Релятивисткие частицы

Министерство образования Российской Федерации

Иркутский государственный университет

кафедра теоретической физики

зав. кафедрой профессор

А.Н. Валл

курсовая работа

релятивистские частицы с
внутренним моментом во внешнем электромагнитном поле

Руководитель

профессор Валл А.Н.

Студент группы 1311

Козлов Даниил Анатольевич

Работа защищена

с оценкой

« » 2002 г.

Протокол №

Нормоконтролер

В.М. Персиков

Иркутск 2002 г.

реферат

В курсовой работе рассматривается получение уравнений движения релятивистской частицы в линейном по спину приближении.

Показано, что сила, действующая на спин во внешнем электромагнитном поле и соответствующая гамильтониану взаимодействия спина с полем в c^-2–приближении, имеет нековариантный вид. Однако, при переопределении координаты x частицы, входящей в ковариантное уравнение для силы, ковариантный формализм приводит к правильному результату. На простом примере свободной частицы со спином 1/2 показано происхождение соотношения, связывающего обычную координату частицы r с координатой x.

Приведены нековариантные уравнения движения частицы со спином в электромагнитном поле и уравнение прецессии спина во внешнем поле.

содержание

введение

Целью данной работы является рассмотрение движения релятивистских частиц с внутренним моментом (спином) во внешнем электромагнитном поле. Курсовая работа носит реферативный характер и основана на материале обзорной статьи А.А. Померанского, Р.А. Сенькова, И.Б. Хриплович Релятивистские частицы с внутренним моментом во внешних полях, УФН, т.170, №10.

Задача о движении частицы со спином во внешнем поле включает две части: 1) описание прецессии спина и 2) учет влияния спина на траекторию движения частицы. Полное решение задачи для внешнего электромагнитного поля в низшем неизчезающем порядке по c^-2 было дано в 1926 /1/. Прецессия гироскопа в центрально-симметричном поле в том же приближении была рассмотрена в 1921 /2/. Позднее была исследована прецессия спина для гравитационного спин-спинового взаимодействия /3/. Релятивистская задача о прецессии спина во внешнем электромагнитном поле была полностью решена в 1926 /4/, а затем в более удобном формализме с использованием ковариантного вектора спина /5/.

Ситуация со второй частью задачи иная. Ковариантные уравнения движения для релятивистской частицы со спином в электромагнитном поле были получены в /4/, а для случая гравитационного поля в /6/. Эти уравнения неоднократно обсуждались впоследствии с разных точек зрения в многочисленных статьях. Вопрос о влиянии спина на траекторию частицы во внешних полях представляет не только теоретический интерес. В частности, он привлекает внимание в связи с описанием движения релятивистских частиц в накопителях /7/.

Вопрос о возможности наблюдения на практике спиновых поправок к уравнениям движение элементарных частиц до сих пор активно обсуждается. Так, в одной из работ утверждается, что эта возможность подкрепляется численными расчетами. Более того, зависящие от спина корреляции в дифференциальных сечениях процессов рассеяния, несомненно, существуют. Однако в данной курсовой работе этот аспект проблемы не освещается.

1. уравнения движения частицы
   в электромагнитном поле

   1. Классическая частица в электромагнитном поле

В классической электродинамике внешнее электромагнитное поле описывается четырехмерным потенциалом , где ? — скалярный потенциал, а трехмерный вектор A — векторный потенциал поля.

Гамильтониан взаимодействия частицы имеет вид /8/:

H . (1.1)

В этом случае уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле можно записать в виде:

, (1.2)

здесь E и B — напряженности электрического и магнитного поля соответственно.

Стоящее справа выражение называется силой Лоренца. Первая её часть — сила, с которой действует электрическое поле на заряд, — не зависит от скорости частицы. Вторая часть — сила, оказываемая магнитным полем на заряд, — пропорциональна скорости заряда. Силу Лоренца можно переписать в ковариантном виде , где безразмерная величина — 4-скорость (в классическом приближении ), антисимметричный тензор — 4-тензор электромагнитного поля.

Таким образом, в классической электродинамике не учитывается наличие спина у заряженной частицы. Однако, при рассмотрении классической частицы можно, учитывая релятивистские поправки к гамильтониану, получить члены, зависящие от спина.

1. Частица с внутренним моментом во внешнем электромагнитном поле

Взаимодействие спина с внешним электромагнитным полем с точностью до членов порядка c^-2 включительно описывается следующим гамильтонианом /9/:

H , (1.3)

здесь e, m, s и p — заряд, масса, спин и импульс частицы соответственно; g — гиромагнитное соотношение (для электрона g=2). Следует отметить, что структура второго слагаемого в этом выражении не только надежно установлена теоретически, но и подтверждена с высокой точностью эксперементально в атомной физике.

Попробуем построить ковариантное уравнение движения с учетом спина, которое в том же приближении воспроизводило бы силу

(1.4)

соответствующую гамильтониану (1.3) (запятая в индексе означает частную производную). Ковариантная поправка f ^? к силе Лоренца должна быть линейной по тензору спина S_?? и градиенту тензора электромагнитного поля F_??,?; она может зависеть также от 4-скорости u^?.

Из указанных тензоров можно построить лишь две независимые структуры, удовлетворяющие условию u_? f ^? =0. Первая из них в c^-2-приближении сводится к

, (1.5)

а вторая — к

. (1.6)

Очевидно, никакая линейная комбинация (1.5) и (1.6) не может воспроизвести правильное выражение (1.4) для силы, зависящей от спина /9/.

Почему правильная (в c^-2-приближении) формула (1.4) не может быть получена из ковариантного выражения для силы? Слагаемое в (1.4), пропорциональное g-фактору легко воспроизводится линейной комбинацией (1.5) и (1.6). Иными словами, не представляет труда записать в ковариантной форме слагаемые, описывающие, так сказать, прямое взаимодействие магнитного момента с внешними полями.

Напротив, слагаемое в (1.4), не зависящее от g-фактора и соответствующее томасовой прецессии, не может быть записано в ковариантной форме. Безусловно, для частиц с произвольными скоростями томасова прецессия может быть описана и вне рамок c^-2-приближения. Под нековариантностью понимается отличие закона преобразования от тензорного. Разумеется, нековариантность уравнений не означает, что физические наблюдаемые имеют неправильные трансформационные свойства. Достаточно вспомнить электродинамику в кулоновской калибровке.

1. Координата и спин

Ковариантный формализм приводит к правильным результатам, если координата x частицы, входящая в ковариантное уравнение, связана с обычной координатой r в c^-2-приближении следующим образом ():

. (1.7)

Обобщение этой подстановки на случай произвольных скоростей частиц

. (1.8)

Очевидно, что при зависящей от скорости подстановке лагранжиан начинает явно зависеть от ускорения, что не позволяет применить стандартный гамильтонов подход. Существенным преимуществом использования координаты r является возможность применения гамильтонова формализма.

Между тем, прецессию спина частицы (в отличие от влияния спина на траекторию) можно описывать в ковариантной форме /4,5/, не заботясь об определении координаты частицы. Это возможно по нескольким причинам. Во-первых, ковариантные уравнения прецессии спина частицы

, (1.9)

где S_? — 4-вектор спина, написаны в квазиклассическом приближении, т.е. в пренебрежении зависимостью внешних полей от координат. Во-вторых, уравнения (1.9) линейны и однородны по спину. Поэтому, даже если выйти за рамки квазиклассического подхода, но остаться в линейном по спину приближении, использование обычной координаты r, которая отличается от координаты x только членами, пропорциональными s, будет полностью законным.

Соотношение (1.7) справедливо и для свободной частицы. Проследим его происхождение на простом примере свободной частицы со спином 1/2. Здесь вместо представления Дирака, где гамильтониан имеет стандартный вид

H _D = ?p + ?m, (1.10)

удобнее использовать представление Фолди-Ваутхойзена, в котором гамильтониан

H _FW = ?, (1.11)

а 4-компонентные волновые функции состояний с положительной и отрицательной энергиями сводятся фактически к 2-компонентным спинорам. Очевидно, что в представлении Фолди-Ваутхойзена оператор координаты , определяемый обычным соотношением

?(r) = r?(r) (1.12)

— это просто r.

Переход от точного уравнения Дирака во внешнем поле к его приближенной форме, содержащей только поправку первого порядка по c^-2, осуществляется именно посредством преобразования Фолди-Ваутхойзена. Поэтому в возникающем гамильтониане первого порядка по c^-2 координата электрона с учетом спина — это та же самая координата r, что и в полностью нерелятивистском случае. Никто не делает подстановку (1.7) в кулоновском потенциале, рассматривая спин-орбитальное взаимодействие в атоме водорода.

Еще один предельный случай, представляющий особый интерес, — это классическая релятивистская частица с внутренним моментом. Такая частица в действительности является хорошо локализованным волновым пакетом, построенным из состояний с положительными энергиями, т.е. она естественным образом описывается в представлении Фолди-Ваутхойзена. Поэтому именно r естественно считать координатой релятивистской частицы с внутренним моментом.

Определенная тонкость здесь связана с тем, что в представлении Дирака оператор недиагонален. Однако операторные уравнения движения выглядят одинаково в представлениях Дирака и Фолди-Ваутхойзена. Соответственно, и квазиклассическое приближение к ним одно и то же. В частности, произвдные по времени в левой части уравнения берутся от той же самой координаты r, которая служит аргументом полей в правой части этих уравнений.

Что же касается ковариантного оператора , то наиболее просто он выглядит в представлении Дирака:

(1.13)

где r_D — оператор, действующий на волновую функцию в представлении Дирака по закону (1.12).

Перепишем оператор в представлении Фолди-Ваутхойзена. Матрица преобразования Фолди-Ваутхойзена имеет вид

. (1.14)

Вычисления, которые удобно проводить в импульсном представлении, где , дают выражение

, (1.15)

где

(1.16)

— релятивистский оператор спина. Заметим, что разные компоненты релятивистского оператора координаты (1.15) не коммутируют между собой. Если ограничиться пространством состояний с положительной энергией, то в (1.15) можно положить ?=1 и отбросить члены, содержащие ?_i. Таким образом, мы приходим к соотношению (1.7).

1. Нековариантный формализм

Правильные уравнения движения в электромагнитном поле с учетом спина в первом порядке известны давно /7/. Хотя эти уравнения полностью релятивистские, они нековариантны и основаны на исходном физическом определении спина. Согласно этому определению спин — это трехмерный вектор s (или трехмерный антисимметричный тензор s_mn) внутреннего момента, заданный в системе покоя частицы. Ковариантный вектор спина S_? (или ковариантный антисимметричный тензор S_??) получается из s (или s_mn) просто преобразованием Лоренца. Кстати, преимущество такого подхода состоит в том, что условия u_?S^? = 0 и u_?S^?? = 0 выполняется тождественно.

Частота прецессии спина s при произвольной скорости частицы хорошо известна (см. /8/):

(1.17)

Соответствующий лагранжиан взаимодействия (лагранжево описание здесь несколько удобнее, чем гамильтоново) равен

L = ?s. (1.18)

Уравнение движения для координаты частицы имеет обычный вид

, (1.19)

где L_tot — полный лагранжиан системы. Уравнение движения для спина частицы в общем виде таково:

, (1.20)

где — скобки Пуассона. Соответственно, в квантовой задаче

. (1.21)

заключение

Было показано и получено на примере свободного электрона соотношение между координатой частицы, входящей в ковариантное уравнение для силы, и обычной координатой, при котором сила, соответствующая правильному в c^-2–приближении гамильтониану взаимодействия спина с полем, имеет ковариантный вид. Тем не менее, ковариантная формулировка уравнений движения релятивистской частицы со спином приводит к тому, что лагранжиан начинает явно зависеть от ускорения и стандартный гамильтонов подход применять нельзя. Приведены полностью релятивистские нековариантные уравнения движения частицы со спином в электромагнитном поле в линейном по спину приближении и уравнение прецессии спина во внешнем поле.

список использованных источников

1. Thomas L.H. Nature (London) 117 514 (1926); Phylos. Mag. 3 1 (1926)

2. Fokker A.D. Kon. Akad. Weten. Amsterdam, Proc. 23 729 (1921)

3. Schiff L. Phys. Rev. Lett. 4 435 (1959)

4. Frenkel J.Z. Phys. 37 243 (1926)

5. Bargman V., Michel L., Telegdi V. Phys. Rev. Lett. 2 435 (1959)

6. Papapetrou A. Proc. R. Soc. London Ser. A 209 248 (1951)

7. Дербенев Я.С., Кондратенко А.М. ЖЭТФ 64 1918 (1973)

8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля (М.: Наука, 1988)

9. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика (М.: Наука, 1989)

10. Khriplovich I.B., Pomeransky A.A. Phys. Lett. A 216 7 (1996); gr-qc/9602004

11. Heinemann K. Preprint DESY 96-229; phys/9611001