Реферат: Абстрактная теория групп - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Абстрактная теория групп

Банк рефератов / Социология

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 1253 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Абстрактная теория групп I . Понятие абстрактной группы. 1.Понятие алгебраической операции. Говорят , что на множестве X определена алгебраическая операция ( ) , если каждой упорядоченной паре элементов поставлен в соответствие некоторый элемент называемый их произведением. Примеры. 1. Композиция перемещений на множествах является алгебраической операцией. 2. Композиция подстановок является алгебраической операцией на множестве всех подстановок степени n . 3. Алгебраиче скими операциями будут и обычные операции сложения , вычитания и умножения на множествах соответственно целых , вещественных и комплексных чисел . Операция деления не будет алгебраической о перацией на этих множествах , поскольку частное не определено при . Однако на множествах , это будет алгебраическая операция. 4. Сложение векторов является алгебраической операцией на множестве . 5. Векторное произведение будет алгебраической операцией на множестве . 6. Умножение матриц будет алгебраической операцией на множестве всех квадратных матриц данного порядка. 2.Свойства алгебраических операций. 1. Операция (*) называется ассоциативной , если . Это свойство выполняется во всех приведенных выше примерах , за исключением операций вычитания ( и деления ) и операции векторного умножения векторов . Наличие свойства ассоциативности позволяет определить произведение любого конечного множества элементов . Например , если , . В частности можно определить степени с натуральным показателе м : . При этом имеют место обычные законы : , . 2. Оп ерация ( *) называется коммутативной , если В приведенных выше примерах операция коммутативна в примерах 3 и 4 и не коммутативна в остальных случаях . Отметим , что для коммутативной операции 3. Элемент называется нейтральным для алгебраической операции (*) на множестве X , если . В примерах 1-6 нейтральны ми элементами будут соответственно тождественное перемещение , тождественная перестановка , числа 0 и 1 для сложения и умножения соответственно (для вычитания нейтральный элемент отсутствует !) , нулевой вектор , единичная матрица . Для векторного произведения нейтральный элемент отсутствует . Отметим , что нейтральный элемент (если он существует ) определен однозначно . В самом деле , если - нейтральны е элементы , то . Наличие нейтрального элемента позволяет определить степень с нулевым показателем : . 4. Допустим , что для операции ( *) на X существует нейтральный элемент . Элемент называется обратным для элемента , если . Отметим , что по определению . Все перемещения обратимы также как и все подстановки . Относительно операции сложения все числа обратимы , а относительно умножения обратимы все числа , кроме нуля . Обратимые матрицы - это в точности все матрицы с ненулевым определителем . Если элемент x обратим , то определены степени с отрицательным показателем : . Наконец , отметим , что если x и y обратимы , то элемент также обратим и . (Сначала мы одеваем рубашку , а потом куртку ; раздеваемся же в обратном порядке ! ). Определение (абстрактной ) группы. Пусть на множестве G определена алгебраическая операция ( *) . ( G ,*) называется группой , если 1. Операция ( *) ассоциативна на G . 2. Для эт ой операции существует нейтральный элемент e (единица группы ). 3. Каждый элемент из G обратим. Примеры групп. 1. Любая группа преобразований. 2. (Z, +), ( R, +), (C, +). 3. 4. Матричные группы : - невырожденные квадратные матрицы порядка n , ортогональные матрицы того же порядка , ортогональные матрицы с определителем 1. 3. Простейшие свойства групп. 1. В любой группе выполняется закон сокращения : (левый закон сокращения ; аналогично , имеет место и правый закон ). Доказательство . Домножим равенство слева на и воспользуемся свойством ассоциативности : . 2. Признак нейтрального элемента : Доказательство Применим к равенству закон сокращения. 3. Признак обратного элемента : Доказательство : Применим закон сокращения к равенству . 4. Единственность обратного элемента . Обратный элемент определен однозначно . Следует из п .3. 5. Существование обратной операции . Для любых двух элементов произвольной группы G уравнение имеет и притом единственное решение . Доказательство Непосредственно проверяется , что (левое частное элементов ) является решением указанного уравнения . Единственность вытекает из закона сокращения , примененного к равенству . Аналогично устанавли вается существование и единственность правого частного. 4. Изоморфизм групп. Определение. Отображение двух групп G и K называется изоморфизмом , если 1.Отображение взаимно однозначно . 2.Отображение сохраняет операцию : . Поскольку отображение обратное к также является изоморфизмом , введенное понятие симметрично относительно групп G и K , которые называются изоморфными. Примеры. 1.Группы поворотов плоскости и вокруг точек и изоморфны между собой . Аналогично , изоморфными будут и группы , состоящие из поворотов пространства относительно любых двух осей. 2.Группа диэдра и соответствующая пространственн ая группа изоморфны. 3. Группа тетраэдра T изоморфна группе состоящей из четных подстановок четвертой степени . Для построения изоморфизма достаточно занумеровать вершины тетраэдра цифрами 1,2,3,4 и заметить , что каждый поворот , совмещающий тетраэдр с собой некоторым образом переставляет его вершины и , следовательно , задает некоторую подстановку множества 1,2, 3, 4 По вороты вокруг оси , проходящей через некоторую вершину (например 1), оставляет символ 1 на месте и циклически переставляет символы 1, 2, 3. Все такие перестановки - четные . Поворот вокруг оси , соединяющей середины ребер (например , 12 и 34 ) переставляет си м волы 1 и 2 , а также 3 и 4. Такие перестановки также являются четными. 4. Формула определяет взаимно однозначное соответствие между множеством R вещественных чисел и множеством положительных чисел . При этом . Это означает , что является изоморфизмом. Замечание . В абстрактной алгебре изоморфные группы принято считать одинаковыми . По существу это означает , что игнорируются индивидуальные свойства элементов группы и происхождение алгебраической оп ерации. 5. Понятие подгруппы. Непустое подмножество называется подгруппой , если само является группой . Более подробно это означает , что , и . Признак подгруппы. Непустое подмножество будет подгруппой тогда и только тогда , когда . Доказательство. В одну сторону это утверждение очевидно . Пусть теперь - любой элемент . Возьмем в признаке подгруппы . Тогда получим . Теперь возьмем . Тогда получим . Примеры подгрупп. 1. Для групп преобразований новое и старое понятие подгруппы равносильны между собой. 2. - подгруппа четных подстановок. 3. 4. и т.д. 5. Пусть G - любая группа и - любой фиксированный элемент . Рассмотрим множество всевозможных степеней этого элемента . Поскольку , рассматриваемое множество является подгруппой . Она называется циклической подгруппой с образующим элеме нтом g . 6. Пусть любая подгруппа Рассмотрим множество - централизатор подгруппы H в группе G . Из определения вытека ет , что если , то , то есть . Теперь ясно , что если , то и и значит централизатор является подгруппой . Если группа G коммутативна , то . Если G = H , то централизатор состоит из тех элементов , которые перестановочны со всеми элементами группы ; в этом случае он называется центром группы G и обозначается Z ( G ) . Замечание об аддитивной форме записи группы. Иног да , особенно когда операция в группе коммутативна , она обозначается (+) и называется сложением . В этом случае нейтральный элемент называется нулем и удовлетворяет условию : g +0= g . Обратный элемент в этом случае называется противоположным и обозначается (- g ) . Степени элемента g имеют вид g + g +...+ g , называются кратными элемента g и обозначаются ng . 6. Реализация абстрактной группы как группы преобразований. Существует несколько способов связать с данной абстрактной группой некоторую группу преобразо ваний . В дальнейшем , если не оговорено противное , знак алгебраической операции в абстрактной группе будет опускаться. Пусть некоторая подгруппа. А ) Для каждого определим отображение ( левый сдвиг на элемент h ) формулой . Теорема 1 1. 2. Множество L ( H , G )= является группой преобразований множества G . 3. Соответствие : является изоморфизмом групп H и L ( H , G ) . Доказательство. 1. Надо проверить , что отображение взаимно однозначно для всякого . Если , то по закону сокращения . Значит инъективно . Если любой элемент , то и так что к тому же и сюръективно. 2. Обозначим через операцию композиции в группе Sym ( G ) взаимно однозначных отображений . Надо проверить , что и . Пусть любой элемент . Имеем : ; и значит , . 3. Пусть . Надо проверить , что l взаимно однозначно и сохраняет операцию . По построению l сюръективно . Инъективность вытекает из закона правого сокр ащения : . Сохранение операции фактически уже было установлено выше : . Следствие. Любая абстрактная группа изоморфна группе преобразований некоторого множества (Достаточно взять G = H и рассмотреть левые сдвиги ). Для случая конечных групп получается теорема Кэли : Любая группа из n элементов изоморфна подгру ппе группы подстановок степени n . B) Для каждого определим отображение ( правый сдвиг на элемент h ) формулой . Теорема B . 1. . 2. Множество является группой преобразований множества G . 3. Соответствие является изоморфизмом групп H и R ( H , G ) . Доказательство теоремы B вполне аналогично доказательству теоремы A . Отметим только , что . Именно поэтому в пункте 3 теоремы В появляется не , а . С ) Для каждого определим (сопряжение или трансформация элементом h ) формулой . Теорема С. 1. Каждое отображение является изоморфизмом группы G с собой (автоморфизмом группы G ) . 2. Множество является группой преобразований множества G . 3. Отображение сюръективно и сохраняет операцию. Доказательство. 1. Поскольку , отображение взаимно однозначно как композиция двух отображений такого типа . Имеем : и потому сохраняет операцию. 2. Надо проверить , что и . Оба равенства проверяются без труда. 3. Сюръективность отображения имеет место по определению . Сохранение операции уже было проверено в пункте 2. Замечание об инъективности отображения . В общем случае отображение не являетс я инъективным . Например , если группа H коммутативна , все преобразования будут тождественными и группа тривиальна . Равенство означает , что или (1) В связи с этим удобно ввести следующее определение : множество называется централизатором подгруппы . Легко проверить , что централизатор является подгруппой H . Равенство (1) означает , что . Отсюда вытекает , что если централизатор подгруппы H в G тривиален , отображение является изоморфизмом. 7. Смежные классы ; классы сопряженных элементов. Пусть , как и выше , некоторая подгруппа . Реализуем H как группу L ( H , G ) левых сдвигов на группе G . Орбита называется левым смежным классом группы G по подгруппе H . Аналогично , рассматривая правые сдвиги , приходим к правым смежным классам .Заметим , что стабилизатор St ( g , L ( H , G )) ( как и St ( g , R ( H , G )) ) тривиален поскольку состоит из таких элементов , что hg = g . Поэтому , если группа H конечна , то все левые и все правые смежные классы состоят из одинакового числа элементов , равного . Орбиты группы называются классами сопряженных элементов группы G относительно подгруппы H и обозначаются Если G = H , говорят просто о классах сопряженных элементов гру ппы G . Классы сопряженных элементов могут состоять из разного числа элементов . Это число равно , где Z ( H , g ) подгруппа H , состоящая из всех элементов h перестановочных с g . Пример. Пусть - группа подстановок степени 3. Занумеруем ее элементы : =(1,2,3); =(1,3,2); =(2,1,3); =(2,3,1); =(3,1,2); =(3,2,1). Пусть . Легко проверить , что левые смежные классы суть : , , . Правые смежные классы : , , . Все эти классы состоят из 2 элементов. Классы сопряженных элементов G относит ельно подгруппы H : , , , . В то же время, , , . Теорема Лагранжа. Пусть H подгруппа конечной группы G . Тогда порядок H является делителем порядка G . Доказательство. По свойству орбит G представляется в виде объединения непересекающихся смежных классов : . Поскольку все смежные классы состоят из одинакового числа элементов , , откуда и вытекает теорема. Замечание . Число s левых (или правых ) смежных классо в называется индексом подгруппы . Следствие. Две конечные подгруппы группы G порядки которых взаимно просты пересекаются только по нейтральному элементу. В самом деле , если эти подгруппы , то их общая подгруппа и по теореме Лагранжа - общий делитель порядков H и K то есть 1. 8. Нормальные подгруппы . Факторгруппы. Пусть любая подгруппа и -любой элемент . Тогда также является подгруппой G притом изоморфной H , поскольку отображение сопряжения является изоморфизмом . Подгруппа называется сопряженной по отношению к подгруппе H . Определение. Подгруппа H называется инвариантной или нормальной в группе G , если все сопряженные подгруппы совпадают с ней самой : . Равенство можно записать в виде Hg = gH и таким образ ом , подгруппа инвариантна в том и только в том случае , когда левые и правые смежные классы по этой подгруппе совпадают. Примеры. 1. В коммутативной группе все подгруппы нормальны , так как отображение сопряжения в такой группе тождественно. 2. В любой группе G нормальными будут , во первых , тривиальная подгруппа и , во вторых , вся группа G . Если других нормальных подгрупп нет , то G называется простой. 3. В рассмотренной выше группе подгруппа не является нормальной так как левые и правые смежные классы не совпадают . Сопряженными с H будут подгруппы и . 4. Если - любая подгруппа , то ее централизатор Z = Z(H,G) - нормальная подг руппа в G , так как для всех ее элементов z . В частности , центр Z(G) любой группы G -нормальная подгруппа. 5. Подгруппа H индекса 2 нормальна . В самом деле , имеем 2 смежных класса : H и Hg = G-H = gH . Теорема (свойство смежных классов по нормальной подгруппе ). Если подгруппа H нормальна в G , то множество всевозможных произведений элементов из двух каких либо смежных классов по этой подгруппе снова будет одним из смежных классов , то ест ь . Доказательство. Очевидно , что для любой подгруппы H .Но тогда = = = . Таким образом , в случае нормальной подгруппы H определена алгебраическая операция на множестве смежных классов . Эта операция ассоциативна поскольку происходит и з ассоциативного умножения в группе G . Нейтральным элементом для этой операции является смежный класс . Поскольку , вся кий смежный класс имеет обратный . Все это означает , что относительно этой операции множество всех (левых или правых ) смежных классов по нормальной подгруппе является группой . Она называется факторгруппой группы G по H и обозначается G/H . Ее порядок равен и ндексу подгруппы H в G . 9 Гомоморфизм. Гомоморфизм групп - это естественное обобщение понятия изоморфизма. Определение. Отображение групп называется гомоморфизмом , если оно сохраняет алгебраическую операцию , то есть : . Таким образом , обобщение состоит в том , что вместо взаимно однозначных отображений , которые участвуют в определении изоморфизма , здесь допускаются любые отображения. Примеры. 1. Разумеется , всякий изоморфизм является гомоморфизмом. 2. Тривиальное отображение является гомоморфизмом. 3. Если - любая подгруппа, то отображение вложения будет инъективным гомоморфизмом. 4. Пусть - нормальная подгруппа . Отображение группы G на факторгруппу G/H будет гомоморфизмом поскольку . Этот сюръективный гомоморфизм называется естественным. 5. По теореме С предыдущего раздела отображение сопряжения сохраняет операцию и , следовательно является гомоморфизмом. 6. Отображение , которое каждому перемещению n - мерного пространства ставит в соответствие ортогональный оператор (см . лекцию № 3) является гомоморфизмом поскольку по теореме 4 той же лекции . Теорема (свойства гомоморфизма ) Пусть - гомоморфиз м групп , и - подгруппы . Тогда : 1. , . 2. - подгруппа. 3. -подгруппа , причем нормальная , если таковой была . Доказательство. 1. и по признаку нейтрального элемента . Те перь имеем : . 2. Пусть p = (h) , q = (k) . Тогда и . По признаку подгруппы получаем 2. 3. Пусть то есть элементы p = (h) , q = (k) входят в . Тогда то есть . Пусть теперь подгруппа нормальна и - любой элемент . и потому . Определение. Нормальная подгруппа называется ядром гомоморфизма .Образ этого гомоморфизма обозначается . Теорема. Гомоморфизм инъективен тогда и только тогда , когда Доказательство. Поскольку , указанное условие необходимо . С другой стороны , если , то и если ядро тривиально , и отображение инъективно. Понятие гомоморф изма тесно связано с понятием факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Любой гомоморфизм можно представить как композицию естественного (сюръективного ) гомоморфизма , изоморфизма и (инъективного ) гомоморфизма (вложения подгруппы в группу ) : . Доказательство. Гомоморфизмы p и i описаны выше (см . примеры ) Построим изоморфизм . Пусть . Элементами факторгруппы являются смежные классы Hg . Все элементы имеют одинаков ые образы при отображении : . Поэтому формула определяет однозначное отображение . Проверим сохранение операции .Поскольку отображение очевидно сюръективно , остается проверить его инъективность . Если , то и потому . Следовательно , и по предыдущей теореме инъективно. Пусть - любой элемент . Имеем : . Следовательн о , . 10 Циклические группы. Пусть G произвольная группа и - любой ее элемент . Если некоторая подгруппа содержит g , то она содержит и все степени . С другой стороны , множество очевидно является подгруппой G . Определение. Подгруппа Z(g) называется циклической подгруппой G с образующим элементом g . Если G = Z(g) , то и вся групп а G называется циклической. Таким образом , циклическая подгруппа с образующим элементом g является наименьшей подгруппой G , содержащей элемент g . Примеры 1. Группа Z целых чисел с операцией сложения является циклической группой с образующим элементом 1. 2. Группа поворотов плоскости на углы кратные n является циклической с образующим элементо м - поворотом на угол n . Здесь n = 1, 2, ... Теорема о структуре циклических групп. Всякая беск онечная циклическая группа изоморфна Z . Циклическая группа порядка n изоморфна Z / nZ . Доказательство. Пусть G = Z(g) - циклическая группа . По определению , отображение - сюръективно . По с войству степеней и потому - гомоморфизм . По теореме о гомоморфизме . H = Ker Z . Если H - тривиальная подгруппа , то . Если H нетривиальна , то она содержит положительные числа . Пусть n - наименьшее положительное число входящее в H . Тогда nZ H . Предположим , что в H есть и другие элементы то есть целые числа не делящееся на n нацело и k одно из них . Разделим k на n с остатком : k = qn +r , где 0 < r < n . Тогда r = k - qn H , что противоречит выбору n . Следовательно , nZ = H и теорема доказана . Отметим , что Z / nZ . Замечание. В процессе доказательства было установлено , что каждая подгруппа группы Z имеет вид nZ , где n = 0 ,1 , 2 ,... Определение. Порядком элемента называется порядок соответствующей циклической подгруппы Z( g ) . Таким образом , если порядок g бесконечен , то все степени - различные элементы группы G . Если же этот порядок равен n , то элементы различны и исчерпывают все элементы из Z( g ) , а N кратно n . Из теоремы Лагранжа вытекает , что порядок элемента является делителем порядка группы. Отсюда следует , что для всякого элемента g конечной группы G порядка n имеет место равенство . Следствие. Если G - группа простого порядка p , то - циклическая группа. В самом деле , пусть - любой элемент отличный от нейтрального . Тогда его порядок больше 1 и является делителем p , следовательно он равен p . Но в таком случае G = Z( g ) . Теорема о подгруппах конечной циклической группы. Пусть G - циклическая группа порядка n и m - не который делитель n . Существует и притом только одна подгруппа H G порядка m . Эта подгруппа циклична. Доказательство. По предыдущей теореме G Z / nZ . Естественный гомоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между подгруппами H G и теми подгруппами K Z , которые содержат Ker = nZ . Но , как отмечалось выше , всякая подгруппа K группы Z имеет вид kZ Если kZ nZ , то k - делитель n и ( k) - образующая циклической группы H порядка m = n /k . Отсюда и следует утвержде ние теоремы. Верна и обратная теорема : если конечная группа G порядка n обладает тем свойством , что для всякого делителя m числа n существует и притом ровно одна подгруппа H порядка m , то G - циклическая группа. Доказательство. Будем говорить , что конечная группа G порядка N обладает свойством (Z) , если для всякого делителя m числа N существует и притом только одна подгруппа H G порядка m . Нам надо доказать , что всякая группа , обладающая свойством (Z) циклическая . Установим пре жде всего некоторые свойства таких групп. Лемма. Если G обладает свойством (Z) , то 1. Любая подгруппа G нормальна. 2. Если x и y два элемента такой группы и их порядки взаимно просты , то xy = yx . 3. Если H подгруппа порядка m такой группы G порядк а N и числа m и N/m взаимно просты , то H обладает свойством (Z) . Доказательство леммы. 1. Пусть H G . Для любого подгруппа имеет тот же порядок , что и H . По свойству (Z) то есть подгруппа H нормальна. 2. Пусть порядок x равен p, а порядок y равен q . По пункту 1) подгруппы Z(x) и Z(y) нормальны . Значит , Z(x)y = yZ(x) и xZ(y) = Z(y)x и потому для некоторых и . Следовательно , . Но , поскольку порядки подгрупп Z(x) и Z(y) взаимно просты , то . Следовательно , и потому xy = yx . 4. Используя свойство ( Z) , выберем в G подгруппу K порядка N/m . По 1) эта подгруппа нормальна , а поскольку порядки H и K взаимно просты , эти подгруппы пер есекаются лишь по нейтральному элементу . Кроме того по 2) элементы этих подгрупп перестановочны между собой . Всевозможные произведения hk = kh , где h H, k K попарно различны , так как = e поскольку это единственный общий элемент этих подгрупп . Количество таких произведений равно m N/m = и , следовательно , они исчерпывают все элементы G . Сюръективное отображение является гомоморфизмом с ядром K . Пусть теперь число s явля ется делителем m . Выберем в G подгруппу S порядка s . Поскольку s и N/m взаимно просты , и потому - подгруппа порядка s . Если бы подгрупп порядка s в H было несколько , то поскольку все они были бы и подгруппами G условие (Z) для G было бы нарушено . Тем самым мы проверили выполнение условия (S) для подгруппы H . Доказательство теоремы. Пусть - разложение числа N в произведение простых чисел . Проведем индукцию по k . Пусть сначала k = 1 , то есть . Выберем в G элемент x максимального порядка . Пусть y любой другой элемент этой группы . Его порядок равен , где u s . Группы и имеют одинаковые порядки и по свойству (Z) они совпадают . Поэтому и мы доказали , что x - образующий элемент циклической группы G . Пусть теорема уже до казана для всех меньших значений k . Представим N в виде произведения двух взаимно простых множителей N = pq ( например , ) . Пусть H и K подгруппы G порядка p и q . Использую 3) и предположен ие индукции , мы можем считать , что H = Z(x), K = Z(y) , причем xy = yx . Элемент xy имеет порядок pq = N и , следовательно , является образующим элементом циклической группы G . 11. Некоторые теоремы о подгруппах конечных групп. Теорема Коши . Если порядок ко нечной группы делится на простое число p , то в ней имеется элемент порядка p . Прежде чем переходить к доказательству этой теоремы , отметим , что если g e и , где p - простое число , то порядок g равен p . В самом деле , если m - порядок g , то p делится на m , откуда m=1 или m=p . Первое из этих равенств невозможно по условиям выбора g . Индукция , с помощью которой проводится дока зательство теоремы , основана на следующей лемме Лемма. Если некоторая факторгруппа G/H конечной группы G имеет элемент порядка p , то тем же свойством обладает и сама группа G . Доказательство леммы. Пусть - элемент порядка p . Обозначим через m порядок элемента . Тогда и значит m делится на p . Но тогда - элемент порядка p . Доказательство теоремы Коши. Зафиксируем простое число p и будем проводить индукцию по порядку n группы G . Если n=p , то G Z/pZ и теорема верна . Пусть теорема уже доказана для всех групп порядка меньше n и , причем n делится на p . Рассмотрим последовательно несколько случаев 1. G содержит собственную ( то есть не совпа дающую со всей группой и нетривиальную ) подгруппу H , порядок которой делится на p . В этом случае порядок H меньше n и по предположению индукции имеется элемент порядка p . Поскольку в этом случае теорема доказана. 2. G содержит собственную нормальную подгруппу . Если ее порядок делится на p , то по 1 теорема доказана . В противном случае на p делится порядок факторгру ппы G/H и теорема в этом случае следует из доказанной выше леммы. 3. Если G - коммутативна , то возьмем любой . Если порядок g делится на p , то теорема доказана по 1, поскольку Z(g) G . Если это не так , то , поскольку в коммутативной группе все подгруппы нормальны , теорема доказана по 2. 4. Остается рассмотреть случай , когда порядки всех собственных подгрупп G не делятся на p , группа G проста ( то есть не имеет собственных нормальных подгрупп ) и не коммутативна . Покажем , что этого быть не может . Поскольку центр группы G является нормальной подгруппой и не может совпадать со всей группой , он тривиален . Поэтому G можно рассматривать как группу преобразований сопряжения на множестве G . Рассмотрим разбиение множества G на классы сопряженных элементов : . Здесь отдельно выделен класс и классы неединичных элементов . Стабилизатор St(g) элемента g e представляет собой подгруппу группы G , не совпадающую со всей группой . В самом деле , если St(g) = G , то g коммутирует со всем и элементами из G и потому g Z(g) = e . Значит , порядок этой подгруппы не делится на p , а потому делится на p: . Но тогда - не делится на p , что не соответствует условию. Замечание. Если число p не является простым , то теорема неверна даже для коммутативных групп . Наприме р , группа порядка 4 коммутативна , но не является циклической , а потому не имеет элементов порядка 4. Теорема о подгруппах коммутативной группы. Для конечной коммутативной группы G справе длива теорема обратная к теореме Лагранжа : если m - делитель порядка группы , то в G имеется подгруппа порядка m . Доказательство. Проведем индукцию по порядку n группы G . Для n = 2 теорема очевидна . Пусть для всех коммутативных групп порядка < n теорема до казана . Пусть простое p делит m . По теореме Коши в G имеется циклическая подгруппа S порядка p . Так как G коммутативна , S - нормальная подгруппа . В факторгруппе G/S используя предположение индукции выберем подгруппу K порядка m/p .Если естественный гомоморфизм , то - подгруппа G порядка m . Замечание. Для некоммутативных групп данная теорема неверна . Так , например , в группе четных перестановок степени 4, которая имеет порядок 12, нет подгрупп шестого порядка.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Едет мужик на рыбалку в четыре утра.
Вдруг из кустов выскакивает гаишник и останавливает его:
- Ваши документы!
Мужик достаёт права и техпаспорт.
- Нормальные люди в это время спят, а он куда-то собрался. Это очень подозрительно... - нахмурив брови, говорит гаишник.
- Вот и я думаю: нормальные люди в четыре утра дома с жёнами спят, а вы тут в кустах сидите. Подозрительно...
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по социологии "Абстрактная теория групп", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru