Реферат: Формирование понятия комплексного числа в курсе математики средней школы - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Формирование понятия комплексного числа в курсе математики средней школы

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Архив Zip, 102 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

30 Формирование понятия комплексного числа в курсе математики средней школы Оглавление Введение Глава 1. Психолого-педагогические основы обучения и обоснование введения темы “Комплексные числа” в общеобразовательный курс средней школы 1.1. Мышление и учебная деятельность 1.1.1. Определение понятия “мышление” 1.1.2. Особ енности мышления старшеклассников 1.1.3. Определение учебной деятельности 1.1.4. Учебная деятельность старшеклассников 1.2. Процесс формирования понятий в учении 1.2.1. Определение понятий 1.2.2. Формирование и усвоение понятий Глава 2: Методические о сновы введения темы “Комплексные числа” в общеобразовательный курс 2.1. Методика преподавания математики как наука 2.2. Образовательный курс алгебры и начал анализа 2.2.1. Цели обучения математике 2.2.2. Организация учебно-воспитательного процесса 2.2 .3. Структура курса 2.3. Логика темы “Комплексные числа” 2.3.1. Объяснительная записка 2.3.2. Почасовое планирование 2.3.3. Тематическое планирование Глава 3. Описание эксперимента 3.1. Методические основы и организация экспериментального исследовани я 3.2. Описание результатов экспериментального исследования 3.2.1. Диагностическая часть 3.2.2. Формирующая часть Заключение Литература Приложения Введение Перед преподаванием математики в школе кроме общих целей обучения стоят ещё свои специфическ ие цели , определяемые особенностями математической науки . Одна из них – это формирование и развитие математического мышления . Это способствует выявлению и более эффективному развитию математических способностей школьников , подготавливает их к творческой д еятельности вообще и в математике с ее многочисленными приложениями в частности. Вообще интеллектуальное развитие детей можно ускорить по трём направлениям : понятийный строй мышления , речевой интеллект и внутренний план действий. Прочное усвоение знаний н евозможно без целенаправленного развития мышления , которое является одной из основных задач современного школьного обучения. Хочется обратить внимание на две главные проблемы дидактики математики : модернизация содержания школьного математического образован ия и совершенствование структуры курса. Быстрый рост объема научной информации , ограниченность срока школьного обучения и невозможность сокращения объема изучаемых в школе основ науки с целью включения новой информации усложняют проведение реформ по модерн изации школьного образования , а поэтому готовить их придется в течение более длительного времени , тщательно и строго на научной основе. Имеют место успешные эксперименты по модернизации курса начальных классов и изучению в нем начал алгебры , что позволило дать значительную пропедевтику алгебры и геометрии в I - V классах , позволяющую изучить систематические курсы этих предметов в более быстром темпе и перенести ряд тем из старших классов в средние ; включить в программу старших классов элементы высшей математи ки . Таким образом , улучшение системы курса возможно и в период между реформами , т.е . независимо от модернизации образования. Мы не беремся решать эти вопросы , т.к . работаем в более узком направлении , предлагая на данном этапе ввести в общеобразовательный к урс тему “Комплексные числа”. Говоря об алгебраической культуре , заметим , что некоторые разделы алгебры , которые иногда даже не рассматриваются в математических классах , целесообразно вводить в общеобразовательную программу . Так , например , понятие числа в школе заканчивается изучением действительных чисел , что можно считать существенным пробелом в математической подготовке учащихся , т.к . более естественным является формирование понятия комплексного числа. Борьба за сознание учащихся твердой убежденности в научной обоснованности и даже неизбежности введения комплексных чисел вполне возможна и может вестись по нескольким различным линиям , учитывая то , что учащиеся обладают уже достаточно зрелым математическим развитием . В старших классах они в состоянии уже понимать и уважать нужды самой математической науки , являющейся косвенным проявлением нужд и запросов самой практики. 1) Развитие учения о комплексных числах находит себе важнейшие применения в естествознании и технике , в частности - в учении о движении жи дкостей и газов , в электротехнике и самолетостроении и т.д. 2) Действия над комплексными числами связаны с важными действиями геометрического характера и имеют значительные и обширные приложения . Также с их помощью можно иногда с большей простотой получить такие результаты , относящиеся к действительным числам , которые без комплексных чисел получаются с большим трудом. 3) Введение комплексных чисел , помимо своего чисто математического значения , представляет собой едва ли не самую яркую на протяжении школьног о курса иллюстрацию диалектического развития математических понятий . Совокупность комбинаций вещественного и чисто мнимого чисел образует единое стройное целое – мир комплексных чисел , находящий себе наглядную иллюстрацию в цельном и законченном образе ко м плексной плоскости . Вряд ли можно подыскать другой пример , который с такой яркостью , наглядностью , логической простотой и вместе с такой исчерпывающей полнотой мог бы иллюстрировать диалектические законы развития математических понятий. Понятие числа являе тся основным стержнем всего школьного курса математики , пронизывающим этот курс от первого до последнего класса . И , конечно , только в старших классах уместен достаточно полный , систематизирующий ретроспективный взгляд на общую картину завершившегося эволю ц ионного процесса. Существуют различные подходы к введению понятий комплексных чисел . Предлагаем для образовательного курса формально – логическую теорию . Не можем согласиться с таким изложением теории комплексных чисел , при котором определение новых чисел и действий над ними сразу даются в геометрической форме , т.к . со всех точек зрения комплексное число должно войти в сознание учащихся прежде всего как объект арифметики , т.е . как новое расширенное понятие числа , а не как геометрическое понятие , лишь в пос л едствии получающее арифметическое истолкование. Цель данной работы развивать мышление старшеклассников через формирование нового понятия – понятия комплексного числа. Задачи : - исследовать особенности математического мышления старшеклассников ; - исследова ть процесс формирования понятий на материале темы “Комплексные числа”. Глава 1. Психолого-педагогические основы обучения и обоснование введения темы “Комплексные числа” в общеобразовательный курс средней школы 1.1. Мышление и учебная деятельность 1.1.1. Определение понятия мышление Прочное усвоение знаний невозможно без целенаправленного развития мышления , одной из основных задач современного школьного обучения. В психологии мышление определяется как процесс познавательной деятельности индивида , характе ризующийся обобщенным и опосредованным отражением действительности (24), как особого рода теоретическая и практическая деятельность , предлагающая систему включенных в неё действий и операций ориентировочно – исследовательского , преобразовательного и позна в ательного характера (16), как социально - обусловленный , неразрывно связанный с речью психологический процесс поисков и открытия существенно нового (19). Сущность его в отражении : - общих и существенных свойств предметов и явлений , в том числе и таких сво й ств , которые не воспринимаются непосредственно ; - существенных отношений и закономерных связей между предметами и явлениями. Мышление играет поистине огромную роль в познании . Оно расширяет границы познания , дает возможность выйти за пределы непосредственн ого опыта ощущений и восприятия , знать и судить о том , что человек непосредственно не наблюдает , не воспринимает . Оно позволяет предвидеть наступление таких явлений , которые в данный момент не существуют . Мышление перерабатывает информацию , которая содерж и тся в ощущениях и восприятии , а результаты мыслительной работы проверяются и применяются на практике (8). Отличие мышления от других психологических процессов состоит также в том , что оно почти всегда связано с наличием проблемной ситуации , задачи , которую нужно решить , и активным изменением условий , в которых эта задача задана . Мышление в отличие от восприятия выходит за пределы чувственно данного , расширяет границы познания . В мышлении на основе сенсорной информации делаются определенные теоретические и п рактические выводы . Оно отражает бытие не только в виде отдельных вещей , явлений и их свойств , но и определяет связи , существующие между ними , которые чаще всего непосредственно , в самом восприятии человеку не даны . Свойства вещей и явлений , связи между н и ми отражаются в мышлении в обобщенной форме , в виде законов , сущностей. На практике мышление как отдельный психический процесс не существует , оно незримо присутствует во всех других познавательных процессах : в восприятии , внимании , воображении , памяти , реч и . Высшие формы этих процессов обязательно связаны с мышлением , и степень его участия в этих познавательных процессах определяет их уровень развития. Специфическим результатом мышления может выступить понятие – обобщенное отражение класса предметов в их на иболее общих и существенных особенностях (16). 1.1.2. Особенности мышления старшеклассников Более сложные содержание и методы обучения старшеклассников требуют от них и более высокого уровня самостоятельности , активности , организованности , умений применя ть на практике приемы и операции мышления . Мышление становится более глубоким , полным , разносторонним и всё более абстрактным ; в процессе знакомства с новыми приёмами умственной деятельности модернизируются старые , освоенные на предыдущих ступенях обучени я . Овладение высшими формами мышления способствует выработке потребности в интеллектуальной деятельности , приводит в конечном счете к пониманию важности теории и стремлению применять её на практике. Для старших школьников важна значимость самого учения , его задач , целей , содержания и методов . Старшеклассник сначала старается понять значимость приема мыслительной деятельности , а затем уже и освоить его , если он действительно значим . Изменяются и мотивы учения , т.к . они приобретают для старшеклассника важный ж изненный смысл. Ведущее значение в мышлении старшеклассника занимает абстрактное мышление , но роль конкретного мышления отнюдь не умаляется : приобретая обобщенное значение , конкретное мышление выступает в виде технических образов , схем , чертежей и т.п ., он о становится носителем общего , а общее выступает как выразитель конкретного . Овладение абстрактными и теоретическими знаниями приводит к изменению у старшеклассников самого течения мыслительного процесса . Мыслительная деятельность отличается у них высоким уровнем обобщения и абстракции , учащиеся стремятся к установлению причинно – следственных связей и других закономерностей между явлениями окружающего мира , проявляют критичность мышления , умения аргументировать суждения , более успешно осуществляют перено с знаний и умений из одной ситуации в другие . В ходе усвоения учебного материала старшеклассники стремятся самостоятельно раскрывать отношения общего и конкретного , выделять существенное , а затем формулировать определения научных понятий. Все сказанное гово рит о высокой степени развития теоретического мышления , многостороннем и глубоком проявлении внутренней речи , “доказывающего” мышления . Мышление юношей и девушек становится диалектическим : они не только осознают предмет и содержание мыслительной деятельно с ти и рассматривают явления , события , процессы в непрерывном движении , изменениях и превращениях , но и начинают понимать некоторые закономерности своего мышления , сознательно используют операции и приемы мышления и пытаются совершенствовать их в процессе у ч ебной деятельности. Однако в некоторых исследованиях отмечаются и недостатки мышления старшеклассников . Так , немалое их число проявляют склонность к необоснованным рассуждениям , умозрительным филосовствованиям , оперированию абстрактными понятиями в отрыве от их реального содержания , к выдвижению оригинальных идей , вытекающих из неопределенных ассоциаций или фантастических вымыслов и домыслов . Нередки случаи , когда существенное оценивается как менее значимое , чем несущественные , не всегда правильно или шир о ко проводится перенос знаний , наблюдается слабое развитие речи , склонность к некритическому отношению к усваиваемым знаниям . Встречаются хорошо успевающие ученики , которые преувеличивают свои умственные способности и поэтому успокаиваются на достигнутом . Н о все это , как обычно указывают авторы , касается только меньшинства старшеклассников или их отдельных представителей , а основная масса достигает достаточно высокого уровня развития мыслительных способностей и хорошо подготовлена к дальнейшей учебной и поз н авательной деятельности (21). 1.1.3. Определение учебной деятельности Деятельность можно определить как специфический вид активности человека , направленный на познание и творческое преобразование окружающего мира , включая самого себя и условия своего сущ ествования . В деятельности человек создает предметы материальной и духовной культуры , преобразует свои способности , сохраняет и совершенствует природу , строит общество , создает то , что без его активности не существовало в природе (16). Деятельность людей многообразна , но при этом её можно свести к трём основным видам : учебной , трудовой и игровой. Учебная деятельность представляет собой процесс , в результате которого человек приобретает новые или изменяет существующие у него знания , умения и навыки , соверше нствует и развивает свои способности . Такая деятельность позволяет ему приспосабливаться к окружающему миру , ориентироваться в нем , успешнее и полнее удовлетворять свои основные потребности интеллектуального роста и персонального развития (17). Учение – эт о деятельность , направленная на приобретение знаний , умений и навыков , необходимых для широкого образования и последующей трудовой деятельности . Учебная деятельность школьника осуществляется под руководством учителя . Школьник активно усваивает знания , акт и вно приобретает умения и навыки . Усвоение знаний – это проявление активной мыслительной работы учащегося . Усвоение материала требует непременного умения анализировать его , сравнивать , обобщать , выделять главное , существенное , находить сходное и различное. Усвоение знаний связано с применением знаний на практике . Знания учащегося только тогда считаются усвоенными , когда он умеет применять их на практике. Содержание учебной деятельности определяется учебными планами и программами , разработанными для каждого г ода обучения с учетом возрастных особенностей психики школьника и его физических возможностей (8). Для того , чтобы быть успешной , т.е . приводить к научению при минимальных затратах усилий и средств со стороны обучающего и обучаемого , учебная деятельность должна соответствовать следующим основным требованиям : - быть как для обучающего , так и для обучаемого разносторонне мотивированным процессом , т.е . побуждать учителя как можно лучше обучать , а учащегося как можно старательнее учиться ; - иметь развитую и ги бкую структуру ; - осуществляться в разнообразных формах , позволяющих преподавателю наиболее полно реализовать свой творческий педагогический потенциал , а учащемуся использовать свои индивидуальные возможности для усвоения передаваемых ему знаний , умений и навыков ; - выполняться при помощи современных технических средств обучения , освобождающих как преподавателя , так и учащихся от необходимости осуществления множества рутинных операций (17). Учение как специфический вид деятельности имеет свою структуру , за кономерности развития и функционирования . Возможность её осуществления обусловлена способностью человека регулировать свои действия в соответствии с поставленной целью. Целью учения является познание , сбор и переработка информации об окружающем мире , в кон ечном итоге выражающиеся в знаниях , умениях и навыках , системе отношений и общем развитии. Важнейшим компонентом учения являются мотивы , т.е . те побуждения , которыми ученик руководствуется , осуществляя учебную деятельность. Главный инструмент познания – мы шление . Поэтому , учитывая его взаимосвязь с другими познавательными процессами не умаляя их роли в организации учения школьников , основное внимание в процессе руководства их деятельностью необходимо уделять развитию мыслительных действий и конкретных мысл и тельных операций (анализ , синтез , сравнение , классификация , обобщение и др .) (26). 1.1.4. Учебная деятельность старшеклассников Учебная деятельность остается основным видом деятельности старшего школьника . Углубляется содержание обучения и вводятся новые учебные разделы , также учебная деятельность старшеклассников предъявляет гораздо более высокие требования к их активности и самостоятельности . Для того , чтобы достаточно глубоко усваивать программу , необходимо развитие теоретического мышления . Трудности, которые нередко испытывает в процессе учения старшеклассник , прежде всего связаны с неумением учиться в этих новых условиях. В.А . Сухомлинский отмечал , что трудности учения в старших классах связаны со сложившейся ранее установкой на запоминание , заучивани е обобщений , не основанных на самостоятельном анализе фактов . Причина трудностей , которые испытывают некоторые ученики – старшеклассники , заключается , по мнению педагога , в неумении пользоваться обобщающими понятиями в целях познания окружающей действител ь ности , а неумение это рождается потому , что обобщающие понятия , выводы , умозаключения не формируются путем исследования явлений и фактов , а заучиваются . Старшие ребята сами отмечают , что многие из них плохо подготовлены к обучению в X - XI классах . У них нет умения самостоятельно работать с учебными материалами , они не умеют обрабатывать материалы , поступающие из других , внеучебных источников. Это противоречие между уровнем учебной деятельности , который сложился и закрепился у некоторых учащихся за время обучения в средних классах школы , и требованиями , которые предъявляет учебная деятельность в старших классах , и является движущей силой умственного развития старших школьников . Противоречие это по мере перехода учащихся на новый , более высокий уровень уче б ной деятельности , связанный с развитием теоретического мышления , навыков самообучения. Отношение старших школьников к учению тоже изменяется . Ученики взрослеют , обогащается их опыт ; они понимают , что стоят на пороге самостоятельной жизни . Растет их сознате льное отношение к учению , которое приобретает непосредственный жизненный смысл . Старшеклассники отчетливо сознают , что необходимым условием полноценного участия в будущей трудовой жизни общества является наличный фонд знаний , умений и навыков , полученное в школе умение самостоятельно приобретать знания , или , как говорят , самообучаться . Потребность в знаниях – одна из самых характерных черт современного старшеклассника. В числе некоторых других особенностей отношения к учению старших школьников следует отмет ить избирательное отношение к учебным предметам , причина этому – наличие у многих юношей и девушек сложившихся интересов , связанных с их профессиональной направленностью. В последнее время появляется явное повышение интереса к учению . Это связано с тем , чт о наметились определенные сдвиги в организации учебного процесса : во-первых , учителя успешнее реализуют принцип активного и самостоятельного мышления учащихся , что повышает их интерес к учению ; во-вторых , обучение начинает больше индивидуализироваться : уч и теля находят возможности приобщать к активной деятельности сильных учащихся и уделять больше внимания слабым (9). Можно ли ускорить умственное развитие учащихся , и если да , то каким образом это сделать ? Думается , что с точки зрения психолого-педагогических возможностей развития , которыми обладают школьники старших классов , с позиций совершенствования обучения и научения на этот вопрос следует дать утвердительный ответ . Интеллектуальное развитие детей можно ускорить по трём направлениям : понятийный строй мы ш ления , речевой интеллект и внутренний план действий (17). 1.2. Процесс формирования понятий в учении 1.2.1. Определение понятий Развитию мышления способствует работа над научными понятиями . Понятие – это продукт мышления , оно отражает реальный мир , предст ает в познании как средство общения , т.е . специфически человеческой активности , выражается посредством речи , записи или символом . Понятие – это вывод , итог познания реальных процессов и явлений . Мысль , в которой отражаются общие , отличительные (специфичес к ие ) признаки предметов и явлений действительности (21). Понятие – форма научного познания , отражающая существенное в изучаемых объектах и закрепляемая специальными терминами . В математике понятие обозначается часто не только термином (слово или группа слов ) – названием , но и символом – знаком . Понятие – это мысленное воспроизведение объекта (12). Термин “понятие” обычно применяется для обозначения мысленного образа некоторого класса вещей , процессов , отношений объективной реальности или нашего сознания. Мат ематические понятия отражают в нашем мышлении определенные формы и отношения действительности , абстрагированные от реальных ситуаций (14). Итак , понятие – это форма мышления , в которой отражены существенные (отличительные ) свойства объектов изучения (13). Источниками образования понятий являются : жизненный опыт учащихся , их повседневные наблюдения , восприятие различной информации , здравый смысл и бытующие устаревшие традиции (всё это можно отнести к стихийному образованию понятий ); специальное формирование научных понятий учителями на уроках , усвоение понятий учащимися в процессе самостоятельной работы (в этом случае не исключается использование ассоциаций , имеющих случайный характер и приводящих к ошибкам ). Для образования понятия необходимо знать мыслитель ные операции и уметь ими пользоваться . Без анализа действительности – предметов и явлений – невозможно глубоко изучить их , без синтеза – соединить разъединенные части в единое целое , без обобщения – сделать вывод , а затем сформулировать понятие . В процесс е изучения реальной действительности формирование понятий – цель мысленной деятельности человека , а знание операций мышления – средство , с помощью которого достигается эта цель . Но в сложном процессе образования понятия сами мыслительные операции учащегося непрерывно совершенствуются , модернизируются , поднимаются на более высокий уровень . Это можно использовать в учебной деятельности . Теперь развитие операций мышления учащегося становится целью , а образование понятий – средством , способствующим её достижен и ю. Понятие характеризуется содержанием , объемом , связями (и отношениями ) с другими понятиями. Содержание понятия – это множество всех существенных признаков данного понятия. Объем понятия – это множество объектов , к которым применимо данное понятие . По объ ему различают единичные понятия (объем их равен единице ), общие понятия (их объем больше единицы ) и понятия – категории – понятия самой широкой общности. Между содержанием и объемом понятия существует обратная зависимость : чем шире содержание понятия , тем уже его объем , и , наоборот , чем уже содержание , тем шире его объем. Связи и отношения между понятиями отражают действительно существующие разнообразные связи между явлениями природы , общества и мышления человека . Одни из них являются ближними , существенным и , другие – отдаленными , опосредствованными. В логике понятия делят на единичные и общие , на конкретные и абстрактные , на относительные и безотносительные. Обобщением понятия называется переход от менее общих понятий к более общим . Оно происходит путем отб расывания основных признаков понятия , т.е . признаков , принадлежащих всем объектам , входящим в объем обобщаемого понятия . Ограничением (конкретизацией ) понятия называется , наоборот , переход от более общих понятий к менее общим , объем понятия при этом сужае т ся , а содержание расширяется. Понятие образуется при помощи операций анализа и синтеза , абстракции и обобщения . Содержание понятия раскрывается путем описания или с помощью определения , а объем – с помощью классификации (21). Процесс раскрытия содержания п онятия состоит в перечислении его признаков . Перечисление необходимых и достаточных признаков понятия , сведенных в связное предложение (речевое или символическое ), есть определение понятия (математического объекта ). Каждый из признаков , входящих в определ е ние , должен быть необходим , а все вместе – достаточны для установления данного понятия . В определении должно раскрываться основное содержание понятия . В нем не должно содержаться лишних слов ; не должно быть и пропусков (13). К отысканию ближайшего рода сле дует стремиться потому , что в таком случае мы подходим ближе к определяемому понятию , его объему и благодаря этому уменьшается совокупность видовых признаков в определении . Такое определение состоит из определяемого понятия , логической связки и родового п о нятия с видовыми признаками . Определение будет логически правильным , если между двумя его основными составными частями существует отношение равенства . Иначе говоря , по отношению друг к другу не должны быть не слишком широкими , ни слишком узкими (если упущ е н один из существенных признаков или включен признак , присущий не всем определяемым объектам ) (12). Определяя понятия , руководствуются правилами : - определение должно быть соразмерным , т.е . объем определяемого понятия должен быть равен объему определяющего понятия ; - родовое понятие должно быть ближайшим родом по отношению к определяемому понятию ; - видовые отличия должны быть присущи только определяемому понятию ; - определение должно быть кратким и ясным (21). Существуют логические формы , которые не являют ся определениями , но близки к определению , иногда заменяют или дополняют его. Описание понятия обычно применяется в тех случаях , если невозможно или нецелесообразно вводить определение . Таким способом вводятся первичные (основные ) математические понятия . В определении определяемое понятие сводится к уже известному понятию , но самое первое понятие каждой науки не к чему сводить , поэтому ввести его через определение невозможно. Описание понятия может не только заменять определение , но и дополнять его такой ин формацией , которая конкретизирует понятие , расширяет связи с другими понятиями , полнее раскрывает его содержание , помогает учащимся глубже понять и прочнее усвоить новое понятие (12). 1.2.2. Формирование и усвоение понятий Формирование понятий – сложный психологический процесс , начинающийся с образования простейших форм познания – ощущений – и протекающий часто по следующей схеме : ощущения – восприятие – представление – понятие. Обычно разделяют этот процесс на две ступени : чувственную , состоящую в образо вании ощущений , восприятия и представления , и логическую , заключающуюся в переходе от представления к понятию с помощью обобщения и абстрагирования. Заключительным этапом формирования понятия , как правило , является его определение (14). Процесс формировани я понятия – это длительный и сложный процесс , которому следует уделять достаточное внимание . Важным при формировании понятия является усвоение его существенных признаков . Словесное определение понятия должно быть итогом работы по усвоению существенных при з наков . Однако часто бывает так : дается словесное определение понятия , и оно сразу же используется в дальнейшей работе , не смотря на то , что не все учащиеся достаточно хорошо усвоили его . Излишнее преувеличение роли словесного определения является одной из причин пробелов в знаниях учащихся. Большим недостатком является традиция иллюстрировать определение понятия на одном , двух частных примерах , вместо того чтобы рассмотреть все существенные признаки понятия . Такое невнимание ведет к тому , что учащиеся главн ым образом обращают внимание на несущественные признаки . Лучшему усвоению существенных признаков понятия способствует варьирование несущественных признаков. Основное внимание должно быть направлено не на заучивание определений , а на умение определять понят ия (6). Важно довести до сознания учащихся , что научные понятия изменчивы : определение понятия – это лишь один из начальных этапов его формирования , а далее идет процесс развития понятия – постепенное уточнение и усвоение содержания и объема понятия , его с вязей и отношений с другими понятиями. Для формирования научных понятий учителю необходимо знать характеристики понятия как логической категории ; способы образования и развития понятий ; источники их образования ; показатели , уровни и условия усвоения поняти й учащимися , а также критерии способов их формирования и т . д. Выбор методов формирования научного понятия не может быть произвольным или навязанным учителю , если даже он вытекает из самого содержания учебного материала. Для успешного усвоения известных по нятий и образования новых , неизвестных для каждого предмета указываются необходимые условия и система упражнений , которые конкретизируются в зависимости от ряда факторов : сложности понятия , возможностей учащихся , их подготовленности по другим дисциплинам и т . п. К основным критериям усвоения понятий можно отнести : полноту усвоения содержания понятий (количество усвоенных учащимися признаков понятия ), усвоение объема понятия , полноту усвоения связей и отношений данного понятия с другими ; умение оперировать п онятием в решение заданного класса задач , применять их к решению учебно-познавательных и практических задач , что предполагает активную мыслительную деятельность учащихся (21). Каждое понятие должно быть правильно понято , сознательно и четко усвоено всеми у чащимися ещё на уроке . Эта цель должна достигаться уже в процессе введения понятия , но понятие должно закрепляться на данном и повторяться на последующих уроках путем воспроизведения учащимися определения (или описания ), приведения иллюстрирующих и конкре т изирующих его примеров , проведение логического анализа определения и другой творческой работы , использование понятия в суждениях и умозаключениях . Контроль за усвоением понятия осуществляется обычно в виде опроса учащихся , при котором нужно , как правило , т ребовать подтверждения определения примерами , причем не только готовыми , взятыми из учебника , но и придуманными самим учеником . Это должно стать обязательным дидактическим требованием , методическим правилом в преподавании математики в школе . Ученики должн ы знать его и при подготовке к занятиям дома подыскивать свои примеры к вновь введенным или повторяемым математическим понятиям . Эта творческая мыслительная работа развивает мышление школьников и способствует сознательному , глубокому и прочному усвоению су щности , содержания и объема понятия , исключает его формальное изучение , механическое заучивание определения. Каждый ученик должен знать определения изученных понятий , однако требовать заучивания формулировок понятий не следует , т.к . это незаметно может при вести к формализму . Надо ориентировать школьников на смысловое , логическое запоминание , которое должно стать результатом осмысливания определения , его структуры в процессе изучения и применения . Выделение родового понятия и видовых признаков , подыскание н е скольких своих по возможности разнообразных примеров и проверка их на предмет полного удовлетворения всем требованиям определения – эффективное средство достижения сознательного усвоения понятия и его определения . Необходимо постепенно раскрывать перед уч а щимися общую логическую структуру определения , учить самостоятельно конструировать его для новых понятий. Ученики должны знать , что дословное соблюдение формулировки , данной в учебнике , весьма желательно , хотя от её формы можно отступить , передать частично “своими словами” , но всё содержание книжной формулировки обязательно сохранить точно . Когда ученик формулирует определение “своими словами” , здесь скорее возможны ошибки , которые помогают выявить значение отдельных необходимых элементов определения и про б елы в усвоении понятия , с тем , чтобы неотложно устранить их . Заученная формулировка может скрывать подобные пробелы . Учитель должен учить школьников выражать мысли “ своими словами” , поощрять их к этому , терпеливо подводить к самостоятельному исправлению о шибки . При дословных книжных формулировках особенно необходимо проверять сознательность их усвоения учащимися . На примерах таких формулировок , в которых нельзя опустить ни одного слова , учитель прививает ученикам вкус к логической культуре мышления и речи, учит их выражаться лаконично и точно . Важно учить школьников оттачивать собственные формулировки , доводить их до лучших образцов. Нельзя допускать поспешности при введении новых понятий , особенно если они сложны , трудны для учащихся и обладают высокой сте пенью абстракции . Практика показывает , что время , дополнительно затраченное при введении нового понятия на всестороннее , глубокое его изучение и сознательное усвоение , окупается в дальнейшем благодаря более легкому и результативному усвоению последующих с в язанных с этим понятием вопросов. При всех видах повторения продолжается работа по дальнейшему усвоению математических понятий . Главное внимание при этом уделяется не воспроизведению определений , а различным видам творческой работы учащихся с понятиями . Та к , например , при обобщающем повторении полезны упражнения на классификацию понятий и составление их “родословных”. Подобные примеры , с одной стороны , лучше подчеркивают существенные элементы принятых в школьном курсе определений и соотношение понятий , а с другой – расширяют кругозор учащихся и придают большую гибкость мышлению (12). Т.о . мы понимаем под мышлением социально обусловленный процесс познавательной деятельности , неразрывно связанный с речью , характеризующийся обобщенным и опосредованным отражение м действительности. Учебную деятельность мы определяем как процесс , в результате которого человек приобретает новые или изменяет существующие у него ЗУН , совершенствует и развивает свои способности. Специфические особенности мышления у старшеклассников : мы шление становится более глубоким , полным и разносторонним . Овладение его высшими формами способствует выработке потребности в интеллектуальной деятельности . Ведущее значение занимает абстрактное мышление , но роль конкретного не умаляется , т.е . степень раз в ития теоретического мышления высока . Старшеклассники не только осознают предмет и содержание мыслительной деятельности , но и начинают понимать некоторые закономерности своего мышления , сознательно используют его операции и приемы , и совершенствовать их в п роцессе учебной деятельности. Учебная деятельность старшеклассников предъявляет высокие требования к их умственной активности и самостоятельности . Старший школьный возраст очень благоприятен для развития математических научных способностей . Под влиянием сп ецифической для старшеклассника организации учебной деятельности существенно изменяется мыслительная деятельность , характер умственной работы . В эти годы завершается формирование когнитивных процессов , мысль окончательно соединяется со словом . Наряду с эт и м идет активный процесс формирования научных понятий , содержащих в себе основы научного мировоззрения человека в рамках тех наук , которые изучаются в школе . Интеллектуальное развитие детей можно ускорить по трём направлениям : понятийный строй мышления , ре чевой интеллект и внутренний план действий. Глава 2. Методические основы введения темы “Комплексные числа” в образовательный курс 2.1. Методика преподавания математики как наука Методика преподавания математики – педагогическая наука и , со ответственно , учебная дисциплина , исследующая закономерности обучения математики вообще , закономерности обучения математике в школе в частности (5), наука о математике как учебном предмете и закономерностях процесса обучения математике учащихся различных возрастных групп (14) на определенном уровне её развития в соответствии с целями обучения , поставленными обществом (13). Методика преподавания математики занимается прежде всего изучением , разработкой , усовершенствованием различных методов и форм преподава ния математики в школах , а также многообразными организационными вопросами , возникающими при применении этих методов и форм на практике . Эта дисциплина выясняет , как обеспечить прочные систематизированные знания и навыки в объеме , установленном программой, тратя на это минимум времени и сил , и как обеспечить достижение тех воспитательных целей , какие ставит себе изучение математики . Методика преподавания математики изучает и систематизирует опыт лучших учителей и даёт возможность начинающему учителю избежа т ь многих ошибок , легко допускаемых на первых порах и приводящих к большим потерям для учащихся . Исходя из конкретных задач , стоящих перед учителем математики , имеющим класс с определенным составом учащихся , определенную программу , определенные учебники , т в ердое расписание , методика устанавливает способы наилучшего использования всех этих конкретных условий для достижения поставленной цели . Кроме того , она накопляет также опыт учителей , говорящий о желательности тех или иных изменений в учебных планах , прог р аммах , учебниках. Методика математики – наука , выводы которой немедленно и самым широким образом применяются на практике и являются базой искусства преподавания (3). Методика преподавания математики прежде всего должна ответить на несколько основных , тесно связанных между собой вопросов. Первый из них – зачем обучать математике ? Очевидно , ответ на этот вопрос можно получить , исходя из общих задач воспитания , которые , в свою очередь , определяются задачами , стоящими перед обществом на соответствующем этапе ег о развития. Второй вопрос – кого обучать математике ? С одной стороны , это вопрос о возрасте : когда целесообразно приступать к обучению детей математике и когда следует заканчивать изучение обязательной для всех программы ? С другой стороны это приобретающий все большую актуальность вопрос о “послешкольном” продолжении математического образования. Третий вопрос – каково содержание изучаемого курса математики ? Ответ на этот вопрос теснейшим образом связан с ответом на вопрос о целях обучения математике . Следуе т подчеркнуть , что , пожалуй , именно в математике вопрос о том , что именно и в каком объеме следует отобрать из сегодняшней науки для школьной программы , является наиболее сложным , важным и спорным . Наконец , четвертый вопрос – как обучать математике ? Очеви дно , что ответ на этот вопрос и составляет важнейшую часть курса методики преподавания математики , причем материал этот является наиболее подвижным , наиболее конкретным , наиболее близким учителю-практику , требует к себе поистине творческого отношения (5). Дидактика математики относится к группе педагогических наук и находится в тесной связи с педагогикой . Влияние на нее оказывают и математические науки . Также методика математики основывается на понятиях и законах психологии . Физиология высшей нервной деяте л ьности , в частности учение И.П. Павлова об условных рефлексах , находит применение в обучении математике . Плодотворное влияние на дидактику математики оказывает связь логикой , историей математики , с ее историей. Общая методика преподавания математики рассма тривает такие вопросы , как цели обучения , математические понятия и предложения , теоремы и их доказательство , задачи и их решение , методы и формы обучения , урок по математике и др . (12) 2.2. Образовательный курс алгебры и начал анализа 2.2.1. Цели обучения математике Цели обучения математике в общеобразовательной школе определяются её ролью в развитии общества в целом и формировании личности каждого отдельного человека. Исторически сложились две стороны назначения математического образования : практическая , связанная с созданием и применением инструментария , необходимого человеку в его продуктивной деятельности , и интеллектуальная , связанная с мышлением человека , с овладением определенным методом познания и преобразованием действительности с помощью математи ч еских методов. Практическая полезность математики обусловлена тем , что её предметом являются фундаментальные структуры реального мира : пространственные формы и количественные отношения – от простейших , усваиваемых в непосредственном опыте людей , до достато чно сложных , необходимых для развития научных и технологических идей . Без конкретных математических знаний затруднено понимание принципов устройства и использование современной техники , восприятие различного рода информации , малоэффективна повседневная пр а ктическая деятельность. Без базовой математической подготовки невозможна постановка образования современного человека . В школе математика служит опорным предметом для изучения смежных дисциплин . Всё больше специальностей , требующих высокого уровня образова ния , связано с непосредственным применением математики . Т.о . расширяется круг школьников , для которых математика становится профессионально значимым предметом. Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления , пр оявляющегося в определенных умственных навыках . В процессе математической деятельности в арсенал приемов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и дедукция , обобщение и конкретизация , анализ и синтез , классификация и сист е матизация , абстрагирование и аналогия . Объекты математических умозаключений и правила их конструирования вскрывают механизм логических построений , вырабатывают умения формулировать , обосновывать и доказывать суждения , тем самым развивают логическое мышлен и е . Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления , воспитании умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые . В ходе решения задач – основной учебной деятельности на уроках математики – развиваются творческа я и прикладная стороны мышления . Использование в математике наряду с естественным нескольких математических языков дает возможность развивать у учащихся точную , экономную и информативную речь , умение отбирать наиболее подходящие языковые (в частности , симв о лические , графические ) средства. Математическое образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека . Необходимым компонентом общей культуры в её современном толковании является общее знакомство с методами познания действительности , что вкл ючает понимание диалектической взаимосвязи математики и действительности , представление о предмете и методе математики , об особенностях применения математики для решения научных и прикладных задач . Изучение математики способствует эстетическому воспитанию человека , пониманию красоты и изящества математических рассуждений . Изучение математики развивает воображение , пространственные представления . История развития математического знания дает возможность пополнить запас историко-научных знаний школьников , сфо р мировать у них представления о математике как части общечеловеческой культуры . Знакомство с основными историческими вехами возникновения и развития математической науки , судьбами великих открытий , именами людей , творивших науку , должно войти в интеллектуа л ьный багаж каждого культурного человека. Роль математической подготовки в общем образовании современного человека ставит следующие цели обучения математике в школе : - овладение конкретными математическими знаниями , необходимыми для применения в практическо й деятельности , для изучения смежных дисциплин , для продолжения образования ; - интеллектуальное развитие учащихся , формирование качеств мышления , характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе ; - формирование п редставлений об идеях и методах математики , о математике как форме описания и методе познания действительности ; - формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры , понимание значимости математики для общественного прогресса. 2.2 .2. Организация учебно-воспитательного процесса Образовательные и воспитательные задачи обучения математике должны решаться комплексно с учетом возрастных особенностей учащихся , специфики математики как науки и учебного предмета , определяющей её роль и мес то в общей системе школьного обучения и воспитания . Учителю предоставляется право самостоятельного выбора методических путей и приёмов решения этих задач. Принципиальным положением организации школьного математического образования в основной школе становит ся уровневая дифференциация обучения . Это означает , что , осваивая общий курс , одни школьники в своих результатах ограничиваются уровнем обязательной подготовки , другие в соответствии со своими склонностями и способностями достигают более высоких рубежей . П ри этом достижение уровня обязательной подготовки становится непременной обязанностью ученика в его учебной работе . В тоже время каждый имеет право самостоятельно решить , ограничиться этим уровнем или же продвигаться дальше . Именно на этом пути осуществля ю тся гуманистические начала в обучении математике. В организации учебно-воспитательного процесса важную роль играют задачи . В обучении математике они являются и целью , и средством обучения и математического развития школьников . При планировании уроков следу ет иметь в виду , что теоретический материал осознаётся и усваивается преимущественно в процессе решения задач . Организуя решение задач , целесообразно шире использовать дифференцированный подход к учащимся : уровень трудности задач , предлагаемых слабым учащ и мся , должен определяться требованиями программы ; учащимся , уже достигшим этого уровня , целесообразно давать более сложные задачи . Дифференциация требований к учащимся на основе достижения всеми обязательного уровня подготовки способствует разгрузке школьн и ков , обеспечивает их посильной работой и формирует у них положительное отношение к учёбе. Следует всемерно способствовать удовлетворению потребностей и запросов школьников , проявляющих интерес , склонности и способности к математике . Развитие интереса к мат ематике является важнейшей целью учителя. Важным условием правильной организации учебно-воспитательного процесса является выбор учителем рациональной системы методов и приемов обучения , её оптимизация с учетом возраста учащихся , уровня их математической по дготовки , развитие общеучебных умений , специфики решаемых образовательных и воспитательных задач . В зависимости от указанных факторов учителю необходимо реализовать сбалансированное сочетание традиционных и новых методов обучения , оптимизировать применени е объяснительно - иллюстративных и эвристических методов , использование технических средств . Критерием успешной работы учителя должно служить качество математической подготовки школьников , выполнение поставленных образовательных и воспитательных задач , а н е формальное использование какого-то метода , приема , формы или средства обучения. Учебный процесс необходимо ориентировать на рациональное сочетание устных и письменных видов работы как при изучении теории , так и при решении задач . Внимание учителя должно б ыть направлено на развитие речи учащихся , формирование у них навыков умственного труда – планирование своей работы , поиск рациональных путей её выполнения , критическую оценку результатов. 2.2.3. Структура курса Цель изучения курса алгебры и начал анализа в X - XI классах – систематическое изучение функций как важнейшего математического объекта средствами алгебры и математического анализа , раскрытие политехнического и прикладного значения общих методов математики , связанных с исследованием функций , подготовка необходимого аппарата для изучения геометрии и физики. Курс характеризуется содержательным раскрытием понятий , утверждений и методов , относящихся к началам анализа , выявлением их практической значимости . При изучении вопросов анализа широко используются н аглядные соображения . Уровень строгости изложения определяется с учетом общеобразовательной направленности изучения начал анализа и согласуется с уровнем строгости приложений изучаемого материала в смежных дисциплинах . Характерной особенностью курса явля ю тся систематизация и обобщение знаний учащихся , закрепление и развитие умений и навыков , полученных в курсе алгебры , что осуществляется как при изучении нового материала , так и при проведении обобщающего повторения. Учащиеся систематически изучают тригоном етрические , показательную и логарифмическую функции и их свойства , тождественные преобразования тригонометрических , показательных и логарифмических выражений и их применение к решению соответствующих уравнений и неравенств , знакомятся с основными понятиям и , утверждениями , аппаратом математического анализа в объеме , позволяющем исследовать элементарные функции и решать простейшие геометрические , физические и другие прикладные задачи (22). 2.3. Логика темы “Комплексные числа” 2.3.1. Объяснительная записка Те ма “Комплексные числа” развивает и углубляет заложенные в основном курсе математики представления о многочленах и числах , в известном смысле завершая путь развития понятия числа в средней школе. Изучение этой темы преследует следующие основные цели : 1. пов ышение математической культуры учащихся ; 2. углубление представлений о понятии числа ; 3. дальнейшее развитие представлений о единстве математики как науки. Следует отметить важное прикладное значение данной темы ввиду обилия приложения изучаемых понятий ка к внутри самой математики , так и в различных областях физики , техники и других наук , использующих математический аппарат. После изучения темы “Комплексные числа” ребята должны иметь четкое представление о комплексных числах : знать алгебраическую , геометрич ескую и тригонометрическую формы комплексного числа . Учащиеся должны уметь производить над комплексными числами операции : сложение , умножение , вычитание , деление , возведение в степень , извлечение корня из комплексного числа ; переводить комплексные числа и з алгебраической формы в геометрическую и тригонометрическую. Тему “Комплексные числа” благоприятнее всего вводить в 10 классе в I ом полугодии , когда сформировано представление о действительном числе и пройден курс тригонометрии. Исходя из объема , трудност и материала ; а также из основных принципов дидактики , психологических и возрастных особенностей учащихся предлагаем : 2.3.2. Почасовое планирование Комплексные числа (14 ч ). § 1 Развитие понятия числа , комплексные числа, алгебраическая форма , действия над комплексными числами , заданными алгебраически . Комплексная плоскость . Геометрическая интерпретация комплексных чисел , их суммы и разности . 3 ч § 2 Действия над комплексными числами , заданными в алгебра ической форме . Решение задач . 2 ч § 3 Тригонометрическая форма комплексного числа . Переход от алгебраической формы к тригонометрической и обратно . 2 ч § 4 Действия над комплексными числами , заданными в тригонометрической форме . Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел . 3 ч § 5 Решение упражнений . Комплексные корни многочлена . 3 ч § 6 Зачет или дифферен цированная проверочная работа . 1 ч 2.3.3. Тематическое планирование Тема “Комплексные числа” содержит шесть параграфов . Ниже мы описываем каждый их них не углубляясь в теоретическую часть , она дана в приложении 2. Сначала формулируются цели данног о блока , основные знания и умения . Далее даются методические рекомендации и план занятий каждого блока. § 1 Развитие понятия числа , комплексные числа , алгебраическая форма , действия над комплексными числами , заданными в алгебраической форме . Комплексная пло скость . Геометрическая интерпретация комплексных чисел , их суммы и разности. Обучающая цель : Расширить понятие числа ; ввести понятие комплексного числа и действий над комплексными числами , заданными в алгебраической форме. Воспитательная цель : Прививать ин терес к математике . Кратко познакомить учащихся с историей развития комплексных чисел . Комплексные числа , а также функции комплексного переменного широко применяются в электротехнике , теории упругости , гидродинамике , картографии , аэродинамике , ядерной физ и ке , в теории автоматического регулирования и т.д. Основные знания и умения . Знать : определения комплексного числа , мнимой единицы , модуля комплексного числа ; формулировки основных соотношений ; алгебраическую форму комплексного числа ; определение сопряженны х и противоположных чисел ; действия над комплексными числами : сложение , умножение , вычитание , деление , геометрическую интерпретацию комплексных чисел , суммы и разности комплексных чисел . Уметь : выполнять действия над комплексными числами , заданными в алгеб раической форме ; строить комплексные числа на плоскости , строить их сумму и разность. Методические рекомендации . Вид занятий . Усвоение новых знаний. Мотивация познавательной деятельности учащихся . Необходимо показать практическую и теоретическую значимость изучаемого материала . Тема “Комплексные числа” – одна из ведущих прикладных тем курса математики для техникумов электрорадиоспециализации , её содержание углубляется в общетехнических предметах , например в теоретических основах электротехники , основах рад и отехники и др. Последовательность изложения нового материала . 1. Комплексные числа . Основные понятия и определения . Основные соглашения. 2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. 3. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. 4. Геом етрическая интерпретация суммы и разности комплексных чисел. План занятий. Повторение опорных знаний учащихся . Повторить с учащимися известные им сведения о числовых множествах. Более подробно следует остановиться на причинах появления новых числовых множе ств. Изучение нового материала . Необходимо сделать замечание : комплексные числа не сравнимы между собой по величине , т.к . точки , им соответствующие , не лежат на одной оси . Не имеет смысла вопрос , какое из двух комплексных чисел больше или меньше . Может идт и речь только о том , у какого из двух комплексных чисел больше модуль , комплексные числа сравнимы только по модулю. Обобщение и систематизация знаний . Необходимо отметить , что сумма , разность , произведение и частное комплексное число есть также комплексно е число . Действия сложения и умножения комплексных чисел подчиняются тем же законам , что и действительные числа , т.е . обладают коммутативностью , ассоциативностью и дистрибутивностью : а ) z 1 + z 2 = z 2 + z 1 ; z 1 z 2 = z 2 z 1 ; б ) ( z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 +( z 2 + z 3 ); ( z 1 z 2 ) z 3 = z 1 ( z 2 z 3 ); в ) z 1 ( z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 . Множество действительных чисел является подмножеством комплексных чисел , т.е . R C . Применение знаний при решении типовых примеров и задач . Система упражнений предлагается. Подведен ие итогов занятия . Домашнее задание . § 2 Действия над комплексными числами , заданными в алгебраической форме . Решение задач. Обучающая цель : Научить выполнять действия над комплексными числами , заданными в алгебраической форме. Воспитательная цель : В проце ссе решения упражнений воспитывать у учащихся сознательное отношение к процессу обучения , к овладению практическими умениями и навыками . При этом необходимо обращать внимание на воспитание продуктивного мышления и развития интереса к предмету. Основные зна ния и умения . Уметь : выполнять действия над комплексными числами , заданными в алгебраической форме ; строить комплексные числа на плоскости , строить их сумму и разность с помощью векторов. Методические рекомендации . Вид занятия . Формирование умений и навыко в. Мотивация познавательной деятельности учащихся . Опираясь на знания и первичные умения , полученные на предыдущих занятиях , обратить внимание учащихся на характер упражнений , на постепенное усложнение заданий , на связь с пройденными ранее темами. План зан ятий. Проверка домашнего задания . Провести комбинированный опрос . Фронтальный опрос провести по вопросам . Индивидуальный опрос полезно провести по карточкам. Применение знаний при решении типовых примеров и задач . Решить примеры. Творческое применение ЗУН . Самостоятельное применение ЗУН . Провести самостоятельную работу в 2 – 6 вариантах. Подведение итогов занятия . Домашнее задание . § 3 Тригонометрическая форма комплексного числа . Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обра тно. Обучающая цель : Дать понятие о тригонометрической форме комплексного числа , выработать у учащихся навыки перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно. Воспитательная цель : Обратить внимание учащихся , что умение пр авильно воспринимать , анализировать , сопоставить полученные знания с изученным ранее материалом , активно осмысливать и запоминать новую информацию – важнейшая черта будущего специалиста. Основные знания и умения . Знать : определения аргумента комплексного числа ; тригонометрической формы комплексного числа . Уметь : переходить от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно. Методические рекомендации . Вид занятия . Усвоение новых знаний. Мотивация познавательной деятельности учащихся . Нужно обратить внимание учащихся , что помимо алгебраической формы комплексного числа существуют ещё и другие его формы , где одной из характеристик комплексного числа является его модуль , который уже знаком учащимся , но пока не использовался в алгебраическ о й форме . На данных занятиях будет рассмотрена тригонометрическая форма комплексного числа , которая во многих случаях оказывается более удобной , чем алгебраическая. Последовательность изложения нового материала . 1. Тригонометрическая форма комплексного числ а. 2. Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно. План занятий. Проверка домашнего задания. Повторение опорных знаний учащихся . Повторить с учащимися алгебраическую форму комплексного числа ; геометрическую интерпрета цию комплексного числа ; модуль комплексного числа и основные соотношения , связанные с ним. Изучение нового материала . Полезно составить с учащимися алгоритм перехода из одной формы в другую. Применение знаний при решении типовых примеров и задач . Выполнить упражнения. Обобщение и систематизация знаний . Отметить равенство двух комплексных чисел в тригонометрической форме : два комплексных числа равны тогда и только тогда , когда их модули равны , а аргументы отличаются на число , кратное 2 р . Рассмотреть сопряжен ные комплексные числа , записанные в тригонометрической форме. Предложить учащимся ответить на вопросы : 1. Могут ли модулем комплексного числа одновременно быть числа r и – r ? 2. Могут ли аргументом комплексного числа одновременно быть углы и – ? Самостоятельное применение ЗУН . Провести проверочную работу в 2 – 6 вариантах. Подведение итогов занятия . Домашнее задание . § 4 Действия над комплексными числами , заданными в тригонометрической форм е . Формула Муавра . Извлечение корней из комплексных чисел. Обучающая цель : Научить учащихся выполнять действия над комплексными числами , заданными в тригонометрической форме. Воспитательная цель : Воспитывать положительное отношение к процессу обучения , раз вивать интерес к математике. Основные знания и умения . Знать : правила действий над комплексными числами в тригонометрической форме . Уметь : выполнять действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Методические рекомендации . Вид занятия . Усвое ние новых знаний. Мотивация познавательной деятельности учащихся . Тригонометрическая форма комплексного числа оказывается более удобной при умножении , делении , возведении в степень и извлечении корня из комплексного числа . Кроме того , она позволяет рассмот реть некоторые частные случаи , важные для прикладных вопросов. Последовательность изложения нового материала . 1. Действия над комплексными числами , заданными в тригонометрической форме (умножение , деление , возведение в степень , извлечение из корня ). 2. Реш ение упражнений. План занятий. Проверка домашнего задания . Провести фронтальный опрос по вопросам. Повторение опорных знаний учащихся . Повторить формулы тригонометрии. Изложение нового материала . Действия над комплексными числами в тригонометрической форме рассмотреть в следующем порядке : умножение , деление , возведение в степень , извлечение из корня ; ввести соответствующие формулы сформулировать правила действий . Решить примеры. Обобщение и систематизация знаний . Следует обратить внимание учащихся , что слож ение и вычитание комплексных чисел легко выполняются в алгебраической форме , а умножение , возведение в степень , деление и извлечение из корня рациональнее выполнять в тригонометрической форме. Применение знаний при решении типовых примеров и задач . Выполни ть действия. Самостоятельное применение ЗУН . Провести самостоятельную работу с выборочной проверкой. Подведение итогов занятия . Домашнее задание . § 5 Решение упражнений . Комплексные корни многочлена. Обучающая цель : Научить учащихся применять все формы ком плексного числа при решении упражнений. Воспитательная цель : Прививать интерес к математике . При подготовке и проведении самостоятельной и , впоследствии , зачетной работы необходимо показать роль личной ответственности каждого учащегося за качество выполнен ной работы , роль систематической работы в классе и дома по углублению и повышению прочности знаний , для формирования умений и навыков. Методические рекомендации . Вид занятия . Комбинированное. Мотивация познавательной деятельности учащихся . Овладение умения ми и навыками вычислений над комплексными числами является основным мотивом . Знакомство с комплексными числами имеет цель продолжать и развивать такие содержательно-методические линии , как линия развития понятия числа , линия математической логики и др . Дл я качественного выполнения зачетной работы необходимо повторить основные теоретические и практические положения темы. План занятий. Проверка домашнего задания . Провести комбинированный опрос . У доски отвечают четыре человека по карточкам – заданиям , а остал ьные решают упражнения , аналогичные домашним. Повторение опорных знаний учащихся . Повторить с учащимися основные положения темы. Применение знаний при решении типовых примеров и задач . Творческое применение ЗУН . Решить примеры . Самостоятельное применение ЗУН . Провести самостоятельную работу в 2 – 6 вариантах. Подведение итогов занятия . Домашнее задание . § 6 Зачет (25). Глава 3. Описание эксперимента 3.1. Методические основы и организация экспериментального исследования Формирование и развитие математичес кого мышления способствует выявлению и более эффективному развитию математических способностей школьников , подготавливает их к творческой деятельности вообще и в математике с её многочисленными приложениями в частности. Вообще интеллектуальное развитие дет ей можно ускорить по трём направлениям : понятийный строй мышления , речевой интеллект и внутренний план действий. Прочное усвоение знаний невозможно без целенаправленного развития мышления , которое является одной из основных задач современного школьного обу чения. Говоря об алгебраической культуре , заметим , что некоторые разделы алгебры , которые иногда даже не рассматриваются в математических классах , целесообразно вводить в общеобразовательную программу . Так , например , понятие числа в школе заканчивается изу чением действительных чисел , что можно считать существенным пробелом в математической подготовке учащихся , т.к . более естественным является введение понятия комплексного числа. Формирование у учащихся твердой убежденности в научной обоснованности и даже не избежности введения комплексных чисел вполне возможно и может вестись по нескольким различным линиям , учитывая то , что учащиеся обладают уже достаточно зрелым математическим развитием . В старших классах они в состоянии уже понимать и уважать нужды самой м а тематической науки , являющейся косвенным проявлением нужд и запросов самой практики. С целью объективной и доказательной проверки эффективности усвоения нового понятия на педагогической практике был проведен эксперимент. Цель исследования – развитие мышлен ия учащихся через формирование нового понятия – понятия комплексного числа . Объект исследования – учебная деятельность учащихся , учебно-познавательный процесс. Предмет исследования – процесс формирования понятия комплексного числа у учащихся. Гипотеза исс ледования – если учащиеся : - знают определение комплексного числа , различные формы комплексного числа ; - умеют выполнять арифметические действия над комплексными числами , записанными в алгебраической и в тригонометрической форме ; - умеют изображать компле ксные числа и действия над ними на комплексной плоскости ; - оперируют такими понятиями как комплексные числа , действия над комплексными числами , различные формы комплексного числа , корни многочленов , то формирование и усвоение понятия комплексного числа п рошло успешно. Цель , предмет и гипотеза исследования определили необходимость постановки и решения следующих задач : 1. Исследовать особенности математического мышления старшеклассников. 2. Исследовать процесс формирования понятий на материале темы “Комплек сные числа”. Логика и этапы исследования : I этап : диагностический . Зафиксировать успеваемость детей на момент исследования ; оценить уровни и качество усвоения понятий учащимися , а также получить необходимые сведения о достигнутом уровне их умений и навыков. В результате мы имеем объективную информацию об индивидуальной сформированности математического мышления испытуемых , их интересах и способностях. II этап : формирующий . С помощью системы методов , приемов , средств обучения и т.д . сформировать у учащихся п онятие комплексного числа. В итоге мы сможем оценить , как и на сколько успешно проходило усвоение нового понятия. III этап : диагностический . Используя методы опроса , изучая продукты деятельности учащихся , школьную документацию , сделать выводы о степени ус воения данного понятия . Подвести итог об исследовании особенностей математического мышления и процесса формирования понятия комплексного числа. Описание методов . Диагностические : I этап. Беседа проводилась с учителем математики , которая в 10 Є классе препод ает алгебру и геометрию . Беседа состоялась по истечении некоторого времени с начала педпрактики , после того , как произошло знакомство с классом , определилась группа испытуемых. Прежде был сформулирован приблизительный ряд вопросов , по которым нужно было по лучить необходимую информацию : - каков круг интересов ребят ; - сколько учащихся непосредственно проявляют интерес к математике , и чем это обосновано ; - к моменту исследования каков их уровень самостоятельности , активности , организованности ; - умеют ли у чащиеся применять на практике приемы и операции мышления ; - насколько развито абстрактное , конкретное , логическое и творческое мышление ; - насколько полно ребята усваивают содержание и объем понятий ; - насколько полно усваивают связи и отношения данного п онятия с другими ; - умеют ли оперировать понятием при решении предлагаемого ряда упражнений и задач , нестандартных заданий ; - чем можно объяснить , что в группу испытуемых вошли именно те или иные учащиеся. Учитель проявила заинтересованность , давала ясные , исчерпывающие ответы , которые ещё и подтверждала примерами из опыта работы с учащимися 10 а класса. Изучая школьную документацию , в частности , классный журнал – оценки по предметам алгебра и геометрия , фиксировалась успеваемость учащихся , что давало свед ения об их индивидуальности , например , какие учащиеся активны на уроке , у кого оценки выше при ответе у доски , а у кого – при самостоятельной работе , какие темы усваиваются лучше , какие труднее и т.д . III этап. Контрольная работа. После того , как было сформулировано у учащихся понятие комплексного числа , была проведена контрольная работа для того , чтобы оценить насколько успешно прошло усвоение нового понятия. В первое задание вошло 3 упражнения : а ) (3-2 i )(4+ i )+10 i ; б ) 1-i + 1+i ; в ) (2-i) і 1+ i 1- i В результате проверки мы сможем увидеть научились ли учащиеся выполнять арифметические действия : сложение , в ычитание , умножение , деление , возведение в степень комплексных чисел. Второе задание : х +у +(х-у ) i =8+2 i позволяет нам зафиксировать усвоено ли учащимися такое понятие как равенство комплексных чисел. С помощью третьего задания : а ) х 2 – 4х +5=0; б ) х 4 – 1=0 мы смо жем узнать научились ли ребята решать квадратные уравнения вне зависимости от дискриминанта , а так же путем разложения на множители. Проверяя четвертое задание : а ) z =5-2 i ; б ) – 1< Re z
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Одесса. Дерибасовская.
- Сарочка, ты слышала последнюю речь Кличко?
- Ой, не радуйте меня! Шо, таки последняя?!!
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Формирование понятия комплексного числа в курсе математики средней школы", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru