Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры

Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры

I.Координаты центра тяжести.

Пусть на плоскости Oxy дана система материальных точек

P₁(x₁,y₁); P₂(x₂,y₂); ... , P_n(x_n,y_n)

c массами m₁,m₂,m₃, . . . , m_n.

Произведения x_im_i и y_im_i называются статическими моментами массы m_i относительно осей Oy и Ox.

Обозначим через x_c и y_c координаты центра тяжести данной системы. Тогда координаты центра тяжести описанной материальной системы определяются формулами:

Эти формулы используются при отыскании центров тяжести различных фигур и тел.

1.Центр тяжести плоской фигуры.

Пусть данная фигура, ограниченная линиями y=f₁(x), y=f₂(x), x=a, x=b, представляет собой материальную плоскую фигуру. Поверхностною плотность, то есть массу единицы площади поверхности, будем считать постоянной и равной  для всех частей фигуры.

Разобьем данную фигуру прямыми x=a, x=x₁, . . . , x=x_n=b на полоски ширины x_{1, }x₂, . . ., x_n. Масса каждой полоски будет равна произведению ее площади на плотность . Если каждую полоску заменить прямоугольником (рис.1) с основанием x_i и высотой f₂()-f₁(), где , то масса полоски будет приближенно равна

(i = 1, 2, ... ,n).

Приближенно центр тяжести этой полоски будет находиться в центре соответствующего прямоугольника:

Заменяя теперь каждую полоску материальной точкой, масса которой равна массе соответствующей полоски и сосредоточена в центре тяжести этой полоски, найдем приближенное значение центра тяжести всей фигуры:

Переходя к пределу при , получим точные координаты центра тяжести данной фигуры:

Эти формулы справедливы для любой однородной (т.е. имеющей постоянную плотность во всех точках) плоской фигуры. Как видно, координаты центра тяжести не зависят от плотности  фигуры (в процессе вычисления  сократилось).

2. Координаты центра тяжести плоской фигуры

В предыдущей главе указывалось, что координаты центра тяжести системы материальных точек P₁, P₂, . . ., P_n c массами m₁, m₂, . . ., m_n определяются по формулам

.

В пределе при интегральные суммы, стоящие в числителях и знаменателях дробей, перейдут в двойные интегралы, таким образом получаются точные формулы для вычисления координат центра тяжести плоской фигуры:

(*)

Эти формулы, выведенные для плоской фигуры с поверхностной плотностью 1, остаются в силе и для фигуры, имеющей любую другую, постоянную во всех точках плотность .

Если же поверхностная плотность переменна:

то соответствующие формулы будут иметь вид

Выражения

и

называются статическими моментами плоской фигуры D относительно осей Oy и Ox.

Интеграл выражает величину массы рассматриваемой фигуры.

3.Теоремы Гульдена.

Теорема 1.

Площадь поверхности, полученной при вращении дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее, равна длине дуги кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести дуги.

Теорема 2.

Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей ее и расположенной в плоскости фигуры, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры.

II.Примеры.

1)Условие: Найти координаты центра тяжести полуокружности X²+Y²=a², расположенной над осью Ox.

Решение: Определим абсциссу центра тяжести: ,

Найдем теперь ординату центра тяжести:

2)Условие: Определить координаты центра тяжести сегмента параболы y²=ax, отсекаемого прямой, х=а (рис. 2)

Решение: В данном случае поэтому

(так как сегмент симметричен относительно оси Ox)

3)Условие: Определить координаты центра тяжести четверти эллипса (рис. 3)

полагая, что поверхностная плотность во всех точках равна 1.

Решение: По формулам (*) получаем:

4)Условие:

Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии .

Решение:

1Так как кривая симметрична относительно оси Oy, то ее центр тяжести лежит на оси Oy, т.е. X_c= 0. Остается найти . Имеем тогда длина дуги

Следовательно,

5)Условие:

Пользуясь теоремой Гульдена найти координаты центра тяжести четверти круга

.

Решение:

При вращении четверти круга вокруг оси Ох получим полушар, объем которого равен

Согласно второй теореме Гульдена, Отсюда Центр тяжести четверти круга лежит на оси симметрии, т.е. на биссектрисе I координатного угла, а потому

III.СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. “Высшая математика в упражнениях и задачах”, часть 2, “Высшая школа”, Москва, 1999.

2. Пискунов Н.С. “Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов”, том 2, “Наука”, Москва, 1965