 <>0 то отсюда найдём Y 1 . И для i =2 получим : ( k +1 ) ( k +1) M ( k ) a 22 Y 2 = - a 21 Y 1 - a 2j Y j + f 2 j=3 ( k +1) ( k +1) ( k +1) ( k +1 ) Пусть уже найдены Y 1 , Y 2 ... Y i -1 . Тогда Y i находится из уравнения : (k+1) i-1 (k+1) M (k) a ii Y i = - a ij Y j - a ij Y j + f i (*) j =1 j = i +1 Из формул ы (*) видно , что алго ритм метода Зейделя черезвычайно прост . Найде нное по формуле (*) значение Y i размещается на месте Y i . Оценим чис ло арифметических действий , которое требуется для реализации одного итерационного шага . Есл и все a ij не равны нулю , то выч исления по формуле (*) требуют M -1 операций умножения и одного де ления. Поэто му реализация 2 одного шага осуществляется за 2 M - M арифметическ их действий. Если отлич но от нуля лишь m элементов , а именно эта ситуация имеет место для сеточных эллиптических уравнений , то на реализацию итерационного шага потребуется 2 Mm - M действий т.е . число де йствий пропорционально числу неизвестных M . Запишем теперь метод Зейделя в матрич ной форме . Для этого представим матрицу A в вид е суммы диагональной , нижне й треугольной и верхней треугольной матриц : A = D + L + U где 0 0 . . . 0 0 a 12 a 13 . . . a 1M a 21 0 0 0 a 23 . . . a 2M a 31 a 32 0 0 . L = . U= . . . . a M-1M a M 1 a M 2 . . . a MM -1 0 0 0 И матрица D - ди агональная. ( k ) ( k ) ( k ) Обозначим ч ерез Y k = ( Y 1 , Y 2 ... Y M ) вект ор k - ого итерационного шага . Пользуясь этими обозначениями запишем метод Зейделя иначе : ( D + L ) Y k +1 + UY k = f , k =0,1... Приведём эту итерационную сх ему к каноническому в иду двухслойных схем : ( D + L ) (Y k+1 - Y k ) +AY k = f , k=0,1... Мы рассмотр ели так называемый точечный или скалярный метод Зейделя , анологично строится блочный или векторный метод Зейделя для случая ко гда a ii - есть ква дратные матрицы , вообще говоря , ра зличной размерности , а a ij для i <> j - прямоугольные матрицы . В этом случае Y i и f i есть векторы , размерность которых с оответствует размерности матрицы a ii . ПОСТРОЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ Пусть Y i = Y ( i ) сеточ ная функция дискретного а ргумента i . Значения сеточной функции Y ( i ) в свою очере дь образуют дискретное множество . На этом множестве можно определять сеточную функцию , приравнивая которую к нулю получаем уравнение относительно сеточной функции Y ( i ) - сеточ ное у равнение . Специальным случаем сеточного уравнения является разностное уравнение. Сеточное уравнение получается при аппрокс имации на сетке интегральных и дифференциальн ых уравнений. Так дифференциальное уравнение первого по рядка : dU = f ( x ) , x > 0 dx можно замени ть разностным уравнением первого порядка : Y i+1 - Y i = f (x i ) , x i = ih, i=0,1... h или Y i+1 =Y i +h f (x) , где h - шаг сетки v = x i =ih, i=0,1,2... . Искомой функцией является сеточная функция Yi = Y ( i ) . При разнос тной ап проксимации уравнения второго поря да 2 d U = f ( x ) 2 dx получим разн остное уравнение второго порядка : 2 Y i+1 - 2Y i + Y i+1 = y i , где y i =h f i f i = f ( x i ) x i = ih Для разностн ой aппроксимации производных U ’ , U ’ ’ , U ’ ’ ’ можно пользовать ся шаблонами с большим числом узлов . Это приводит к разностным уравнениям более высокого порядка. Анологично определяется разностное уравнение относительно с еточной функции U ij = U ( i , j ) двух дискретных аргументов . Например пятиточечная разностная схем а “крест” для уравнения Пуассона U xx + U yy = f ( x , y ) на сетке W выглядит следующим образом : U i -1 j - 2 U ij + U i +1 j + U ij -1 - 2 U ij + U ij +1 = f ij 2 2 h x h y где h x - шаг сетки по X h y - шаг сетки по Y Сеточное ура внение общего вида можно записать так : N C ij U j = f i i=0,1...N j=0 Оно содержит все значения U 0 , U 1 ... U N сеточной функции . Его можно трактов ать как рзностное уравнение порядка N равного числу узлов се тки м инус единица. В общем случае под i - можно понимать не только индекс , но и мультииндекс т.е . вектор i = ( i 1 ... i p ) с целочисленными компонентами и то гда : С ij U j = f i i О W j О W где сумирова ние происходит по всем узлам сетки W . Если коэ ффициен ты С ij не зависят от i , тоуравнение называют у равнением с постоянными коэффициентами. Аппроксимируем нашу задачу т.е . заменим уравнение и к раевые условия на соответствующие им сеточные уравнения. U=U(x,y) y M b M-1 Uij j j 1 0 1 2 i N -1 N = a x i Построим на области G сетку W . И зададим н а W се точную функцию U ij = U ( x i , y j ) , где x i = x 0 + ih x y i = y 0 + jh y h x = a/N , h y = b/M и т . к . x 0 =y 0 то x i =ih x , y i =jh y , i=0...N j =0... M Найдём разностные производные входящие в уравнение 2 D U = f ( т.е построим разностный аналог бига рмонического уравнения ) . Ux ij = U i +1 j - U ij , Ux i -1 j = U ij - U i -1 j h x h x Uxx ij = U i -1 j - 2 U ij + U i +1 j h x Рассмотрим Uxxxx ij как разно сть третьих производных : Uxx i-1j - Uxx ij - Uxx ij - Uxx i+1j Uxxxx ij = h x h x = U i -2 j - 4 U i -1 j + 6 U ij - 4 U i +1 j + U i +2 j 4 h x h x Анологично в ычислим производную по y : Uyyyy ij = U ij -2 - 4 U ij -1 + 6 U ij - 4 U ij +1 + U ij +2 4 h y Вычислим смешанную разностную производную Uxxyy : Uxx ij -1 - Uxx ij - Uxx ij - Uxx ij +1 ( Uxx ) yy ij = h y h y = Uxx ij -1 - 2 Uxx ij + Uxx ij +1 = 2 hy hy = U i -1 j -1 - 2 U ij -1 + U i +1 j -1 - 2 U i -1 j - 2 U ij + U i +1 j + U i -1 j -1 - 2 U ij +1 + U i +1 j +1 2 2 2 2 2 2 h x h y h x h y h x h y В силу того что D U = f имеем : U i -2 j - 4 U i -1 j + 6 U ij - 4 U i +1 j + U i +2 j + 4 h x + 2 U i -1 j -1 - 2 U ij -1 + U i +1 j -1 - 4 U i -1 j - 2 U ij + U i +1 j + 2 U i -1 j +1 -2 U ij +1 + U i +1 j +1 + 2 2 2 2 2 2 h x h y h x h y h x h y + U ij -2 - 4 U ij -1 + 6 U ij - 4 U ij +1 + U ij +2 = f ij (*) 4 h y Это уравнение имеет место для i=1, 2, ... N-1 j =1,2, ... M -1 Рассмотрим к раевые условия задачи . Очевидно следующее : x= 0 ~ i = 0 x = a ~ x N = a y =0 ~ Yo =0 y = b ~ Y M = b 1) х =0 (левая граница области G ) Заменим условия U = 0 x = o Uxxx = 0 x = o на соответствующие им разност ные условия U o j =0 U -1 j = U 2 j - 3 U 1 j (1`) 2) х =а (правая граница области G ) i=N Ux = 0 x=a Uxxx = 0 x = a из того что U i +1 j - U i -1 j = 0 2 h x U N +1 j = U N -1 j U Nj = 4 U N -1 j - U N -2 j (2`) 3 3) у =0 (нижняя грани ца области G ) j =0 U i ,-1 = U i 1 U i 0 = 0 (3`) это есть разностный аналог Uy = 0 y=o U =0 y=o 4) у =b i=M U = 0 y = b т.е. U iM =0 (**) Распишем через разностные производные Uxx + Uyy =0 и учитывая что j = M и (**) получим U iM -1 = U iM +1 Итак краевые условия на у =b имеют вид U iM +1 = U iM -1 U iM = 0 (4`) Итого наша задача в разностных произв одных состоит из уравнения (*) заданного на сетке W и краевых условий (1 ` )-(4 ` ) заданных на границе области G (или н а границе сетки W ) ПРИМЕНЕНИЕ М ЕТОДА ЗЕЙДЕЛЯ Рассмотрим п рименение метода Зейделя для нахождения прибл иженного решения нашей разностной задачи (*) ,(1`) - (4`). В данном случае неизвестными являются U ij = U( x i , y j ) где x i = ih x y j = jh y при чём h x = a / N , h y = b / M это есть шаг сетки по x и по у соответс твенно , а N и М соответственно кол ичество точек разбиения отрезков [ 0 , а ] и [0 , b ] Пользуясь результатами предыдущего раздела запишем уравнение 2 D U = f как разностн ое уравнение . И упорядочим неизвестны е естественным обра зом по строкам сетки W , н ачиная с нижней строки. 1 U i -2 j - 4 + 4 U i -1 j + 6 - 8 + 6 U ij - 4 + 4 U i +1 j + 1 U i +2 j + 2 U i -1 j -1 - 4 4 2 2 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 h x h x h x h y h x h x h y h y h x h x h y h x h x h y - 4 + 4 U ij -1 + 2 U i +1 j -1 + 2 U i -1 j +1 - 4 + 4 U ij +1 + 2 U i +1 j +1 + 1 U ij -2 + 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 h x h y h y h x h y h x h y h x h y h y h x h y h y + 1 U ij+2 = f ij для i=1 ... N -1, j =1 ... M -1 4 h y и U удовлетворяет краевым условиям (1 ` ) - (4`), т ак как в каждом уравнении связаны вместе не более 13 неизвестны х то в матри це А отличны от нуля не более 13-элементов в строке . В соответ ствии со вторым разделом перепишем уравнение : ( k +1) ( k +1) ( k +1) ( k +1) 6 - 8 + 6 U ij = - 1 U ij -2 - 2 U i -1 j -1 + 4 + 4 U ij -1 - 4 2 2 4 4 2 2 2 2 4 h x h x h y h y h y h x h y h x h y h y (k+1) (k+1) (k+1) (k) - 2 U i+1j-1 - 1 U i-1j + 4 + 4 U i-1j + 4 + 4 U i+1j - 2 2 4 4 2 2 4 2 2 h x h y h x h x h x h y h x h x h y (k) (k) (k) (k) (k) - 1 U i+2j - 2 U i-1j+1 + 4 + 4 U ij+1 - 2 U i+1j+1 - 1 U ij+2 + f ij 4 2 2 2 2 4 2 2 4 h x h x h y h x h y h y h x h y h y ( k ) При чем U удовлетворяет краевым условиям ( 1` ) - (4`) . Вычисления начинаются с i =1, j =1 и продолж аются либо по строкам либо по столбцам с етки W . Число неизвестных в задаче n = ( N -1)( M -1) . Как видно из вышеизложенных рассуждений шаблон в э той задаче тринадцатиточечный т.е . на каждом шаге в разностном уравнении участвуют 13 точ ек (узлов сетки ) Рассмотрим вид матрицы А - для данной задачи . j +2 j +1 j j -1 Матрица мето да получается следующим образом : все узлы сетки перенумеровываются и размещаются в матрице Та к что в се узлы попадают н а одну строку и поэтому матрица метода для нашей зада чи будет тринадцатидиагональной . j-2 i-1 i i+1 i+2 i-2 Шаблон задачи ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ. Константы используемые в программе : aq = 1 - правая граница области G b = 1 - левая граница области G N = 8 - колличество точек разбиения отрезка [0, a ] M = 8 - колличество точек разбиения отрезка [ 0, b ] h 1 = aq / N - шаг сетки по X h 2 = b / M - шаг сетки по Y Переменные : u 0 - значения сеточной функции U на k - ом шаге u 1 - значения сеточной функции U на ( k +1) - о м шаге a - массив ко эффициентов шаблона О писание процедур : procedure Prt ( u : masa ) - печать результата function ff ( x 1, x 2: real ): real - возвращает значение функции f в узле ( x 1, x 2 ) procedure Koef - задаёт зн ачения коэффициентов Действие : Берётся нач альое приближение u 0 и с учётом к раевых усло вий ведётся вычисление с i =2 ... N , j =2 ... M . На каждом итерационном шаге пол учаем u 1 по u 0 . По достижении заданной точности eps >0 вычисления прекращаются . И все элементы матрицы A , которые лежат ниже главной диагонали получают итерационный шаг ( k +1 ) , а те элементы которые лежат выше главной диагонали (исключая главную ди агональ ) получают итерационный шаг k . Примечание : программа реализована на языке Borland Pascal 7.0 Министерство общего и профессионального образования РФ Воронежский го сударственный университет факультет ПММ кафедра Дифференциальных уравнени и Курсовой проект “ Решение бигармонического уравнения методом Зейделя ” Исполнитель : студент 4 курса 5 группы Никулин Л.А. Руководитель : старший преподава тель Рыжков А.В. Воронеж 1997г.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Женщина приходит на работу с фингалом.
Сотрудник заметил, спрашивает:
- Кто это тебя так?
- Муж!
- Муж? Я думал он в командировке.
- Ха! Он думал! Я была уверена!
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, курсовая по радиоэлектронике "Метод конечных разностей или метод сеток", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru