Реферат: Нестандартный анализ - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Нестандартный анализ

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 223 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Нестандартный анализ возник в 1960 году, когда Абрахам Робин сон, специалист по теории моделей, понял, каким образом методы математич еской логики позволяют оправдать классиков математического анализа XVII и XVIII вв., поставив на строгую основу их рассуждения, использующие “бесконе чно большие” и бесконечно малые величины. Таким образом, речь шла не о как их-то новых “нестандартных” методах, не имеющих ничего общего с традицио нной математикой, а о развитии новых средств внутри стандартной (теорети ко-множественной) математики. Нестандартный анализ остался бы любопытным курьезом, ес ли бы единственным его приложением было обоснование рассуждений класс иков математического анализа. Он оказался полезным и при развитии новых математических теорий. Нестандартный анализ можно сравнить с мостом, пе реброшенным через реку. Постройка моста не расширяет доступной нам терр итории, но сокращает путь с одного берега на другой. Подобным образом нес тандартный анализ делает доказательства многих теорем короче. Однако, быть может, главное значение нестандартного анал иза состоит в другом. Язык нестандартного анализа оказался удобным сред ством построения математических моделей физических явлений. Идеи и мет оды нестандартного анализа могут стать важной частью будущей физическ ой картины мира. Во всяком случае уже сейчас многие специалисты по матем атической физике активно используют нестандартный анализ в своей рабо те. Несколько примеров нестандартного анализа: Пример 1. Вычислим производную функции . Дадим аргументу x приращение dx, перейдя от точки x к точке x+dx. Выясним, насколько при этом изменилось знач ение функции . В точке х оно равн ялось . В точке оно равняется . Таким образом, оно изменилось на . Отношение приращения фун кции к приращению аргумента равно Если бес конечно мало, то членом в сумме можно пренебречь, и искомая пр оизводная равна . Пример 2. Вычислим аналогичным способом производную функции . При ращение равно ; час тное р авно . Взяв бесконечно малым, получаем, чт о производная равна . Пример 5. Построени е неизмеримого множества. Каждое действительное число , удовлетворяющее неравенств у ,разлагаем в бесконечную двои чную дробь; для обеспечения однозначности запрещаем разложения с беско нечным числом идущих подряд единиц. Фиксируем произвольное бесконечно большое натуральное число и от бираем те действительные числа , у которых -й член разложения равен едини це; множество всех отобранных таким образом действительных чисел неизм еримо по Лебегу. Если примеры 1 и 2 хотя и могут шокировать нас наивной нестрогостью, но всё же в известной мере соответствуют интуиции, то пример 5 представляется п росто-напросто абракадаброй. Нестандартный анализ, однако, почти сплошь состоит из подобной абракада бры, имеющей в нём точный математический смысл. Он позволяет, в частности, с новой точки зрения посмотреть на многие рассуждения классиков матема тического анализа, кажущиеся нестрогими, но приводящие к успеху, и путём относительно небольших уточнений сделать их удовлетворяющими совреме нным критериям строгости. ЧТО ТАКОЕ БЕСКОНЕ ЧНО МАЛЫЕ ? Один из наиболее п ринципиальных моментов нестандартного анализа состоит в том, что беско нечно малые рассматриваются не как переменные величины, а как величины п остоянные. Достаточно раскрыть любой учебник физики, чтобы натолкнутьс я на бесконечно малые приращения, бесконечно малые объёмы и т. п. Все эти в еличины мыслятся, разумеется, не как переменные, а просто как очень мален ькие, почти равные нулю. Итак, речь будет идти о бесконечно малых числах. Какое число следует назы вать бесконечно малым? Предположим, что это положительное число , если оно меньше всех положите льных чисел. Легко понять , что такого не бывает: если больше нуля , то оно является о дним из положительных чисел , поэтому наше определение требует , чтобы чи сло было меньше самого себя. П оэтому потребуем, чтобы было на именьшим в множестве положительных чисел. На числовой оси такое должно изобразиться самой ле вой точкой множества . К сожалени ю числа с указанными свойствами тоже нет и быть не может: число бу дет положительным числом, меньшим . Более точное определение бесконечной малости числа >0 , которое мы будем использоват ь в дальнейшем таково. Будем скла дывать число с самим собой, пол учая числа + и т. д. Если все полученные числ а окажутся меньше 1, то число и бу дет называться бесконечно малым. Другими словами, если бесконечно мало, то сколько ра з не откладывай отрезок длины вд оль отрезка длины 1, до конца не дойдёшь. Наше требование к бесконечно мало му можно переписать в такой форм е 1< Таким образом, есл и число бесконечно мало, то число бес конечно велико в том смысле, что оно больше любого из чисел : 1, 1+1, 1+1+1, 1+1+1+1 и т.д. Из сказанного можно видеть, что существование бесконечно малых противоре чит так называемой аксиоме Архимеда, которая утверждает, что для любых д вух отрезков А и В можно отложить меньший из них (А) столько раз, чтобы в сум ме получить отрезок, превосходящий по длине больший отрезок (В). Вывод таков: если мы хотим рассматривать бесконечно малые , мы должны рас ширить множество R действительных чисел до некоторого большого множест ва *R. Элементы этого нового множества мы будем называть гипердействител ьными числами. В нём аксиома Архимеда не выполняется и существуют бескон ечно малые числа, такие, что сколько их не складывай с собой, сумма будет в сё время оставаться меньше 1. Нестандартный, или неархимедов, анализ изуч ает множество гипердействительных чисел *R. Какие требования естественно предъявлять к гипердействительным числа м? 1). Чтобы множество гипердействительных чисел содержало все обыкновенны е действительные числа: R *R. 2).Чтобы над гипердействительными числами можно было выполнять обычные о перации: любые два гипердействительные числа нужно уметь складывать, ум ножать, вычитать и делить, причем так, чтобы выполнялись обычные свойств а сложения и умножения. Кроме того, нужно уметь сравнивать гипердействит ельные числа по величине, т.е. решить какое из них больше. Пусть имеется некоторое множество Р, в нём выделены некоторые элементы 0 и 1 и определены операции сложения, вычитания, умножения и деления, ставящ ие в соответствие двум любым элементам и множества Р их сумму , произведение , разность и частное (если ). Пусть при этом перечисленные операции обладают всеми обычными свойствами. 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. (если ). В таком случае множество Р называется полем. Пусть на поле Р введён порядок, т. е. для любой пары не равных друг другу элементов и определено, который из них бол ьше. При этом выполняются такие свойства: 10. ес ли и , то ; 1. если , то для любого ; 2. если , , то ; если , , то . В таком случае гов орят, что введенный порядок превращает Р в упорядоченное поле. Упорядоче нное поле Р является неархимедовым тогда и только тогда, когда в нём есть положительные бесконечно малые элементы. Упорядоченное поле Р называе тся расширением поля действительных чисел R, если Р содержит все действи тельные числа и, кроме того, операции и порядок из Р, рассматриваемые на эл ементах их R, совпадают с обычными арифметическими операциями и обычным порядком на действительных числах. ПРИМЕР НЕАРХИМЕДО ВОЙ ЧИСЛОВОЙ СИСТЕМЫ Построим пример н еархимедова упорядоченного поля, являющегося расширением поля действи тельных чисел. Предположим, что искомое расширение *R уже построено, и исследуем его стро ение. Элементы множества *R мы будем называть гипердействительными числа ми. Среди них содержатся и все действительные числа. Чтобы отличить их, бу дем называть действительные числа (элементы R) стандартными, а остальные гипердействительные числа (элементы *R/R)— нестандартными. По нашему предположению, поле *R содержит бесконечно малые числа, не равны е нулю. Гипердействительное число называется бесконечно малым, если все суммы и т. д. меньше 1. Здесь через обозначен модуль гипердействительного числа , определяемый так . Отметим, что станд артное число 0 также оказывается, согласно этому определению, бесконечно малым. Но все остальные бесконечно малые числа не могут стандартными. Эт о следует из того, что для стандартных чисел справедлива аксиома Архимед а. Наряду с бесконечно малыми в поле *R существуют и бесконечно большие. Мы на зываем гипердействительное число А бесконечно большим, если и т.д. Если, бесконечно мало, но отлично от нуля, то число бесконечно велик о. Верно и обратное, если число А бесконечно велико, то число бесконечно мало. Отсюда следу ет, что все бесконечно большие числа нестандартны. Гипердействительные числа, не являющиеся бесконечно большими, называю тся конечными. Каждое конечное гипердействительное число можно представить в виде где - стандартное число, а - бесконечно малое. Пусть - конечное гипердействительн ое число. Разобьём действительные числа на два класса: меньшие и большие . Т.к. конечно, то оба класса не пусты . По “аксиоме полноты“ существует действительное число , разделяющее эти классы. Легко видеть, что будет бесконечно малым. Число называется станд артной частью конечного гипердействительного числа . Обозначается это так: . Таким образом, множество коне чных гипердействительных чисел разбивается на классы. Эти классы назыв аются монадами. Монадой стандартного числа называется множество всех бе сконечно близких к нему гипердействительных чисел. Обсудив структуру нестандартного “микромира”, скажем несколько слов о строении нестандартного “макромира”. Их можно разбить на классы (“галак тики”), каждый из которых устроен, подобно множеству всех конечных гипер действительных чисел. Среди галактик нет ни самой большой, ни самой мало й; между любыми двумя галактиками есть бесконечно много других галактик . ЧТО ЕЩЕ НУЖНО ОТ БЕ СКОНЕЧНО МАЛЫХ ? Рассмотрим, что по лучается в результате построения поля гипердействительных чисел. Прежде всего, мы получаем не архимедово расширение поля действительных чисел. Кроме того, “каждому объекту стандартного мира” поставлен в соотв етствие его аналог в “нестандартном мире”. Именно нестандартным аналог ом любого действительного числа является оно само; любому подмножеству А множества R соответствует подмножество *А множества *R, каждой функции f и з R в R соответствует функция *f из *R в *R, каждой двуместной функции g из R в R соотв етствует функция *g из *R в *R и т. д. Разумеется, эти аналоги *A, *f, *g не произвольны, а должны обладать некоторыми специальными свойствами: так, *А , на действительных числах f и *f совпадают, так что *f является продолжением для f, а *g - продолжением для g . При этом оказывается выполненным так называемый принцип переноса, утвержд ающий грубо говоря, что гипердействительные аналоги стандартных объек тов обладают теми же самыми свойствами, что и исходные стандартные объек ты. Покажем теперь, как принцип переноса позволяет нам обосновать наши прим еры. Пример 1 становится вполне корректным: нужно сказать лишь, что произв одной функции в стандартной точ ке называется стандартная часть отношения . Во втором пример е рассматривается функция извлечения корня и её гипердействительное п оложение. Мы пользуемся равенством ; первое из них представляет собой стандартное определение квадра тного корня, второе получается по принципу переноса. Приведем еще два примера “нестандартных определений” стандартных поня тий. Пусть - последовательно сть действительных чисел, или, другими словами, функция из N в R. Её нестанда ртный аналог представляет собой функцию из *N в *R; значение этой функции на гипернатуральном числе m естественно обозначать . Определение предела. Стандартное число называется пределом последов ательности , если все бесконе чно далекие члены этой последовательности бесконечно близки к , т.е. для всякого нестандартно го гипернатурального числа раз ность бесконечно мала. Определение предельной точки. Стандартное число называется предельной точкой последовательности , если некот орые бесконечно далёкие члены последовательности бесконечно близки к , т.е. существует такое нестанд артное гипернатуральное число , что разность бесконечно мала. ЧТО ЖЕ ТАКОЕ ГИПЕР ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО ? Гипердействитель ные числа можно рассматривать как классы последовательностей обыкнове нных действительных чисел. Рассмотрим способ построения классов. Его оп ределение будет использовать так называемый нетривиальный ультрафиль тр на множестве натуральных чисел. Объясним, что это такое. Пусть некоторые множества натуральных чисел называются “большими”, а н екоторые - “малыми”, причем выполнены следующие свойства: 1. Лю бое множество натуральных чисел является либо большим, либо малым. Ни од но множество не является большим и малым одновременно. 2. Дополнение (до N) любого малого множеств а является большим, дополнение любого большого множества - малым. 3. Любое подмножество малого множества я вляется малым, любое надмножество большого - большим. 4. Объединение двух малых множеств являе тся малым, пересечение дух больших множеств - большим. 5. Всякое конечное множество является ма лым, всякое множество, имеющее конечное дополнение - большим. С помощью такого ультрафильтра построим искомое неархим едово расширение поля действительных чисел. Будем говорить, что последовательности эквивалентны, если равенство “выполнено почти при всех i “, т. е. Если множество тех i , при которых , большое. Согласно свойству 5 любые последовательности, отличающи еся в конечном числе членов, эквивалентны. С каждой последовательностью сопоставим ее класс эквивалентности - класс всех эквивалентных ей после довательностей. Получающиеся классы эквивалентности будут называться гипердействительными числами. Обыкновенные действительные числа вкла дываются в множество гипердействительных чисел. Таким образом, *R оказыв ается, как мы того и хотели, расширением множества R. Определим сложение и умножение на гипердействительных числах. Пусть кл асс содержит последовательн ость , класс - последовательность . Назовем суммой классов и класс, содержащий последоват ельность ,а произведением последовательность . Корректно сть этих определений обеспечивается свойством 4 из определения ультраф ильтра. Итак, мы ввели на множестве гипердействительных чисел сложение, умножен ие и порядок. Нетрудно проверить, что мы получили упорядоченное поле, т.е. что в множестве гипердействительных чисел выполняются все обычные сво йства сложения, умножения и порядка. Аксиома Архимеда, однако, в этом поле не выполняется. ПОСТРОЕНИЕ ПОЛЯ Г ИПЕРДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ КОМПАКТНОСТИ Рассмотрим другой метод построения поля гипердействительных чисел. Но прежде мы должны об судить понятие логического языка и понятие интерпретации этого языка. Р ассмотрим общее понятие односортного языка первого порядка. Пусть фиксирован набор символов , элементы которого мы будем называть предикатными символами, и на бор , элементы которого мы буд ем называть функциональными символами. Пусть каждому предикатному и фу нкциональному символу сопоставлено некоторое натуральное число, назыв аемое числом аргументов, или валентностью, соответствующего символа. В т аком случае говорят, что задан некоторый язык. Определим теперь понятие формулы данного языка. Выберем и зафиксируем б есконечную последовательность символов, называемых переменными. Пусть это будут например символы Опр еделим в начале понятие терма. Именно (Т1) любая переменная и любой функцио нальный символ с нулем аргументов суть термы; (Т2) если термы уже построены, а f - функциональный символ с m аргументами, то выражение есть терм. Термами называются те и только те выражения, которые можно получить путе м многократного применения правил (Т1) и (Т2). Определим теперь понятие форм улы следующим образом: (Ф1) если t и s термы, то (t=s) - формула; (Ф2) если - термы, а Р - предикатный символ с m аргументами, то Р ) - формула; если Р - предикатный символ с нулем аргументов, то Р - формула; (Ф3) если Р и Q- формулы, то - формулы; (Ф4) если Р - формула, а - переменная, то и - формулы. Формулами называют те и только те выражения, которые можно получить путе м многократного применения правил (Ф1)-(Ф4). Определить интерпретацию языка L означает: 1. вы брать некоторое множество М - носитель интерпретации; 2. с каждым предикатным символом Р валент ности m сопоставить некоторый m-местный предикат; 3. С каждым функциональным символом f вал ентности k сопоставить некоторую функцию F, ставящую в соответствие любо й k-элементной последовательности элементов М некоторый элемент М:F: . Истинность формул зависит от выбора интерпретации и от зн ачений переменных, входящих в эту формулу свободно. Если формула не соде ржит свободных вхождений, то ее истинность зависит только от выбора инте рпретации. Формулы языка, не содержащие свободных вхождений переменных, называют суждениями данного языка. Как только мы зафиксировали какую-то интерпретацию языка, все суждения разделяются на истинные и ложные. Теперь мы в состоянии точно сказать, что мы называем гипердействительны ми числами. Именно, системой гипердействительных чисел называется люба я интерпретация Р рассмотренного языка RL, в которой истинны те же суждени я, что и в стандартной интерпретации, но для которой не выполнена аксиома Архимеда. Элементы носителя этой интерпретации и называются гипердейс твительными числами. Таким образом, возможно много систем гипердействи тельных чисел. Вернемся к построению системы гипердействительных с помощью методов м атематической логики. Введем несколько понятий. Пусть фиксирован некоторый язык L. Пусть Т- неко торое множество суждений этого языка. Будем говорить, что интерпретация Р языка L является моделью Т, если все суждения из Т истинны в Р. Возьмем в ка честве L рассмотренный выше язык RL, в качестве Т - множество Tr всех суждений этого языка, истинных в стандартной его интерпретации. Тогда в соответст вии с нашим определением стандартная интерпретация, так же как и любая с истема гипердействительных чисел, будет моделью для Tr. Теперь задачу оты скания системы гипердействительных чисел можно сформулировать так: на йти модель множества Tr, которая не удовлетворяет аксиоме Архимеда. Введем еще один термин, относящийся к произвольному языку L и произвольн ому множеству Т суждений языка L.Назовем множество Т совместным, если сущ ествует его модель, т.е. если существует интерпретация языка L, в которой и стинны все формулы из Т. Теперь все готово для того, чтобы сформулировать теорему компактности Мальцева. Теорема компактности. Пусть имеется произвольный язык L и произвольное м ножество Т суждений этого языка. Пусть каждое конечное подмножество множества Т совместно. Тогда м ножество Т совместно. Эта теорема показывает, что для построения модели множества Т достаточн о уметь строить модели всех конечных подмножеств множества Т. Существуют два способа доказательства. Один из них использует нетривиа льные ультрафильтры, а другой метод состоит в применении одной из центра льных теорем логики - теоремы Гёделя-Мальцева о полноте, рассмотрим его б олее подробно. Определяется понятие выводимости данного суждения из данного множества суждени й Т. Выводимость из Т означает, что существует последовательность формул, каждая из которых принадлеж ит либо Т , либо заранее фиксированному множеству, либо получается из пре дидущих членов последовательности по определенным правилам, причем по следней формулой этой последовательности является формула . Последовательность формул, о бладающая описанными свойствами, называется выводом формулы из множества формул Т. Свойство выводимости: если формула выводится из множества Т, то существует такое конечное подмножест во , что формула выводится из множества . Наконец, назовем множество су ждений противоречивым, если из него выводится одновременно некоторое с уждение и его отрицание . Теперь сформулируем теорему Гёделя о полноте. Теорема. Пусть L - произвольный язык, Т - множество суждений этого языка. Тог да следующие свойства равносильны: а) Т - совместно; б) Т- не противоречиво. Э та теорема позволяет заменить семантическое (т.е. апеллирующее к интерпр етациям ) свойство совместимости на синтаксическое (рассматривающие фо рмулы только как знакосочетания в отрыве от их смысла) свойство непротив оречивости. Из неё легко вытекает теорема компактности. Основная трудно сть в построении гипердействительных чисел заключена именно в доказат ельстве теоремы о полноте. Так что,. Построение системы гипердействитель ных чисел с помощью теоремы о полноте ничем не лучше и не хуже, чем её пост роение с помощью нетривиальных ультрафильтров. ИСТОРИЯ НЕСТАН ДАРТНОГО АНАЛИЗА Возраст нестандар тного анализа колеблется от двух десятков до трех сотен лет. Два десятка получается, если считать, что нестандартный анализ зародился осенью 1960 го да, когда его основатель, Абрахам Робинсон, сделал на одном из семинаров П ринстонского университета доклад о возможности применения методов мат ематической логики к обоснованию математического анализа. Триста лет п олучается, если считать началом нестандартного анализа появление симв олов бесконечно малых dx и dy в трактате Лейбница. Как и всякое другое научное направление, нестандартный анализ возник не на пустом месте. Основные его источники: во-первых, это идущая от классико в математического анализа традиция употребления бесконечно больших и бесконечно малых - традиция, сохранившаяся до нашего времени. Второй, мен ее очевидный источник - нестандартные модели аксиоматических систем, по явившиеся в математической логике. К 1960 году методы построения нестандартных моделей были давно разработан ы и хорошо известны специалистам по теории моделей, одним из основателей которой был А. Робинсон. Оставалось лишь соединить их с идеями о применен ии бесконечно малых величин в анализе, чтобы положить начало развитию не стандартного анализа. В 1961 г. появила сь статья А. Робинсона “Нестандартный анализ” в Трудах Нидерландской ак адемии наук. В статье были намечены как основные положения нестандартно го анализа, так и некоторые его приложения. В течении последующих восьми лет вышли в свет три монографии, излагающие нестандартную теорию: в 1962 г. - книга В.А. Дж. Люксембурга “Нест андартный анализ. Лекции о робинсоновой теории бесконечно малых и беско нечно больших чисел” , в 1966 г. - книга с амого А. Робинсона “Нестандартный анализ” и в 1969 г. - книга М. Маховера и Дж. Хиршфелда “Лекции о нестандартном анализе”. Наибольший резонанс вызвала книга Робинсона. В девяти первых главах это й монографии содержалось как построение необходимого логико-математич еского аппарата, так и многочисленные приложения - к дифференциальному и интегральному исчислению, к общей топологии, к теории функций комплексн ого переменного, к теории групп Ли, к гидродинамике и теории упругости. В 1966 г. появилась статья А.Р. Бернстей на и А. Робинсона, в которой впервые методами нестандартного анализа был о получено решение проблемы инвариантных пространств для полиномиальн о компактных операторов. В очерке П.Р. Халмоша “взгляд в гильбертово прос транство” в качестве проблемы фигурирует поставленная К.Т. Смитом задач а о существовании инвариантного подпространства для таких операторов Т в гильбертовом пространстве , д ля которых оператор компактен. А.Р. Бернстейном и А. Робинсоном методами нестандартного анализа было до казано, что любой полиномиально компактный оператор в гильбертовом про странстве имеет нетривиальное инвариантное замкнутое подпространств о. Приложения нестандартного анализа внутри математики охватывают обшир ную область от топологии до теории дифференциальных уравнений, теории м ер и вероятностей. Что касается внематематических приложений, то среди н их мы встречаем даже приложения к математической экономике. Многообеща ющим выглядит использование нестандартного гильбертова пространства для построения квантовой механики. А в статистической механике станови тся возможным рассматривать системы из бесконечного числа частиц. Поми мо применений к различным областям математики, исследования в области н естандартного анализа включают в себя и исследование самих нестандарт ных структур. В 1976 г. вышли сразу три книги по неста ндартному анализу: “Элементарный анализ” и “Основания исчисления беск онечно малых” Г. Дж. Кейслера и “Введение в теорию бесконечно малых” К. Д. С тройана и В. А. Дж. Люксембурга. Быть может, наибольшую пользу нестандартые методы могут принести в обла сти прикладной математики. В 1981 г. вы шла книга Р. Лутца и М. Гозе “Нестандартный анализ: практическое руководс тво с приложениями”. В этой книге после изложения основных принципов нес тандартного анализа рассматриваются вопросы теории возмущений. В настоящее время нестандартный анализ завоёвывает всё большее призна ние. Состоялся ряд международных симпозиумов, специально посвященных н естандартному анализу и его приложениям. В течении последнего десятиле тия нестандартный анализ ( точнее, элементарный математический анализ, н о основанный на нестандартном подходе) преподавался в ряде высших учебн ых заведений США. Литература 1. Ус пенский В.А. “Нестандартный, или неархимедов, анализ”. - М.: Знание, 1983 г. - 64 с. ( Новое в жизни, науке, технике. Сер. “Мат ематика, кибернетика”; № 8 ). 2. Девис М. “Прикладной нестандартный ана лиз”. - М., Мир, 1980. (Русский перевод книги: Davis M. Applied nonstandard analysis. New York et al.; John Wiley & Sons, 1977) .
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Проще всего имитировать маразм.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Нестандартный анализ", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru