Реферат: Преобразования плоскости - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Преобразования плоскости

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 30 kb, скачать бесплатно
Обойти Антиплагиат
Повысьте уникальность файла до 80-100% здесь.
Промокод referatbank - cкидка 20%!

Узнайте стоимость написания уникальной работы

- 6 -




Преобразования плоскости


Отображение плоскости на себя

Отображенем плосости на себя называется такое преоброзование, что каждой точке исходной плоскости сопоставляется какая-то точка этой же плоскости, причем любая любая точка плоскости оказывается сопоставленой другой точке. Если при отображении плоскости на себя фигура F преобразовывается в фигуру F', то говорят, что фигура F' - образ фигуры F, а фигура F - прообраз фигуры F'. Если одним отображением фигура F переводится в фигуру F', а затем фигура F' переводится в фигуру F'', то отображение, переводящее F в F'' называется композицией двух отображений. Неподвижной точкой отображения называется такая точка A которая этим отображением переводится сама в себя. Отображение, все точки которого неподвижные называется тождественным отображением. Если при данном отображении разным точкам фигуры соответствуют разные образы, то такое отображение называется взаимно однозначным. Пусть фигура F' получена из фигуры F взаимно однозначным отображением f, то можно задать отображение обратное отображению f, которое определяется так: композиция отображения f и отображения, обратного f является тождественным отображением. Существует множество видов отображения плоскости на себя, рассмотрим некоторые из них:

  1. Движения

  • Параллельный перенос

  • Осевая симметрия

  • Поворот вокруг точки

  • Центральная симметрия

  1. Подобие

  • Гомотетия


Движение

Движением называется отображение плоскости на себя при которром сохранаяются все расстояния между точками. Движение имеет ряд важных свойств:

  1. Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, не лежащие на одной прямой.

Докозательство: пусть движение переводит точки A, B, C в точки A', B', C'. Тогда выполняются равенства

A'B'=AB , A'C'=AC , B'C'=BC (1)

Если точки A, B, C лежат на одной прямой, то одна из них, например точка B лежит между двумя другими. В этом случае AB+BC=AC, и из равенств (1) следует, что A'C'+B'C'=A'C'. А из этого следует, что точка B' лежит между точками A' и C'. Первое утверждение доказано. Второе утверждение докажем методом от противного: Предположим, что точки A', B', C' лежат на одной прямой даже в том случае, если точки A, B, C не лежат на одной прямой, то есть являются вершинами треугольника. Тогда должны выполнятся неравенства треугольника:

AB

AC

BC

но из равенств (1) следует, что те же неравенства должны выполнятся и для точек A', B', C' следовтельно точки A', B', C' должны быть вершинами треуголька, следовтельно точки A', B', C' не должны лежать на одной прямой.

  1. Отрезок движение переводится в отрезок.

  1. При движении луч переходит в луч, прямая в пррямую.

  1. Треугольник движением переводится в треугольник.

  1. Движение сохраняет величины углов.

  1. При движении сохраняются площади многоугольных фигур.

  1. Движение обратимо. Отображение, обратное движению является движением.

  1. Композиция двух движений также является движением.


Используя определение движения можно дать такое определение равнества фигур:

Две фигуры называются равными, если одну из них можно перевести в другую некоторым движением.


Виды движений

На плоскости существуют четыре типа движений:

  1. Параллельный перенос.

  1. Осевая симметрия

  1. Поворот вокруг точки

  1. Центральная симметрия


Рассмотрим подробнее каждый вид.


Параллельный перенос

Параллельным переносом называется такое движение, при котором все точки плоскости перемещаются в одном и том же направлении на одинаковое расстояние.

Подробнее: параллельный перенос произвольным точкам плоскости X и Y ставит в соответсвие такие точки X' и Y', что XX'=YY' или еще можно сказать так: параллельный перенос это отображение, при котором все точки плоскости перемещаются на один и тот же вектор - вектор переноса. Параллельный перенос задается вектором переноса: зная этот вектор всегда можно сказать, в какую точку перейдет любая точка плоскости.

Параллельный перенос является движением, сохраняющим направления. Дейсвтительно, пусть при параллельном переносе точки X и Y перешли в точки X' и Y' соответственно. Тогда выполняется равенство XX'=YY'. Но из этого равенства по признаку равных векторов следут, что XY=X'Y', откуда получаем, что во-первых XY=X'Y', то есть параллельный перенос является движением, и во вторых, что XY X'Y', то есть при параллельном переносе сохраняются направления.

Это свойство параллельного переноса - его характерное свойство, то есть справедливо утверждение: движение, сохраняющее направления является параллельным переносом.


Осевая симметрия

Точки X и X' называются симметричными относительно прямой a, и каждая из них симметричной другой, если a является серидинным перпендикуляром отрезка XX'. Каждая точка прямой a считается симметрична самой себе (относительно прямой a). Если дана прямая a, то каждой точке X соответсвует единственная точка X', симметричная X относительно a.

Симметрией плоскости относительно прямой a называется такое отображение, при котором каждой точке этой плоскости ставится в соответствие точка, симметриченая ей относительно прямой a.

Докажем, что осевая симметрия является движением успульзуя метод координат: примем прямую a за ось x декартовых координат. Тогда при симметрии относительно нее точка, имеющая координаты (x;y) будет преобразована в точку с координатами (x, -y).

Возьмем любые две точки A(x1, y1) и B(x2, y2) и рассмотрим симметричные им относительно оси x точки A'(x1,- y1) и B'(x2, -y2). Вычисляя растояния A'B' и AB, получим

Таким образом осевая симметрия сохраняет расстояние, следовтельно она является движением.


Поворот


Поворот плоскости относительно цетра O на данный угол () в данном направлении определяется так: каждой точке X плоскости ставится в соответсвие такая точка X', что, во-первых, OX'=OX, во-вторых и, в-третих, луч OX' откладывается от луча OX в заданном направлении. Точка O называется центром поворота, а угол -углом поворота.

Докажем, что поворот является движением:

Пусть при повороте вокруг точки O точкам X и Y сопостовляются точки X' и Y'. Покажем, что X'Y'=XY.

Рассмотрим общий случай, когда точки O, X, Y не лежат на одной прямой. Тогда угол X'OY' равен углу XOY. Действительно, пусть угол XOY от OX к OY отсчитывается в направлении поворота. (Если это не так, то рассматриваем угол YOX). Тогда угол между OX и OY' равен сумме угла XOY и угла поворота (от OY к OY'):

с другой стороны,

Так как (как углы поворота), следовтельно . Кроме того, OX'=OX, и OY'=OY. Поэтому - по двум сторонам и углу между ними. Следовтельно X'Y'=XY.

Если же точки O, X, Y лежат на одной прямой, то отрезки XY и X'Y' будут либо суммой, любо разностью равных отрезков OX, OY и OX', OY'. Поэтому и в этом случае X'Y'=XY. Итак, поворот является движением.


Центральная симметрия


Можно дать такое определение:

Центральная симметрия с цетром в точке O это такое отображение плоскости, при котором любой точке X сопоставляется такая точка X', что точка O является серидиной отрезка XX'.

Однако можно заметить, что центральная симметрия является частным случаем поворота, а именно, поворота на 180 градусов. Действительно,пусть при центральной симметрии относительно точки O точка X перешла в X'. Тогда угол XOX'=180 градусов, как развернутый, и XO=OX', следовтельно такое преобразование является поворотом на 180 градусов. Отсюда также следует, что центральная симметрия является движением.

Центральная симметрия является движением, изменяющим направления на противоположные.То есть если при центральной симметрии относительно точки O точкам X и Y соответсвуют точки X' и Y', то

XY= - X'Y'

Доказательство: Поскольку точка O - середина отрезка XX', то, очевидно,

OX'= - OX

Аналогично

OY'= - OY

Учитывая это находим вектор X'Y':


X'Y'=OY'OX'=OY+OX=­(OYOX)= XY

­­­­

Таким образом X'Y'=XY.

Даказанное свойство является характерным свойством центральной симметрии, а именно, справедливо обратное утверждение, являющееся признаком центральной симметрии: "Движение, изменяющее направления на противоположные, является центральной симметрией."


О симметрии фигур

Говорят, что фигура обладает симметрией (симметрична), если существует такое движение (не тождественное), переводящее эту фигуру в себя.

Например, фигура обладает поворотной симметрией, если она переходит в себя некоторым поворотом.

Рассмотрим симметрию некоторых фигур:

  1. Отрезок имеет две оси симметрии (серединный перпендикуляр и прямая, содержащая этот отрезок) и центр симметрии (середина).

  1. Треугольник общего вида не имеет осей или центров симметрии, он несимметричен. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет однуось симметрии: серединный перпендикуляр к основанию.

  1. Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии (серединные перпендикуляры к сторонам) и поворотную симметрию относительно центра с углом поворота 120.

  1. У любого правильного n-угольника есть n осей симметрии, все они проходят через его центр. Он также имеет поворотную симметрию относительно центра с углом поворота .

При четном n одни оси симметрии проходят через противоположные вершины, другие  через середины противоположных сторон.

При нечетном n каждая ось проходит через вершину и середину противополжной стороны.

Центр правильного многоугольника с четным числом сторон является его центром симметрии. У правильного многоугольника с нечетным числом сторон центра симметрии нет.

  1. Любая прямая, проходящая через центр окружности является ее осью симметрии, окружность также обладает поворотной симметрией, причем угол поворота может быть любым.


Подобие

Подобием с коэффициентом k>0 называется отображение плоскости, при котором любым двумя точкам X и Y соответсвуют такие точки X' и Y', что X'Y'=kXY.

Отметим, что при k=1 подобие является движением, то есть движение есть частный случай подобия.

Фигура F называется подобной фигуре F' с коэффициентом k, если существует подобие с коэффициентом k, переводящее F в F'.

Простейшим, но важным примером подобия является гомотетия


Гомотетия

Гомотетией с центром в точке O и коэффициентом k называется такое отображение плоскости, при котором каждой точке X сопоставляется такая точка X', что OX' = kOX, причем не ислючается и возможность k<0>#

При k =1 получается центральная симметрия с центром в точке O, при k =1 получается тождественное преобразование.


Основное свойство гомотетии

При гомотетии с коэфффициентом k каждый вектор умножается на . Подробнее: если точки  и  при гомотетии с коэффффициентом  перешли в точки ' и ', то

'' = 

Доказательство.

Пусть точка   центр гомотетии. Тогда ' = , ' = . Поэтому '' = '  ' =    = (  ) = .

Из равнетсва '' =  следует, что A'B' = |k|AB, то есть гомотетия с коэффициентом k является подобием с коэфффициентом |k|.

Отметим, что любое подобие с коэффициентом  можно представить в виде композиции гомотетии с коэффициентом  и движения.

Некоторые свойства гомотетии

  1. Гомотетия отрезок переводит в отрезок.

  2. Гомотетия сохраняет величину углов.

  3. .

  4. Композиция двух гомотетий с общим центром и коэффициентами k­ и k2 ,будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом Преобразование, обратное гомотетии с коэффициентом  будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом 1/k.


Свойства подобия.

  1. Подобие отрезок переводит в отрезок.

  2. Подобие сохраняет величину углов.

  3. Подобие треугольник переводит в треугольник. Соответсвенные стороны этих треугольников пропорциональны, а соответсвенные углы равны

  4. В результате подобия с коэффициентом  площади фигур умножаются на 2.

  5. Композиция подобий с коэффициентами k­ и k2 есть подобие с коэффициентом k1k2.

  6. Подобие обратимо. Отображение, обратное подобию с коэффициентом  есть подобие с коэффициентом 1/.

1Авиация и космонавтика
2Архитектура и строительство
3Астрономия
 
4Безопасность жизнедеятельности
5Биология
 
6Военная кафедра, гражданская оборона
 
7География, экономическая география
8Геология и геодезия
9Государственное регулирование и налоги
 
10Естествознание
 
11Журналистика
 
12Законодательство и право
13Адвокатура
14Административное право
15Арбитражное процессуальное право
16Банковское право
17Государство и право
18Гражданское право и процесс
19Жилищное право
20Законодательство зарубежных стран
21Земельное право
22Конституционное право
23Конституционное право зарубежных стран
24Международное право
25Муниципальное право
26Налоговое право
27Римское право
28Семейное право
29Таможенное право
30Трудовое право
31Уголовное право и процесс
32Финансовое право
33Хозяйственное право
34Экологическое право
35Юриспруденция
36Иностранные языки
37Информатика, информационные технологии
38Базы данных
39Компьютерные сети
40Программирование
41Искусство и культура
42Краеведение
43Культурология
44Музыка
45История
46Биографии
47Историческая личность
 
48Литература
 
49Маркетинг и реклама
50Математика
51Медицина и здоровье
52Менеджмент
53Антикризисное управление
54Делопроизводство и документооборот
55Логистика
 
56Педагогика
57Политология
58Правоохранительные органы
59Криминалистика и криминология
60Прочее
61Психология
62Юридическая психология
 
63Радиоэлектроника
64Религия
 
65Сельское хозяйство и землепользование
66Социология
67Страхование
 
68Технологии
69Материаловедение
70Машиностроение
71Металлургия
72Транспорт
73Туризм
 
74Физика
75Физкультура и спорт
76Философия
 
77Химия
 
78Экология, охрана природы
79Экономика и финансы
80Анализ хозяйственной деятельности
81Банковское дело и кредитование
82Биржевое дело
83Бухгалтерский учет и аудит
84История экономических учений
85Международные отношения
86Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
87Финансы
88Ценные бумаги и фондовый рынок
89Экономика предприятия
90Экономико-математическое моделирование
91Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Медведев подведет итоги года в интервью в прямом эфире передачи "Спокойной ночи малыши" 6 декабря.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2017
Рейтинг@Mail.ru