Реферат: Теорема Пифагора - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Теорема Пифагора

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 920 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

7 МОСКОВСКИЙ ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ШКОЛА — ЛАБОРАТОРИЯ № 799 Рефера т по Геометрии Тема : “Теорема Пифагора и способы ее доказательства” Ученика Кудашева Алексея Москва . 1997 г. План : 1) Введение . 2) Биография Пифагора. 3) Не алгебраические доказательства теоремы. А ) Простейшее доказательство. Б ) Древнекитайское до казательство. В ) Древнеиндийское доказательство. Г ) Доказательство Евклида. 4) Алгебраические доказательства теоремы. А ) Предисловие. Б ) Первое доказательство. В ) Второе доказательство. 5) Заключение. Трудно найти человека , у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора . Пожалуй , даже те , кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой , сохраняют воспоминания о “пифагоровых штанах” — квадрате на гипотену зе , равновели ком двум квадратам на катетах . Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина : это простота — красота — значимость . В самом деле , теорема Пифагора проста , но не очевидна . Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу , делает ее красивой . Но , кроме того , теорема Пифагора имеет огромное значение : она применяется в геометрии буквально на каждом шагу , и тот факт , что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических , алгебраических , механических и т.д .), свиде тельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций . Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд . Прокл, комментируя последнее предложение первой книги “Начал” Евклида , пишет : “Если послушать те х , кто любит повторять древние легенды , то придется сказать , что эта теорема восходит к Пифагору ; рассказывают , что он в честь этого открытия принес в жертву быка” . Впрочем , более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу , а это уже целая с о тня . И хотя еще Цицерон заметил , что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена , легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики . Так , оптимист Миха и л Ломоносов (1711--1765) писал : “Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевсу принес на жертву сто волов . Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков прав ила по суеверной его ревности поступать , то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось” . А вот ироничный Генрих Гейне (1797 — 1856) видел развитие той же ситуации несколько иначе : “Кто знает ! Кто знает ! Возможно , душ а Пифагора переселилась в беднягу кандидата , который не смог доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах , тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков , которых Пифагор , обрадованный открытием своей теоремы , принес в жертву бесс м ертным богам” . Сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах и чертежах : и в египетском треугольнике в папирусе времен фараона Аменемхета первого (ок. 2000 до н.э .), и в вавилонских клинописных табличках эпох и царя Хаммурапи (XVIII в . до н.э .), и в древнеиндийском геометрическо-теологическом трактате VII — V вв . до н.э . “Сульва сутра” (“Правила веревки ” ) . В древнейшем кита йском трактате “Чжоу-би суань цзинь”, время создания которого точно не известно , утверждается , что в XII в . до н. э. китайцы знали свойства египетского треугольника , а к VI в . до н.э. — и общий вид теоремы . Несмотря на все это , имя Пифаго ра столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора , что сейча с просто невозможно представить , что это словосочетание распа дется. То же относится и к легенде о заклании быков Пифагором . Да и вряд ли нужно препарировать ист орико-математическим скальпелем красивые древние предания . Сегодня принято считать , что Пифагор дал первое доказатель ство носящей его имя теоремы . Увы , от этого доказательства также не сохранилось никаких следов . Я рассмотрю некоторые классические доказательства теоремы Пифагора , известные из древних трактатов . Сделать это полезно еще и потому , что в современных школьных учебниках дается а л гебраическое доказательство теоремы . При этом бесслед но исчезает первозданная геометрическая аура теоремы , теряется та нить Ариадны , которая вела древних мудрецов к истине , а путь этот почти всегда оказывался кратчайшим и всегда красивым . Итак , Теорема Пифагора . Б иография Пифагора . Великий ученый Пифагор родился около 570 г . до н.э . на острове Самосе . Отцом Пифагора был Мнесарх , резчик по драгоценным камням . Имя же матери Пифагора не известно . По многим ан тичным свидетельствам , родившийся мальчик был сказочно красив , а вскоре проявил и свои незаурядные способ ности . Среди учителей юного Пифагора традиция называет имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского (хотя и нет твердой уверенности в том , что имен но Гермо дамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора ). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермо даманта , внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера . Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь . И , буд у чи признанным мудрецом , окруженным толпой учеников , Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера . Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии . Таким образом , если Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз , то Ферекид обратил его ум к логосу . Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя . Но как бы то ни было , неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе , и он отправля е тся в Милет , где встречается с другим ученым - Фалесом . Фалес советует ему отправится за знаниями в Египет , что Пифагор и сделал . В 548 г . до н.э . Пифагор прибыл в Навкратис – самосскую колонию , где было у кого найти кров и пищу . Изучив язык и религию еги птян , он уезжает в Мемфис . Несмотря на рекомендательное письмо фараона , хитроумные жрецы не спешили раскрывать Пифагору свои тайны , предлагая ему сложные испытания . Но влекомый жаждой к знаниям , Пифагор преодолел их все , хотя по данным раскопок египетские жрецы не многому могли его научить , т.к . в то время египетская геометрия была чисто прикладной наукой (удовлетворявшей потребность того времени в счете и в измерении земельных участков ). Поэтому , научившись всему , что дали ему жрецы , он , убежав от них , дв и нулся на родину в Элладу . Однако , проделав часть пути , Пифагор решается на сухопутное путешествие , во время которого его захватил в плен Камбиз , царь Вавилона , направлявшийся домой . Не стоит драматизировать жизнь Пифагора в Вавилоне , т.к . великий властите л ь Кир был терпим ко всем пленникам . Вавилонская математика была , бесспорно , более развитой (примером этому может служить позиционная система исчисления ), чем египетская , и Пифагору было чему поучится . Но в 530 г . до н.э . Кир двинулся в поход против племен в Средней Азии . И , пользуясь переполохом в городе , Пифагор сбежал на родину . А на Самосе в то время царствовал тиран Поликрат . Конечно же , Пифагора не устраивала жизнь придворного полу раба , и он удалился в пещеры в окрестностях Самоса . После нескольких м е сяцев притязаний со стороны Поликрата , Пифагор переселяется в Кротон . В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена (“пифагорейцы” ), члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский об р аз жизни . Это был одновременно и религиозный союз , и политический клуб , и научное общество . Надо сказать , что некоторые из проповедуемых Пифагором принцыпов достойны подражания и сейчас. ...Прошло 20 лет . Слава о братстве разнеслась по всему миру . Однажды к Пифагору приходит Килон , человек богатый , но злой , желая спьяну вступить в братство . Получив отказ , Килон начинает борьбу с Пифагором , воспользовавшись поджогом его дома . При пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему учителю ценой своей , после чего Пифаго р затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством. "Квадрат , построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника , равновелик сумме квадратов , построенных на его катетах ." Прост е йшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника . Вероятно , с него и начиналась теорема . В самом деле , достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треуголь ников (рис. 1), чтобы убедиться в справедливости теоремы . Например , для ABC : квадрат , построенный на гипотенузе АС , содержит 4 исходных треугольника , а квадраты , построенные на катетах, — по два . Теорема доказана . Древнекитайское доказательство . Математические трактаты Древнего Китая дошл и до нас в редакции II в . до н.э . Дело в том , что в 213 г . до н.э . китайский император Ши Хуан-ди, стремясь ликвидировать прежние традиции , прик а зал сжечь все древние кн и ги . Во II в . до н.э . в Китае была изобретена бумага и одновре менно начинается воссоздание древних книг . Так возникла тематика в девяти книгах ” — главное из сохранившихся мате матико - астрономических сочине ний в книге “ Математики” по мещен че ртеж (рис. 2, а ), до казывающий теорему Пифагора . Ключ к этому доказательству подобрать нетрудно . В самом деле , на древнекитайском чертеже четыре равных прямо у гольных т реугольника с катетами а , b и гипотенузой с уложены так , что их внешний контур образует квадрат со стороной а +b , а внутр е нний — квадрат со стороной с , построенный на гипотенузе (рис. 2, б ). Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника (рис. 2, в ), то ясно , что образовавшаяся пустота , с одной стороны , равна с 2 , а с друг ой — а 2 +Ь 2 , т.е . с 2 = а 2 + Ь 2 . Теорем а доказана . Заметим , что при таком доказательстве построения внутри квадр ата на гипотенузе , которые мы видим на древнекитайском чертеже (рис. 2, а ), не и спользуются . По-видимому , древнекитай ские математики имел и другое доказательство . Именно если в квадрате со стороно й с два заштрихованных треугольника (р и с . 2 , б ) отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам (рис. 2, г ), то легко обнаружить , что полученная фигура , которую иногда называют “ креслом невесты” , состоит из двух квадратов со сторонами а и b , т.е . с 2 = а 2 +Ь 2 . На рисунке 3 воспроизведен чертеж из трактата “Чжоу-би...” . Здесь теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольни ка с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 единиц измерения . Квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток , а вписанный в него квадрат на больш ем катете — 16. Ясно , что оставшаяся часть содержит 9 клеток . Это и будет квадрат на меньшем катете . Древнеиндийское доказательство. Математики Древней Индии заметили , что для доказательств а теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа . В на писанном на пальмовых листьях трактате “Сиддханта широмани” (“Венец знания” ) крупне й шего индийского математика XII в . Бхаскары помещен чертеж (рис. 4, а ) с характерным для индийских доказательств словом “смотри !”. Как видим , прямо-угольньные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат с 2 перекладывается в “кресло невесты” а 2 - b 2 (рис. 4, б ). Заметим , что частные случаи теоремы Пифагора (например , построение квадрата , площа дь которого вдвое больше площади данного квадрата ) встречаются в древнеиндийском трактате “Сульва сутра” (VII — V вв . до н.э .). Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги “Начал” . На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты (рис. 5) и доказыва ется , что прямоугольник B J LD равновелик квадрату ABFH , а прямоугольник I CEL — квадрату АС КС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе . В самом деле , затушеванные на рисунке треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними : F B = AB, BC == BD и FBC=d+ ABC = AB D. Но S ABD =1/2 S BJLD , так как у треу гольника ABD и прямоуго л ьника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично S FBC = 1\2 S ABFH (BF — об щее основание , АВ — общая высота ). Отсюда , учиты вая , что S ABD = S FBC , имеем S BJLD = S ABFH . Аналогично , используя равен ство треугольников ВСК. и АСЕ, доказывается , что S JCEL = S ACKG . Ит а к , S ABFH + S ACKG = S BJLD + S JCEL = S BCED , ч т о и требовалось до к азать . Доказательство Евклида в сравнении с древнекитайским или др е внеиндийским выглядит чрезмерно сложным . По этой причине его нередко называли “ходульным” и “н адуманным” . Но такое мнение поверхностно . Теорема Пифагора у Евклида является заключительным звеном в цепи предложений 1- й книги “Начал” . Для того чтобы логически безупречно построить эту цепь , чтобы каждый шаг доказательства был основан на ранее доказанны х предложениях , Евклиду нужен был именно выбранный им путь . Еще давно была изобретена головоломка , называемая сегодня “Пифагор” . Нетрудно убедиться в том , что в основе семи частей головоломки лежат равнобедренный прямоугольный треугольник и квадраты , пост роенные на его катетах , или , иначе , фигуры , составленные из 16 одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольников и потому укладывающиеся в квадрат . Такова лишь малая толика богатств , скрытых в жемчужине античной математики — теореме Пифагора . Далее я рассмотрю несколько алгебраических доказательств теоремы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕ М Ы ПИФАГОРА . Пусть Т — прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с (рис. 6, а ). Докажем , чт о с 2 =а 2 + Ь 2 . Построим квадрат Q со стороной а +Ь (рис. 6, б ). На сторонах квадрата Q возьмем точки А , В , С, D так , чтобы отрезки АВ, ВС, CD, DA отсекали от квадрата Q прямоуголь ные треугольники Т 1 , Т 2 , Т 3 , Т 4 с катетами а и b. Четырех угольник ABCD обозначим буквой Р. Покажем , что Р — квадрат со стороной с. Все треугольники Т 1 , Т 2 , Т 3 , Т 4 равны треугольнику Т (по двум катетам ). Поэтому их гипотенузы равны гипот е нузе треугольника Т, т . е. отрезку с . Докажем , что все углы этого четырехугольника прямые. Пусть и — велич и ны острых углов тр еугольника Т . Тогда , как вам известно, + = 90°. Угол у при вершине А четырехугольника Р вмес т е с углами , равными и , состав ляет развернутый угол . П о этому + = 180°. И так как + = 90°, то = 90 ° . Точно так же доказывается , что и ост альные углы четырех у гольника Р прямые . Следователь но , четырехугольник Р — квадрат со стороной с. Квадрат Q со сторо н ой а +Ь слагается из квадрата Р со стороной с и че тырех треугольников , равных треуголь нику Т. Поэтому для их п лощадей выполняется равенство S(Q) = S ( P)+4S(T) . Так как S ( Q) = (a+b) 2 ; S ( P) = c 2 и S(T) = 1/2(ab), то , подставляя эти выражения в S(Q)=S(P)+4S(T) , получаем равенство ( a+ b ) 2 =c 2 +4 *(1/2)ab . Поскольку (a+ b ) 2 = a 2 + b 2 +2ab, то равенство (a+b) 2 =c 2 +4*(1/2)ab мож но записать так : a 2 + b 2 + 2ab = c 2 +2 ab. Из равенства a 2 +b 2 +2ab=c 2 +2ab след у ет , что с 2 =а 2 + Ь 2 . Ч.Т.Д. ЕЩЕ ОДНО АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть АВС — данный прямоуголь ный треуголь ни к с прямы м углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С (рис. 7). По определению косинуса угла ( Косинусом острого угла прямоугольного треугольника назы вается отношение прилежащего катета к гипотенузе ) со s А = AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AC 2 . Аналоги ч но со s В = BD/BC = BC/AB . Отсюда AB*BD = В С 2 . Складывая полученные равенства почленно и замечая , что AD + DB = AB, получим : АС 2 + ВС 2 = АВ (AD + DB) = АВ 2 . Теорема доказана. В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. Значение ее состоит прежде всего в том , что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии . К сожалению , невозможно здесь привести все или даже самые красивые доказательства теоремы , однако хочется надеется , что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня , да и вчера , п роявляемом по отношению к ней.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Эй, люди, ссылающиеся на Википедию в качестве доказательств! Знаете, что я там вчера про вас написал?
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Теорема Пифагора", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru