Реферат: Евклидова и неевклидова геометрия - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Евклидова и неевклидова геометрия

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 828 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

10 Евклидова и неевклидова геометрия Содержание : Постулаты Евклида Попытки доказательства V постулата Евклида Кант об априорных понятиях Появление неевклидовой геометрии Янош Бояи . Геометрия Лобачевского Непротиворечивость геометрии Лобач евского Развитие евклидовой геометрии С писок литературы : Постулаты Евкли да Евклид – автор первого дошедшег о до нас строгого логического построения геометрии . В нем изложение настолько безупреч но для своего времени , что в течение д вух тыся ч лет с момента появления его труда “Начал” оно было единственным руководством для изучающих геометрию. “Начала” состоят из 13 книг , посвященных геометрии и арифметике в геометрическом из ложении. Каждая книга “Начал” начинается определен ием понятий , которы е встречаются впервые . Так , например , первой книге предпосланы 23 определения . В частности, Определение 1. Точка есть то , что не имеет частей. Определение 2. Линия есть длины без шир ины Определение 3. Границы линии суть точки. Вслед за определениями Евк лид при водит постулаты и аксиомы , то есть утвержд ения , принимаемые без доказательства. Постулаты I . Требуется , чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию. II . И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить. III. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом. IV. И чтобы все прямые углы были р авны. V. И чтобы всякий раз , когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образ ует с ними односторонние внутренн ие углы, сумма которых меньше двух прямых , эти прямые пересекались с той стороны , с которой эта сумма меньше двух прямых. Аксиомы I. Равные порознь третьему равны между собой. II. И если к ним прибавим равные , то получим ра вные. III. И если от равных отнимем равные , то получим равные. IV. И если к неравным прибавим равные , то получим неравные. V. И если удвоим равные , то получим равные. VI. И поло вины равных равны между собой. VII. И с овмещающиеся равны. VIII. И цел ое больше части. IX. И две прямые не могут заключать пространства. Иногда IV и V постулаты отн осят к числу аксиом . Поэтому пятый постула т иногда называют XI аксиомой . По какому принципу одни утверждения относятся к постулатам , а другие к аксиомам , неи звестно. Ник то не сомневался в истинности постулатов Евклида , что касается и V постулата . Между тем уже с древности именно постулат о параллельных привлек к себе особое в нимание ряда геометров , считавших неестественным помещение его среди постулатов . Вероятно , это был о связано с относительно мень шей очевидностью и наглядностью V постулата : в неявном виде он предполагает достижимость любых , как угодно далеких частей плоскости , выражая свойство , которое обнаруживается тольк о при бесконечном продолжении прямых. Попытки доказательства V постулата Евклида Возможно , что уже сам Евклид пытался доказать постулат о параллельных . В пользу этого говорит то обстоятельство , что первые 28 предложений “Нач ал” не опира ются на V постулат . Евклид как бы старался от одвинуть применение этого постулата до тех пор , пока использование его не станет н астоятельно необходимым. Одни математики старались доказать постул ат о параллельных , применяя только другие постулат ы и те теоремы , которые можно вывести из последних , не используя сам V постулат . Все такие попытки оказались неудачными . Их общий недостаток в том , что в доказат ельстве неявно применялось какое-нибудь предполож ение , равносильное доказываемому постулату. Др угие предлагали по-новому определит ь параллельные прямые или же заменить V постулат к аким-либо , по их мнению , более очевидным пр едложением . Так , например , в XI веке Омар Хайям вве л вместо V постулата “принцип” , согласно которому две лежащие в одной плоско сти сходящи еся прямые пересекаются и не могут расход иться в направлении схождения . С помощью э того принципа Хайям доказывает , что в четы рехугольнике ABCD , в котором углы при основании А и В – прямые и стороны АС , В D равны , углы С и D так же прямые , а из э того предложения о существовании прямоугольника выв одится V постулат . Рассуждения Хайяма получили оригинально е развитие в XIII веке у Насирэдинна ат-Туси , работы которого в свою очередь стимулировали ис следования Д . Валлиса . В 1663 году Валлис дока зал пост улат о параллельных , исходя из явного допущения , что для каждой фигуры существует подобная ей фигура произвольной величины . Это допущение он считал вытекаю щим из существа пространственных отношений. С логической точки зрения результаты Хайяма или Валлиса л ишь выявляли равн осильность V постулата и некоторых других предложен ий геометрии . Так , Хайям , по существу , устан овил эквивалентность постулата и предложения о сумме углов треугольника , а Валлис показ ал , что не только из V постулата можно вывести учение о п одобии , но и обратно – их евклидова учения о подобии следуе т V постула т. Один из обнадеживающих способов подхода к доказательству пятого постулата , которым пользовались многие геометры XVIII и первой половины XIX веков , состоит в том , что пятый постулат за меняется его отрицанием или каким-либо утверждением , эквивал ентным отрицанию . Опираясь на измененную таки м образом систему постулатов и аксиом , док азываются всевозможные предложения , логически из нее вытекающие . Если пяты й постулат действительно вытекает из ос тальных постулатов и аксиом , то измененная указанным образом система постулатов ми ак сиом противоречива . Поэтому рано или поздно мы придем у двум взаимно исключающим в ыводам . Этим и будет доказан пятый постула т. Именно таким путем пытались доказать пя тый постулат Д . Саккери (1667-1733), И . Г . Ламберт (1728-1777) и А.М . Лежандр (1752-1833). Исследования Саккери были опубликованы в 1733 году под названием “Евклид , очищенный о т всяких пятен , или опыт , устанавливающий самые первые принципы универсальной ге ометрии”. Саккери исходил из рассмотрения четырехуг ольника с двумя прямыми углами при основании и с двумя равными боковыми сторонами и . Из симметрии фигуры относительно перпендикуляра к середине основания следует , что углы при вершинах и равны . Если принять пятый постулат и , следовательно , евк лидову теорию параллельных , то можно установи ть , что углы и прямые и - прямоугольник . Обратно , как доказывает Саккери , если хотя бы в одном четырехугольнике указанного в ида углы при ве рхнем основании окажут ся прямыми , то будет иметь место евклидов постулат о параллельных . Желая доказать э тот постулат Саккери делает три возможных предположения : либо углы и прямые , либо тупые , либо острые (гипотезы прямого , остр ого и тупого угла ). Для доказательства пят ого постулата необходимо опровергнуть гипотезы острого и тупого угла . Совершенно точ ными рассуждениями Саккери приводит к противо речию гипотезу тупого угла . Вслед за тем , приняв гипотезу острого угла , он выводит весьма далеко идущие ее следствия с тем , чтобы и здесь получить противоречие . Развивая эти следствия Саккер и стро ит сложную геометрическую систему , не заключа я о противоречии только потому , что получе нные им выводы не соответствуют привычным представлениям о расположении прямых . В рез ультате он “находит” логическое противоречие , но в результате вычислительной о шиб ки. Идеи Ламберта , развитые им в сочинении “теория параллельных линий” (1766г .), близко п римыкают к соображениям Саккери. Он рассматривает четырехугольник с тремя прямыми углами . Относительно четвертого угла так же возникают три гипотезы : этот у гол прям ой , тупой или острый . Доказав эквивалентность пятого постулата гипотезе пр ямого угла и сведя к противоречию гипотез у тупого угла , Ламберт , подобно Саккери , вы нужден заниматься гипотезой острого угла . Она приводит Ламберта к сложной геометрической системе, в которой ему не удал ось встретить логического противоречия . Ламберт нигде в своем сочинении не утверждает , что V по стулат им доказан , и приходит к твердому заключению , что и все другие попытки в этом направлении не привели к цели. “Доказательства евклидо ва постулата , - пишет Ламберт , - могут быть доведены столь далеко , что остается , по-видимому , ничтожная мел очь . Но при тщательном анализе оказывается , что в этой кажущейся мелочи и заключае тся вся суть вопроса ; обыкновенно она соде ржит либо доказываемое п р едложение , либо равносильный ему постулат”. Более того , развивая систему гипотезы острого угла , Ламберт обнаруживает аналогию э той системы со сферической геометрией и в этом усматривает возможность ее существовани я. “Я склонен даже думать , что третья гипо теза справедлива на какой-нибудь мн имой сфере . Должна же быть причина , вследс твие которой она на плоскости далеко не поддается опровержению , как это легко может быть сделано со второй гипотезой”. Лежандр в своем доказательстве пятого постулата рассматривае т три гипотезы о тносительно суммы углов треугольника. 1. Сумма углов треуголь ника равна двум прямым. 2. Сумма углов треуголь ника больше двух прямых. 3. Сумма углов треуголь ника меньше двух прямых. Он д оказал , что первая гипотеза эквивалентна пято му пост улату , вторая гипотеза невозможна ; и приняв третью гипотезу приходит к противоречию , неявно воспользовавшись в доказател ьстве пятым постулатом через один из его эквивалентов. В результате проблема параллельных остава лась к началу XIX века неразрешенной и п оложени е казалось безвыходным . Большой знаток вопрос а венгерский математик Фаркаш Бояи в 1820 год у писал своему сыну Яношу : “Молю тебя , не делай только и ты попыток одолеть теорию параллельных линий : ты затратишь на это все свое время , а предложения этого вы не докажете все вместе . Не пытайся одолеть теорию параллельных линий ни тем способом , который ты сообщаешь м не , ни каким-либо другим . Я изучил все пути до конца : я не встретил ни одной идеи , которой бы я не разрабатывал . Я прошел весь беспросветный мра к этой ночи , и всякий светоч , всякую радость жизни я в ней похоронил… Этот беспро светный мрак… никогда не прояснится на зе мле , и никогда несчастный род человеческий не будет владеть чем-либо совершенным даже в геометрии . Это большая и вечная ран а в моей ду ш е…” . Беспросветный мрак , о котором с горечью писал старший Бойяи , рассеял Лобачевский и , несколько п озднее , Я . Бояи. Кант об априорных понятиях В то время многие математики с во одушевлением вос приняли философскую теорию Иммануила Канта о человеческом познании . В “Пролегоменах ко всякой будущей метафизике , могущей появиться как наука” (1783) он писал : “Мы можем с д остоверностью сказать , что некоторые чистые а приорные синтетически е познания имеются и нам даны , а именно чистая математика и чистое естествознание , потому что оба содержат положения , частью аподиктически достоверные на основе од ного только разума , частью же на основе общего согласия из опыта и тем не м енее повсеместно п ризнанные независимыми от опыта” . “Критика чистого разума” (1781) Канта начин ается еще более обнадеживающими словами . Кант утверждает , что все аксиомы и теоремы математики истинны . Он говорит , что наш разум сам по себе владеет формами простра нства и врем ени . Пространство и время представляют собой разновидности восприятия (называемые Кантом интуитивными представлениями ), посредством которых разум созерцает опыт . Мы воспринимаем , организуем и осознаем опыт в соответствии с этими формами созерцания разум н а кладывает формы созерцания на полученные им чувственные восприятия , вынуждая те подстраиваться под заложенные в нем схемы . Так как интуитивное представле ние о пространстве берет свое начало в разуме , некоторые свойства пространства разум автоматически . Та к ие утверждения , как “прямая – кратчайший путь между дву мя точками” , “через три точки , не лежащие на одной прямой , можно провести плоскость , и притом только одну” , или как постул ат Евклида о параллельных , Кант называет а приорными искусственными истинами . О ни составляют неотъемлемую часть нашего умствен ного багажа . Геометрия занимается изучением л ишь логических следствий из таких утверждений . Уже одно то , что наш разум созерцает опыт через изначально присущие ему “прос транственные структуры” , означает , что о пыт согласуется с априорными синтетически ми истинами и теоремами . Порядок и рациона льность , которые мы , как нам кажется , воспр инимаем во внешнем мире , в действительности проецируется на внешний мир нашим разумом и формами нашего мышления. Конструируя прост ранство на основе работы клеток головного мозга человека , кан т не видел причин для отказа от евкли дова пространства . Собственную неспособность пред ставить другие геометрии Кант счел достаточны м основанием , чтобы утверждать , что другие геометрии не могут с у ществовать . Появление неевклидовой геометрии Но многовековые попытки доказательства пятого постулата Евкл ида привели в конце концов к появлению новой геометрии , отличающейся от евклидов ой тем , что в ней V постулат не выполняется . Эта геометрия теперь называется неевклидово й , а в России носит имя Лобачевского , к оторый впервые опубликовал работу с ее из ложением. И одной из предпосылок геометрических открытий Н . И . Лобачевского (1 792-1856) был к ак раз его материалистический подход к пр облемам познания . Лобачевский Он был твердо уверен в объективном и не зависящем от человеческого сознания существовании материальн ого мира и в возможности его познания . В речи “О важнейших предметах в оспитания” (Казань , 1828) Лобачевский сочувственно при водит слова Ф . Бэкона : “оставьте трудиться напрасно , стараясь извлечь из одного разума всю мудрость ; спрашивайте природу , она храни т все истины и на все вопросы ваши будет отвечать вам непременно и уд о влетворительно” . В своем сочинении “О началах геометрии” , являющемся первой публикаци ей открытой им геометрии , Лобачевский писал : “первые понятия , с которых начинается какая -нибудь наука , должны быть ясны и приведен ы к самому меньшему числу . Тогда только о ни могут служить прочным и д остаточным основанием учения . Такие понятия п риобретаются чувствами ; врожденным – не долж но верить” . Тем самым Лобачевский отвергал идею об априорном характере геометрических понятий , поддерживавшуюся И . Кантом. Первые попытки Л обачевского доказать пятый постулат относятся к 1823 году . К 1826 году он пришел к убеждению в том , чт о V пост улат не зависит от остальных аксиом геоме трии Евклида и 11(23) февраля 1826 года сделал на заседании факультета казанского университета доклад “С жатое изложение начал геометр ии со строгим доказательством теоремы о п араллельных” , в котором были изложены начала открытой им “воображаемой геометрии” , как он называл систему , позднее получившую назв ание неевклидовой геометрии . Доклад 1826г . вошел в со с тав первой публикации Л обачевского по неевклидовой геометрии – стат ьи “О началах геометрии” , напечатанной в ж урнале Казанского университета “Казанский вестни к” в 1829-1820гг . дальнейшему развитию и приложе ниям открытой им геометрии были посвящены мемуары “ Воображаемая геометрия” , “Пр именение воображаемой геометрии к некоторым и нтегралам” и “Новые начала геометрии с по лной теорией параллельных” , опубликованные в “Ученых записках” соответственно в 1835, 1836 и 1835-1838 гг . Переработанный текст “Воображаемой г еометрии” появился во французском переводе в Берлине , там же в 1840г . вышли отдельной книгой на немецком языке “Геометрические исследования по теории параллельных линий” Лобачевского . Наконец , в 1855 и 1856 гг . он изда л в Казани на русском и французском я зыках “Пангеометрию”. Высоко оценил “Геометрические исследования” Гаусс , который пр овел Лобачевского (1842) в члены-корреспонденты Геттин генского ученого общества , бывшего по существ у Академией наук ганноверского королевства . О днако в печати в оценкой ново й ге ометрической системы Гаусс не выступил. Исследования Га усса по неевклидовой геометрии Высокая оценк а гауссом открытия Лобачевского была связана с тем , что Гаусс , еще с 90-х годов XVIII в . занимавшийся теорией параллельности линий ,при шел к тем же выво дам , что и Ло бачевский . Свои взгляды по этому вопросу Г аусс не публиковал , они сохранились только в его черновых записках и в немногих письмам к друзьям . В 1818 г . в письме к австрийскому астроному Герлингу (1788-1864) он писал : “Я радуюсь , что вы имеете м ужество высказаться так , как если бы Вы признавали ложность нашей теории параллельных , а вместе с тем и всей нашей геом етрии . Но осы , гнездо которых Вы потревожи те , полетят Вам на голову” ; по-видимому , под “потревоженными осами” Гаусс имел в виду сторонни к ов традиционных взглядов на геометрию , а также априоризма математиче ских понятий. Янош Бояи. Независимо от Лобачевского и гаусса к открытию неевкли довой геометрии пришел венгер ский математ ик Янош Бояи (1802-1860), сын Ф . Бояи. Когда Я . Бояи пришел к тем же идеям , что Лобачевски й и гаусс , отец не понял его , однако предложил напечатать краткое изложение его открытия в виде приложения к своему ру ководству по математике , вышедшему в 1832г . Полное название труда Я . Бояи – “При ложение , содержащее науку о пространстве , абсо лютно истинную , не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида (что a priori никогда реше но быть не может )” и его обычно к оротко называют просто “Аппендик с” . Откры тие Я . Бояи не было признано при его жизни ; Гаусс , которому Ф . Бояи послал "Ап пендикс ", понял его , но никак не способство вал признанию открытия Я . Бояи. Геометрия Лобачевского В мемуаре “О началах геометрии” (1829) Лобачевский прежде всег о воспроизвел свой доклад 1826г. Он определяет основные понятия геометрии , не зависящие от V посту лата , и заметив , что сумма углов прямолине йного треугольника не может быть , как это имеет место у сферических треугольников , Лобачевский заявляет : “Мы ви дели , что сумма углов прямолинейного треуголь ника не может быть . Остается предполагать эту сумму или . То и другое может быть принято без всякого противоречия впоследствии , от чего и происходят две Геометрии : одна , упо требительная доныне по своей простоте , соглаш ается со всеми измерениями на самом деле ; другая , воображаемая , более общая и потом у зат руднительная в своих вычислениях , допускает возможность зависимости линий от углов”. Лобачевский указывает , что в “воображаемо й геометрии” сумма углов треугольника всегда и две прямые могут не пересекаться в случае , когдаони образуют с секущей углы , в сумме меньшие . Параллел ьные прям ые определяются как такие , которые не пересекаются , но могут быть получены предельным переходом и з пересекающихся . Через каждую точку плоскост и проходят две прямые , параллельные данной прямой , лежащей в этой плоскости ; эти пр ямые делят пучок прямых , прох о дящи х через данную точку , на четыре области , в двух из которых проходят прямые , пере секающие данную прямую , а в двух – пр ямые , которые не пересекают эту прямую и не могут быть получены предельным перехо дом из пересекающихся – такие прямые наз ываются расхо д ящимися ; параллельные п рямые разграничивают пресекающие прямые от ра сходящихся (на рис . условно изображены прямые и , проведенные через точку А параллельно прямой , прямые и , проведен ные через точку А и пресекающие прямую , и пр ямые и , расходящ иеся с прямой ). Угол между прямой , проведенной через точк у А параллельно прямой , и пе рпендикуляром , опущенным из А на , Лобачевский называет “углом параллельности ” и показывает , что функция , выражающая зависимость этого угла от длины а перпендикуляра , может быть (в современных обоз начениях ) записана в виде =2arctg , (1) где q – не кот орая постоянная . При а 0 угол паралле льности всегда острый , причем он стремится к при , постоянная ж е q может служить на плоскости Лобачевского абсолютной единицей дли ны , аналогичной абсолютной единицей длины , ана логичной единице угла в евклидов ом пр остранстве . Лобачевский устанавливает также , что ра сходящиеся прямые обладают общим перпендикуляром и удаляются друг от друга по обе стороны от него , а две параллельные прямы е приближаются друг к другу и расстояния точек одной из них от другой стремит ся к 0 при неограниченном удалении эти х точек . Сумма углов треугольника в геомет рии Лобачевского всегда меньше , и если - “угловой деф ект” треугольника , то есть разность между и суммой ег о углов , то площадь треугольника S равна , (2) где q – та же постоянная , что и в формуле (1). Круг при стремлении его радиуса к бесконечности переходит в системе Лобачевского не в прямую , а в особого рода кри вую “предельного круга” - в настоящее время такие кривые н азывают орициклами . Сфера при тех же обстоятельствах переходит не в плоскость , а в кривую поверхность , к оторую Лобачевский назвал “предельной сферой” , а в настоящее время именуют орисферой . Лобачевский отмечает , что на орисфере имеет место евклидова геоме т рия , причем роль прямых на ней играют орициклы . Это позволяет Лобачевскому , опираясь на евклидов у тригонометрию на орисфере , вывести тригоном етрию на плоскости в его геометрической с истеме . Название “воображаемая геометрия” подчерк ивает , что эта геометрия относится к евклидовой , “употребительной” , по терминологии Лобачевского , как мнимые числа , “воображаемые ” , по его терминологии , к действительным. Лобачевский сразу же поставил вопрос об экспериментальной проверке того , какая гео метрия имеет место в реально м мире – “употребительная” или “воображаемая” , для чего он решил измерить сумму углов тре угольника , образованного двумя диаметрально проти воположными положениями Земли на ее орбите и Сириусом и считая один из углов э того треугольника прямым , а другой – ра в ным углу параллельности , Лобачевский нашел , что эта сумма отличается от на разность , меньшую ошибки угломерных инструментов в е го время . “После того , - пишет Лобачевски й , - можно вообразить , сколько эта разно сть , на которой основана наша теория парал лельных , оправдывает точность всех вычислений обыкновенной геометрии и дозволяет принятые начала рассматривать как бы строго доказанным и”. Это объясняет , что под “строгим док азательством теоремы о параллельных” в докладе 1826 г . Лобачевский понимал невозможность установить экспериментальным путем ,какая из двух геометрий имеет место в реальном мире , откуда вытекает , что на практике м ожно пользоваться “употребительной геометри е й” , не рискуя впасть в ошибку. Наиболее полно изложена система Лобачевск ого в его “Новых началах с полной тео рией параллельных” (1835-1838). Изложение геометрии у Лобачевского основывается на чисто топологически х свойствах прикосновения и сечения , конгруэн тность тел и равенство отрезков опред еляются по существу с помощью движения. В позднейших работах Лобачевский ввел координаты и вычислил из геометрических со ображений целый ряд новых определенных интегр алов , которым он специально посвятил работу “Применени е воображаемой геометрии к н екоторым интегралам” (Учен . зап . Казан . ун-та , 1836), многие из которых были включены в да льнейшие справочники. Непротиворечивость геометрии Лобачевского Выведя уже в своей первой работе “О началах геометрии ” формулы тригонометрии своей новой системы , Лобачевский заметил , что “эти уравнения переменяются в… (уравнения ) сферической Тригономет рии , как скоро вместо боков a, b, c ставим в , , , но в обыкновенной Геометрии и сферической Тригономе трии везде входят одни содержания (т . е . отношения ) линий : следовательно , обыкновенная Ге ометрия , Тригонометрия и эта новая геометрия всегда будут согласованы между собой” . Эт о означает, что если мы запишем те орему к осинусов , теорему синусов и двойственную теор ему косинусов сферической тригонометрии для с феры радиуса r в виде то формулы тригонометрии Лобачевского можно запис ать в том же виде , заменив стороны a, b, c треуго льника произведениями ai, bi, ci ; так как умножение сторон a, b, c на i равносильно умножению на i радиуса сферы , то , полаг ая r=qi и воспользовавшись изве стными соотношениями cos( ix ) = ch x , sin( ix ) = i sh x , мы можем переписать соответств енные формулы тригонометрии Лобачевского в ви де , Сам Лобачевский пользовался не функциями ch x и sh x , а ко мбинациями введенной им функции с тригономет рическими функциями ; постоянная q в этих фо рмулах – та же , что и в формулах (1) и (2). Фактически Лобачевский доказал непротиворечи вость своей системы тем , что ввел как на плоскос ти , так и в пространстве координаты и таким образом построил арифме тическую модель плоскости и пространства Лоба чевского . Однако сам Лобачевский видел свидет ельство непротиворечивости открытой им геометрии в указанной связи формул его тригонометр ии с форм у лами сферической тригон ометрии . Этот вывод Лобачевского неправомерен . В своем мемуаре он доказал , что формулы сферической тригонометрии вытекают из его геометрии , между тем , чтобы утверждать , что из непротиворечивости тригонометрических формул вытекает не п ротиворечивость геометрии Лобачевского , надо было бы доказать , что все предложения последней можно вывести из ее тригонометрических формул и “абсолютной геометрии” - предложений , не зависящих от пятого постулата . Лобачевский попытался провести такое дока з ательство , но в ег о рассуждения вкралась ошибка. Развитие евклидовой геометрии Новая система геометрии не получила признания при жизни ее творцов. Коллега Лобачевс кого по Казанс кому университету П.И . К отельников (1809-1879) в своей актовой речи 1842 г . от крыто заявил : “не могу умолчать о том , что тысячелетние тщетные попытки доказать со всей математической строгостью одну из о сновных теорем геометрии , равенство суммы угл ов в пр я молинейном треугольнике д вум прямым , побудили достопочтенного заслуженного профессора нашего университета предпринять и зумительный труд - построить целую науку , геоме трию , на новом предложении : сумма углов в прямолинейном треугольнике меньше двух прямы х – труд . который рано или по здно найдет своих ценителей” . За исключением этого выступления неизвестны другие официаль ные положительные отзывы о Лобачевском , как о творце новой геометрии . На “Аппендикс” Я . Бояи и вовсе не имелось откликов . Гаусс же , как уже г оворилось , из бегал публикации своих открытий. Ситуация изменилась только в 60-х годах XIX века . Несмотря на враждебное отношение отдельных влиятельных математиков старших поколений , к изучению и разработке неевклидовой геометрии приступает все большее числ о выдающи хся молодых ученых . Некоторую роль в этом сыграло посмертное издание писем Гаусса . В Европе идеи неевклидовой геометрии восприни маются с энтузиазмом , появляются переводы тру дов Лобачевского . Меняется отношение к новой геометрии и в России . В 186 8 г . профессор Московского высшего технического училища А . В . летников (1837-1888) поместил в III тому “Мате матического сборника” русский перевод “Геометрич еских исследований” Лобачевского с предисловием , в котором геометрические труды Лобачевского характе ризуются как “весьма замечательны е , но мало известные” , а профессор Э . П . Янишевский опубликовал в Казани “Историческ ую записку о жизни и деятельности Н . И . Лобачевского” . И , наконец , в том же 1868 г оду выходит статья Э . Бельтрами (1835 - 1900) об инт ерпре т ациях геометрии Лобачевского “о пыт интерпретации неевклидовой геометрии” , в которой он отправлялся от работ Миндинга . В этой работе Бельтрами вычислил линейный элемент (квадрат дифференциала дуги ) плоскости Лобачевского в координатах u, v , равных расстояни ям точки от двух взаимно перпендикулярных прямых , деленным на r (в настоящее время эти коорд инаты называют бельтрамиевыми ), и нашел , что в этой системе координат линейный элемент имеет вид . Вычисляя далее гауссову кривизну поверхно сти с таким линейным элементом , Бельтрами обнаружил , что гауссова кривизна плоскости Ло бачевского во всех ее точках равна одному и тому же числу , то есть что плоскость Лобачевского можно рассматривать как поверхность постоянной отрицательной криви зны. Так как всякую поверхность с точки зрения ее внутренней геометрии можно рассм атривать как инте рпретацию любой поверхно сти , наложимой на нее , а необходимым и достаточным условием наложимости поверхностей яв ляется равенство гауссовых кривизн в соответс твенных точках поверхностей , Бельтрами сделал вывод , что плоскость Лобачевского может быть интерпре т ирована любой поверхностью постоянной отрицательной кривизны. Впоследствии (1900) Гильберт доказал , что всяка я поверхность постоянной отрицательной кривизны в евклидовом пространстве изометрична только части или нескольким частям плоскости Ло бачевского , но никогда не изометрична пл оскости Лобачевского целиком. С другой стороны , рассматривая точки е вклидовой плоскости с координатами , численно равными “бельтрамиевым координатам” u, v плоскост и Лобачевского , Бельтрами получает вторую инт ерпретацию . Так как коо рдинаты u, v связаны усло вием , (3) при этой интерпретации вся плоскость Лобачевского изображается внутренностью круга , ограниченного окружностью . (4) Бальтрами показал , что прямые линии плоскости Лобачевского при этом изображаются хордами этого круга , а расстояние токи Р с координатами ( u,v ) до начала координат 0 равно . (5) Хотя Бельтрами не дал формулы для расстояния между двумя произвольными точками и не выяснил , как в его интерпретации изображают ся движения плоскости Лобачевско го , эта интерпретация Бельтрами явилась первы м , правда , неполным , доказательством непротиворечив ости плоскости Лобачевского. Впоследствии появились интерпретации Кэли и Клейна Лобачевский указывал но связь геометрии с физико й , и хотя его измерения углов с треугольника с громадными астроном ическими размерами показали еще справедливость евклидовой геометрии , на самом деле , как оказалось позже , поправки , полученные в рамк ах теории , основанной именно на неевклидовой геометрии , о к азались заметными да же внутри планетной системы , объяснив знамени тую аномалию движения Меркурия , обнаруженную в XIX стол етии Леверье. Неевклидова геометрия сыграла огромную ро ль во всей современной математике , и факти чески в теории геометризованной гравита ци и марселя Гросмана-Гильберта-Эйнштейна (1913-1915). Довольно неожиданно , еще раньше была установлена вяз ь кинематики Лоренца-Пуанкаре с геометрией Ло бачевского . В 1909 году Зоммерфельд показал , что закон сложения скоростей данной кинематики связан с гео м етрией сферы мним ого радиуса (подобное соотношение уже отмечал и Лобачевский и Бояйи ). В 1910 году Варичак указал на аналогию данного закона сложения скоростей и сложения отрезков на плоскос ти Лобачевского . Предположение Лобачевского , что реальные геометри ческие отношения зависят от физич еской структуры материи , нашло подтверждение не только в космических масштабах . Современна я теория квант все с большей настоятельно стью выдвигает необходимость применения геометри и , отличной от евклидовой , к проблемам мик р о мира. Список л итературы : 1. Математика XIX века , “Нау ка” , М ., 1981 2. Юшкевич А.П ., История математики в Р оссии , “Наука” , М ., 1968 3. Ефимов Н.В ., Высшая геометрия , “Наука” , М .,1971. 4. Неевклидовы пространства и новые про блемы физики , “Белка” , М ., 1993 5. Клайн М ., Математика . Утрата определенности , “Мир” , М ., 1984
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Не повторяйте моих ошибок, не учите родителей пользоваться Интернетом!
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Евклидова и неевклидова геометрия", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru