Эконометрика

11

1

По данным таблицы определить зависимость выпуска продукции (у) от трудозатрат (х) по 15 фирмам. Для этого

1)вычислить:

• выборочные средние;

выборочную ковариацию между х и у;

выборочную дисперсию для х и у;

выборочный коэффициент корреляции между х и у;

• выборочный коэффициент линейной регрессии у на х и х на у;

• уравнение линейной регрессии у на х;

• коэффициент детерминации.

2) На одном графике построить корреляционные поля и график уравнения линейной регрессии.

Таблица 1

№ фирмы	Выпуск продукции	Трудозатраты
1	2350	2334
2	2470	2425
3	2110	2230
4	2560	2463
5	2650	2565
6	2240	2278
7	2430	2380
8	2530	2437
9	2550	2446
10	2450	2403
11	2290	2301
12	2160	2253
13	2400	2367
14	2490	2430
15	2590	2470

Решение

В Excel составим вспомогательную таблицу 2.

Таблица 2

Приведем формулы для нахождения искомых величин.

а) выборочные средние для X и Y;

выборочная средняя для X равна:

СУММ(B2:B16)/15= 2385,467

выборочная средняя для Y равна :

СУММ(С2:С16)/15= 2718,0

б) выборочная ковариация между X и Y

Ковариация выражает степень статистической зависимости между двумя множествами данных и определяется из следующего соотношения:

Для расчета рассчитаем дополнительный столбец х*у, рассчитаем

=D18-B18*C18=13503,6

в) выборочные дисперсии для X и Y;

Рассмотрим дополнительные столбцы х² и у², рассчитаем их средние значения.

=5698383467-2385,467²=7932,259.

Аналогично,

= 23802,667.

г) Выборочный коэффициент корреляции между X и Y;

С помощью парного линейного коэффициента корреляции измеряется теснота связи между двумя признаками. Линейный коэффициент корреляции чаще всего рассчитывается по формуле:

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1. Равенство коэффициента нулю свидетельствует об отсутствии линейной связи. Равенство коэффициента -1 или +1 показывает наличие функциональной связи. Знак «+» указывает на связь прямую (увеличение или уменьшение одного признака сопровождается аналогичным изменением другого признака), знак «-» - на связь обратную (увеличение или уменьшение одного признака сопровождается противоположным по направлению изменением другого признака).

Получили очень высокий коэффициент корреляции, что указывает на прямую и весьма сильную связь между х и у, то есть между выпуском продукции и трудозатратами. С ростом трудозатрат (х), увеличивается объем выпуска продукции (у).

д) выборочные коэффициенты линейной регрессии X на Y и Y на X;

из условия что

получим , что

=2,949

- коэффициент линейной регрессии X на Y

Тогда

=0,327

-коэффициент линейной регрессии Y на X

е) Уравнение линейной регрессии Y на X;

Полагаем, что связь между факторами Х и У может быть описана линейной функцией

. Решение задачи нахождения коэффициентов a и b основывается на применении метода наименьших квадратов и сводится к решению системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными a и b :

a n + b ?x_i = ?y_i,

a ?x_i + b ?x_i² = ?x_iy_i.

Для нашей задачи система имеет вид:

Решение этой системы можно получить по правилу Крамера:

Получаем: а=-1642,9; b=1,7024.

Таким образом, искомое уравнение регрессии имеет вид:

y =-1642,9+1,7024x.

При увеличении трудозатрат на 1 рубль, производительность труда увеличивается на 1,7024 руб.

ж) коэффициент детерминации;

Коэффициент детерминации находим по формуле: R² = r_xy²= 0,97

2) Построить: график линейной регрессии Y на X; корреляционные поля (на одном графике с линейной регрессией).

Рисунок 1. График зависимости объема выпуска продукции от трудозатрат

Таким образом, для выполнения данного задания была создана таблица на листе MS Excel:

Таблица 3

№	х	у	х*у	х^2	у^2
1	2334	2350	5484900	5447556	5522500
2	2425	2470	5989750	5880625	6100900
3	2230	2110	4705300	4972900	4452100
4	2463	2560	6305280	6066369	6553600
5	2565	2650	6797250	6579225	7022500
6	2278	2240	5102720	5189284	5017600
7	2380	2430	5783400	5664400	5904900
8	2437	2530	6165610	5938969	6400900
9	2446	2550	6237300	5982916	6502500
10	2403	2450	5887350	5774409	6002500
11	2301	2290	5269290	5294601	5244100
12	2253	2160	4866480	5076009	4665600
13	2367	2400	5680800	5602689	5760000
14	2430	2490	6050700	5904900	6200100
15	2470	2590	6397300	6100900	6708100
Всего	35782	36270	86723430	85475752	88057900
Средние	2385,466667	2418	5781562	5698383,467	5870526,667
Выб. Ков.	13503,6		a	-1642,940111
Выб. дис.х	7932,248889		b	1,702367158
Выб. дис.у	23802,66667
Rxy	0,982739905
К. л.р.х на у	2,948953154
К. л.р.у на х	0,3274984953
Коэф. Детерм.	0,965777721

Для проверки некоторых данных при помощи средств Excel проведем регрессионный анализ(пункт меню сервис -> анализ данных) и получим:

Таблица 4

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,982739905
R-квадрат	0,965777721
Нормированный R-квадрат	0,963145238
Стандартная ошибка	30,65781694
Наблюдения	15
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	344821,3	344821,3	366,8694959	6,54898E-11
Остаток	13	12218,72	939,9017
Итого	14	357040
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%
Y-пересечение	-1642,940111	212,1648	-7,7437	3,18811E-06	-2101,294224	-1184,59	-2101,29
Переменная X 1	1,702367158	0,088879	19,15384	6,54898E-11	1,510356517	1,894378	1,510357

Выводы:

Коэффициент ковариации, как и корреляции, говорит о положительной связи случайных величин X и Y, то есть с увеличением одной величины, увеличивается и другая.

Коэффициент корреляции очень близок к 1, и это означает, что значения трудозатрат (X) и выпуска продукции (Y) тесно взаимосвязаны друг с другом.

Причем, с увеличением трудозатрат на 1 рубль, производительность труда увеличивается на 1,7024 руб.

Коэффициент детерминации, равный 0,97, который является отношением факторной вариации к полной вариации признака, позволяет судить о том, что выбран линейный вид функции вполне удачно.

Задание 2

На основании таблицы определить зависимость выпуска продукции (у) от трудозатрат (х) и капиталовложений (р) т. е. рассчитать:

1) коэффициенты множественной линейной регрессии у на х и р;

2) парные коэффициенты корреляции, оценить их значимость на уровне 0,05 и пояснить их экономический смысл;

3) частные коэффициенты корреляции и с их помощью оценить целесообразность включения факторов в уравнение регрессии;

4) коэффициент множественной корреляции, множественный коэффициент детерминации, скорректированный коэффициент корреляции и охарактеризовать степень совместного влияния факторов на результативный признак.

Таблица 5

№ фирмы	Выпуск продукции	Трудозатраты	Капиталовложения
1	2350	2334	1570
2	2470	2425	1850
3	2110	2230	1150
4	2560	2463	1940
5	2650	2565	2450
6	2240	2278	1340
7	2430	2380	1700
8	2530	2437	1860
9	2550	2446	1880
10	2450	2403	1790
11	2290	2301	1480
12	2160	2253	1240
13	2400	2367	1660
14	2490	2430	1850
15	2590	2470	2000

Решение

а) коэффициенты множественной линейной регрессии Y на X и р;

уравнение регрессии будет выглядеть так:

у=а₀ + а₁ х₁ + а₂х₂

где а₀, а₁, а₂ — параметры, подлежащие определению.

Для нахождения числовых значений искомых параметров, как и в случае одной независимой переменной, пользуются методом наименьших квадратов. Он сводится к составлению и решению системы нормальных уравнений, которая имеет вид:

Когда система состоит из трех и более нормальных уравнений, решение ее усложняется. Существуют стандартные программы расчета неизвестных параметров регрессионного уравнения на ЭВМ.

Таблица 6

При помощи средств Excel проведем регрессионный анализ и получим (пункт меню сервис -> анализ данных):

Таблица 7

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,986271
R-квадрат	0,972731
Нормированный R-квадрат	0,968186
Стандартная ошибка	28,48397
Наблюдения	15
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	347304	173652	214,032	4,11143E-10
Остаток	12	9736,04	811,3367
Итого	14	357040
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-3872,74	1289,847	-3,00248	0,011016	-6683,077615	-1062,41
Переменная X 1	2,874401	0,675078	4,257882	0,001112	1,403533001	4,345269
Переменная X 2	-0,32961	0,188424	-1,74928	0,105748	-0,740147667	0,080934

Тогда коэффициенты уравнения линейной регрессии следующие:

а₀,= -3872,74; а₁,= 2,874401; а₂ =-0,32961

и уравнение линейной регрессии будет следующим:

у= -3872,74+2,874401х -0,32961р

б) Парный коэффициент корреляции между х и у факторами вычисляется по формуле:

r_рy=0,965;

r_xр=0,992.

Проверка существенности отличия коэффициента корреляции от нуля проводится по схеме: если

, то гипотеза о существенном отличии коэффициента корреляции от нуля принимается, в противном случае отвергается.

Здесь t_1-?/2,n-2 – квантиль распределения Стьюдента, ? - уровень значимости или уровень доверия, n – число наблюдений, (n-2) – число степеней свободы. Значение ? = 0,05, тогда t_1-?/2,n-2 = t_0,975,13= 5,01. Получаем:

13,30>5,01 следовательно, коэффициент корреляции существенно отличается от нуля и ????? ???????? ????????? ? ?????????????????? ?????????? ?????? ?????.

29,25>5,01 следовательно, коэффициент корреляции существенно отличается от нуля и ????? ???????? ????????? ? ?????????????? ?????????? ?????? ?????.

в) частные коэффициенты корреляции определяются по формуле:

R_xy.z =

Рассчитаем дополнительные столбцы таблицы, получим:

R_ху,р=0,776;

R_хр,у=0,909;

R_ур,х=-0,451.

Таким образом, трудозатраты включать в уравнение регрессии нецелесообразно.

г)коэффициент множественной корреляции = 0,986;

коэффициент детерминации:

0,973;

скорректированный коэффициент корреляции

0,968.

Выводы:

Влияние трудозатрат на выпуск продукции меньше, нежели чем влияние капиталовложений на выпуск продукции. Коэффициент детерминации говорит о достаточно тесной взаимосвязи объема капиталовложений с трудозатратами и выпуском продукции.