Курсовая: Кривые третьего и четвертого порядка - текст курсовой. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Курсовая

Кривые третьего и четвертого порядка

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Курсовая работа
Язык курсовой: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 3200 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникальной курсовой работы

Узнайте стоимость написания уникальной работы

8 Чувашский государственный университет им . И.Н . Ульянова Кафедра высш ей математики КУРСОВАЯ РАБОТА на тему : “Кривые третьего и четвертого порядка” Выполнили : студенты группы С -12-00 Пинаев И.Н. Искаков Р.Р. Проверила : доцент кафедры высшей математики к.ф.-м.наук Самарина С.М. Чебоксары , 2002 Декартов л ист 1. Особенности формы. Декартовым листом называется кривая 3-го порядка , уравнение которой в прямоугольной системе имеет вид (1) Иногда удобно пользоваться параметрическими уравнениям и декартова листа , которые можно получить , полагая y = tx , присоединяя к этому равенству равенство (1) и решая полученную систему относи тельно х и у, в результате будем иметь : (2) откуда следует , что декартов лист является рациональной кривой. Заметим еще , что полярное уравнение декартова листа имеет вид (3) Координаты х и у входят в уравнение декартова листа симмет рич но , откуда следует , что кривая симметрична относительно биссектрисы у =х. Обычное исследование на особые точки при водит к заключению , что начало координат является узловой точкой декартова листа . Уравнения касательных к алгебраической кривой в ее особой то чке , совпадающей с началом координат , можно получить , как известно , приравнивая нулю группу членов низшей степени из уравнения этой кривой . В нашем случае имеем З аху = 0, откуда получим х = 0 и у = 0 – искомые уравнения касательных в узловой точке . Эти ка сательные совпадают с координатными осями и , следовательно , в начале координат кривая пересекает сама себя под прямым углом . Легко видеть , что в первом координатном угле кривая делает петлю , которая пересекается с прямой у = х в точке Точки этой петли , в которых касательные парал лельны координатным осям , имеют координаты и ( c м . рис . 1) Для окончательного заключения о форме кривой следует еще найти асимптоту Заменяя в уравнении кривой у на приравняем нулю в полученном уравнении коэффициенты двух членов с высшими степенями х. Получим и b = - а . Таким образом , де картов лист имеет асимптоту у = — х — а ; следовательно , во 2-м и 4-м координатных углах ветви декартова листа уходят в бесконечность. Рис . 1 2. Свойства. Соглас но теоре ме Маклорена , если в трех точках алгебраи ческой кривой 3-го порядка , ле жащих на одной прямой , про вести касательные к этой кривой , то точки их пересечения с кривой будут лежать также на прямой линии . Применительно к декартову листу эта теорема д оказывается просто . Выведем с этой целью предварительно условие пребывания трех точек декартова листа , соответствующих значениям t 1 , t 2 и t 3 параметра , на одной прямой . Если уравнение прямой имеет вид y = kx + b , то значения параметра , соответствующие точкам пере сечения этой прямой с кривой , должны удовлетворять системе Система эта приводит к уравнению корни которого и буд ут искомыми значениями t 1 , t 2 и t 3 параметра , откуда следует , что (4) Это равенство и является условием пребывания трех точек M 1 ( t 1 ), M 2 ( t 2 ), М 3 ( t 3 ) декартова листа на одной прямой . Располагая этим условием , покажем справедливость теоремы Маклорена для декартово листа . Действительно , касательную в точке M 1 ( t 1 ) можно рассматривать как прямую , которая пересекает декар тов лист в двух совпадающих между собой точках , для которых t 2 = t 1 , и в третьей точке , для которой соответствующее значение параметра обозначим через T 1 . Условие (4) примет вид t 1 2 T 1 = - 1. Для касательных в точках М 2 и M 3 получим аналогичные соотношения t 2 2 T 2 = -1 и t 3 2 T 3 = -1 . Перемножая эти три равен ства , будем иметь ( t 1 t 2 t 3 ) 2 T 1 T 2 T 3 = -1 . откуда на основании (4) заключаем , что и T 1 T 2 T 3 = -1, т . е . точки N 1 ( T 1 ), N 2 ( T 2 ) и N 3 ( T 3 ) лежат на одной прямой. Определяя площадь , ограниченную петлей декартова листа , получим : 3. Способ построения. Заметим предварительно , что если ось симметрии декартова листа принять за ось абсцисс , то уравнение его примет вид (5) Пусть теперь имеется окружност ь с радиусом r и центром в точке и прямая х = - h . Возьмем произвольную точку Q этой окружности и проведем прямую QA и прямую QN , перпендикуляр ную к оси абсцисс (рис . 2). Из точки пересече ния R прямой QA с прямой х = -h проводим прямую RO до пересечения ее в точке Q 1 с прямой QN. Та ким образом , точке Q на окруж ности будет поставлена в соответ ствие точка Q 1 . Геометрическое место точек Q 1 представляет со бой декартов лист. Рис 2. Для доказательства заметим , что координаты точки Q можно записать в виде угол , состав ляемый радиусом круга , проведенным в точку Q, с положительным направлением оси абсцисс . В соответствии с этим уравнение прямой QA может быть записано в виде Полагая в этом уравнении х = - h , находим ординату точки R . Отсюда следует , что уравнение прямой RQ 1 запишется в виде (6) В то же время уравнение прямой Q 1 N имеет вид (7) Исключая из уравнений (6) и (7) параметр w , находим уравнение гео метрического места точек Q 1 в в иде Сопоставляя его с уравнением (5), заключаем , что найденное геомет рическое место точек является декартовым листом. Преобразование точек окружности в точки декартова листа , осу ществляе мое при таком его построении , называется преобразованием Маклорена . 4. Историческая справка. Впервые в истории математики кривая , названная впоследствии декартовым листом , определяется в письме Декарта к Ферма в 1638 г . как кривая , для которой сумма объемо в кубов , построенных на абсциссе и ординате каждой точки , равняется объему параллелепипеда , построенного на абсциссе , ординате и неко торой константе . Форма кривой устанавливается впервые Робервалем , который находит узловую точку кривой , однако в его пред с тавлении кривая состоит лишь из петли . Повторяя эту петлю в четырех квад рантах , он получает фигуру , напоминающую ему цветок с четырьмя лепестками . Поэтическое название кривой “лепесток жасмина” , однако , не привилось . Полная форма кривой с наличием асимпт о ты была определена позднее (1692) Гюйгенсом и И . Бернулли . Название “декартов лист” прочно установилось только с начала 18 века. Циссоида Диоклеса 1. Особенности формы. Среди многих способов образования циссоиды— кривой , открытой древними в поисках решения знамени той задачи об удвоении куба , мы остановимся сначала на простейшем . Возьмем окружность (называемую производящей ) с диаметром ОА =2а и касательную АВ к ней . Через точку О проведем луч ОВ и на нем отложим отрезок ОМ =ВС. Построенная таким обра зом точк а М принадлежит циссоиде . Повернув луч 0В на некоторый угол и проделав указанное построение , мы найдем вторую точку циссоиды , и т . д . (Рис . 3). Если точку О принять за полюс , то но откуда получаем полярное уравнение циссоиды (1) Пользуясь формулами перехода от полярных координат к декартовым , найдем у равнение циссоиды в пря моугольной системе : (2) Параметрические уравнения циссоиды можно получить , пола гая x=ty, тогда , на основании уравнения (2), придем к системе Рис . 3 Уравнение (2) показывает , что циссоида является алгебраической кривой 3-го порядка , а из уравне ний (3) следует , что она является рациональной кривой . Циссоида симметрична относи тельно оси абсцисс , имеет бесконе ч ные ветви ; касательная к производящей окружности , т . е . прямая х = 2а , служит для нее асимптотой ; начало координат является точ кой возврата 1-го рода. 2. Свойства. Кинематически циссоида может быть получена как траектория середины М катета ВС треугольни ка АВС, передвигаю щегося в плоскости чертежа так , что его вершина В скользит по оси ординат , а другой катет АС всегда проходит через неподвижную точку Е на оси абсцисс . (Рис . 4) Действительно , обозначив середину отрезка ОЕ через D , замечаем , что поскольку ВС =ЕО , ВСЕ = ВЕО, откуда /_ ВЕО = /_ СВЕ , и , следовательно , NBE — равнобедренный , а так как Е D =ЕО /2=ВС /2=ВМ, то отрезок DM параллелен отрезку BE . Пусть , да лее , точка К есть точка пересечения с продолжением отрезка DM пря мой , проходящей через точку В параллельно оси абсцисс . Опишем окружность с центром в начале координат и радиусом , равным OD , и проведем к ней касательную во второй точке пересечения с прямой ЕО. Она пройдет , очевидно , через точку К. Обозначив точку пересечения прямой DMK с окружностью через F , заметим , что тре угольники DOF и МВК равны между собой . Из равенства их сле дует , что DF = MK , а значит , и DM = FK . Последнее равенство и показывает , что г еометрическое место точек М будет циссоидой. Другие способы образования циссоиды основаны на ее соотноше ниях с параболой . Покажем в первую очередь , что циссоида яв ляется подэрой параболы относительно ее вершины. – уравнение данной параболы . Уравнение каса тельной в произвольной точке М ( , ) этой параболы можно записать в виде уравнение перпендикуляра , опущенного из Рис . 4. начала координат на эту касательную , будет координаты т очки N пересечения его с касательной определятся по формулам (4) Исключая из этих равенств параметр , мы получим уравнение выражающее циссоиду. Заметим далее , что координаты точки , симметричной началу коор динат относительно касательной к параболе у 2 = 2рх, получатся , если правые части формул (4) удвоить , и , следовательно , определятся формулами Исключая из этих равенств параметр , мы снова получим циссоиду с уравнением Отсюда следует , что циссоида является геометрическим местом точек , симметричных вершине параболы относительно ее каса тельных. Следует заметить , что геометрическое место точек , симметричны х началу координат относительно касательной к параболе , можно рас сматривать как траекторию вершины другой параболы , одинаковой с данной , которая катится по данной параболе . Таким образом , возни кает новый способ кинематического образования циссоиды как тр а ектории вершины параболы , которая без скольжения катится по другой такой же параболе. Остановимся на метрических свойствах циссоиды ; при этом нам будет удобно пользоваться параметрическими уравнениями циссоиды в виде Площадь , ограниченная циссоидой и ее асимптотой , равняется утроенной площади производящего круга ; действительно, Это соотношение получено было Гюйгенсом и независимо от него Ферма. Рис . 5. Определяя площадь криволинейного треугольника ОАМС (рис .5), найдем , интегрируя в границах до что она равна Если теперь провести касательные в точках А и С к производящему кругу , то площадь криволинейного треугольника CMANC будет равна Выражение , стоя щее в правой части , определяет утроенную площадь криволинейного треуголь ника CLANC. Итак , пл . CMANC =3 пл . CLANC. Это соотношение было открыто также Гюйгенсом . Объем тела , образованного вращением части плоскости , ограни ченной циссоидой и ее асимптотой , вокруг оси ординат определится по формуле Если учесть , что объем тора , получаемого от вращения производя щего круга вокруг оси ординат , равняется то из полученного результата следует , что объе м тела , получаемого вращением части плоскости , ограниченной циссоидой и ее асимптотой , вокруг оси ординат , в пять раз больше объема тора , полученного от вра щения производящего круга вокруг той же оси . Это соотношение было получено также Гюйгенсом. Пусть т еперь х с — абсцисса центра тяжести части плоскости , ограниченной циссоидой и ее асимптотой ; тогда по теореме Гюльдена будем иметь V == U • 2 х с , где V и U — соответственно объем и площадь , которые были определены выше . Подставля я их значения в соотношение Гюльдена , получим Таким образом , центр тяжести части плоскости , ограни чиваемой циссоидой и ее асимптотой , делит отрезок между вершиной и асимптотой на две части , отношение которых равно 5. Это соотношение позволяет в свою очередь определ ить объем тела , полученного вращением циссоиды вокруг ее асимптоты . По тео реме Гюльдена будем иметь Этот результат мож но истолковать также как объем тора , полученного от вращения производящего круга вокруг асимптоты . Таким образом , объем тела , полученного вращением циссоиды во круг ее асимптоты , равен объему тора , полученного от вращения производящего круга . Это соотнош е ние установлено впервые Слюзом. Длина дуги циссоиды от ее вершины до точки с абсциссой х определится по формуле 3. Приме нение циссоиды к решению делосской задачи . Как уже говорилось , циссоида была открыта древними в поисках решения делосской задачи об удвоении куба . История возникновения этой задачи , согласно легенде , передаваемой Эратосфеном , такова : на острове Делосе жите ли страдали от мора , посланного им богами ; по предсказанию оракула богов можно было умиротворить , удвоив объем жертвенника , имевшего форму куба . Суть задачи сводилась к определению ребра куба , объем которого был бы в два раза больше объема данного куба . Ч т о касается самого повода постановки задачи , то справедливо полагать , что “пифия находилась скорее под внуше нием математиков , нежели вдохновлялась самим богом” (Цейтен ), так как задача об удвоении куба являлась естественным перенесением в пространство пла н иметрической задачи о построении квадрата с пло щадью , в два раза большей площади данного квадрата , и , следовательно , могла скорее возникнуть в сознании математика , нежели в сознании оракула. Открытие циссоиды для целей решения делосской задачи при писывае тся Диоклесу , жившему в 3 веке до нашей эры . Воз можность найти графическим путем ребро куба с объемом , в два раза большим объема данного куба , усматривается из следую щих соображений . Пусть b – ребро данного куба , а В – ребро искомого ; тогда и , следовательно , Отсюда ясно , что графическое решение задачи должно свестись к построению Пе репишем для этой цели уравнение циссоиды в виде Заметим далее , что прямая отсекает от ка сательной отрезок (рис . 6) (5) и пересекает циссоиду в точке М , координаты которой удо влетворяют уравнению Это уравне ние можно рассматривать как уравнение прямой , проходящей через точку А (2а , 0) и отсекающей на оси ординат отрезок (6) Если теперь принять и на оси ординат отложить отрезок ОС == 2, соединить затем точку С с точкой А (1, 0), а точку пересечения прямой СА с циссоидой соединить с точкой О и продолжить полученный отрезок до пересечения с касательной , то , как это следует из ф ор мул (5) и (6), отрезок AD и будет равен Древние рассматривали только ту часть циссоиды , которая нахо дится внутри производящего круга . Вместе с дугой окружности производящего круга эта часть образует фигуру , напоминающую лист плюща , откуда проистекает название кривой . Наличие бесконечных ветвей у циссоиды было установлено в 17 веке Робервалем и неза висимо от него Слюзом . Кинематический способ образования циссоиды с помощью треугольник а приписывается Ньютону , который выполнил также спрямление циссоиды не только аналитическим путем , но и графическим. Рис . 6 Кардиоида 1. Уравнение . Кардиоиду можно определить как траекто рию точ ки , лежащей на окружности круга радиуса r , который катится по ок ружности неподвижного круга с таким же радиусом . Она будет представ лять собой , таким образом , эпициклоиду с модулем m , равным 1. Это обстоятельство позволяет сразу же записать параме трические уравнения кардиоиды , заменяя в ранее приведенных параметрических уравнениях эпициклоид модуль m единицей . Будем иметь : (1) Чтобы получить полярное уравнение кардиоиды , удобно пр инять за полюс точку А (рис .7), а полярную ось направить по оси абсцисс . Так как че тырехугольник AOO 1 M бу дет равнобедренной трапе цией , то полярный угол точки М окажется равным углу поворота производя щего круга , т . е . пар амет ру t. Учитывая это обстоя тельство , заменим во вто ром уравнении системы (1) у через sin t. Сокращая по лученное таким образом ра венство на sin t, получим полярное уравнение кардио иды Рис . 7 По виду этого уравнения можно заключить , что кардиоида является одной из улиток Па скаля . Она может быть определена , следовательно , как конхоида круга. Переводя уравнение (2) в прямоугольную систему координат , получим : (3) Из этого уравнения следует , что кардиоида является алгебраической кривой 4-го порядка. 2. Свойства . Прежде всего , поскольку кардиоида является эпи циклоидой с m =1, на нее можно перенести все свойства рассмот ренных нами в предыдущем параграфе эпициклоид. Вот эти свойства и характеристики. 1. Касательная в произвольной точке кардиоиды проходит через точку окружности производящего круга , диаметрально противопо ложную точке касания кругов , а нормаль — через точк у их касания. 2. Угол , составляемый касательной к кардиоиде с радиусом-вектором точки касания , равен половине угла , образуемого этим радиусом-вектором с полярной осью . Действительно Из этого соотношения непо средственно вытекает , что угол , составляемый касательной к кардио иде с осью абсцисс , равняется (как внешний угол треугольника AMN Рис .8). Располагая формулой можно доказать , что касательные к кардиоиде , проведенные в концах хорды , проходящей через полю с , взаимно перпендику лярны. Действительно , так как Рис . 8 Заметим еще , что геомет рическое место точек пересе чения этих касательных есть окружность Дей ствительно , уравнение первой касательной на основании урав нений (1) кардиоиды , будет иметь вид а второй касательной Ис ключая из этих уравнений параметр , получим уравнение указанной ок ружности. 3. Ра диус кривизны в произвольной точке кардиоиды опре делится по формуле (4) Можно показать также , что радиус кривизны равняется 2/3 по лярной нормали N в заданной точке . Действительно , откуда на основании (4) получаем Соотношение это может быть использовано для построения центра кривизны кардиоиды. 4. Эво люта кардиоиды , согласно общему свойству эволют эпи циклоид , будет также кардиоидой , подобной данной , с коэффициен том подобия , равным 1/3, и повернутой относительно данной на угол 180°. 5. Длина дуги кардиоиды от точки А до произвольной точки М определитс я по формуле (5) Если длину дуги отсчитывать от точки А 1 , диаметрально противопо ложной точке А , то формула для определения длины дуги может быть записана в виде (6) 6. Натуральное уравнение кардиоиды получится , если из равенств (4) и (6) исключить параметр . Оно будет иметь вид (7) 7. Площадь , ограниченная кардиоидой , определится по фор муле и , как видно , равна ушестеренной площади производящего круга . Длина всей кардиоиды определится по формуле и , как видно , равна восьми диаметрам производящего круга . Объ ем тела , полученного от вращения кардиоиды вокруг ее оси , равен Поверхность тела , полученного от вращения кардиоиды вокруг ее оси , равняется Мы видели , что кардиоида органически связана с окружностью . Она является к онхоидой круга и эпициклоидой . Она имеет с окруж ностью и иной характер родства — кардиоида является подэрой окружности относительно точ ки , принадлежащей этой окруж ности. Рис .9 Действит ельно , пусть ОМ есть перпендикуляр , опущенный на ка сательную к окружности с ради усом , равным 2 r , проведенную в точке N. Так как ОМ = OB + ВМ , или == 2r cos + 2 r , то геометрическим местом то чек М будет кардиоида с уравне нием = 2 r (1 + cos ). Заметим в заключение , что кар диоида относится также к семей ству синусоидальных спиралей , и отдельные свойства ее повторяют общие свойства этих кривых . Из этих свойств следует , в частности , что инверсия кардиоиды , относительно точки воз врата дает параболу. Астроида 1. Свойства. Астроида , как и рассмотренная выше кривая Штейнера , является частным случаем гипоциклоид , а именно , гипоциклоидой с моду лем m , равным 1/4. Она представляет собой , следовательно , траекторию точки , лежащей на окружно сти круга радиуса r , который ка тится по внутренней стороне друго го , неподвижного круга , радиус R которого в четыре раза больше. Параметрические уравне ния астроиды можно получить , пола гая в уравнениях гипоциклоиды , m =1/4. Вот эти уравнения : Рис . 10 где t, как и ранее , угол поворота производящего круга (рис . 10) Исключая из уравнений (1) параметр t, получим : (2) Из уравнения (2) следует , что астроида является алгебраической кри вой 6-го порядка. Параме трические уравнения (1) астроиды можно привести к виду (3) Исключая из этих уравнений параметр t, получим часто употребляе мый вид уравнения астроиды (4) Полагая в ранее выведенных общих соотношениях для циклои дальных кривых модуль m = -1/4, получим соответствующие соот ношения для астроиды : 1) радиус кривизны в произвольной точке астроиды опре деляется по формуле (5) 2) длина дуги аст роиды от точки А до произвольной точки M(t) определится по формуле (6) длина одной ветви равна а длина всей кривой 6R ; 3) для получения натурального уравнения астроиды за метим предварительно , что если началом отсчета длины дуги пола гать не точку А , для которой t = 0, а точку , для которой t = , то длина дуги определится формулой (6) исключая параметр t из уравнений (5) и (6), получим натуральное уравнение астроиды 4) эволюта астроиды есть также астроида , п одобная дан ной , с коэффициентом подобия , равным 2, повернутая относительно данной на угол /4 (рис .11) 5) площадь , ограниченная всей астроидой , равна объем тела , полученного от вращения астроиды , равняется 32/105 R 3 поверх ность тела , образованного вращением астроиды , равна Обратимся теперь к рассмотрению некото рых частных свойств астроиды. Астроида является огибающей отрезка постоянной длины , кон цы . которого скользят по двум взаимно перпендикулярным пря мым. Принимаем эти прямые за оси координат и , обозначая угол на клона скользящего отрезка ND=R через (рис .12), будем иметь уравнение прямой ND в виде (7) Дифференцируя это уравнение по параметру , получим : Исключая из последнего уравнения и уравнения (7) параметр , будем иметь уравнение огибающей в виде т . е . астроиду. Пр актически перемещение отрезка ND можно осуществить с по мощью так называемых кардановых кругов . Один из этих кругов с радиусом R неподвижен , а другой , с радиусом r , в два раза мень шим , катится по внутренней стороне неподвижного круга . Любые две диаметраль но противоположные точки N и D катящегося круга будут перемещаться по двум взаимно перпендикулярным диаметрам Ох и Оу неподвижного круга . Ясно , что огибающей диаметра катящегося круга и будет астроида. Рис . 11 Рис . 12 Рассмотренный способ образования астроиды можно истолковать также следующим образом . Прямоугольник ODCN, две стороны ко торого лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых , деформи руется так , что диагональ ег о сохраняет длину , равную R, огибаю щая диагонали и будет астроидой . Так как при этом перпендикуляр , опущенный из вершины С на диагональ DN, служит нормалью к оги бающей , то астроида представляет собой геометрическое место оснований перпендикуляров , опуще н ных из вершины С прямоуголь ника на его диагональ. 2. Свойства касательных к астроиде . Уравнение (7) выражает прямую ND, т . е . касательную к астроиде в некоторой точке М , причем параметр представляет собой угол , составляемый этой ка сательной с осью абсцисс . Уравнение другой касательной , перпенди кулярной к первой , будет иметь вид (8) Исключая из уравнений (7) и (8) параметр а , получим уравнение или , в полярной системе , которое выражает четырехлепестковую розу . Итак , геометрическое место вершин прямого угла , стороны которого касаются астроиды , есть четырех лепестковая роза. Другое свойство касательных к астроиде таково : каждая касательная пересекает астроиду в двух точках , касательные в которых пересекаются в точке , лежащей на окружности описанного около астроиды круга. Опред елим подэру астроиды от носительно точки Р , лежащей на бис сектрисе 1-го координатного угла на расстоянии ОР =с от начала коорди нат . Выше было показано , что астроиду можно рассматривать как огибающую отрезка ND = R, скользящего своими концами по координат н ым осям . Отсюда Рис . 13 следует , что искомую подэру можно определить как геометрическое место оснований перпендикуляров , опущенных из точки Р на пря мую ND (рис . 13). Проведем ОЕ _|_ ND, и OQ, где Q — середина отрезка ND. Точку Р посчитаем полюсом , а прямую РК полярной осью . Полярный угол КРМ точки М подэры обозначим через , а радиус-вектор РМ — через . Тогда , как легко видеть , у гол Так как Но , с другой стороны , На основании после дних двух равенств , полярное уравнение подэры запишется в виде а в прямоугольной системе с началом в точке Р в виде По лученная таким образом кривая 6-го порядка имеет в начале коор динат четырехкратную точку и называется “жуком” . В частном слу чае , пои с =0, жук становится розой, 3. Косая астроида . Обобщением рассмотренной астроиды является так называемая косая астроида , к оторая представляет собой оги бающую отрезка ND постоянной длины R, скользящего своими кон цами по двум прямым , пересекающимся под произвольным углом f. Рис . 14 Полагая эти пересекающиеся прямые координатными осями , обозна чим угол , составляемый прямой ND с осью абсцисс , через t. Тогда из треугольника OND (рис . 14) будем иметь : откуда и следовательно , уравнение прямой ND в отрезках на осях запи шется в виде Дифференцируя это урав нение по t и исключая из полученного после дифференцировани я равенства и уравнения прямой параметр t, получим параметрические уравнения косой астроиды в виде при эти уравнения вы ражают рассмотренную ранее прямую астроиду.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Умная женщина всегда отпустит погулять своего мужа, а мудрая - еще и с собакой.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, курсовая по математике "Кривые третьего и четвертого порядка", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru