Курсовая: Диалектика развития понятия функции. Различные подходы к изучению функций в школе и исследования с помощью ЭВМ - текст курсовой. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Курсовая

Диалектика развития понятия функции. Различные подходы к изучению функций в школе и исследования с помощью ЭВМ

Банк рефератов / Педагогика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Курсовая работа
Язык курсовой: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 75 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникальной курсовой работы

Узнайте стоимость написания уникальной работы

18 Ставропольский Государственный Университет КУР СОВАЯ РАБОТА по теме : ДИАЛЕКТИКА РАЗВИТИЯ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ К ИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИЙ В ШКОЛЕ И ИССЛЕДОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЭВМ работу вып олнил : студент Ставропольского Государственного Университета IV курса , Физ-Мат Факультета, отделения МИИТ , гр . ”Б” Неботов Виталий Дмитриевич Ставрополь 1996-1997 гг. СОДЕРЖАНИЕ : Стр. 1. Краткий обзор развития понятия числа .........................................3 2. Определение функции ........................................................................4 3. Общее определение функции в XIX в . Дальнейшее развитие понятия функц ии .........................................7 4. Изучение функций в школе .............................................................10 5. Исследование функций с помощью ЭВМ .....................................15 6. Заключение ........................................................................................17 7. Список использованной литературы ............................................19 КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА На первых этапа х существования человеческого общества числа , открытые в процессе практической деятельности , служили для примитивного счета предметов , дней , шагов и тому подобного . В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах . Но с развитием ци в илизации ему потребовалось изобретать все большие и большие числа . Этот процесс продолжался на протяжении многих столетий и потребовал напряженного интеллектуального труда. С зарождением обмена продуктами труда у людей появилась необходимость срав нивать число предметов одного вида с числом предметов другого вида . На этом этапе возникли понятия “больше” , “меньше” , “столько же” или “равно” . Вероятно , на этом же этапе развития люди стали складывать числа . Значительно позже они научились вычитать числ а , затем умножать и делить их . Даже в средние века деление чисел считалось очень сложным и служило признаком чрезвычайно высокой образованности человека. С открытием действий с числами или операций над ними возникла наука арифметика . Ее возникновен ию и развитию способствовали практические потребности строительство разнообразных сооружений , торговля и мореходство . Долгое время в арифметике имели дело с числами относительно небольшими . Например , в системе счисления Древн ей Греции самым большим числом , которое имело название , была “мириада” 10 000. Еще в III в . до н . э . люди не знали , что натуральный ряд чисел бесконечен . Вот тогда-то Архимед в своем трактате “Исчисление песчинок” “Псаммит” разработал систему , которая позволяла выразить сколь угодно большое число , и показал , что натуральный ряд чисел был бесконечен. Математики Древней Греции , занявшись проблемами больших чисел , совершили скачок от конечн ого к бесконечному . Смелая идея бесконечности , которая шла вразрез с философскими воззрениями о конечности Вселенной , открыла в математике широкие возможности , хотя и вызвала значительные противоречия , некоторые из них не раскрыты и по сей день. В IV в . до н . э . греческие математики из школы Пифагора открыли несоизмеримые отрезки , длины которых они не могли выразить ни целым , ни дробным числом . Одним из таких отрезков была диагональ квадрата со сторонами , р ав ными единице . Теперь длину такого отрез ка мы выражаем через 2. Ученые того времени относили к числам только рациональные и не признавали иррациональные числа . Они нашли выход в том , что под числами стали понимать длины отрезков прямых. Геометрическое выр ажение чисел на первых этапах сыграло положительную роль в дальнейшем продвижении математики , но затем вызвало ряд затруднений и стало тормозом в прогрессе арифметики и алгебры. Потребовалась не одна сотня лет для того , чтобы математики смогли осм ыслить понятие иррационального числа и выработать способ записи такого числа и приближенного значения его в виде бесконечной десятичной дроби. Таким образом , понятие числа прошло длинный путь развития : сначала целые числа , затем дробные , рациональ ные (положительные и отрицательные ) и , наконец , действительные . Но на этом развитие не завершилось . В связи с решением у рав нений математики встретились с числом , которое выражалось 1 . Оно получ ило название мнимой единицы . Долгое время мнимые числа не признавались за числа . После того как норвежский математик Гаспар Вессель (1745-1818) нашел возможность представить мнимое число геометрически , то так называемые “мнимые числа” получили свое место в множестве комплексных чисел . Однако и раньше интерпретация этих чисел имелась у Даламбера и Эйлера , которые ставили в соответствие комплексным числам точки плоскости и некоторые функции комплексного переменного истолковывали геометрически. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУ НКЦИИ Начиная с XVII в . одним из важнейших понятий является понятие функции . Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Идея функциональной зависимости восходит к древности , она содержится уже в первых математиче ски выраженных соотношениях между величинами , в первых правилах действий над числами , в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Те вавилонские ученые , которые 4 5 тысяч лет назад нашли для п лощади S круга радиусом r формулу S =3 r 2 (грубо приближенную ), тем самым установили , пусть и не сознательно , что площадь круга является функцией от его радиуса . Таблицы квадратов и кубов чисел , также применявшиеся вавилонянами , представляют собой задания фу нкции . Другим примером могут служить тригонометрические таблицы , составление которых началось задолго до начала нашей эры . Особый интерес представляют таблицы синусов Беруни , в которых дано правило линейного интерполирования . В современной символике его м о жно выразить так : sin x = sin x 0 + ( x x 0 ) (sin ( x 0 + 15 ) sin x 0 ) 15 Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут свое начало в XVII в . в связи с проникновением в математику идеи переменных . В “Геометрии” Декарта и в работах Ферма , Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими , либо с механическими представлениями : ординаты точек кривых функции от абсцисс ( х ); путь и скорость функции от времени ( t ) и тому подобное. Четкого представления понятия функции в XVII в . еще не было , путь к первому такому определен ию проложил Декарт , который систематически рассматривал в своей “Геометрии” лишь те кривые , которые можно точно представить с помощью уравнений , притом преимущественно алгебраических . Постепенно понятие функции стало отождествляться таким образом с поняти е м аналитического выражения формулы. Слово “функция” (от латинского functio совершение , выполнение ) Лейбниц употреблял с 1673 г . в смысле роли (величина , выполняющая ту или иную функцию ). Как термин в нашем смысле выражение “функция от х ” стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли ; начиная с 1698 г . Лейбниц ввел также термины “переменная” и “константа” (постоянная ). Для обозначения произвольной функции от х Иоганн Бернулли применял знак х , называя характеристикой функции , а также буквы х или ; Лейбниц употреблял х 1 , х 2 вместо современных f 1 ( x ), f 2 ( x ). Эйлер обозначал через f : y , f : ( x + y ) т о , что мы ныне обозначаем через f ( x ), f ( x + y ). Наряду с Эйлер предлагает пользоваться и буквами , и прочими . Даламбер делает шаг вперед на пути к современным о бозначениям , отбрасывая эйлерово двоеточие ; он пишет , например , t , ( t + s ). Явное определение функции было впервые дано в 1718 г . одним из учеников и сотрудников Лейбница , выдающимся швейцарским математиком Иоганном Бернулли : “Функцией переменной величины называют количество , образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных”. Леонард Эйлер во “Введении в анализ бесконечных” (1748) примыкает к определ ению своего учителя И . Бернулли , несколько уточняя его . Определение Л . Эйлера гласит : “Функция переменного количества есть аналитическое выражение , составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств” . Так понимали функцию на протяжении почти всего XVIII в . Даламбер , Лагранж и другие видные математики . Что касается Эйлера , то он не всегда придерживался этого определения ; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математическо й науки . В некоторых своих произведениях Л . Эйлер придает более широкий смысл функции , понимая ее как кривую , начертанную “свободным влечением руки” . В связи с таким взглядом Л . Эйлера на функцию между ним и его современниками , в первую очередь его постоян н ым соперником , крупным французским математиком Даламбером , возникла большая полемика вокруг вопроса о возможности аналитического выражения произвольной кривой и о том , какое из двух понятий (кривая или формула ) следует считать более широким . Так возник зн а менитый спор , связанный с исследованием колебаний струны. В “Дифференциальном исчислении” , вышедшем в свет в 1755 г , Л . Эйлер дает общее определение функции : “Когда некоторые количества зависят от других таким образом , что при изменении последних и сами они подвергаются изменению , то первые называются функциями вторых” . “Это наименование , продолжает далее Эйлер , имеет чрезвычайно широкий характер ; оно охватывает все способы , какими одно к оличество определяется с помощью других” . На основе этого определения Эйлера французский математик С . Ф . Лакруа в своем “Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению” , опубликованном в 1797 г ., смог записать следующее : “Всякое количество , знач е ние которого зависит от одного или многих других количеств , называется функцией этих последних независимо от того , известно или нет , какие операции нужно применить , чтобы перейти от них к первому”. Как видно из этих определений , само понятие функц ии фактически отождествлялось с аналитическим выражением . Новые шаги в развитии естествознания и математики в XIX в . вызвали и дальнейшее обобщение понятия функции. ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ В XIX в. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ Одним из нерешенных в XVIII в . вопросов , связанных с понятием функции , по поводу которого велась ожесточенная борьба мнений , был следующий : можно ли одну функцию задать несколькими аналитическими выражениями ? Большой вклад в решение спора Эйлера , Даламбер а , Д . Бернулли и других ученых XVIII в . по поводу того , что следует понимать под функцией , внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830), занимавшийся в основном математической физикой . В представленных им в Парижскую Академию наук в 1807 и 1811 гг . по теории распространения тепла в твердом теле Фурье привел и первые примеры функций , которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями. Из трудов Фурье явствовало , что любая кривая независимо от того , из скольки х и каких разнородных частей она составлена , может быть представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также прерывные кривые , изображаемые аналитическим выражением . В своем “Курсе алгебраического анализа” , опубликованном в 1821 г ., фр а нцузский математик О. Коши обосновал выводы Фурье . Таким образом , на известном этапе развития физики и математики стало ясно , что приходится пользоваться и такими функциями , для определения которых очень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь а налитическим аппаратом . Последний стал тормозить требуемое математикой и естествознанием расширение понятия функции. В 1834 г . в работе “Об исчезании тригонометрических строк” Н . И . Лобачевский , развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функ ции в 1755 г ., писал : “Общее понятие требует , чтобы функцией от х называть число , которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется . Значение функции может быть дано или аналитическим выражением , или условием , которое подает средство испытыва ть все числа и выбирать одно из них ; или , наконец , зависимость может существовать и оставаться неизвестной ... Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле , чтобы числа , одни с другими в связи , принимать как бы данными вме с те”. Еще до Лобачевского аналогичная точка зрения на понятие функции была высказана чешским математиком Б . Больцано . В 1837 г . немецкий математик П . Лежен-Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции : “у есть функция переменной х (н а отрезке a х b ), если каждому значению х (на этом отрезке ) соответствует совершенно определенное значение у , причем безразлично , каким образом установлено это соответствие аналитической формулой , графиком , таблицей либо даже просто словами”. Примером , соответствующим этому общему определению , может служить так называемая “функция Дирихле” ( х ): 1 для всех рациональных значений х ( х ) = 0 для всех иррациональн ых значений х Эта функция задана двумя формулами и словесно . Она играет известную роль в анализе . Аналитически ее можно определить лишь с помощью довольно сложной формулы , не способствующей успешному изучению ее свойств . Таким образом , примерно в середине XIX в . после длительной борьбы мнений понятие функции освободилось от уз аналитического выражения , от единовластия математической формулы . Главный упор в новом общем определении понятия функции делается на идею соответствия . Во второй по ловине XIX в . после создания теории множеств в понятие функции , помимо идеи соответствия , была включена и идея множества . Таким образом , в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом : если каждому элементу х множес тва А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В , то говорят , что на множестве А задана функция у = f ( х ), или что множество А отображено на множество В . В первом случае элементы х множества А называют значениями аргумента , а эле менты у множества В значениями функции ; во втором случае х прообразы , у образы . В современном смысле рассматривают функции , определенные для множества значений х , которые , возможно , и не заполняют отрезка a x b , о котором говорится в определении Дирихле . Достаточно указать , например , на функцию-факториал y = n !, заданную на множестве натуральных чисел. Общее понятие функции применимо , конечно , не только к величинам и числам , но и к другим математическим объектам , например к геометрическим фигурам . При любом геометрическом преобразовании (отображении ) мы имеем дело с функцией. Вот простой пример (рис . 1). Пусть х 1 х 2 х 3 треугольник , d прямая в плоскости треуголь - ника , р ассматриваемая как ось симметрии . Каждой точке х ( х 1 , х 2 , х 3 , х 4 , ...), лежащей внутри или на сторонах треугольника , ставим в соответствие точку у ( у 1 , у 2 , у 3 , у 4 , ...), определенную указанным преобразованием симметрии . Таким образом , множество точек треуг ольника х 1 х 2 х 3 отображено на множест - во точек треугольника у 1 у 2 у 3 . Налицо имеется функция у = f ( х ), заданная на множестве х (значения аргумента , прообразы ) точек треугольника х 1 х 2 х 3 . Это так называемая “область определения функции” . Симметричный треугольник у 1 у 2 у 3 представляет множество у значений функции (образов ). Характеристика f функции в данном случае указывает на осевую симметрию относительно данной прямой d . Общее определение функций по Дирихле сформировалось после длившихся целый век дискуссий в результате значительных открытий в физике и математике в XVIII и первой половине XIX в . Дальнейшее развитие математической науки в XIX в . основывалось на этом определении , ставшим классическим . Но уже с самого начала XX в . это определение стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков . Еще важнее была критика физиков , натолкнувшихся на явления , потребовавшие более широкого взгляда на функцию . Необходимость дальнейшего расширения понятия функции стала особен н о острой после выхода в свет в 1930 г . книги “Основы квантовой механики” Поля Дирака , крупнейшего английского физика , одного из основателя квантовой механики . Дирак ввел так называемую дельта-функцию , которая выходит далеко за рамки классического определен ия функции . В связи с этим советский математик Н . М . Гюнтер и другие ученые опубликовали в 30 40-х годах нашего столетия работы , в которых неизвестными являются не функции точки , а “функции области” , что лучше соответствует физ ической сущности явлений . Так , например , температуру тела в точке практически определить нельзя ; в то время как средняя температура в некоторой области тела имеет конкретный физический смысл. В общем виде понятие обобщенной функции было введено фр анцузом Лораном Шварцем . В 1936 г . 28-летний советский математик и механик Сергей Львович Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции , включающей и дельта-функцию , и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики . Важ н ый вклад в развитие теории обобщенных функций внесли ученики и последователи Л . Шварца И . М . Гельфанд , Г . Е . Шилов и другие. Прослеживая исторический путь развития понятия функции невольно приходишь к мысли о том , чт о эволюция еще далеко не закончена и , вероятно , никогда не закончится , как никогда не закончится и эволюция математики в целом . Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия функции и других математических поня т ий . Математика незавершенная наука , она развивалась на протяжении тысячелетий , развивается в нашу эпоху и будет развиваться в дальнейшем. ИЗУЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ШКОЛЕ Не смотря на чрезвычайно большой объем , широту и сл ожность понятия функции , его простейший вариант дается уже в средних классах школы . Это понятие в дальнейшем играет важную роль , являясь базовым понятием в изучении алгебры и начал анализа . Начиная с 7 класса средней школы идет постепенное изучение свойст в функций и функциональных зависимостей . Рассматриваются различные классы функций : начиная с простейших линейных функций и их графиков , затем следуют квадратичные функции , функции обратной пропорциональности и дробно-линейные функции . В более старших класс а х вводятся тригонометрические функции , и , наконец , показательные и логарифмические функции . Все эти функции рассматриваются только как функции одной переменной , причем сами переменные не выходят за рамки множества вещественных чисел. В настоящее время , на волне педагогического поиска , стало появляться множество экспериментальных учебников для использования в школе . Наряду с добротными , толково написанными учебниками , в школы стала попадать , под предлогом апробации , масса учебников с довольно воль н ой трактовкой учебного материала , в том числе и глав , касающихся изучения функций . Часто нарушается логический порядок следования изучаемых разделов , допускаются ошибки при построении графиков , материал необоснованно упрощается , примитивизируется или наоб о рот , чрезмерно перегружается терминами и символикой. Но тем не менее , в настоящее время в изучении понятия функции в школе преобладающими являются два основных подхода : индуктивный и дедуктивный . Сложившись исторически , они наиболее полно отвечают целям и задачам образования , и поэтому именно им отдано предпочтение при изучении математики , в том числе функций , в средних классах школ. Вот как , примерно , реализуется индуктивный подход к изучению понятия функции в 7 классе : “На практ ике мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами . Например , площадь круга зависит от его радиуса , масса металлического бруска зависит от его объема и плотности металла , объем прямоугольного параллелепипеда зависит от его длины , ширины и высоты. В дальнейшем мы будем изучать зависимость между двумя величинами. Рассмотрим примеры.” Далее следуют примеры призванные наглядно продемонстрировать только что изложенный материал. П р и м е р 1. Площадь квад рата зависит от длины его стороны . Пусть сторона квадрата равна a см , а его площадь равна S см 2 . Для каждого значения переменной a можно найти соответствующее значение переменной S . Так, если a = 3, то S = 3 2 = 9; если a = 15, то S = 15 2 = 225; если a = 0,4, то S = 0,4 2 = 0,16. Зависимость переменной S от переменной a выражается формулой S = a 2 (по смыслу задачи a > 0). Затем дается первое определение зависимой и независимой переменных : “Переменную a , значения которой выбираются произвольно , называют независимой переменной , а переменную S , значения которой определяются выбранными значениями a , зависимой переменной ”. “ П р и м е р 2. На рисунке 2 изображен график температуры воздуха в течении суток. С помощью этого графика для каждого момента времени t (в часах ), где 0 t 24, можно найти соответствующую температуру p (в градусах Цельсия ). Например, если t = 6, то p = 2; если t = 12, то p = 2; если t = 17, то p = 3; Здесь t является независимой переменной , а p зависимой переменной. П р и м е р 3. Стоимость проезда в пригородном поезде зависит от номера зоны , к которой относится станция . Эта зависимость показана в таблице (буквой n обозначен номер зоны , а буквой m соответствующая стоимость проезда в тысячах рублей ): По этой таблице для каждого значения n , где n = 1, 2, ..., 9, можно найти соответствующее значение m . Так, если n = 2, то m = 1.5; если n = 6, то m = 4 ; если n = 9, то m = 8.5; В этом случае n является независимой переменной , а m зависимой переменной.” Обилие примеров , призванных проиллюстрировать понятие функции , объясняется тем фактом , что проводя аналогии между различными примерами , учащиеся интуитивно нащупывают суть этого понятия , строят догад ку относительно функциональных зависимостей в быту и в природе , и получают ее подтверждение в последующих примерах . Второй не менее важной причиной является то , что каждый из этих примеров содержит функцию заданную одним из возможных способов . В первом пр и мере она задана аналитически , во втором графически , в третьем это таблица . Это не случайность , разбирая примеры вместе с учителем , дети сразу привыкают к различным способам задания функций . И когда преподаватель начнет расска зывать параграф о способах задания функций , ученикам будет гораздо легче осознать новый материал , потому что для них он не будет абсолютно новым они уже сталкивались с этим ранее . Далее дается само определение функц ии , вводятся термины аргумент и значение функции . “В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной . Такую зависимость одной переменной от другой называют функциональной зави симостью или функцией . Независимую переменную иначе называют аргументом , а о зависимой переменной говорят , что она является функцией от этого аргумента . Так , площадь квадрата является функцией от длины его стороны ; путь , пройденный автомобилем с п остоянной скоростью , является функцией от времени движения . Значения зависимой переменной называют значениями функции . Все значения которые принимает независимая переменная , образуют область определения функции .” Так на практике реализует ся индуктивный подход к изучению функций в школе . Альтернативой ему служит дедуктивный подход , который , хотя и применяется реже , имеет целый ряд положительных аспектов , которые и стали причиной его применения в школе . Для этого подхода характерно первона ч альное полное и сжатое изложение учебного материала , пускай даже малопонятного при первом прочтении , и дальнейшая углубленная проработка всех примеров , терминов и определений . Такой подход к изучению функций и не только их позволяет учащимся самостоятельн о попытаться проследить логические связи в излагаемом материале , резко увеличивает интенсивность мыслительной деятельности , способствует более активному и глубокому запоминанию . Вот как выглядит изложение той же темы “Понятие функции” в соответствии с деду к тивным подходом : 1. Зависимости одной переменной от другой называют функциональными зависимостями. 2. Зависимость переменной у от переменной х называют функцией , если каждому значению х соответствует единственное значение у . При этом используют запись у = f ( х ). 3. Переменную х называют независимой переменной или аргументом , а переменную у зависимой переменной . Говорят , что у является функцией от х . 4. Значение у , соответствующее заданному значению х , называют значением функци и. 5. Все значения , которые принимает независимая переменная , образуют область определения функции ; все значения , которые принимает зависимая переменная , образуют множество значений функции. 6. Для функции f приняты обозначения : D ( f ) область определения функции , E ( f ) множество значений функции , f ( х 0 ) значение функции в точке х 0 . 7. Если D ( f ) R и E ( f ) R , то функцию называют числовой. 8. Элементы множества D ( f ) также называют значениями аргумента , а соответствующие им элементы E ( f ) значениями функции. 9. Если функция задана формулой и область определения фун кции не указана , то считают , что область определения состоит из всех значений независимой переменной , при которых эта формула имеет смысл. 10. Графиком функции называют множество всех точек , абсциссы которых равны значениям аргумента , а ординаты соответствующим значениям функции. Затем , на следующих уроках , происходит детальный разбор этого материала при активной работе учащихся . Тщательно рассматриваются все определения , прорешиваются примеры идет усвоение нового материала. Рассмотренные выше подходы к изучению функций в школе не охватывают все многообразие способов и методов изучения этого понятия . Они лишь являются основными , наиболее разработанными подходами к вопросу об изу чении функций в школе , ориентируясь на которые можно разрабатывать новые , специфические методы обучения , которые были бы лишены недостатков вышеперечисленных подходов и были бы следующим шагом в деле обучения математике в школе. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМ ОЩЬЮ ЭВМ История алгебры насчитывает не одну тысячу лет , и все открытия и достижения в этой области человеческого знания были получены только с помощью тяжелого умственного труда , не в последнюю очередь связанного с огромным объемом вычислений , к оторые приходилось производить , часто неоднократно , для получения желаемых результатов . Многим известным математикам , от древности и вплоть до нашего века , приходилось содержать целый штат вычислителей , которые выполняли огромный объем второстепенных вычи с лений , давая возможность ученому заниматься непосредственно развитием математической науки. С развитием математических представлений об окружающем мире многие расчеты и вычисления многократно усложнились , так что целые коллективы вычислителей трат или иногда не один месяц на выполнение каких-либо расчетов . К тому же с усложнением вычислений неизбежно увеличивалось количество непроизвольно допущенных ошибок. Счастливым выходом из создавшегося положения явилось изобретение в 1943 г . первой эл ектронно-вычислительной машины . Существовавшие до этого механические вычислители , которые могли выполнять только четыре арифметические операции , не шли ни в какое сравнение с этой , пусть еще не совершенной , вычислительной техникой . Сразу же после прохожде н ия лабораторных испытаний электронно-вычислительные машины (ЭВМ ), были применены для научных расчетов в квантовой и ядерной физике . В дальнейшем , по мере развития электроники , каждый научно-исследовательский институт обзаводился собственной ЭВМ . Уже в сам о м начале своего применения они обеспечивали неслыханную по тем временам скорость вычислений несколько тысяч операций в секунду . Это позволило многократно увеличить скорость и точность математических вычислений и подняло труд ученых на качественно новый уровень. Современные ЭВМ оставили далеко позади те первые , построенные на реле и лампах , машины ; в миллион раз производительнее , они позволяют выполнять невероятно сложные расчеты в фантастически короткие сроки : то , над чем сотни вычислителей работали бы несколько месяцев , эти машины способны вычислить за несколько минут. Учитывая вышесказанное , необыкновенно логичным кажется применение компьютеров для исследования свойств функций . Что и было сделано несколько д есятилетий назад . Естественно , для успешного исследования свойств функций потребовался мощный математический аппарат . Наиболее успешным оказался перенос на компьютерную основу методов Лагранжа , Ньютона , Котеса , Симпсона и многих других . За считанные годы к омпьютер научили строить графики функций , дифференцировать и интегрировать сами функции , кроме этого интерполировать и экстраполировать функции , решать линейные и дифференциальные уравнения и их системы , находить приближающие функции и множество других , н е менее важных вещей. Взять к примеру интерполяционный многочлен Лагранжа . Очень часто на практике имеется какая-либо функциональная последовательность не выраженная в аналитической форме , либо вообще выраженная только графиком или набором пар знач ений . А требуется получить аналитическое выражение описывающее данный график или таблицу . Имея несколько пар значений функции узлов интерполирования , задача найти интерполирующую функцию представляется длительной и трудоемкой , имея же несколько сотен таких узлов практически невыполнимой . Компьютер же справляется с этой задачей за считанные секунды. Пусть известные значения некоторой функции f образуют следующую таблицу : х х 0 х 1 ... х n f ( х ) у 0 у 1 ... у n При этом требуется получить значение функции f для такого значения аргумента х , которое входит в отрезок х 0 ; х n , но не совпадает ни с одним из значений х i ( i = 0, 1, ..., n ). Очевидный прием решения этой задачи вычислить значение f ( х ), воспользовавшись аналитическим выражением функции f . Этот прием однако , можно применить лишь в случае , ко гда аналитическое выражение f пригодно для вычислений . Более того , как уже упоминалось выше , часто аналитическое выражение функции f вовсе не известно . В этих случаях как раз и применяется построение по исходной таблице приближающей функции F , которая в не котором смысле близка к функции f и аналитическим выражением которой можно воспользоваться для вычислений , считая приближенно , что f ( x ) = F ( x ). (1) Классический подход к решению задачи построения пр иближающей функции основывается на требовании строгого совпадения значений f ( x ) и F ( x ) в точках х i ( i = 0, 1, 2, ..., n ), т.е. F ( x 0 ) = y 0 , F ( x 1 ) = y 1 , ..., F ( x n ) = y n . (2) Будем искать интерполирующую функцию F ( x ) в виде многочлена степени n : P n ( x ) = a 0 x n + a 1 x n- 1 + ... + a n -1 x + a n . (3) Этот многочлен имеет n +1 коэффициент . Естественно предполагать , что n +1 условия (2), наложенные на многочлен , позволят однозначно определить его коэффи циенты . Действительно , требуя для P n ( x ) выполнения условий (2), получаем систему n +1 уравнений с n +1 неизвестными : n a k x i n - k = y i ( i = 0, 1, ..., n ). (4) k=0 Решая эту систему относительно неизвестных а 1 , а 2 , ..., а n , мы и получим аналитическое выражение полинома (3). Система (4) всегда имеет единственное решение , так как ее определитель , известный как определитель Вандермонда , отличен от нуля . Отсюда следует , что интерполяционный многочлен P n ( x ) для функции f , заданной таблично , существует и единственен. Чтобы написать программу , реализующую этот алгоритм, необходимо затратить от нескольких часов до нескольких дней . А потом , она поможет сэкономить многие и многие месяцы , ушедшие бы на выполнения однотипных арифметических операций для вычисления интерполяционных полиномов. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Область прим енения электронно-вычислительных машин в наше время необычайно широка , и продолжает расширяться . Она не ограничивается только лишь исследованием функций или математических объектов произвольной природы вообще . Сфера применения компьютерной техники в науке гораздо шире и начинает охватывать те области знания , к которых раньше даже и не мыслилась . Процесс этот необратим , и скоро компьютер станет главным , но далеко не единственным инструментом ученого в его научной работе . Однако , не верно было бы думать , что с возрастанием роли компьютеров в научном познании роль человека будет неуклонно снижаться до уровня обслуживающего персонала . Человек всегда был и будет ведущим в связке человек-компьютер . Научный поиск процесс творческий , а компьютеры этого не умеют , и научаться еще очень не скоро. Список использованной литературы : 1. И . П . Натансон , Теория функций вещественной переменной, Москва , Наука , 1974 г. 2. В . С . Крамор , Повторяем и систем атизируем школьный курс алгебры и начал анализа , Москва , Просвещение , 1990 г. 3. К . А . Рыбников , Возникновение и развитие математической науки , Москва , Просвещение , 1987 г. 4. Н . И . Борисов , Как обучать математике , Москва , Просвещение, 1979 г. 5. Г . И . Глейзер , История математики в школе , IX-X классы, Москва , Просвещение , 1983 г. 6. Л . С . Понтрягин , Математический анализ для школьников, Москва , Наука , 1983 г. 7. Ю . С . Богданов , Н . В . Пыжкова , Л . П . Черенкова , Начала анализа функций д вух переменных в наглядном изложении, Минск , Вышэйшая школа , 1987 г. 8. С.Г . Крейн , В . Н . Ушаков , Математический анализ элементарных функций , Москва , Наука , 1966 г. 9. О . Г . Омельяновский , Диалектика в науках о неживой природе, Москва , Мысль , 1 964 г.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
По субботам и воскресеньям у многих жён отдых "all inclusive": у них всё включено - стиральная машина, духовка, утюг, пылесос...
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, курсовая по педагогике "Диалектика развития понятия функции. Различные подходы к изучению функций в школе и исследования с помощью ЭВМ", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru