Реферат: Теория вектора - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Теория вектора

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 1243 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

8 Теория вектора Содержание : 1. Что такое вектор ? 2. Сложение векторов. 3. Равенство векторов. 4. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. 5. Свойства операций над векторами. 6. Доказательства и решение задач. Одним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение – тензор . Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики , механики , а так же в технике . Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким раз витием векторного исчисления и его приложений . Были созданы векторная алгебра и векторный анализ , общая теория векторного пространства . Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности , которые играют исключительно ва ж ную роль в современной физике. В соответствии с требованиями новой программы по математике понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики. Что же такое вектор ? Как ни странно , ответ на этот вопрос представляет известные з атруднения . Существуют различные подходы к определению понятия вектора ; при этом даже если ограничиться лишь наиболее интересным здесь для нас элементарно-геометрическим подходом к понятию вектора , то и тогда будут иметься различные взгляды на это понятие. Разумеется , какое бы определение мы ни взяли , вектор – с элементарно-геометрической точки зрения - есть геометрический объект , характеризуемый направлением ( т.е . заданной с точностью до параллельности прямой и направлением на ней ) и длиной. Однако такое определение является слишком общим , не вызывающим конкретных геометрических представлений . Согласно этому общему определению параллельный перенос можно считать вектором . И действительно , можно было бы принять такое определение : “Вектором называется всяки й параллельный перенос” . Это определение логически безупречно , и на его основе может быть построена вся теория действий над векторами и развиты приложения этой теории . Однако это определение , несмотря на его полную конкретность , нас здесь также не может у довлетворить , так как представление о векторе как о геометрическом преобразовании кажется нам недостаточно наглядным и далеким от физических представлений о векторных величинах . Итак , вектором называется семейство всех параллельных между собой одинаково направленных и имеющих одинаковую длину отрезков (рис .1). Вектор изображают на чертежах отрезком со стрелкой (т.е . изо бражают не все семейство отрезков , представляющее собой вектор , а лишь один из этих отрезков ). Для обозначения векторов в книгах и статьях применяют жирные латинские буквы а , в , с и так далее , а в тетрадях и на доске – латинские буквы с черточкой сверху , Той же буквой , но не жирной , а светлой (а в тетради и на доске - той же буквой без черточки ) обозначают длину вектора . Длину иногда обозначают также вертикальными черточками – как модуль (абсолютную величину ) числа . Таким образом , длина вектора а обозначается через а или I а I , а в рукописном тексте длина вектора а обозначается через а или I а I. В связи с изображением векторов в виде отрезков (рис .2) следует помнить , что концы отрезка , изображающего вектор , неравноправны : одного конца отре зка к другому. Различают начало и конец вектора (точнее , отрезка , изображающего вектор ). Весьма часто понятию вектора дается другое определение : вектором называется направленный отрезок. При этом векторы (т. е . направленные отрезки ), имеющие одинаковую длину и одно и то же направление (рис .3), уславливаются считать равными. Векторы называются одинаково направленными , если их полупрямые одинаково направлены . Сложение векторов. Все сказанное пока еще не дает понятие вектора достаточно содержательным и полезным . Большую содержательность и богатую возможность приложений понятие вектора получает тогда , когда мы вводим своеобразную “геометрическую арифметику” – ар ифметику векторов , позволяющую складывать векторы , вычитать их и производить над ними целый ряд других операций . Отметим в связи с этим , что ведь и понятие числа становится интересным лишь при введении арифметических действий , а не само по себе. Сум мой векторов а и в с координатами а 1 , а 2 и в 1 , в 2 называется вектор с с координатами а 1 + в 1 , а 2 + в 2 , т.е. а (а 1 ; а 2 ) + в (в 1 ;в 2 ) = с (а 1 + в 1 ; а 2 + в 2 ). Следствие : Для доказательства коммутативности сложения векторов на плоскости необходимо рассмотреть пример. а и в – векторы (рис .5). Пусть 1. Строим параллелограмм ОАСВ : АМ II ОВ , ВН II ОА. Для доказательства ассоциативности мы отложим от произвольной точки О вектор ОА = а , от точки А вектор АВ = в и от точки в – вектор ВС = с . Тогда мы имеем : АВ + ВС =АС. откуда и следует равенство а + ( в + с ) = ( а + в ) + с. Заметим , что приведенное доказательство совсем не использует чертежа . Это характерно ( при некотором навыке ) для решения задач при помощи векторов . Остановимся теп ерь на случае , когда векторы а и в направлены в противоположные стороны и имеют равные длины ; такие векторы называют противоположными . Наше правило сложения векторов приводит к тому , что сумма двух противоположных векторов представляет собой “вектор” , имею щий нулевую длину и не имеющий никакого направления ; этот “вектор” изображается “отрезком нулевой длины” , т.е . точкой . Но это тоже вектор , который называется нулевым и обозначается символом 0. Равенство векторов. Два вектора называются равными , если они с овмещаются параллельным переносом . Это означает , что существует параллельный перенос , который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора. Из данного определения равенства векторов следует , что разные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине . И обратно : если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине , то они равны. Действительно , пусть векторы АВ и С D – одинаково направленные векторы , равные по абсолютной величи не (рис .6). Параллельный перенос , переводящий точку С в точку А , совмещает полупрямую С D с полупрямой АВ , так как они одинаково направлены . А так как отрезки АВ и CD равны , то при этом точка D совмещается с точкой В , то есть параллельный перенос переводит вектор CD в вектор АВ . Значит , векторы АВ и С D равны , что и требовалось доказать. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. Скалярным произведением двух нулевых векторов называется число , равное прои зведению числовых значений длин этих векторов на косинус угла между векторами. Обозначение : а х в = I a I * I b I * cos ( а , в ). Свойства скалярного произведения : 1. а х в = в х а. 2. Для того , чтобы два нулевых вектора а и в были перпендикулярны , необходимо и достаточно , чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю , т.е . а х в = 0. 3. Выражение а х а будем обозначать а 2 и называть скалярным квадратом вектора а . Свойства операций над векторами. Имеют место сл едующие теоремы об операциях над векторами , заданными в координатной форме. 1. Пусть даны а = (а х , а y , а z ) и в = ( в x , в у , в z ) , тогда сумма этих векторов есть вектор с , координаты которого равны сумме одноименных координат слагаемых векторов , т.е. с = а + в = (а х + в x ; а y + в у ; а z + в z ). Пример 1. а = ( 3; 4; 6) и в = ( -1; 4; -3), тогда с = ( 3 + ( -1); 4 + 4; 6 + (-3)) = ( 2; 8; 3). 2. а = (а х , а y , а z ) и в = ( в x , в у , в z ) , тогда разность этих векторов есть вектор с , координа ты которого равны разности одноименных координат данных векторов , т.е . с = а - в = (а х - в x ; а y - в у ; а z - в z ). Пример 2. а = ( -2; 8; -3) и в = ( -4; -5; 0), тогда с = а – в = ( -2 – ( -4 ); 8 – ( -5 ); -3 – 0 ) = ( 2; -13; -3). 3. При ум ножении вектора а = (а х , а y , а z ) на число м все его координаты умножаются на это число , т.е . ма = ( ма х , ма y , ма z ). Пример 3. а = ( -8; 4; 0) и м = 3, тогда 3 а = ( -8 х 3; 4 х 3; 0 х 3) = ( -24; 12; 0). Понятие вектора , которое нашло широко е распространение в прикладных науках , явилось плодотворным и в геометрии . Аппарат векторной алгебры позволил упростить изложение некоторых сложных геометрических понятий , доказательства некоторых теорем школьного курса геометрии , позволил создать особый м етод решения различных геометрических задач. Рассмотрим доказательство некоторых теорем с помощью векторов. Теорема 1 . Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Доказательство. Пусть АВС D – данный ромб (рис .7). Введем обо значения : АВ = а , ВС = в . Из определения ромба : АВ = DC = а , AD = ВС = в. По определению суммы и разности векторов АС = а + в ; D В = а – в. Рассмотрим АС * D В = ( а + в )( а – в ) = а 2 – в 2 . Так как стороны ромба равны , то а = в . Следовательно , AC * DB =0 . Из последнего получаем Ч.т.д. Рассмотрим теперь решение задач с помощью векторов. Задача 1. Даны два вектора AB и CD , причем А ( -1; 2; 4), В ( -4; 5; 4), С ( -1; -2; 2) и D (2; 1;5). Определить , перпендикулярны они друг другу или нет. Решение. Найдем сначала координаты векторов . АВ = ( -3; 3; 0) и С D = (3; 3; 3). Вычислим теперь скалярное произведение этих в екторов : АВ х С D = ( -3) х 3 + 3 х 3 + 0 х 3 = 0. Последнее и означает , что АВ С D . Задача 2. Дан произвольный треугольник АВС . Доказать , что можно построить треугольник , стороны которого равны и параллельны медианам треугольника АВС. Решение. Обозначим медианы треугольника АВС через ВЕ , С F и обозначим векторы , идущие вдоль сторон треугольника АВС , через а , в , с : ВС = а , СА = в , АВ = с (рис .8). Тогда А D = АВ + В D = АВ + = с + аналогично определяются и другие медианы : ВЕ = а + , С F = в + Так как , в силу условия замкнутости ВС + СА + АВ = а + в + с = 0, то мы имеем : А D + ВЕ + С F = ( с + ) + ( а + ) + ( в + ) = ( а + в + с ) = х 0 = 0. Следовательно , отложив от точки В , вектор В 1 С 1 = ВЕ и от точки С 1 – вектор С 1 D 1 = С F , мы получим. А 1 В 1 + В 1 С 1 + С 1 D 1 = А D + ВЕ + С F = 0. А это значит (в силу условия замкнутости ), что ломаная А 1 В 1 С 1 D 1 является замкнутой , т.е . точка D 1 совпадает с А 1 . Таким образом , мы получаем треугольник А 1 В 1 С 1 (рис .9), стороны которого равны и параллельны медианам А D, ВЕ , С F исходного треугольника. Задача 3. Доказать , что для любого треугольника имеет место формула с 2 = а 2 + в 2 – 2ав х со s С (теоре ма косинусов ) Решение. Положим : а = СВ , в = СА , с = АВ (рис .10). Тогда с = а – в , и мы имеем (учитывая , что угол между векторами а и в равен С ): с 2 = ( а – в ) 2 = а 2 – 2ав + в 2 = а 2 – 2ав х со s С + в 2 . Задача 4. Докажите , что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. Решение. Пусть четырехугольник АВС D – параллелограмм (рис .11). Имеем ве кторные равенства АВ + AD = АС , АВ – А D = D В. Возведем эти равенства в квадрат . Получим : АВ 2 + 2 АВ х А D + А D 2 = АС 2 , АВ 2 – 2АВ х А D + А D 2 = D В 2 Сложим эти равенства почленно . Получим : 2АВ 2 + 2 А D 2 = АС 2 + DВ 2 . Так как у паралле лограмма противолежащие стороны равны , то это равенство и означает , что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон , что и требовалось доказать. Задача 5. Даны три точки : А ( 1; 1), В ( -1; 0), С ( 0; 1). найдите такую точку D ( х ; y ), чтобы векторы АВ и С D были равны . Решение. Вектор АВ имеет координаты – 2, -1. Вектор С D имеет координаты х – 0, y – 1. Так как АВ = С D, то х – 0 = -2, y – 1 = -1. Отсюда находим координаты точки D: х = -2, y = 0. Задача 6. Даны два вектора АВ и С D, причем А ( -1; 2; 4), В ( -4; 5; 4), С ( -1; -2; 2), D ( 2; 1; 5).Определить , перпендикулярны они друг другу или нет. Решение. Найдем сначала координаты векторов . АВ = ( -3; 3; 0) и С D ( 3; 3; 3). Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов : AB х CD = ( -3) х 3 + 3 х 3 + 0 х 3 = 0. Последнее озночает , что АВ С D . Рассмотренные выше примеры задач показывают , что векторный метод является весь ма мощных средством решения геометрических и многих физических (и технических ) задач. Используемая литература. 1. “Векторы в школьном курсе геометрии” . (1976г .) В.А.Гусев . Ю.М.Колягин . Г.Л.Луканкин . 2. “Векторы в курсе геометрии средней школы . (1962г .) В.Г.Болтянский . И.М.Яглом.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Я не был параноиком до тех пор, пока все не сговорились.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Теория вектора", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru