Диплом: Арифметика комплексных чисел (факультативный курс для старших классов средней школы) - текст диплома. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Диплом

Арифметика комплексных чисел (факультативный курс для старших классов средней школы)

Банк рефератов / Педагогика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Дипломная работа
Язык диплома: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 102 kb, скачать бесплатно
Обойти Антиплагиат
Повысьте уникальность файла до 80-100% здесь.
Промокод referatbank - cкидка 20%!
Заказать
Узнать стоимость написания уникальной дипломной работы

Узнайте стоимость написания уникальной работы

72 МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Гаврило ва Евгения Валентиновна АРИФМЕТИКА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ /Факультативный курс для старших классов средней школы / Дипломная работа. Научный руководитель : Москва 2001 Содержание. Введение ..............................................................................................................3 ГЛАВА 1 : Психолого-педагогические и исторические основы построения факультативных занятий в средней школе .....................................7 § 1. Факультативные занятия в средней школе .........................................7 § 2.Психолого-педагогические особенности построения факультативов для учащихся старших классов .................................... ......................10 ГЛАВА 2 : Методические особенности изучения курса “Арифметика комплексных чисел” .......................................................................18 § 1. Анализ содержания учебной литературы по теме “комплексные числа” ..... .........................................................................................18 § 2. Содержание факультативного курса “Арифметика комплексных чисел” .............................................................................................20 § 3. Методические рекомендации по проведению занятий ..............54 § 4. Экспериментальная проверка ......................................................65 Заключение .....................................................................................................68 Литература ......................................................................................................70 Приложения ...................... .............................................................................74 Введение. Цель современной школы развитие личности учащегося , формирование его ценностного сознания . Ее невозможно достичь без ориентации подростков на значимые дл я него ценности , без развития духовного мира школьника , его нравственной и эстетической воспитанности. Полноценная познавательная деятельность школьника выступает в обучении главным условием развития у них инициативы , активной жизненной позиции , находчивос ти. Дополнительное образование в школе , а значит и наличие факультативных курсов позволяет , во-первых , создать широкий общекультурный , эмоционально значимый для ученика фон усвоения различных направлений стандарта общего образования и , во-вторых , предметно ориентировать его в таких областях деятельности , которые будут содействовать определению его жизненных планов. Интеллектуальное и эмоциональное удовлетворение , которое получает ученик в самой деятельности , и есть залог формирования у учащихся увлеченности наукой , техникой , искусством , трудом , без чего невозможно всестороннее развитие личности. Важно не только то , что изучают учащиеся , но и то , как они это делают , какими методами самостоятельного приобретения знаний и применения их на практике они овладеваю т. При знакомстве с новыми объектами ранее приобретенные знания , умения и навыки обязательно найдут себе применение в процессе выявления взаимосвязи этих объектов с другими математическими понятиями. В 5-6 классах средней школы изучается курс арифметики , содержащей основы науки о числах . Это название происходит от греческих слов "арифмос "-число и "техне "-искусство. От сознательного и прочного усвоения арифметики целиком зависит успешность усвоения многих других предметов , в частности алгебры , геометрии , тригонометрии , физики , химии , астрономии. В старших классах средней школы уже заложена определенная база знаний для изучения понятия комплексного числа , представления его в различных формах записи . А тот фундамент , который был заложен в 5-6 классах дает во зможность построить на факультативных занятиях арифметику новых объектов и познакомиться с их многочисленными свойствами. Говоря о значении комплексных чисел в математическом образовании учащихся , прежде всего следует иметь ввиду большое идейное богатство этого понятия. Понятие комплексных чисел обогащает и завершает одну из основных идей школьной математики – идею обобщения понятия числа . Знание комплексных чисел позволяет учащимся глубже осмыслить такие разделы школьной программы , как решение уравнений и неравенств , тригонометрические функции . Открытие комплексных чисел не только обогатило математику новыми числами более общего вида , но и вооружило ученых более общими методами исследования. Многие теоремы алгебры , которые раньше приходилось разбивать на ряд частных случаев , после введения комплексных чисел приобрели общность , стала в итоге развиваться одна из важнейших ветвей математического анализа – теория функций комплексного переменного. Весь этот разнообразный материал не может быть доведен до сведен ия учащихся , однако , некоторые вопросы могут быть изучены в школе на факультативных занятиях , а это расширит представления учащихся и об аппарате комплексных чисел и о методах математических исследований. Существуют пособия для школьников , где кратко изло жена теория делимости в кольце комплексных чисел . Возможно неоднократно поднимался вопрос о включении этой темы в школьную программу , но на данный момент эта проблема осталась нерешенной. Школьники уже знакомы с различными видами чисел , правилами выполнени я возможных операций над ними , о существовании не всегда выполнимых математических действий в определенных числовых множествах . Знакомство с арифметикой гауссова кольца расширит понятие о числе и покажет , что наряду с "привычной " арифметикой есть еще и др у гая , где тоже имеет место теорема об однозначности разложения на простые множители . Все вышесказанное обусловило объект , предмет , цели и научную проблему исследования. Объектом исследования является процесс обучения математике в старших классах. Предметом исследования является процесс систематизации знаний по математике в старших классах. Цель исследования заключается в разработке методики организации и проведения занятий по теме "Арифметика комплексных чисел ". В ходе исследования была выдвинута гипот еза , согласно которой разработанный факультативный курс будет способствовать повышению уровня знаний , умений и навыков во многих других разделах школьного курса и упорядочит те разрозненные знания , которые были изучены старшеклассниками ранее. Научная проблема исследования состоит в обосновании и разработке наиболее эффективных методов организации повторения и углубления знаний старшеклассников. Для решения проблемы были сформулированы следующие задачи : · выявление психолого-педагогических и методических особенностей преподавания математики в старших классах с целью повышения эффективности изучения курса "Арифметика комплексных чисел ". · разработка содержания и методики изучения факультативного курса "Арифметика комплексных чисел ". · используя педагогический эксперимент проверить правильность выдвинутой гипотезы. Основные методы исследования анализ содержания психолого-педагогической , математической и методической литературы , а также содержания школьных учебников и учебных по собий по теме "комплексные числа ", анализ работ по методике преподавания математики. ГЛАВА 1. Психолого-педагогические и исторические основы построения факультативных занятий в средней школе. § 1. Факультативные занятия в средней школе . С 1967/1968 учебного года в 7-10 классах средней школы введены факультативные занятия по выбору учащихся . Цель таких занятий - расширение , углубления знаний , развитие интересов и способностей учащихся в избранных ими областях знаний и воспитание у них опред еленных навыков самостоятельной работы. Применительно к математике эта цель заключается в ознакомлении школьников с важнейшими современными понятиями и идеями математики , и отдельными вопросами , связанными с ее приложениями . Факультативный курс включает в себя такое содержание , которое предстоит осваивать школьникам за пределами общеобразовательного государственного стандарта . По сравнению с другими формами повышенной подготовки учащихся (специальными школами и классами с углубленным изучением отдельных п р едметов ) факультативные занятия являются самой массовой формой , доступной для учащихся. Специфика факультативных занятий разрешает определенную автономность содержания факультативного курса , что позволяет преподавателю проявлять самостоятельность в отборе материала для изучения и выборе форм его изложения . Одной из важнейших задач обучения математике в общеобразовательной школе является формирование и развитие средствами математики интеллектуальных качеств личности.Специфика факультативных курсов позволяет решать сложные проблемы : повышение интереса к наукам , обеспечение высокого теоретического уровня знаний , ориентация учащихся в отношении выбора жизненного пути. Учитывая то , что учащийся вправе сам выбирать вид деятельности , занятия в соответствии со своим и интересами , склонностями и способностями , и то , что индивидуальные различия учащихся в характере мыслительной деятельности , степени подготовки тоже присутствуют , особую значимость в ходе факультативных занятий обретает индивидуальный подход и самостояте л ьность в процессе изучения содержания курса . Отсутствие обязательного минимума знаний и умений , которыми должны овладеть учащиеся дает учителю возможность применять индивидуальный подход к каждому ученику с учетом его способностей . С другой стороны , заин т ересованность и добровольное посещение учащимися факультативов создает благоприятную почву для получения , понимания и усвоения новых знаний. В работах И.М.Смирновой рассмотрена концепция разделения учащихся по отношению к школьному курсу математики на три группы. Первую группу должны составлять школьники , для которых математика является лишь элементом общего развития и в их дальнейшей деятельности будет использоваться лишь в незначительном объеме . Для этой категории существенно овладение общей математическ ой культурой , а вовсе не ремесленными навыками решения стандартных задач. Во вторую группу могут входить учащиеся , для которых математика будет важным инструментом в их профессиональной деятельности . Для этой категории существенны не только знания о матема тических фактах , навыки логического мышления , пространственного представления , но и прочные навыки решения математических задач . Наконец , в третью группу нужно отнести тех учащихся , которые выберут математику (или близкие к ней области знания ) в качестве о сновы своей будущей деятельности . Учащиеся этой группы проявляют повышенный интерес к изучению математики и должны творчески овладеть ее основами . Таким образом получаем , что современная трактовка дифференциации делится на уровневую и профильную. Уровневая дифференциация вытекает из того , что обучаясь в одном классе , по одной программе и учебнику , школьники по-разному усваивают материал . Определяющим здесь является уровень обязательной подготовки и достижение его свидетельствует об усвоении. Профильная дифф еренциация предполагает обучение различных групп школьников по программам , отличающимися глубиной изложения материала , объемом , формами и методами преподавания. Этот вид дифференциации предполагает наличие достаточно единого базового образования и утвержде ния школьников в своих склонностях . Таким образом , наличие в современной школе классов с различной специализацией , а также всевозможных типов учебных заведений (гимназий , лицеев и др .), наложило отпечаток на организацию и проведение факультативных занятий, особенно в старших классах. При разработке факультативного курса надо учитывать : · в каких классах (с какой специализацией ) будут проводиться факультативные занятия ; · в каком объеме в них изучается выбранная для факультативна тема ; · в каком порядке ц елесообразно рассматривать программный и факультативный материал ; В старших классах современной школы факультативные занятия способствуют : учету индивидуальных способностей и склонностей учащихся при обучении , стимуляции интереса к наукам , достижению выс окого уровня знаний , возможности профессионально ориентировать школьников , ликвидации перегрузки учебных планов и программ. § 2. Психолого-педагогические особенности построения факультативов для учащихся старших классов . Любой факультативный курс констру ируется таким образом , что несет в себе выполнение основных образовательных функций : психолого-педагогическую , познавательную и практическую. · Психолого-педагогическая функция включает воспитание математической культуры учащихся . Сюда входят знания и у мения в формировании которых математика участвует наряду с другими школьными предметами , и также те знания и умения , которые составляют специфику самой математики. Овладение практически любой современной профессией требует тех или иных знаний по математик е . С математикой связана и компьютерная грамотность . Развитие науки и техники , высокий интеллектуальный уровень специалистов-все это приводит людей к необходимости пополнять свои знания и стремиться к повышению квалификации . Это выдвигает перед школой за д ачу всемерного развития у учащихся математических способностей , склонностей и интересов. Важнейшая задача обучения математике - пробудить у школьников потребность активно мыслить , преодолевать трудности при решении разнообразных задач , искать наиболее рацио нальные пути решения этих задач . Научить их доказывать существование вводимых математических понятий , опровергать ложные предложения , проверять правильность обратного предложения и т.д .- такими логическими умениями должен овладеть школьник. Решение выдвину тых задач возможно на факультативных занятиях по математике , учитывая их специфику : это и малочисленность группы учащихся , и их заинтересованность в посещении таких занятий , а также присутствие интереса к "новым открытиям ", которые трудно реализовать в по л ном объеме. · Факультативный курс должен способствовать формированию и развитию самостоятельной , творческой и мыслительной деятельности учащихся. Психология является необходимой базой методики любого учебного предмета , в том числе и математики . Знакомство с психологическими теориями и концепциями помогает учителю глубже понять основные направления в совершенствовании учебного процесса по математике . Огромную роль здесь играет принцип единства сознания и деятельности , разработанный А.Н.Леонтьевым и С.Л.Руб и нштейном . Его суть состоит в том , что человеческая психика проявляется и формируется в деятельности - трудовой , учебной , игровой. Какими бы природными задатками ни обладал от рождения человек , они смогут получить свое развитие лишь в процессе деятельности. Важно , чтобы школьник усваивал материал в порядке активной работы над ним . Задача преподавателя заключается в том , чтобы работа эта была насыщена элементами самостоятельности , творчества , только тогда ученики смогут направлять свою интеллектуальную актив н ость и ранее усвоенные знания на "открытие " важных существенных признаков новых понятий и применять их в своей дальнейшей познавательно-практической деятельности . Развивает не само знание , а специальное его конструирование . Факультативный курс должен не п р осто излагать систему знаний , а особым образом организовывать познание ее ребенком. Здесь очень многое зависит от учителя , задача которого состоит в создании психолого-педагогических условий , стимулирующих учащихся к использованию и выбору наиболее рациона льных , личностно-значимых способов. При таком подходе в центре внимания оказывается не усредненный ученик , а каждый школьник , как личность в своей самобытности , уникальности. · При разработке факультативного курса нужно учитывать самостоятельность и индив идуальный подход в обучении. Хорошо известно , что все люди разные . Выявляются различия в типе темперамента , в психических свойствах и в скорости протекания нервных процессов . Люди рождаются с различными задатками , которые развиваются в различные способност и. При значительном разбросе индивидуальных особенностей учеников и их численности , обычно учитель не может учесть в достаточной мере особенности каждого , и учебный процесс строится в расчете на среднего ученика , который только и чувствует себя более или менее комфортно при таком обучении . Но учитель всегда должен учитывать индивидуальные особенности учащихся. Процесс изучения факультативного курса должен быть организован так , чтобы каждый учащийся в данный отрезок времени овладел одним и тем же объемом те оретического материала , выбрав такой уровень изложения этого материала , который соответствует его индивидуальным особенностям . При разработке курса для старшеклассников должен быть учтен и критерий самостоятельности в обучении . Сочетание индивидуализации и самостоятельности при изучении содержания факультативного курса дает возможность школьникам выполнять различное количество упражнений разного уровня. · При разработке факультативного курса нужно учитывать и возрастные особенности учащихся. Школа занимае т большое место в жизни старших подростков , но у разных детей проявляется по-разному , несмотря на осознание важности и необходимости учения . Известно , что дети различаются по некоторым важным параметрам : отношение к учению , общему развитию , способам усво е ния учебного материала . Учет перечисленных различий дает более полноценное усваивание новых знаний школьниками. Для старших подростков обучение в 10-11 классах это период выработки жизненной позиции , сознательного отношения к выбору профессии . Таким образо м при обучении старшеклассников имеется возможность использовать специфические достоинства возраста : возросшие моральные и интеллектуальные силы и их продолжающийся рост ; рост произвольности психических процессов , лежащих в основе умения управлять собой ; формирование обобщенных форм самосознания , отношение к себе как к реально взрослым ; умение увидеть сильные и слабые стороны своего развития. Самообразование главным образом связано с выбором будущей профессии . Кроме того , возникает потребность в само регул яции , т.е . в управлении и развитии личности. Все большее значение мышлении старшеклассника наряду с конкретным занимает абстрактное мышление.Учащиеся стремятся к установлению причинно-следственных связей и других закономерностей между явлениями окружающег о мира , проявляют критичность мышления , умение аргументировать суждения , более успешно осуществляют перенос знаний и умений из одной ситуации в другую . В ходе усвоения учебного материала старшеклассники стремятся самостоятельно раскрывать отношения общего и конкретно выделять существенное , а затем формулировать определения научных понятий. Учащиеся старших классов умеют абстрагировать и обобщать материал , происходит формирование теоретического мышления . Теоретическое мышление характерно тем , что совершается в форме абстрактных понятий и рассуждений . Поэтому при построении занятий со старшеклассниками удобно использовать такие особенности мышления , как : · умение сравнивать - сопоставлять объекты познания с целью нахождения сходства и различия между ними · у мение анализировать - мысленное расчленение предмета познания на части · умение синтезировать - мысленное соединение отдельных элементов в единое целое · умение абстрагировать - мысленное выделение каких-либо существенных свойств и признаков объектов при одновременном отвлечении от всех других их свойств и признаков . Это умение особенно важно для математических наук , т.к . многие математические понятия являются абстрактными объектами · умение обобщать - мысленное выделение общих свойств в двух или несколь ких объектах и объединение этих объектов в группы (от частного к общему ); мысленное выделение в рассматриваемом объекте или нескольких объектах их свойств в виде общего понятия (от общего к частному ) · умение конкретизировать - может выступать в двух форм ах : мысленный переход от общего к единичному или восхождение от абстрактно-общего к конкретно частному путем выявления различных свойств и признаков этого абстрактно-общего [36]. Формирование у учащихся способности к выполнению умозаключений влечет за соб ой развитие логического мышления . Развитие интеллекта в юношеском возрасте тесно связано с развитием творческих способностей . Старшеклассники не просто усваивают информацию , а проявляют интеллектуальную инициативу , стремятся к созданию чего-то нового , люб я т исследовать и экспериментировать . Все это создает благоприятную основу для развития творческого мышления . Результат такого мышления не просто применение известных представлений , понятий и операций , а создание новых образов , значений и способов решения з а дач . В юношеском возрасте происходит активный процесс формирования мировоззрения . Молодые люди стремятся свести все принципы в определенную целостную систему , понять окружающий мир , оценить его , определить свое отношение к нему . Поэтому старшеклассники в б ольшей степени интересуются предметами , которые им нужны в связи с выбранной профессией . Для них на этот период времени целесообразнее сосредоточить свое внимание на избранных науках , чем изучать все подряд в ознакомительных целях . Поэтому одной из важней ш их задач является формирование у старшеклассников правильных представлений о той роли , которую играет тот или иной раздел обучения в жизни общества. · Факультативный курс должен способствовать появлению у учащихся умения решать задачи. Решение задач зани мает в математическом образовании огромное место . Психологические исследования проблемы обучения решению задач показывают , что основные причины несформированности у учащихся общих умений и способностей в решении задач состоят в том , что школьникам не дают с я необходимые знания о сущности задач и их решений , а поэтому они решают задачи , не осознавая должным образом свою собственную деятельность . У учащихся не вырабатываются отдельно умения и навыки в действиях , входящих в общую деятельность по решению задач, поэтому им приходится осваивать эти действия в самом процессе решения задач , что многим школьникам не под силу. За время обучения в школе каждый ученик решает огромное число задач . При этом все учащиеся решают одни и те же задачи . Но в итоге некоторые уч еники овладевают общим умением решения задач , а многие встретившись с задачей незнакомого или малознакомого вида , теряются и не знают , как к ней подступиться. Одной из причин является то , что одни ученики вникают в процесс решения задачи , стараются понять , в чем состоят приемы и методы решения задач , изучают задачи . Другие же , к сожалению , не задумываются над этим , стараются лишь как можно быстрее решить заданные задачи . Эти учащиеся не анализируют в должной степени решаемые задачи и не выделяют из решени я общие приемы и способы . Задачи решаются лишь ради получения ответа . Не стимулируется постоянный анализ учащимися своей деятельности по решению задач и выделению в них общих подходов и методов , их теоретического осмысления и обоснования. Все это можно реал изовать на факультативе . Во-первых , время преимущественно распределяет сам преподаватель , во-вторых , он вправе выбрать тот оптимальный ход урока , который будет способствовать не только прочному усвоению новых знаний , но и выработке умения решать задачи . Г л авный принцип здесь - научить учащихся такому подходу к задаче , при котором задача выступает как объект тщательного изучения , а ее решение - как объект конструирования и изобретения. · Факультативный курс должен вызывать интерес учащихся к содержанию и проц ессу обучения. Только благодаря появлению эмоционального переживания возникает интерес к предмету , отдельному явлению , появляется потребность в деятельности . Без интереса ученик не учится , без потребности по той или иной причине он не решает задачи , без ус тойчивости этих сопровождающих деятельность потребностей невозможно формирование системы ценностей . Поэтому изучаемый материал должен вызывать интерес у учащихся. Как бы ни старался учитель , к каким бы методикам не прибегал , какой бы техникой не владел - п овысить эффективность обучения , не вызывая у обучающихся интереса к учебному материалу , невозможно. При построении занятий со старшеклассниками необходимо учитывать их психолого-педагогические возможности и потребности : развивать логическое мышление , котор ое учит внимательности , аккуратности , умению абстрагироваться от конкретного содержания ; обращать внимание учащихся на межпредметные связи ; подбирать задания , способствующие проявлению самостоятельности и творческих способностей учащихся ;создавать возможн о сти для углубления и совершенствования знаний в направлении выбранной ими профессии ; подкреплять все новые понятия историческими сведениями для дальнейшего развития математической культуры. ГЛАВА 2.Методические особенности изучения курса "Арифметика комплексных чисел ". § 1. Анализ содержания учебной литературы по теме "комплексные числа ". Существует достаточное количество пособий по комплексным числам . Рассмотрим поподробнее , как изложен в них учебный материал по комплексным числам. В пособии для факультатива [1] А.А.Абрамова , Н.Я.Виленкина содержится глубокий традиционный курс : построение комплексных чисел в виде a+bi, далее идет знакомство с тригонометрической формой комплексных чисел . Рассматривается показательная , логарифмичес кая и тригонометрическая функции комплексного переменного . Большое место в пособии занимают приложения комплексных чисел : рассматривается основная теорема алгебры многочленов и ее следствия ; применение комплексных чисел для описания всевозможных перемещен и й плоскости ; затронуты и дифференциальные уравнения. В пособии под редакцией В.А.Жарова [16] исследуется расширение понятия числа , комплексные числа представлены через вектора. Учебник алгебры и математического анализа для учащихся 11 классов с углубленным изучением математики Н.Я.Виленкина и др . [10] также содержит тему "Комплексные числа ". Первоначально комплексные числа представлены упорядоченными парами , а далее учащимся предложено перейти к алгебраическому виду . Основные сведения по комплексным числа м даны обзорно и в минимальном объеме . Из приложений можно выделить лишь применение основной теоремы алгебры многочленов. В пособии [15] А.П.Иванова и В.М.Кондакова рассматривается тригонометрическая форма записи комплексного числа и соответствие между комп лексными числами и точками плоскости . Решение алгебраических уравнений n-ой степени выделены в виде приложений комплексных чисел . Объем изложенного материала с текстом упражнений занимает всего 10 страниц , что говорит о чрезмерной краткости. В пособии [40] Лисичкина сначала вводится понятие мнимой единицы , а только потом идет определение комплексного числа . Далее рассматриваются действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах и , показательная форма комплексного числа . На этом знакомство с комплексными числами заканчивается. В пособии Л.А.Калужнина [17] сразу вводятся толшько целые комплексные числа . Дальше определяются операции над ними . Потом следует определение нормы целого комплексного числа . Рассматриваются взаимосвязи межд у простыми гауссовыми и простыми рациональными числами . Поднимается вопрос о том , когда же положительное целое рациональное число является нормой некоторого целого гауссова числа. Материал , содержащийся в этом издании , отличается своей неординарностью и к онкретными целями изложения , но теория делимости здесь четко не выстроена , т.к . часть необходимых формулировок и доказательств отсутствует. Именно поэтому наша задача при создании факультативного курса "Арифметика комплексных чисел " объединить "традиционну ю часть " (определение понятия комплексного числа , возможные формы записи комплексных чисел , правила выполнения действий над ними и т.д .) с постепенным углублением в построение арифметики комплексных чисел , показывая тем самым , что основная теорема арифмет и ки может быть применима к "новым объектам ". § 2.Содержание факультативного курса “Арифметика комплексных чисел”. Проанализировав психолого-педагогические особенности построения факультативов для учащихся старших классов , содержание учебной литерат уры , содержащей тему “комплексные числа” , мы подобрали оптимальное на наш взгляд содержание факультативного курса , которое приведем ниже. 1. Понятие комплексного числа . Действия над комплексными числами. 2. Сопряженные комплексные числа. 3. Геометричес кая интерпретация комплексного числа . 4. Тригонометрическая форма комплексного числа . Решение квадратных уравнений , дискриминант которых отрицателен. 5. История открытия комплексных чисел . Целые гауссовы числа , как частный случай комплексных чисел. 6. Целые гауссовы числа и их расположение на комплексной плоскости. 7. Отношение делимости на множестве целых гауссовых чисел . Простые гауссовы числа. 8. НОД целых гауссовых чисел. 9. Основная теорема арифметики в кольце гауссовых чисел . Основное свойство простого числа. 10. Алгоритм факторизации целого гауссова числа. Занятие № 1. ТЕМА : Понятие комплексного числа . Действия над комплексными числами. Определение 1 : символ -1 будем называть мнимой единицей и обозначат ь i: i= -1. Следуя определению находим , что i 2 = -1. Введение мнимой единицы позволяет извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Пример : -36= -36(-1)= -36 -1= 6i Рассмотрим степени мнимой единицы : I 1 =1, i 2 = -1, i 3 = i 2 i=(-1) i=-i, i= i 3 i= -i i=1, ...... далее значения степеней начнут повторяться. Т.е . если выписывать все значения степеней числа i подряд , то получим последовательность : i, -1, -i, 1, i, -1, -i, 1....... и т.д. Определение 2 : выр ажения вида z=a+bi , где a и b- действительные числа , i- мнимая единица , будем называть комплексными числами. a- действительная часть числа z bi-мнимая часть числа z, z=a+bi-алгабраическая форма комплексного числа z. Определение 3 : два комплексных числа z=a+ bi, z=c+di условимся считать равными тогда и только тогда , когда в отдельности равны их действительные и мнимые части . Определение 4: суммой комплексных чисел z 1 =a+bi, z 2 =c+di называют комплексное число z= (a+c)+ (b+d)i . Определение 5: разностью комплекс ных чисел a+bi, z 2 =c+di называют комплексное числ o z= (a-c)+ (b-d)i . Определение 6: произведением комплексных чисел z 1 =a+bi, z 2 =c+di называют комплексное число z=(ac-bd)+(ad+bc)i. Замечание : на практике нет нужды пользоваться формулой произведения . Мож но перемножать данные числа как двучлены , а потом учитывать , что i 2 = -1. Таким образом , видим , что сложение , вычитание и умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами. Задания. 1. Вычи слите значение выражения : (a) I 28 +i 33 +i 135 , (b) (i 13 +i 14 +i 15 )i 32 , (c)i 43 +i 48 +i 44 +i 45 ,(d) -64+ -16+ 9 Решим (а ) : Выяснив , что значения степеней числа i повторя ются с периодом 4, получаем алгоритм вычисления любой степени числа i: Ё Показатель степени делится на 4, значение степени равно 1 Ё Показатель степени при делении на 4 дает остаток 1, значение степени равно i Ё Показатель степени при делении на 4 дает остаток 2, значение степени равно -1 Ё Показатель степени при делении на 4 дает остаток 1, значение степени равно – i 28=4 7, i 28 =1 33=4 8+1 , i 33 =i 135=4 33+3 , i 135 = -i Таким образом , получаем : i 28 + i 33 + i 135 =1+i – i=1 2. Найти такие значения x, y при которых комплексные числа z 1 , z 2 будут равны : (a) z 1 =3y+5xi и z 2 =15-7 i (b) z 1 =7x+5i и z 2 =1 -10iy Решение (а ) : По определению комплексные числа равны , если 3 y=15, 5x= -7. Отсюда находим x=(-7)/5, y=5. 3. При каких x и y справедливы равенства ? 1) (2x+3y)+(x-y)i=7+6i 2) x+(3x-y)i=2-i 3) (3i-1)x+(2-3i)y=2-3i 4. Выполните действия : Ш (3+5i)+(7-2i) Решение : (3+5i)+(7-2i)=(3+7)+(5i-2i)=10+3i; a) (-5+2i)-(5 +2i); b) (5-4i)+(6+2i); 5. Найдите значение выражения : (2+3i) 2 Решение : Здесь рациональнее будет использовать формулы сокращенного умножения , а не разбивать в произведение некоторого числа скобок . (2+3i) 2 =4+2*2*3i+9i 2 =4+12i-9=-5+12i a) (3-5i) 2 ; b) (17+6i) 3 ; c) (11-7i)(11+7i); Занятие № 2. ТЕМА : Сопряженные комплексные числа. Определение 1: два комплексных числа называются сопряженными , если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью. Пример : 25+3i и 25-3i – сопряженные комплексные числа -6+i и -i-6 – сопряженные комплексные числа 8,2-i и -i+8,2 – не сопряженные комплексные числа Задания. 1. Выполните деление (2+ 3i)/(5-7i) Чтобы выполнить деление , произведем дополните льное действие : умножим делимое и делитель на комплексное число , сопряженное делителю ((2+ 3i)/(5-7i))((5+7i)/(5+7i))=(10+14i+15i+21i 2 )/(25-49i 2 )= =(-11+29i)/74=-11/74+29/74 1. 5/(3+2i); 2. (1-i)/(1+i); 3. (6-7i)/i; 2. Вычислите значени е выражения : A. I 123 +(1-i) 6 -(1+i) 8 ; B. [(1+i)/(1-i)] 12 +[(1-i)/(1+i)] 12 ; Решение В : [(1+i)/(1-i)] 12 +[(1-i)/(1+i)] 12 = [((1+i)(1+i))/((1-i)(1+i))] 12 + +[((1-i)(1-i))/(1+i)(1-i))] 12 =[(1+i) 2 /(1-i 2 )] 12 +=[(1-i) 2 /(1-i 2 )] 12 = =[(1+2i+ i 2 ) 12 +(1-2i+ i 2 ) 12 ]/2 12 =[2 12 *i 12 +2*(-i) 12 ]/ 2 12 =i 12 +(-i) 12 =1+1=2 3. Найдите число , сопряженное данному : 5-17,7i; 5-7i; 33i+12; 6i; -8-63i; 11i 4. Найдите сумму числа z и ему сопряженного : z=113,75+21i 5. Найдите число сопряженное сопряженному , если z=39+i 6. Найдите произведени е z и числа ему сопряженному , если z=11-i. 7. Найдите сумму сопряженных чисел,у одного из которых действительная часть равна – 3, мнимая 17. Занятие № 3. ТЕМА : Геометрическая интерпретация комплексного числа . Комплексное число z=a+bi можн о изобразить точкой Z плоскости с координатами ( a, b). Для этого выберем на плоскости декартову систему координат (рис .1). Действительные числа изображаются точками оси абсцисс . Чисто мнимые числа , т.е . числа вида bi ( b 0), изображаются точками оси ординат . Заметим , что : числа , т.е . вида bi ( b 0), изображаются точками оси ординат. Существует другой способ геометрической интерпретации комплексных чисел . ь каждой точке плоскости с координатами (а , b) соответствует один и только один вектор с началом О (0, 0) и концом Z(a, b). П оэтому комплексное число z=a+bi можно изобразить в виде вектора с началом в точке О (0, 0) и концом в точке Z(a, b). Очевидно , что при таком изображении : ь Сопряженные комплексные числа изображаются точками , симметричными относительно оси абсцисс (рис .2). a) z=5+3i, z=5-3i; b) z=i, z=-i ; Задания. (a) Изобразите на координатной плоскости следующие числа - в виде точек плоскости ; - при помощи векторов ; z 1 =5, z 2 =-3i, z 3 =3+2i, z 4 =5-2i, z 5 =-3+2i, z 6 =-4-5i (b) Изобразить на пло скости комплексное число z 1 =7+i, ему сопряженное z 2 . Найти площадь треугольника , заключенного между векторами ОМ 1 и ОМ 2 , ( где ОМ 1 – изображение комплексного числа z 1, ОМ 2 – изображение z 2 ) и отрезком M 1 M 2 . Решение : z=7+i, z=7-i Построив оба вектора , соответствующие комплексным числам , видим , что высота треугольника OM 1 M 2 равна 7, основание 2. По формуле ищем площадь треугольника : S=(1/2) M 1 M 2 h=(1/2) 2 7=7 (c) Найдите площадь фигуры , заключенной между векторами , изображающими комплексные числа z 1 =2-2i, z 2 =1+3i и прямой , проходящей через точки А (2, -2), С (1, 3). (d) Даны четыре комплексных числа : z 1 =3, z 2 =-3, z 3 =3i, z 4 =-3i. Изобразите их точками комплексной плоскости , соединив эти точки , определите какая фигура будет изображена и найдите длины диагоналей этой фигуры. Занятие № 4. ТЕМА : Тригонометрическая форма комплексного числа. Решение квадратных уравнений , дискриминант которых отрицателен. Пусть комплексное число z=a+bi изображено в виде вектора r с началом О (0, 0) и концом Z(a, b)( рис .1) Вектор О Z можно задавать не только его координатами a и b , но также длиной r и углом , который он образует с положительным направлением оси абсцисс . При этом a = rcos , b = rsin и число z принимает вид z = r ( cos + isin ), который называется тригонометрической формой комплексного числа . Число r называют модулем комплексного z и обозначают z . Число называют аргументом z и обозначают Arg z. Определение 1 : модулем комплексного числа z=a+bi называется длина вектора z, которую можно можно вычислить по формуле z = a 2 + b 2 . Обозначив модуль комплексного числа буквой r= z = a 2 + b 2 . Определение 2: аргументом комплексного числа z=a+bi называется уг ол , который образует вектор z с положительным направлением оси абсцисс , отсчитываемый против часовой стрелки. Т.к cos , sin - функции периодические с периодом 2 , то = +2 k, где k- целое число. Назовем главным аргументом при k=0 и при составлении тригонометрическо й формы комплексного числа будем искать этот угол. Из этих соотношений видим , что cos =a/r, sin =b/r, тогда z=a+bi= rcos + i rsin = r( cos + i sin ) -тригонометрическая форма комплексного числа. Задания. 1. Записать каждое комплексное число в тригонометрической форме : z=1+i; z=-2+2i 3; z= -3i; z=5; z=6i Решение : z=1+i a=1, b=1, r= z = 1 2 +1 2 = 2 cos =1/ 2= 2/2 sin =1/ 2= 2/2 = /4 z=1+i= 2(cos /4+isin /4). Ё z=-2+2i 3 Решение : а =-2, b=2 3 r= (-2) 2 +(2 3) 2 = 16=4 cos = -1/2 sin =2 3/4= 3/2 =2 /3 z=-2 +2 3=4(cos 2 /3+isin 2 /3) Рассмотрим теперь решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом 1) Решить уравнение 2 -6x+13=0 Решение : D=b 2 -4ac=(-6) 2 -4 1 13=36-52=-16 D= -16= 16(-1)=4i 1,2 =(-b D)/2a 1 =(6-4i)/2=2(3-2i)/2=3-2i, 2 =(6+4i)/2=2(3+2i)/2=3+2i Таким образом получаем , что если D<0 , то уравнение всегда имеет два решения в комплексных числах. 2) Решить уравнение 2 +3x+4=0; 3) Найти корни x 1 и x 2 уравнения 4 2 -20x+26=0; Занятие № 5. ТЕМА : История открытия комплексных чисел . Ц елые гауссовы числа , как частный случай комплексных чисел. Древнегреческие математики под числами понимали только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел . В III веке Архимед разработал систему о бозначения вплоть до такого громадного числа как 10 8 10 . Наряду с натуральными числами применяли дробные числа , составленные из целого числа с долей единицы . В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до нашей эры в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали , что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа , или в виде отношения таких чисел , то есть дроби . Древнегреческий философ и математик Пифагор учил , что “элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в целом является гармонией и числом.” Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием , сделанным одним из пифагорейцев . Он доказал , что диагональ квадрата несоизмерима со стороной . Отсюда следует , что натур альных чисел и дробей недостаточно для того , чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основания утверждать , что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики : открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению , было невозможно. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел . Это было сделано китайскими математиками за два века до нашей эры . Отрицательные числа применял в III веке древн егреческий математик Диофант , знавший уже правила действия с ними , а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые , которые сравнивали такие числа с долгом . С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин . У же в VIII веке было установлено , что квадратный корень из положительного числа имеет два значения – положительное и отрицательное , а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя : нет такого числа х , чтобы х 2 = -9. В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел . В формуле для решения кубических уравнений вида (х 3 + px + q =0) появились кубические корни и квадратные корни : 3 (-q/2+ (q 2 /4+p 3 /27))+ 3 (-q/2- (q 2 /4-p 3 /27)) Эта формула безотказно действует в случае , когда уравнение имеет один действительный корень (х 3 +3х -4=0), а если оно имеет три действительных ко рня (х 3 -7х +6=0), то под знаком квадратного корня оказываются отрицательные числа . Получилось , что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем , как были решены уравнений четвертой ст епени , математики усиленно искали формулу для решения уравнения пятой степени . Но Руффини (Италия ) на рубеже XVIII и XIX веков доказал , что буквенное уравнение пятой степени (х 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e =0) нельзя решить алгебраически , точнее его корень нельзя выра зить через буквенные величины a , b , c , d , e с помощью шести алгебраических действий (сложение , умножение , вычитание , деление , возведение в степень , извлечение корня ). В 1830 году Галуа (Франция ) доказал , что никакое общее уравнение , степень которого больше , чем четыре , нельзя решить алгебраически . Тем не менее всякое уравнение n -ой степени имеет (если рассматривать и комплексные числа ) n корней , среди которых могут быть и равные. В этом математически были убеждены ещё в XVII (основываясь на разборе многочис ленных частных случаев ), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом. Итальянский алгебраист Джон Кардане в 1545 году предложил ввести числа новой природы . Он показал , что система уравнений х + y =10 xy =40 не имеющая решен ий во множестве действительных чисел , имеет решение вида (х =5 -15, y =5 -15), нужно только условиться действовать над такими выражениям и по правилам обычной алгебры и считать , что -а -а =-а . Кардане называл такие величины “чисто отрицательные” , считая их бесполезными и старался не употреблять . В са мом деле , с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины , ни изменение какой-нибудь величины . Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р . Бомбелли , в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами , вплоть до извлечения из них кубических корней . Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Р . Декарт , а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века – Л . Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый ) для обозначения числа -1 (мнимой единицы ). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К . Гауссу. Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году . Слово комплекс (от латинского complexus ) означает связь , сочетание , совокупность понятий , предметов , явлений и т.д ., образующих единое целое. В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел , возможности дать им геометрическое обос нование. Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n -ой степени сначала из отрицательных , а затем из любых комплексных чисел , основанная на следующей формуле английского мат ематика А . Муавра (1707 год ): ( cos j+ isin j ) n = cos ( n j ) + isin ( n j ) С помощью этой формулы можно было вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л . Эйлер вывел в 1748 году замечательную фор мулу : e i = cosx+isinx, которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической . С помощью формулы Л . Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень . Любопытно , напри мер , что e i =-1. Можно находить синус и косинус от комплексных чисел , вычислять логарифмы таких чисел , то есть строить теорию функций комплексного переменного. В конце XVIII века французский мате матик Ж . Лагранж смог сказать , что математический анализ уже не затрудняет мнимые величины . С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами . Такие уравнения встречаются , например , в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде . Ещё раньше швейцарский математик Я . Бернулли применял комплексные числа для вычисления интегралов. В течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы , в том числе и прикладные задачи , связанные с картографией , гидродинамикой и т.д . Однако ещё не было строго логического обоснования теории этих чисел . Поэтому французский ученый П . Лаплас считал , что результаты , полученные с помощью мнимых чисел , - только наведение , приобретающее х арактер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. “Никто ведь не сомневался в точности результатов , получаемых при вычислениях с мнимыми количествами , хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых колич еств” - Л . Харна. В конце XVIII века , в начале XIX века было получено геометрическое истолкование комплексных чисел . Датчанин К . Вессель , француз Ж . Арган и немец К . Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число ( z = a + bi ) точкой М ( a , b ) на координатной плоскости . Позднее оказалось , что ещё удобней изображать число не самой точкой М ( a , b ), а ОМ – вектором , идущим в эту точку от начала координат . При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствует эти же операц ии над векторами . Вектор ОМ можно задавать не только его координатами a и b , но также длиной r и углом , который он образует с положительным направлением оси абсцисс . При этом a = rcos , b = rsin и число z принимает вид z = r ( cos + isin ), который называется тригонометрической формой комплексного числа . Число r называют модулем комплексного z и обозначают z . Число называют аргументом z и обозначают Arg z. Заметим , что если z=0, значение Arg z не определено , а при z 0 оно определено с точностью до кратного 2 . Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде z=r e i (показательная форма комплексного числа ). Ге ометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия связанные с функцией комплексного переменного , расширило область их применения . Стало ясно , что комплексные числа полезны во многих вопросах , где имеют дело с величинами , кото р ые изображаются на векторной плоскости . Например : при изучении течения жидкости ; задачи теории упругости. Мы не будем уделять время на изучение всех приложений комплексных чисел , рассмотрим более подробно арифметику целых комплексных чисел , с которыми мы уже знакомы . Их еще будем называть целыми гауссовыми. Принято считать , что арифметика предшествует алгебре , что это более элементарная часть математики . Между тем , арифметика , если ее понимать как учение о свойствах целых чисел и о действиях над ними , тр удный и далеко не элементарный раздел математики . Рассмотрим , например , основную теорему арифметики . Эту теорему все хорошо знают и часто пользуются ею при арифметических вычислениях (например , при нахождении общего знаменателя дробей ). Первую часть основн о й теоремы арифметики составляет утверждение о том , что каждое целое число может быть представимо в виде произведения простых чисел . Доказательство этого утверждения довольно просто . Труднее доказывается второе утверждение теоремы , которое в школьных учебн и ках считают очевидным . Его можно сформулировать так : если некоторое число n разложимо двумя способами в произведение простых сомножителей n=p 1 p 2 ….. p к =q 1 q 2 … . q t , то эти разложения совпадают с точностью до порядка сомножителей , т.е оба они обладают одним и тем ж е числом сомножителей , k=t, и каждый сомножитель , встречающийся в первом разложении , встречается столько же раз во втором разложении. Трудность с доказательством этого утверждения не случайна , а связана с глубокими свойствами арифметики целых чисел . Оказы вается , что наряду с привычной арифметикой существуют многочисленные другие “ арифметики ” . В одних арифметиках утверждения основной теоремы справедливы , в других нет , причем не выполняется как раз утверждение об однозначности разложения. Рассмотрим , напри мер , множество четных чисел 2 Z и покажем на простом примере , что в нем не выполняется утверждение об однозначности разложения . Очевидно , что в нем числа 10, 50 и 2 являются простыми , но для них выполняются следующие равенства : 100=10 1 0=50 2. Таким образом , число 100 из множества 2 Z имеет два различных разложения в произведение простых множителей . Мы же рассмотрим еще одну арифметику , в которой основная теорема выполняется - арифметику целых компл ексных чисел. Занятие № 6. ТЕМА : Целые гауссовы числа . Расположение целых гауссовых чисел на комплексной плоскости. Определение 1: целым гауссовым числом называется комплексное число , действительная и мнимая части которого являют ся целыми рациональными числами , т.е . это комплексные z вида z = a + bi , где a и b – целые рациональные числа. Определение 2 : нормой целого гауссого числа z = a + bi называется неотрицательное целое рациональное число N ( z ) = a 2 + b 2 . Теперь рассмотрим как распо ложены целые гауссовы числа на комплексной плоскости (т.е . где определены действительная и мнимая оси ). Т.о . видим все точки с целочисленными координатами , лежащие в вершинах квадратов со стороной , равной 1 и будут являться изображением целых гауссовых чисел . Т.е . в отличие от целых рациональных чисел , которые располагаются на одной прямой , целые гауссовы числа создают решетку при нанесении их на комплексную плоскость. Задания. 1) Среди комплексных чисел найдите целые и вычислите их но рмы : a. 147,3+(3/2)i b. 2,5+7i c. 3i d. 5i+2 e. 147.3+(3/2)i 2)Доказать теорему 1 : норма комплексных чисел мультипликативна , т.е . N (бв ) = N (б ) N (в ) Задача 2: Норма целого комплексного числа 1+ i равна 2, а целого комплексн ого числа 2+ i равна 5. Будет ли норма произведения этих чисел равна 10? 3)Доказать теорему 2 : положительное целое рациональное число C является нормой некоторого целого гауссова числа тогда и только тогда , когда число С представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел . Задача 3: Будет ли 9 являться нормой некоторого целого гауссова числа ? Решение : рассмотрим алгоритм , позволяющий представить целое рациональное число в виде суммы двух квадратов. 9=3, рассмотрим натуральны е числа n 3. В данном примере такие числа 1, 2, 3. Возводим каждое такое число в квадрат и вычитаем этот результат из 9. Если находится такая разность , которая есть квадрат какого-либо натурального числа , то мы подобрали ту п ару чисел , сумма квадратов которых и будет являться исходным числом. 9-1=8- не квадрат , 9-2=5- не квадрат. Вывод - следуя алгоритму мы выяснили , что 9 не является нормой некоторого целого гауссова числа. 4)Выберите те положительные целые рациональные числа , которые являются нормой некоторых целых гауссовых чисел : 26; 16; 10; 13; 18; 7; 17; 61; 24; 29; 50 Замечание : норма целого гауссова числа всегда является натуральным числом. Занятие № 7 ТЕМА : Отношение делимости на множестве целых гау ссовых чисел . Простые гауссовы числа . Определение 1: будем говорить , что целое гауссово число б
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
- Вы как оказались в травматологическом отделении?
- Да думала, что бесконтактный секс самый безопасный, а вот видите как...
- А что это за бесконтактный секс такой?!
- Да мужу два дня мозги трахала...
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, диплом по педагогике "Арифметика комплексных чисел (факультативный курс для старших классов средней школы)", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2017
Рейтинг@Mail.ru