Реферат: Случайные функции - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Случайные функции

Банк рефератов / Программирование

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 3905 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Случайные функции Случайные процессы в системах автоматического ре гулирования. До сих пор поведение систем автоматического регулирования исследовалось при определенных , заданных во времени задающих и возмущающих воздействиях (ступенчатая функция , импульсная функция , гармоническое воздействие и т . д .) Однако во многих с лучаях характер воздействия бывает таким , что его нельзя считать определенной функцией времени . Оно может принимать с течением времени самые разнообразные случайные значения . В таких случаях мы можем оценить только вероятность появления той или иной формы воздействия в тот или иной момент времени . Это происходит не потому , что оно неизвестно заранее , а потому , что сама природа реального задающего или возмущающего воздействия такова , что величина его в каждый момент времени и процесс его изменения с течение м времени зависят от множества разнообразных величин , которые случайным образом могут комбинироваться друг с другом , появляться одновременно иди с любым сдвигом во времени и т . п. Вероятностные характеристики дискретных случайных величин . Чтобы полностью з нать дискретную случайную величину “надо иметь следующие данные : а ) все возможные значения, которые она может принимать при данных условиях задачи или опыта ; б ) вероятность появления каждого из этих значений. Графически этот закон распределения изображен на рис . 1. Он представляет собой равновероятное распределение в некотором интервале (в рассматриваемом случае от 1 до 6). Рис . 1 В некоторых случаях закон распределения случайной величины может задаваться в аналитической форме. Примером аналитического задания закона распределения дискретно случайной величины является часто используемый закон Пуассона . Он применим к дискретным случайным величинам , которые теоретически могут принимать все по ложительные значения от 0 до оо . Примерами таких .величин могут служить число пасса - жиров вагона трамвая , число вызовов на телефонной станции в течение какого-либо определенного отрезка времени , число электронов , попадающих на анод электронной лампы за о п ределенный промежуток времени , и т . п . Этот закон записывается следующим образом для целых значений числа х : где Р (х ) — вероятность появления значения х ', ^ представляет собой среднее зна чение данной дискретной величины , полученное по результатам большого числа опытов. Хотя закон распределения полностью определяет случайную величину для практики нужны некоторые более простые осредненные характеристики случайной величины , выражающиеся в вид е обыкновенных неслучайных чисел. Одной из таких характеристик является среднее значение , или математическое ожидание , случайной величины . Оно определяется из выражения Часто используется так называемое среднеквадратичное значение случайной величины , представляющее собой корень квадратный из среднего квадрата случайной величины : Иногда рассматривается центрированное значение случайной величины д "о = х— х , где х — среднее значение . Тогда ан алогично формуле можно ввести понятие центрального момента м-го порядка Из формулы следует , что центральный момент первого порядка всегда равен нулю. Обратимся теперь к характеристикам ра ссеяния дискретной случайной величины. Если х — случайная величина , x` — среднее значение этой величины , то величина х — х ` есть отклонение случайной величины от ее среднего значения . Это отклонение является случайной величиной , как и сама величина х. Средним отклонением D называется среднее значение (математическое ожидание ) абсолютной величины отклонения , т . е. Дисперсией называется средний квадрат отклон ения случайной величины от ее среднего значения . Она совпадает с центральным моментом второго порядка Вероятностные характеристики непрерывных случайных величин . Непрерывная случайная величина может принимать все значения в каком-либо заданном ограниченном интервале (а < х < b) или все значения от — оо до +оо . Следователь но , функция распределения (интегральный закон распре - деления ) для непрерывной случайной величины будет изображаться непрерывной кривой . На рис . 2 показаны оба упомянутых выше варианта. Ве роятность того , что непрерывная случайная величина примет определенное числовое значение х , бесконечно мала (например , вероятность попадания центра тяжести снаряда в определенную точку цели ). Вероятность же того , что непрерывная случайная величина окажетс я в некотором промежутке х 1<. х <.х 1будет иметь конечное значение , а именно : Вероятность того , что непрерывная случайная величина содержится в промежутке между х и х + dх , будет Величина называется плотностью вероятности. Закон распределения для непрерывной случайной величины в отличие от дискретной задает ся не в виде значений вероятности , а в виде плотности вероятности w (х ), называемой также дифференциальным законом распределения . На рис . 3 показаны дифференциальные законы распределения для двух вариантов функции распределения F (x), показанных на рис . 2. Если бы здесь использовалось то же понятие закона распределения , что и для дискретной случайной величины , то получились бы бесконечно малые ординаты Р (х ). Рассеяние непрерывной случайной величины можно оценивать одним из следующих значений , словесные формулировки которых остаются прежними. Среднее отклонение (мало удобная для вычислений величина ) Дисперсия (наиболее удобная для вычислений величина ) Среднеквадратичное отклонение Случайные проце ссы Случайная величина х, изменяющаяся во времени ^ называется случай ным или стохастическим процессом . Случайный процесс не есть определен ная кривая х (t), а является множеством возможных кр и вых х 1 ), так же как случайная величина не имеет определенного значения , а является сово купностью (множеством ) возможных значений. Можно еще сказать , что случайный процесс есть такая функция времени , значение которой в каждый момент времени является случайной величиной. Примерами случа йн ых п роцессов могут , наприм е р , я в лят ь ся : коорд и на ты самолета , замеряемые радиолокационно й ста н цией ; угол визирования движущейся цели головкой самонаведения ; помехи в систем е телеуправле ния ; нагрузка электрической сети и т . п. Итак , в случайном процессе нет определенной зависимости х t). Каждая кривая множества (рис .4) является л ишь отдельной реализацией с лу чай н ого процесса . Никогда нельзя сказать заранее , по како й кривой пойдет процесс. Однако случайный про ц есс может быть оценен некоторыми вероятност ными характеристиками. В каждый отдельный момент времени наблю даются случайные величины каждая из которых имеет свой закон распределения . Поскольку это — непрерывная случайная вели чина , то надо пользоваться понятием плотности вероятности. Обозначим w(x,t) закон распределения для всех этих отдельных случай н ых в е л и чи н . В общем слу ч а е он меняется с течением времени, : причем по свойству для каждого из них Для каждого заданного момента времени можно найти характеристики случайных вел ичин , определенные . В результате будем иметь сред нее по множеств у (математическое ожидание ) и дисперсию Среднее значение случайного процесса представляет собой некоторую среднюю кривую (р и с . 11.12), около которой группируются все возможные отдельные реализац и и это го процесса , а дисперсия D(t) или среднеквадратич ное отклон е ние s (t) характеризуют рассеяние отдельных возможных реали заций процесса около этой сред н ей кривой. Простейшим типом случайного процесса является чисто случайный процесс. В таком процесс е все зна ч е н ия случ айной величи н ы в отдельные м омен ты времени не зависят друг от друга . Тогда появления значени й (x1,t1) и т . д . будут независимыми случа й н ы м и . соб ы тиям и , д л я которых вероятность их совместного наступления равна , как известно , произведению вер оятностей наступления каждого из них в отдельности . Следовательно , для чисто случайного процесса и вообще Это — самые простые соотношения в теории случайных процессов. Они могут применяться для характеристики некоторых видов помех (чисто слу чайные хаотические помехи ). Для характерист и ки полезных входных сигналов систем рег улирования и следящих систем соотношения практ и чески не могу т при меняться , так как для этих сигналов ход процесса в последующие моменты времени в какой-то степе н и за висит от того , что было в предыдущие моменты времени, Так , например , если речь идет о слежении за самолетом , то он не может как угодно быстро менять свое положение и скорость . Поэтому если он в мо мент времени t занял положение х 1 то этим самым его возможное положение х 2 в следующий момент t2 ограничено , т . е. события (x1, t1) и ( x2 , t2) не будут независимыми . Чем более инерционен изучаемый объект , тем больше эта взаи м озависимость , или корреляция . В таких случаях вместо формулы необходимо записать где w2,1 1 x2, t2)dх — условная вероятность того , что случа йн ый процесс пройдет вблизи точки (x2, t2), есди он уже прошел через точку ( x1,t2). Сле довательно , зная плотности вероятности , можно найти также и условную плотность вероятности ' Кроме того , имеет место следующая связь между основным и плотно стями вероятности : так как w (х 1, t1) есть плотность вероятности случайной величины (x1, t1) безотносительно к тому , какое потом буд ет значение (x2, t2), т . е. допус кается — оо < х 2 < + оо. Аналогичным образом любая пло тн ость вероят ности низшего порядка всегда может быть получена из высше й , т . е . вы с шие плотности вероятностей содержат наибольшее ко л ичество ин ф ормации о случайном процессе (о взаимосвязях между возможными зна ч ениями слу чайной вел ичины х в различные моменты в р емени ). Написанные соотношения справедливы для случайных про ц ессов любых типов . В зависимости же от того , до какого порядка принима ют ся во внима ние плотности вероятности , а также от разных дополнительных гипотез о фор мах связи между w1, w2, . . ., wп рассматриваются разные типы случайных процессов в отличие от чисто случайных. Стационарные случайные процессы Стационарным с лучайным процессом называется такой процесс , вероят ностные характеристики которого не зависят от времени . Все плотности ве роятностей w1, w2, .. ., wn не меняются при любом сдвиге рассматриваемого участ ка процесса во времени , т . е . при сохра нении посто янной разности. Можно сказать , что стационарный случайный процесс в какой-то мере аналогичен обычным стационарным иди уста новившимся процессам в автоматических системах .. Например , при ра ссмотрении обычных установившихся периодических колебаний ничего не изменится , если пере нести начало отсчета на какую-нибудь величину . При этом сохранят свои значения такие характеристики , как частота , амплитуда , среднеквадратич ное значение и т . п. В ста ционарном случайном процессе закон распределения один и тот же для каждого момента времени , т . е - плотность вероятности не зависит от времени : w(х , t) = w (x). Отсюда получаем x`= со nst b s =const вдоль всего случайного проце сса . Следовательно , в стационарном случайном процессе средняя линия , в отли чие от общего случая будет прямая х ` = со nst, подобно постоянному смещению средней линий обычных периодических колебаний . Рассеяние значений переменной х в стационарном случайном п роцессе определяемое s =const также будет все время одинаковым , подое но постоянному значению среднеквадратичного отклонения обычных уста новившихся колебаний от средней линии. Аналогичным образом и двумерная плотность вероят ности также будет одна и та же для одного и того же промежутка и также для n-мерной плотности вероятности. Задание всех этих функций распределения плотности определяет слу чайный процесс. Однако более удобно иметь дело с некоторыми осредненными и характеристиками процесса. Прежде чем перейти к ним , отметим два важных для практики свойства . 1. Ограничиваясь только стационарными случайными процессами , можно будет определить только установивш иеся (стационарные ) динамиче ские ошибки автоматических систем при случайных воздействиях . Такой прием применялся и ранее при рассмотрении регулярных воздействий , когда определялись динамические свойства систем регулирования по величине динамических ошибо к в установившемся периодическом режиме. 2. Стационарные случайные процессы обладают замечательным свой ством , которое известно под названием эргодической гипотезы. Для стационарного случайного процесса с вероятностью , равной еди нице (т . е . практически дос товерно. В самом деле , поскольку вероятностные характеристики стационарного случайного процесса течением времени не меняются,то длительное наблюдение случайного процесса на одном объекте (среднее по времени ) дает в среднем такую же картину , как и больш ое число наблю дений , сделанное в один и тот же момент времени на большом числе одинако вых объектов (среднее по множеству ). Для многих случаев существует математическое доказательство этого свойства . Тогда оно сводится к эргодической теореме. Итак , средне е значение (математическое ожидание ) для стационарного процесса будет Аналогичным образом могут быть записаны моменты более высоких порядков — дисперсия , среднеквадратичное отклонение и т . п. Эргодическая гипотеза позволяет сильно упрощать все расчеты и экс перименты . Она позволяет для определения х . D, s :, вместо параллель ного испытания многих однотипных систем в один и тот же момент времени , пользоваться о дной кривой х t), полученной при испытании одной системы в течение длительного времени. Таким образом , важное свойство стационарного случайного процесса состоит в том , что отдельная его реализация на бесконечном промежутке времени полностью определяет собо й весь случайный процесс со всеми бес численными возможными его реализациями . Этим свойством не обладает никакой другой тип случайного процесса. Корреляционная функция Начальный корреляционный , момент двух значений случайной функции х (t) и х (t1), взятых в моменты времент t и t1, носит название корреляционной (автокорреляционной ) функции. Она может быть найдена из выражения. где w2 (x,t, x1, t1) — двумерная плотность вероятности. Иногда под корреляционной функцией понимают центральный корре ляционный момент x (t) и x (t1), т.е. В этом случае корреляционная функция может быть представ лена в виде суммы Корреляционная функция является весьма универсальной характери стикой для случайного процесса . Она определяет зависимость случайной величины в последующий момент времени x(t1) от предшествующего значения х (t ) в момент времени t. Это есть мера связи между ними. Рассмотрим основные свойства корреляционных функций . 1. Из определения корреляционной функции следует свойство симметрии : 2. Пр и t1=t корреляционная функция дает средний квадрат случайной величины , a R0(t,t1) — дисперсию : 3. Можно показать , что прибавление к случайным величинам произ вольных неслучайных величин не меняет их корреляционных моментов и дис персии . Поэтому корреляционная функция R0 (t, t1) не изменится , если к случайной функции добавить произвольную неслучайную функцию . Это свойство не относится к функции R (t, t1), так как добавление неслучайных величин к случайным изменяет начальные моменты . В этом случае корреля ционная функция будет равна сумме корреляционных функций случайной и неслучайной функций. Иногда в рассмотрение вводится нормированная корреляционная функ ция Аналогично корреляционной функции можно ввести понятие взаимной корреляционной функции для двух случайных величин х (t) и у (t): В случае тождественного равенства нулю взаимной корреляционной функции случайные функции х (t) и у (t) называют некоррелированными. .Если взаимная корреляционная функция отлична от нуля , то х t) и у t) носят название к оррелированных случайных функций. В случае стационарности процесса корреляционные функции R (t, ti) и R0 (t, ti) не будут зависеть от текущего значения времени t и будут опре деляться только временным сдвигом t = t1 — t. Спек тральная плотность стационарных процессов Рассмотрим так называемую энергетическую форму интеграла Фурье . Если рассматривается неко торая случайная функция времени х t), то для нее эти формулы могут быть записаны в виде Возьмем квадрат модуля изображения Фурье [ F (iw)) ] 2 и проинтегри руем по всем частотам от— оо до -оо с делением результата на 2n: В последнем выражении квадрат модуля заменен произведением сопря женных комплексов F (iw) и F ( — iw). Изображение Фурье F (iw) заменим выражением Величина , находящаяся в квадратных скобках , как нетрудно видеть , является исходной функцией времени . Поэтому в результате получается так называемая формула Релея (теорема Парсеваля ), которая и соответствует энергетической форме интеграла Фурье : Подставляя w = 2nf, получим Правая часть представляет собой величину , пропорцио нальную энергии рассматриваемого процесса . Так , например , если рассмат ривается ток , протекающий по некоторому сопротивлению R, то энергия , выделившаяся в этом сопротивлении за время t, будет Из (11.58) и (11.59) вытекает , что для нах ождения энергии рассматривае мого процесса за бесконечный интервал наблюдения с равным основанием можно интегрировать квадрат функции времени по всему времени от — оо до +oo или интегрировать квадрат модуля изображения Фурье по всем час тотам от— оо до +оо. Однако эти формулы неудобны тем , что для большинства процессов энер гия за бесконечный интервал времени стремится также к бесконечности . Поэтому удобнее иметь дело не с энергией , а со средней мощностью процесса , которая будет получена , если энергию подели ть на интервал наблюдения . Тогда формулу можно представить в виде Правая часть представляет собой средний квадрат рассматри ваемой величины х t). Вводя обозначение можно переписать формулув виде иле в виде Величина S (w) или S (2л f) носит название спектральной плотности . Важным свойством спектральной плотности является то , что интегрирование ее по всем частотам от — оо до + оо дает средний квадрат исходной функции времени х (t). По своему физическому смыслу спектраль ная плотность есть величина , которая пропорциональна средней мощности процесса в интервале частот от w до w+ dw. В некоторых случаях спектральную плотность рассматривают только для положительных частот , удваивая ее при этом , что можно сделать , так как спек тральная плотность является четной функцией частоты . Тогда , например , формула должна быть записана в виде где S0 (w) = 2S (w) — спектральная плотность для положительных частот . Однако в дал ьнейшем изложении будет рассматриваться спектральная плотность , соответствующая всему диапазону частот от — оо до +-оо, так как при этом формулы получают более симметричный характер. Как видно из этого рассмотрения , связь между видом спектральной плот ности и видом функции времени получается обратной по сравнению со связью между корреляционной функцией и самим процессом Отсюда вытекает , что более “широкому” графику спектральной плотности должен соответствовать более “узкий” график корреляционной функц и и и наоборот. Вычисление спектральной плотности неудобно делать по соотношению , так как это связано с трудностью предельного перехода . Обычно спектральная плотность вычисляется по известно й кореляционной функции при помощи формул Расчеты по минимуму среднеквадратичной ошибки Если на автоматическую систему действуют одновременно полезный сигнал и помеха , то возникает задача оптимального расчета системы с тем , чтобы получить наименьшую резул ьтирующую ошибку . С точки зрения наилучшего воспроизведения полезного сигнала система должна иметь воз можно большую полосу пропускания , а с точки зрения наилучшего пода вления помехи система , наоборот , должна иметь возможно меньшую полосу пропускания . Кр и терием получения оптимального решения здесь будет минимальное значение результирующей ошибки системы , определяемой полезным сигналом и помехой. Для случайных величин наиболее просто определить среднеквадратичную ошибку , поэтому ее и используют для оценки т очности автоматической системы. Рассмотрим расчет системы по критерию минимума среднеквадратич ной ошибки при одновременном действии полезного сигнала и помехи. Согласно этому критерию , нежелательность ошибки пропорциональна квадрату ее величены . Такая пос тановка является часто логичной , но она не может , конечно , претендовать на полную универсальность . В некоторых случаях например при стрельбе по какой-либо цели , все ошибки , большие некоторого значения , являются одинаково нежелательными . Однако средний кв а драт ошибки системы регулирования практически во всех случаях является наиболее просто вычисляемой вели чиной , что и определило использование этого критерия. Возможны несколько формулирово к задачи . Наиболее просто задача может быть сформулирована так . Если имеется 'какая-то система автомати ческого регулирования заданной структуры , то необходимо так выбрать параметры этой системы , чтобы .получить минимум среднеквадратичной ошибки при задан н ых статистических характеристиках полезного сигнала и помехи. Эта задача решается следующим образом . По спектральной плотности ошибки путем ее интегрирования находится дисперсия . Дисперсия полу чается зависящей от вероятностных характеристик полезного сигн ала , помехи и параметров системы . Затем ищутся условия , которые должны быть наложены на параметры системы , чтобы получить минимум дисперсии . При достаточно простом выражении для дисперсии это может быть определено непосредственным дифференцированием и прир авниванием нулю частных производных. В более сложных случаях приходится искать минимум дисперсии путем числового задания интересующих параметров и построения соответствую щих графиков , а также расчетом на ЭВМ. Нахождение оптимальной передаточной функции ещ е не означает , что реальная автоматическая система может быть выполнена оптимальной , так как реализация ее может Ныть сопряжена с большими трудностями . Оптимальную передаточную функцию , за исключением простейших слу чаев , следует считать идеальной функцие й , к которой по возможности надо стремиться при выполнении реальной автоматической системы , Литература 1. А . А . Воронов . Основы теории автоматического регулирования и управления 2. В . А . Бесекерский , Е . П . Попов Теория систем автоматического регули рования 3. Я . З . Цыпкин . Основы теории автоматических систем 4. А . А . Воронов . Основы теории автоматического регулирования и управления
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
У католиков больше не будет Папы. Вместо него будет Родитель А и Родитель Б.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по программированию "Случайные функции", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru