Диплом: Некоторые Теоремы Штурма - текст диплома. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Диплом

Некоторые Теоремы Штурма

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Дипломная работа
Язык диплома: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 3175 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникальной дипломной работы

Узнайте стоимость написания уникальной работы

21 Содержание Введение………………………………………… ……………………………………………… 3 § 1. Предварительные сведения…………………………………… 5 § 2. Основные факты……………………………………………………………… 8 § 3. Теоремы Штурма…………………………………………………………… 18 Использованная литература………………………………………… 27 Введение Тема дипломной работы “Теорема Штурма” , связана с именем французского математика Жака Шарля Франсуа Штурма. Штурм Жак Шарль Франсуа ( Sturm J . Ch . F . – правильное произношение : Стюрм ), родился 29 сентября 1803 года в Женеве . Был членом Парижской академии наук с 1836, а также иностранным членом – корреспондентом Петербургской академии наук с того же года . С 1840 года был профессором Политехнической школы в Париже. Штурм (1824/25) и Раабе (1827) ввели главные формулы сферической тригонометрии при помощи пространственных координат. Теорему Ф урье ( Теорема о числе действительных корней между двумя данными пределами ), математика Жозефа Фурье ( Joseph Fourier , 1768-1830), затмила более общая теорема , опубликованная Штурмом в Bull . mathem ., 1829. Доказательство сам Штурм представил только в одной премированной работе 1835г . Коши Огюстен ( Cauchy Augustin , 1789-1857) распространил теорему Штурма на комплексные корни (1831). Дополнение к ней дал также Сильвестр Джемс Джозеф ( Sylvester Y . Y ., 1814-1897) в 1839 году и позже. Основные работы Жана Шарля Ш турма относятся к решению краевых задач уравнений математической физики и связанной с этим задачей о разыскивании собственных значений и собственных функций для обыкновенных дифференциальных уравнений . (Задача Штурма-Лиувилля , о нахождении отличных от нул я решений дифференциальных уравнений : -(p(t)u ) +q(t)u= u, удовлетворяющих граничным условиям вида : А 1 u(a)+B 1 u (a)=0, A 2 u(b)+B 2 u (b)=0, (так называемых собственных функций ), а также о нахождении значений параметра (собственных значений ), при которых существуют такие решения . При некоторых условиях на коэффициенты p ( t ), q ( t ) зад ача Штурма-Лиувилля сводилась к рассмотрению аналогичной задачи для уравнения вида : - u + q ( x ) u = u ). Эта задача была впервые исследована Штурмом и Жозефом Лиувиллем ( Joseph Liouville , 1809-1882) в 1837г . и закончена в 1841 г. Также Жак Штурм дал общий метод для определения числа корней алгебраических уравнений , лежащих на заданном отрезке , названный правилом Штурма , который позволяет находить непересекающиеся интервалы , содержащие каждый по одному действительному корню данного алгебраического многочлена с действительными коэффициентами (уже упоминалось выше ). Ему принадлежат ряд работ по оптике и механике . Штурм Жак Шарль Франсуа умер 18 декабря 1855года. § 1. Предвар ительные сведения Среди дифференциальных уравнений , наиболее часто исполь зуемых в математике и физике , следует выделить линейное уравне ние второго порядка , имеющее вид u"+ g(t)u' + f(t)u=h(t) (1.1) или (р (t) и ')' + q ( f ) и = h (t) . (1.2) Как правило , если не оговорено противное , предполагается , что функции ( t ), g (f), h (f) и р (f) № 0, q (t), входящие в эти урав нения , являются непрерывными (вещественными или комплекс ными ) на некотором t -интервале J , который может быть как огра ниченным , так и неограниченным . Причина , по которой предпола гается , что р (t) № 0, скоро станет ясной. Из двух выражений (1.1) и (1.2) последнее является более общим , поскольку уравнение (1.1) может быть записано в виде ( p ( t ) и ')' + р ( t ) f ( t ) u = р ( t ) h (t), (1.3) если определить p ( t ) следующим образом : (1.4) при некотором a ? J . Частичное обращение этого утверждения также верно , поскольку если функция р (t) непрерывно дифференци руема , уравнение (1.2) можно записать в виде , а это уравнение имеет вид (1.1). В случае , если функция р (t) непрерывна , но не имеет непрерыв ной производной , уравнение (1.2) не может быть записано в виде (1.1). Тогда уравнение (1.2) можно интерпретировать как линейную систему из двух уравнений первого порядка для неизвестного двумерного вектора : , . (1.5) Другими словами , решение и = и (t) уравнения (1.2) должно б ыть такой непрерывно дифференцируемой функцией , что функция р ( t ) u '( t ) имеет непрерывную производную , удовлетворяющую (1.2). Если р (t) № 0 и q ( t ), h ( t ) непрерывны , к системе (1.5) , а потому и к уравнению (1.2) применимы стандартные теоремы существования и единственности для линейных систем (Мы можем рассматривать также более общие (т . е . менее гладкие ) типы решений , если предполагать , например , только , что функции 1/ p ( t ), q ( t ), h ( t ) локально интегрируемы .) Частному случаю уравнения (1.2) при соответствует уравнение и " + q ( t ) u = h ( t ). (1.6) Если функция принимает вещественные значения , урав нение (1.2) может быть приведено к такому виду с помощью замены независимых переменных , т.е . (1.7) при некотором a ? J . Функция s = s ( t ) имеет производную и потому строго монотонна . Следовательно , функция s = s ( t) имеет обратную t = t (s), определенную на некотором s -интервале. После введения новой независимой переменной s урав нение (1.2) переходит в уравнение (1.8) где аргумент t выражений p ( f ) q ( t ) и p ( t ) h ( f ) должен быть заме нен функцией t = t(s). Уравнение (1.8) является уравнением типа (1.6). Если функция g ( t ) имеет непрерывную производную , то урав нение (1.1) может быть приведено к виду (1.6) с помощью замены неизвестной функции и на z : (1.9) при некотором a ? J . В самом деле , подстановка (1.9) в (1.1) приводит к уравнению (1.10) которое имеет вид (1.6). В силу сказанного выше , мы можем считать , что рассмат риваемые уравнения второго порядка в общем случае имеют вид (1.2) или (1.6). Утверждения , содержащиеся в следующи х упраж нениях , будут часто использоваться в дальнейшем. § 2. Основные факты Прежде чем перейти к рассмотрению специальных вопросов , мы получим следствия , касающиеся однородного и неоднородного уравнений (2.1) (2.2) Для этого перепишем скалярные уравнения (2.1) или (2.2) в виде системы двух уравнений (2.3) (2.4) где век торы х = (х 1 , х 2 ), у == (у 1 , y 2 ) совпадают с векторами , , A ( t )- матрица второго порядка : (2.5) Если не оговорено противное , то предполагается , что , q ( t ), h ( t ) и другие коэффициенты являю тся непрерывными ком плексными функциями на t -интервале J (который может быть зам кнутым или незамкнутым , ограниченным или неограниченным ). (i) Если и , - произвольные комплексные числа , то задача Коши для уравнения (2.2) , (2.6) имеет единственное решение , существующее при всех , см . лемму IV. 1.1. ( ii ) В частном случае (2.1) уравнения (2.2) и при соответствующим единственным решением служит функция . Поэтому , если есть решение уравнения (2.1), то нули функции и (t) не могут иметь предельной точки в J. ( iii ) Принцип суперпозиции. Если , - решения урав нения (2.1), a , - постоянные , то функция является решением уравнения (2.1). Если - решение урав нения (2.2), то функция также является решением уравнения (2.2) тогда и только тогда , когда функция удовлетворяет уравнению (2.1). ( iv ) Если , - решения уравнения (2.1), то соответ ствующие векторные решения системы (2.3) , линейно независимы (в каждой точке t ) тогда и только тогда , когда функции , линейно независимы в том смысле , что равенство , где и - постоянные , влечет за собой . (v) Если , - решения уравнения (2.1), то существует постоянная с, зависящая от и (t) и v (t) и такая , что для их врон скиана W ( t ) = W (t; и, v) выполняется тождество . (2.7) Поскольку матричным решением системы (2.3) является , det X(t)=p(t)W(t) и trA( t )=0. ( vi ) Тождество Лагранжа. Рассмотрим пару уравнений , , (2.8) где f = f ( t ), g = g ( t ) - непрерывные функции на J . Если умножить второе уравнение на и, первое - на v и результаты вычесть , мы получим , что , (2.9) так как . Соотношение (2.9) назы вается тождеством Лагранжа. Его интеграль ная форма (2.10) где , называется формулой Грина. ( vii ) В частности , из (v) следует , что и (t) и v ( t ) - линейно независимые решения уравнения (2.1) тогда и только тогда , когда в (2.7) . В этом случае всякое решение у равнения (2.1) является линейной комбинацией функций и ( t ) и v ( t ) с посто янными коэффициентами. ( viii ) Если (например , ), то вронскиан любой пары решений и ( t), v (t) уравнения (2.1) равен постоянной . ( ix ) В соот ветствии с результатами общей теории , в случае , когда известно одно решение уравне ния (2.1), отыскание других решений v(t) этого уравнения (по край ней мере локально ) сводится к решению некоторого скалярного дифференциального уравнения первого порядка. Если на подинтервале , этим уравнением служит уравнение (2.7 ), где и - известная функция , а v - искомая . Если поделить (2.7) на , то это уравнение запишется в виде , (2.11) а после интегрирования мы будем иметь , (2.12) где а , . Легко проверить , что если , - произвольные постоянные и а , , то функция (2.12) является решением уравнения (2.1), удовлетворяющим (2.7) на любом интервале J', где . (х ) Пусть и ( t), v (t) - решения уравнения (2.1), удовлетворяю щие (2.7) с . При фиксированном решением уравнения (2.1), удовлетворяющим начальным условиям и (s) = 0, p ( s ) u '( s ) = 1, является . Поэтому решением урав нения (2.2), удовлетворяющим условиям , слу жит функция ; (2.13) (проще проверить это непосредственно ). Общее решение уравнения (2.2) получается прибавлением к (2.13) общего решения уравнения (2.1), что дает . (2.14) Если замкнутый ограниченный интервал [ a , b ] содержится в J , то , полагая , , мы получаем из (2.14) частное решение . (2.15) Оно может быть записано в виде , (2.16) где (2.17) матрица С (t) зависит от , но не зависит от их про из водных. В этом случае уравнение (2.1) и эквивалентная ему система (2.3) сводятся к системе . (2.28) ( xii ) Если известно частное решение уравнения (2.27), не равное нулю на J , то мы можем определить линейно независимые решения с помощью квадратур (см . ( ix )) и затем найти матрицу , вхо дящую в (2.28). В действи тельности , тот же результат можно полу чить более прямым путем . Пусть уравнение (2.27) имеет решение на интервале J . Заменим неизвестную функцию и в (2.1) на z , так что . (2.29) Функция z удовлетворяет дифференциальному уравнению . Умножая его на , мы получаем , что (2.30) или , в силу (2.27) , что , (2.31) т . е . подстановка (2.29) приводит уравнение (2.1) к (2.30) или к (2.31 ). Мы могли также начинать не с решения дифферен циального уравнения (2.27) , а с функции , имеющей непрерывную производную и такой , что непрерыв но дифференцируема . При этом определяется равенством (2.27) , так что . Подстановка (2.29) будет назы ваться также вариацией постоянных. ( xiii ) Подстановка Лиувилля. В качестве частного случая рас смотрим (2.1) с р (t) = 1: и " + q (t) и = 0. (2.32) Предположим , что функция q (t) имеет непрерывную производную второго порядка , вещественна и не равна нулю , так что ± q ( t ) > 0, где ± = sgn q ( t ) (2.33) не зависит от t. Рассмотрим вариацию постоянных . (2.34) Тогда (2.32) сводится к (2.30), где , т . е . к уравнению (2.35) Замена независимых переменных , определенная соотношением , (2.36) переводит (2.35) в уравнение (2.37) где (2.38) а аргументом функции q и ее производных служит функция t = t (s), обратная к функции s = s ( f), определяемой из (2.36) с помощью квадратуры ; см. (1.7). В этих формулах штрих означает дифферен цирование по t , так что q ' = dqldt . Замена переменных (2.34), (2.36) называется подстановкой Лиувилля. Эта подстановка , или повторное применение ее , часто приводит к дифференциальному уравнению типа (2.37), в котором функция f (s) «близка» к постоянной . Пр остой предель ный случай такой подстановки см . в упр . 1.1(с ). ( xiv ) Уравнения Риккати. В п . ( xi ), ( xii ) и (xiii) рассматривались преобразования уравнения (2.1) в различные линейные уравнения второго порядка или в соответствующие линейные системы двух уравн ений первого порядка. Иногда удобно преобразовать (2.1) в соответствующее нелинейное уравнение или систему . Для этого чаще всего используется следующий метод . Пусть , (2.39) так что . Тогда после деления (2.1) на и результат можно записать в виде . (2.40) Это уравнение называется уравнением Риккати , соответствующим (2.1). (В общем случае уравнение вида , где правая часть является квадратичным полиномом от г , называется дифференциальным уравнением Риккати .) Читателю предоставляется проверка того факта , что если и ( t ) - решение уравнения (2.1), не равное нулю на t - интервале , то функция (2.39) является решением уравнения (2.40) на J'; обрат но , если - решение уравнения (2.40) на t - интервале , то , интегрируя (2.39), мы получаем решение (2.41) уравнения (2.1), не равное нулю ни в одной точке из J'. ( xv ) Преобразование Прюфера. В случае , когда уравнение (2.1) имеет вещественные коэффициенты , часто используется следующее преобразование . Пусть -вещественное решение уравнения 2.1, и пусть . Поскольку и и и ' не могут обратиться в нуль одновременно , то , фиксируя соответствующее значение функции в некоторой точке , мы определяем с помощью второго из равенств (2.42) непре рывно дифференцируемую функцию . Соотношения (2.42) пере водят уравнение (2.1) в систему , (2.43) (2.44) В уравнение (2.43) входит лишь одна из неизвестных функций . Если решение уравнения (2.43) известно , то соответствую щее решение уравнения (2.44) может быть найден о с помощью квадратуры. Преимущество уравнения (2.43) по сравнению с (2.40) состоит в том , что всякое решение уравнения (2.43) существует на всем интервале J , где непрерывны р и q . Это видно из соотношения , свя зывающего решения уравнений (2.1) и (2.43). Упражнение 2.1 . Проверьте , что если функция непре рывна на J и имеет локально ограниченную вариацию (т . е . имеет ограниченную вариацию на всех замкнутых ограниченных подин-тервалах из J ) и если - вещественное решение уравнения (2.1), то равенств а (2.45) при фиксированном значении для некоторого однозначно определяют непрерывные функции , имеющие локально ограниченную вариацию и Соотношения (2.46) и (2.47) следует понимать так , что интегра лы Римана - Стильтьеса от обеих их частей равны . Обратно , (непре рывные ) решения системы уравнений (2.46), (2.47) определяют реше ния уравнения (2.1) с помощью соотношений (2.45). Заметим , что если q (t) > 0, р (t) > 0 и функция q(t) р ( t ) имеет локально ог ра ниченную вариацию , то , полагая , мы получаем q/ , а соотношения (2.45), (2.46) и (2.47) переходят в равенства (2.48) (2.49) . (2.50) § 3 . Теоремы Штурма В этом параграфе мы будем рассматривать только уравнение вида (2.1) с вещественными непрерывными коэффициентами р (t) > 0, q (t). Под «решением» мы будем понимать «вещественное , не тривиальное (т . е . ) решение» . Нас будет интересовать множество нулей решения u (t) . Для изучения этих нулей часто оказывается полезным преобразование Прюфер а (2.42), поскольку тогда и только тогда , когда . Лемма 3.1. Пусть - вещественное решение уравне ния (2.1) при , где и вещественны и непре рывны . Пусть функция и (t) имеет в то чности нулей при . Предположим , что - непрерывная функция , определенная равенством (2.42), и . Тогда и при . Доказательство. Заметим , что в той точке t , где u =0 , т . е . где , производная в силу (2.43). Следовательно , функция возрастает в окрестности точек , где для некоторого целого j . Отсюда следует , что если и , то при , а также что если , то при . Тем самым лемма дока зана. В теоремах этого параграфа будут рассматриваться два урав нения где функции вещественны и непрерывны на интервале J . и . (3.2) В этом случае уравнение (3.1 ) называется мажорантой Штурма для (3.1) на J , а уравнение (3.1) -минорантой Штурма для (3.1). Если дополнительно известно , что соотношения (3. 3 2 ) или и (3.3 1 ) выполняются в некоторой точке , то уравнение (3. 3 2 ) назы вается строгой мажорантой Штурма для (3.3 1 ) на J . Теорема 3.1 (первая теорема сравнения Штурма ). Пусть коэффициенты уравнения непрерывны на интервале J : , и пусть уравнение (3. 3 2 ) является мажорантой Штурма для (3.1 1 ) . Предположи м , что функция является решением уравнения (3.1 1 ) и имеет точно нулей при ,а функция удовлетворяет уравне нию (3. 1 2 ) и (3.4) п ри . [Выражение в правой (соответственно левой ) части нера венства (3.4) при полагается равным , если (соответственно есл и ) ; в частности , соотношение (3.4) справедливо при , если .] Тогда имеет при п o крайней мере n нулей . Более того , име ет по крайней мере n нулей при , если при в (3.4) имеет место строгое неравенство или если уравнение (3.1 г ) является стро гой мажорантой Штурма для (3.1 1 ) при . Доказательство. В силу (3.4) можно определить при пару непрерывных функций с помощью соотношений (3.5) Тогда справедливы аналоги соотношения (2.43): (3. 6 j ) Поскольку непрерывные функции , гладким образом зависят от , решения системы (3.6) однозначно определяются своими начальными условиями . Из (3.2) следует , что при и всех . Поэтому последняя часть (3.5) и следствие III.4.2 оз начают , что для В частности , из следует , что , и первая часть теоремы вытекает из леммы 3.1. Чтобы доказать последнюю часть теоремы , предположим вна чале , что при в (3.4) имеет место строгое неравенство . Тогда . Обозначим через решение уравнения (3. 6 2 ) , удовлетворяющее начальному условию , так что . Поскольку решение уравнения (3. 6 2 ) однозначно определяется начальными условиями , при . Неравенство , аналогичное (3.7), означает , что потому . Следовательно , имеет n нулей при . Рассмотрим теперь тот случай , когда в (3.4) имеет место равен ство , но в некоторой точке из выполняется либо (3.3 1 ) , либо (3.3 2 ) . Запишем (3.6 2 ) в виде , где Если доказываемое утверждение неверно , то из уже рассмотрен ного случая следует , что при .Поэтому и при . Так как только в нулях функции , то отсюда следует , что при и . Следовательно , если при некотором t , то , т . е . . Если (3.3 1 ) не выполняется ни при каком t из отрезка , то при некот ором t имеет место (3.3 2 ) , и потому (3.3 2 ) справедливо на неко тором подинтервале из . Но тогда на этом интервале и потому . Однако это противоречит условию . Доказательство закончено. Следствие 3.1 (теорема Штурма о разделении нулей ). Пусть урав нение (3.1 2 ) является мажорантой Штурма для (3.1 1 ) на интервале J , и пусть - вещественные решения уравнений, (3.3 j ) . Пусть обращается в нуль в двух точках интер вала J. Тогда имеет по крайней мере один нуль на . В частности , если и вещественные линейно независимые решения уравнения (3.1 1 ) (3.1 2 ) . То нули функции разделяют нули функции и разделяются ими. Заметим , что , последнее утверждение этой теоремы имеет смысл , поскольку нули функций и не имеют на J предельных точек . Кроме того , , не могут иметь общего нуля , так как в противном случае в силу того , чт о решения урав нения (3.1 1 ) единственны , , где (так что и не являются линейно независимыми ). Упражнение 3.1 . (Другое д оказательство теоремы Штурма о разделении нулей , когда p 1 ( t ) p 2 ( t )>0, q 2 ( t ) q 1 ( t ).) Предположим , что u 1 ( t )>0 при t 1 < t 2 < t 3 и утверждение неверно : например , u 2 ( t )>0 при t 1 t t 2 . Умножая ( p 1 ( t ) u ) + q 1 ( t ) u =0, где u = u 1 , на u 2 , а ( p 2 ( t ) u ) + q 2 ( t ) u =0, где u = u 2 , на u 1 , вычита я и интегрируя по [ t 1, t 2 ], получаем : p ( t )( u 1 u 2 - u 1 u 2 ) 0, при t 1 t t 2 , где p = p 1 = p 2 . Это означает , что ( u 1 / u 2 ) 0; поэтому u 1 / u 2 >0 при t 1 < t t 2 , т.е . получается , что u 1 ( t 2 )>0 чего быть не может. Решение : ( p 1 ( t ) u ) + q 1 ( t ) u =0, u = u 1 (p 1 (t)u 1 ) +q 1 (t)u 1 =0. Умножим левую часть равенства на u 2 , получим : u 2 (p 1 (t)u 1 ) +q 1 (t)u 1 u 2 =0. Во втором уравнении прод елаем соответствующие операции : (p 2 (t)u ) +q 2 (t)u=0, u 2 =u (p 2 (t)u 2 ) +q 2 (t)u 2 =0. Умножим левую часть равенства на u 1 , получим : u 1 (p 2 (t)u 2 ) +q 2 (t)u 1 u 2 =0. Вычитаем из первого уравнения второе , получим : u 2 (p 1 u 1 ) +q 1 u 1 u 2 -u 1 (p 2 u 2 ) -q 2 u 1 u 2 =0, p=p 1 =p 2 u 2 (pu 1 ) +q 1 u 1 u 2 -u 1 (pu 2 ) -q 2 u 1 u 2 =0 (u 2 (pu 1 ) -u 1 (pu 2 ) )+u 1 u 2 (q 1 -q 2 )=0 Упростим это уравнение, u 2 (p u 1 +pu 1 )-u 1 ( p u 2 +pu 2 )+u 1 u 2 (q 1 -q 2 )=0 Раскроем скобки , получим : p u 1 u 2 + pu 1 u 2 - p u 1 u 2 -pu 1 u 2 +u 1 u 2 (q 1 -q 2 )=0. Сравнивая с формулой (2.2), получаем : (p(u 1 u 2 -u 1 u 2 )) +u 1 u 2 (q 1 -q 2 )=0 (p(u 1 u 2 -u 1 u 2 )) -u 1 u 2 (q 2 -q 1 )=0 (p(u 1 u 2 -u 1 u 2 )) =u 1 u 2 (q 2 -q 1 )=0. Проинтегрируем это уравнение по [ t 1 , t ], получим : [ p ( u 1 u 2 - u 2 u 1 )] dt = u 1 u 2 ( q 2 - q 1 ) dt , где u 1 u 2 >0, q 2 -q 1 0. Значит p ( u 1 u 2 - u 1 u 2 ) 0. Т . о . (u 1 /u 2 ) 0 u 1 /u 2 >0. Упражнение 3.2. с ) Проверьте , что вещественные решения u ( t ) 0 уравнения u + / t 2 u =0 (1/17) имеет не более одного нуля при t >0, если , и эти решения имеют бесконечно много нулей при t >0, если > . В последнем случае множество нулей имеет две предельные точки t =0 и t = . Решение : в § 1 было рассмотрено упражнение 1.1 с ), где показали , что функция u = t является решением уравнения u + / t 2 u =0 тогда и только тогда , когда удовлетворяет уравнению ( -1)+ =0. Решая его получили : = . Если >1/4, то корни 1 и 2 – комплексные , т.е . u=t 1/2 [cos ( -1/4 ln t)c 1 +c 2 sin( -1/4 ln t)] имеют бесчисленное множество нулей . В частности , если положить : c 1 =sinu ,c 2 =cosu, то получим : u= t 1/2 [sin u cos ( -1/4 ln t)+cos u sin ( -1/4 ln t)]= t 1/2 [si n (u+ -1/4 ln t)]. Если <1/4, то решение u =с 1 t 1/2+ + c 2 t 1/2- имеют не более одного нуля. Та к же , если =1/4, то решение u=c 1 t 1/2 +c 2 t 1/2 ln t имеют не более одного нуля. d ) Рассмотрим уравнение Бесселя : v +v /t+(1- 2 /t 2 )v=0, (3.10) где -вещественный параметр . Вариация постоянных u = t 1/2 / v переводит уравнение (3.10) в уравнение : u +(1- / t 2 ) u =0, где = 2 -1/4 (3.11) Проверим истинность этого утверждения u = t 1/2 v , следовательно : v=u/t 1/2 =ut -1/2. Найдём первую производную : v =(ut -1/2 ) =u t -1/2 +u(t -1/2 ) =u t -1/2 -1/2ut -3/2 . Теперь вторую производную : v =(u t 1/2 ) -1/2(ut -3/2 ) =u t -1/2 +u (t -1/2 ) -1/2(u t -3/2 +u(t -3/2 ) )= =u t -1/2 – 1/2u t -3/2 -1/2u t -3/2 +3/4uut -5/2 = =u t -1/2 -u t -3/2 +3/4ut -5/2 . Подставляя в уравнение (3.10), получим : v +v /t+(1- 2 /t 2 )v=0. u t -1/2 -u t -3/2 +3/4ut -5/2 +1/t(u t -1/2 -1/2ut -3/2 )+(1- 2 /t 2 )ut -1/2 =0 t -1/2 (u -u t -1 +3/4ut -2 +u t -1 -1/2ut -2 +u(1- 2 /t 2 ))=0 u +1/4ut -2 +u(1- 2 /t 2 )=0 u +u- 2 u/t 2 +1/4ut -2 =0 u +u-( 2 u-1/4u)/t 2 =0 u +u-(( 2 -1/4)u)/t 2 =0 u +u- u/t 2 =0 u +(1- / t 2 ) u =0, где = 2 -1/4. Покажем , что нули вещественного решен ия v ( t ) уравнения (3.10) образуют при t >0 такую последовательность t 1 < t 2 <… , что t n - t n -1 при n . Так как в уравнении u +(1- / t 2 ) u =0, т.е . уравнение u +(1-( 2 -1/4)/t 2 )u=0 - постоянное число , то при 1/4 и при t – достаточно большое , то выражение 1-( 2 -1/4)/ t 2 1, т.е . если уравнение u +(1-( 2 -1/4)/t 2 )u=0 сравнить с уравнением u + u =0, то расстояние между последовательными нулями стремится к , т.е . t n - t n -1 при n . Теорема 3.2 (вторая теорема сравнения Штурма ). Пусть выпол нены условия первой части теоре мы 3.1 и функция имеет точно n нулей при . Тогда соотношение (3.4) выполняется при [где выражение в правой (соответственно левой ) части (3.4) при полагается равным , если (соответственно, )]. Кроме того , при в (3.4) имеет место строгое неравенство , если выполнены условия последней части теоремы 3.1. Доказательство этого утверж дения содержится по существу в доказательстве теоремы 3.1, если заметить , что из предположения о числе нулей функции вытекает последнее неравенство в сле дующ ей цепочке : . Аналогично , в предположениях последней части теоремы доказательство тео ремы 3.1 дает неравенство . Использованная литература : 1. Ф . Хартман . Обыкновенные дифференциальные уравнения : Учебн . пособие ./ Пер . с англ . И.Х.Сабитова , Ю.В.Егорова ; под ред . В.М.Алексеева.-М .: изд.”Мир” , 1970г .-720 с. 2. В.В.Степанов . Курс дифференциальных уравнений . Гос.изд . “Технико-теор . литер.”-М ., 1953г .-468 с. 3. Большая Советская Энциклопедия . /Под ред . А.М.Прохорова . Изд . 3-е ., М ., “Советская Энциклопедия” , 1978г ., т .29. “Чачан-Эне-ле-Бен.” – 640 с. 4. Г.Вилейтне р . “История математики от Декарта до середины 19-го столетия.” М ., изд . “Наука.” , 1966г . – 508 с. 5. История математики с древнейших времён до начала 19-го столетия . /Под ред . Юшкевича А.П ., т .3 /Математика 18-го столетия /., изд . “Наука.” , М ., 1972г . – 496 с.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
То, что в мире называют кризисом, в России называют - стабильностью.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, диплом по математике "Некоторые Теоремы Штурма", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru