Реферат: Приближенное вычисление определенных интегралов - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Приближенное вычисление определенных интегралов

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 662 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Приближенное вычисление определенных интегралов При решении физиче ских и технических задач приходится находить оп ре деленные интегралы от функций , первообразные которых не выражаются через элементарные ф ункции . Это привело к необходимости вывода приближенных формул вычисления определенных ин тегралов . Познакомимся с двум я из них : формулой трапеций и формулой парабол. 1. Формула тра пеций. Пусть требуется вычислить интеграл , где f ( x ) - непрерывная функция . Для простоты рассужд ений ограничимся случаем , когда f ( x ) 0. Разобьем отрезок [ a , b ] на n отрезк ов точками a = x 0 < x 1 < x 2 <...< x k -1 < x k <...< x n = b и с помощью прямых х =х k построим n прямолинейных трапеций (эти трапеции заштрихованы на рис . 1). Сумма площадей трапеций приближенно равна площади криволинейной трапеции , т.е. Где f ( x k -1 ) и f ( x k ) - соотв етственно основания трапеций ; x k - x k -1 = ( b - a )/ n - их высоты . Таким образом , получена приближенная форм ула которая и называется формулой трапеций . Эта формула тем точнее , чем больше n . Рассмотрим в качестве приме ра интеграл . Точное значение этого интеграла находится просто : Вычислим теперь по формуле трапеций его приближенное значение . Пусть n =5. Тогда имеем : a = x 0 =0, x 1 =0,2, x 2 =0,4, x 3 =0,6, x 4 =0,8, x 5 =1= b и соответственно f ( x 0 )=0, f ( x 1 )=0,04, f ( x 2 )=0,16, f ( x 3 )=0,36, f ( x 4 )=0,64, f ( x 5 )=1. Следовательно , Точное значение интеграла равно 0,3333...., поэтом у абсолютная ошибка меньше 0,007. Во многих те хнических задач эта точность достаточна. Если увеличить число n , то точность будет большей . Так , наприм ер , при n= 10 т.е . абсолютная ошибка меньше 0,002. В более полных курсах высшей математи ки доказывается , что если функция f ( x ) имеет на [ a , b ] непрерывную вторую произв одную , то абсолютная величина погрешности формулы трап еций не больше , чем где k - наибольшее значение на отрезке [ a , b ]. Следует отметить , что с уве личением n увеличивается не только точность вычисления определенного интеграла , но и объем вычислительной работы . Однако здесь на пом ощь приходят ЭВМ. Вычислим по формуле трапеции интеграл при n =10. Разобьем отрезок [0, 1] на 10 равных частей точками х 0 =0, х 1 =0,1, ..., х 9 =0,9, х 10 =1. Вычислим прибли женно значения фун кции f ( x )= в этих точках : f (0)=1,0000, f (0,1)=0.9091, f (0,2)=0,8333, f (0,3)=0.7692, f (0,4)=0,7143, f (0,5)=0,6667, f (0,6)=0,6250, f (0,7)=0,5882, f (0,8) = 0,5556, f (0,9)=0,5263, f (1)=0,5000. По формуле трапеций получаем Оценим погрешность получе нного результата . Так как f ( x )=1/(1+ x ), то На отрезке [ 0, 1 ] имеем . Поэтому погреш ность полученного результата не превосходит в еличины Вычислим точное значение данного интеграл а по формуле Ньютона-Лейбница : Абсолютная ошибка результата , полученного по формуле трапеций , меньше 0,0007. Это находится в с оответствии с данной выше оценк ой погрешности. Идею , которая была использована при по строении формулы трапеций , можно использовать для получения более точных приближенных форм ул для вычисления определенного интеграла. 2. Формула парабол. Докажем предва рительно две леммы. Лемма 1.1. Через любые три точки М 1 (х 1 ; у 1 ), М 2 (х 2 ; у 2 ), М 3 (х 3 ; у 3 ) с различными абсциссами можно провести единственную кривую вида у =Ах 2 +Вх +С (1) Доказательство . Подставляя в уравнение параболы (1) координаты т очек М 1 , М 2 , М 3 , получаем систему трех уравнений п ервой степени с тремя неизвестными А , В , С : Так как числа х 1 , х 2 , х 3 раз личны , то определитель этой системы отличен от нуля : Следовательно , данная система имеет единс твенное решение , т.е . коэффициенты А , В , С определяются однозначно . Отметим , что если А 0, то кривая (1) является параболой , если А =0, то прямой. Лемма 1.2. Площадь s криволинейной трапеции , ограничен ной кривой у =Ах 2 +Вх +С , проходящей через точки М 1 (- h ; y 1 ), M 2 (0, y 2 ), M 3 ( h , y 3 ) ( рис . 2) выражается формулой (2) Доказательство . Подставляя в уравнение у =Ах 2 +Вх +С координаты точек М 1 , М 2 , М 3 , получаем у 1 =А h 2 -В h +С ; у 2 =С ; у 3 =А h 2 +В h +С , откуда следует , что 2А h 2 +2С =у 1 +у 3 ; С =у 2 (3) Учитывая соотношение (3), имеем Рассмотрим снова криволинейную трапецию , ограниченную произвольной кривой y = f ( x ). Разобьем отрезок [ a , b ] на 2 равных отрезков точками a = x 0 < x 1 < x 2 <...< x 2 k < x 2 k +1 < x 2 k +2 <...< x 2 n -1 < x 2 n = b , а кривую y = f ( x ) с помощью прямы х x = x k на 2 n соответствующих частей точками М 0 , М 1 , М 2 , ..., М 2 k , М 2k+1 , М 2k+2 , ..., М 2n-2 , М 2n-1 , М 2n (рис . 3). Через каждую тройку точек М 0 М 1 М 2 , ..., М 2 k М 2k+1 М 2k+2 , ..., М 2n-2 М 2n-1 М 2n проведем кривую вида у =Ах 2 +Вх +С (см . лемму 1.1). В результате получим n криволинейных трапеций , ограниченных сверху параболами или прямыми (эти трапеции заштрихованы на рис . 3). Так как площадь частичной криволинейной трапеции , соответствующей отрезку [ x 2 k , x 2 k +2 ], прибл иженно равна площади соответствующей “параболиче ской” трапеции , то по формуле (2) имеем [ в данном случ ае h =( b - a )/(2 n )] где y k = f ( x k ), k =0, 1, 2, ...,2 n . Складывая почленн о эти приближенные равенства , получаем прибли женную формулу или в развернутом виде Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона. В формуле параболы значени е функции f ( x ) в нечетных то чках разбиения х 1 , х 3 , ..., х 2 n -1 имеет коэффициент 4, в четных точках х 2 , х 4 , ..., х 2 n -2 - коэффи циент 2 и в двух граничных точках х 0 =а , х 1 , х 2 n = b - коэффициент 1. Геометрический смысл формулы Симпсона оче виден : площадь кривол инейной трапеции под графиком функции f ( x ) на отрезке [ a , b ] приближенно заменяе тся суммой площадей фигур , лежащих под пар аболами (прямыми ). В полных курсах высшей математики док азывается , что если функция f ( x ) име ет на [ a , b ] непрер ывную производную четве ртого порядка , то абсолютная величина погрешности формулы Симп сона не больше чем где М - наибольшее значение на отрезке [ a , b ] . Выше отмечалось , что погрешность формулы трапеций оцениваетс я числом Так как n 4 растет быстрее , чем n 2 , то погрешн ость формулы Симпсона с ростом n умень шается значительно быстрее , чем погрешность ф ормулы трапеций . Этим и объясняется , что ф ормула Симпсона позволяет получить большую то чность , чем формула трапеций. Для сравнения точности приближенных форму л вычислим еще раз интеграл , но теперь по формуле Симпсона при n =4. Разобьем отрезок [0, 1] на четыре равные ча сти точками х 0 =0, х 1 =1/4, х 2 =1/2, х 3 =3/4, х 4 =1 и вычислим приближенно зн ачения функции f ( x )=1/(1+ x ) в этих точках у 0 =1,0000, у 1 =0,8000, у 2 =0,6667, у 3 =0,5714, у 4 =0,5000. По формуле Симпсона получаем Оценим погрешность полученного результ ата . Для подынтегральной функции f ( x )=1/(1+ x ) имеем : f (4) ( x )=24/(1+ x ) 5 , откуда следует , что на отрезке [0, 1] . Следовательно , можно взять М =24, и погрешность результат а не превосходит величины 24/(2880 4 4 ),0б 0004. Сравнивая приближенное значение с точным , за ключаем , что абсолютная ошибка результата , пол ученного по формуле Симпсона , меньше 0,00011. Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности и , кроме того , с видетельствует , что формула Симпсона значительно точнее формулы трапеций . Поэтому формулу Симпсона для приближенного вычисления определенн ых интегралов используют чаще , чем формулу трапеций. Как отмечалось выше , приближ енные формулы для вычисления определенного интеграла применяют в тех случаях , когда первообразна я подынтегральной функции не выражается через элементарные функции. Вычислим , например , интеграл по формуле Сим псона с точностью до 0,001. Чтобы выбрать необходимое для получения заданной точности число 2 n , найдем f (4) ( x ). Последовательно диф ференцируя функцию f ( x )= , получаем f (4) ( x ) =4 (4х 4 -12х 2 +3) Так как на отрезке [0, 1] 1, 4х 4 -12х 2 +3 5, то . Следовательно , можно взять М =20. Исп ользуя формулу оценки погрешности , имеем 20/2880 n 4 <1/1000, о ткуда n 4 >1000/144 . Для того чтобы выполнялось это нер авенство , достаточно взять n =2, т.е . 2 n =4. Разобьем теперь отрезок [0, 1] на четыре равные части точк ами х 0 =0, х 1 =1/4, х 2 =1/2, х 3 =3/4, х 4 =1 и вычислим приближенно значения функци и f ( x )= в этих точках у 0 =1,0000, у 1 =0,9394, у 2 =0,7788, у 3 =0,5698, у 4 =0,3679. Применяя формулу Симпсона , получаем Таким образом , с точностью до 0,001. Итак , разбив отрезок [0, 1] всего на четыре равные части и заменив рассматр иваемый интеграл суммой , стоящей в пра вой части формулы Симпсона , мы вычислили данный интеграл с необходимой точностью. В заключении отметим , что каждый из изложенных методов приближенного вычисления ин тегралов содержит четкий алгоритм их нахожден ия , что позволяет широко применять эти методы для вычислений на ЭВМ . Таким обр азом , указанные методы - эффективное средство в ычисления интегралов . Для интегралов , которые нельзя выразить через элементарные функции , с помощью ЭВМ и простейших приближенных ме тодов м ожно составить таблицы их значений.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Я из того времени, в котором, если парень говорил парню «Надо тушь купить», то они не голубые, а студенты технического вуза.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Приближенное вычисление определенных интегралов", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru