Решение уравнений и построение графиков функций, содержащих выражения со знаком модуля

Средняя общеобразовательная школа № 3

Реферат по математике на тему:

Решение уравнений и построение графиков функций, содержащих выражения со знаком модуля.

Выполнил:

Шварц В.И.

9Б класс

Руководитель:

Шагалина Д.Г.

Межгорье

2005

Решение уравнений и неравенств, содержащих выражения под знаком модуля.

Любое действительное число можно изобразить точкой числовой прямой. Расстояние этой точки от начала отсчёта на этой прямой равно положительному числу или нулю, если точка совпадает с началом числовой прямой.

Расстояние точки, изображающей данное число на числовой прямой, от начала этой прямой называется модулем данного числа – это геометрическое определение модуля.

; ;

Расстояние между точками плоскости обозначается с помощью знака модуля и равно:

, где ;

Абсолютная величина вектора (модуль вектора) – длина вектора. Обозначается .

Если известны координаты вектора , то модуль вектора находится по формуле:

.

Если известны координаты начала и конца вектора , A(a;b); B(c;d), то модуль вектора можно найти по формуле:

Модуль единичного вектора равен 1, модуль нулевого вектора равен 0.

Геометрический смысл модуля удобно использовать для решения некоторых уравнений.

6 = А ; х = А9 ; х₁ = 15 ; х₂ = –3.

–3 0 6 15

С А В

При решении более сложных уравнений, содержащих выражения со знаком модуля, удобнее пользоваться алгебраическим определением модуля числа:

{

Свойства модуля:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Для решения уравнений, содержащих два и более выражений со знаком модуля, сначала записываем уравнение без знаков модуля. Так как каждое выражение, записанное со знаком модуля, может быть как отрицательным, так и неотрицательным, то при его записи без знаков модуля надо рассмотреть оба случая отдельно.

Для уравнений, содержащих два выражения со знаком модуля, получается четыре комбинации, а для уравнений, содержащих три выражения со знаком модуля, получается восемь комбинаций без знаков модуля. Затем обязательно проверить, какие из найденных значений х удовлетворяют данному уравнению.

Но можно упростить решение таких уравнений с помощью метода интервалов.

2х – 12 =0 ; х=6 ; 6х+48 =0 ; х= –8.

Найденные значения х разбивают числовую прямую на три промежутка: х<–8 ; –8х6 ; х6.

В промежутке х<–8 оба выражения, стоящие под знаком модуля, отрицательны. Получим уравнение:

– (2х–12) – (6х+48) = 160; х = –24,5к промежутку х<–8, значит является корнем уравнения. Аналогично находим корни в других промежутках.

Тест

В приведённом ниже тесте четыре задания на решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля. Используются задания, которые предлагались на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения Москвы и Волгограда в разные годы.

К каждому заданию приводится подробное решение с его геометрической интерпретацией.

1. Найдите наименьшее целое решение неравенства

<2>

Решение:

Исходя из определения модуля

={}

данное в условии неравенство равносильно следующему:

–2

Двойное неравенство можно записать в виде системы неравенств

Покажем решение системы на числовой оси

8,5 9 12,5

Теперь на интервале (8,5; 12,5), где пересеклись множества, выберем наименьшее число. Это 9.

Ответ: 9.

2. Найдите наибольшее целое отрицательное решение неравенства

>6

Решение:

Данное неравенство равносильно следующим:

x+3.5>3 или x+3.5<6>

Отсюда, x>2.5 или x<–9.5.

Покажем решение данных неравенств на числовой оси

–10 –9,5 2,5

На интервалах (–; –9,5) и (2,5; +) наибольшее целое отрицательное число –10.

Ответ: –10.

3. Решите уравнение x²+–20=0

Решение:

Найдём корни уравнения ²+–20=0, = –5 или = 4. Так как 0, то = 4, следовательно, х = 4.

Ответ: 4.

4. Найдите наименьшее целое решение уравнения

Решение:

Представим это уравнение в виде системы уравнений:

{

Так как = х при х 0.

2х=9>0, то есть х > –4,5.

Ответ: –4

Графики функций, содержащих выражение под знаком модуля.

Для построения графиков функций, содержащих знак модуля, как и при решении уравнений, сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля. Эти корни разбивают числовую прямую на промежутки. График строится в каждом промежутке отдельно.

В простейшем случае, когда только одно выражение стоит под знаком модуля и нет других слагаемых без знака модуля, можно построить график функции, опустив знак модуля, и затем часть графика, расположенную в области отрицательных значений y, отобразить относительно оси Ох.

1. y = y=0.5х

2. у == ; у = 0,5х–3

3. у =

2х –4 =0, х = 2; 6 +3х =0, х = –2. В результате ось Ох разбивается на три промежутка. Убираем знаки модуля, беря каждое выражение в каждом промежутке с определённым знаком, которые находим методом интервалов.

В каждом промежутке получается функция без знака модуля. Строим график каждой функции в каждом промежутке. В области определения график представляет непрерывную прямую.

4. у = у = х² –2

Литература.

1. Математика. Справочник школьника. Москва 1995г. Филологическое общество "Слово".

2. Справочник по математике. Москва 1995г. "Просвещение".

3. Математические кружки в 8-10 классах. Москва 1987г. "Просвещение".

4. Математика. Еженедельная учебно-методическая газета.№42, 2003 год. Издательский дом "Первое сентября".

Математика. Еженедельная учебно-методическая газета.№41, 2002 год. Издательский дом "Первое сентября".={