Курсовая: Разбиения выпуклого многоугольника - текст курсовой. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Курсовая

Разбиения выпуклого многоугольника

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Курсовая работа
Язык курсовой: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 745 kb, скачать бесплатно
Обойти Антиплагиат
Повысьте уникальность файла до 80-100% здесь.
Промокод referatbank - cкидка 20%!

Узнайте стоимость написания уникальной работы

“Разбиения выпуклого многоугольника”

Скращук Дмитрий ( г. Кобрин)

П.1. Выпуклый многоугольник с n сторонами можно разбить на треугольники диагоналями, которые пересекаются лишь в его вершинах. Вывести формулу для числа таких разбиений.

Определение: назовем правильным разбиением выпуклого n-угольника на треугольники диагоналями, пересекающимися только в вершинах n-угольника.

Пусть P1, P2 , … ,Pn–вершины выпуклого n-угольника, Аn- число его правильных разбиений. Рассмотрим диагональ многоугольника PiPn.В каждом правильном разбиени P1Pn принадлежит какому-то треугольнику P1PiPn, где1

Пусть i=2 – одна группа правильных разбиений, которая всегда содержит диагональ P2Pn .Число разбиений, входящих в эту группу совпадает с числом правильных разбиений (n-1) угольника P2P3…Pn, то есть равно Аn-1.

Пусть i=3 – одна группа правильных разбиений, которая всегда содержит диагональ P3P1 и P3Pn.Следовательно, число правильных разбиений, входящих в эту группу, совпадает с числом правильных разбиений (n-2)угольника P3P4…Pn, то есть равно Аn-2.

При i=4 среди треугольников разбиение непременно содержит треугольник P1P4Pn.К нему примыкают четырехугольник P1P2P3P4 и (n-3)угольник P4P5 …Pn.Число правильных разбиений четырехугольника равно A4, число правильных разбиений (n-3) угольника равно

Аn-3.Следовательно, полное число правильных разбиений, содержащихся в этой группе, равно

Аn-3A4.Группы с i=4,5,6,… содержат Аn-4A5, Аn-5A6, … правильных разбиений.

При i=n-2 число правильных разбиений в группе совпадает с числом правильных разбиений в группе с i=2,то есть равно Аn-1.

Поскольку А12=0, А3=1, A4=2 и т.к. n  3, то число правильных разбиений равно:

Аn= Аn-1n-2n-3 A4n-4 A5+ … + A 5Аn-4+ A4Аn-3+ Аn-2+ Аn-1.

Например:

A 5= A4+ А3+ A4=5

A6= A5+ А4+ А4+ A5=14

A7= A6+ А5+ А4 *А45+ A6 =42

A8= A7+ А65*А4+ А4*А56+ A7 =132

П.2.1. Найдем количество во всех диагоналей правильных разбиениях, которые пересекают внутри только одну диагональ.

Проверяя на частных случаях, пришли к предположению, что количество диагоналей в выпуклых n-угольниках равно произведению количества разбиений на (n-3)

Докажем предположение, что P1n= Аn(n-3)

Каждый n-угольник можно разбить на (n-2) треугольника, из которых можно сложить (n-3) четырехугольника, причем каждый четырехугольник будет иметь диагональ. Но в четырехугольнике можно провести 2 диагонали, значит в

(n-3) четырехугольниках можно провести (n-3)

дополнительные диагонали. Значит, в каждом правильном разбиении можно провести (n-3) диагонали удовлетворяющих условию задачи.




П.2.2. Найдем количество во всех диагоналей правильных всех разбиениях, которые пересекают внутри только две диагонали.

Проверяя на частных случаях, пришли к предположению, что количество диагоналей в выпуклых n-угольниках равно произведению количества разбиений на (n-4), где n ? 5

Докажем предположение, что P2n=(n-4)Аn , где n ? 5.

n-угольник можно разбить на (n-2) треугольников из которых можно сложить (n-4) пятиугольника, в котором будут содержаться две непересекающиеся диагонали. Значит, найдется третья диагональ, которая пересекает две другие. Так как имеется (n-4) пятиугольника, значит, существует (n-4) дополнительные диагонали удовлетворяющих условию задачи.









П.2.3. Разбиение n-угольника, в котором дополнительные диагонали пересекают главные k раз.

Определение 1:Главными диагоналями выпуклого n-угольника называются диагонали, которые разбивают его на треугольники, пересекаясь при этом только в вершинах n-угольника.

Замечание: их существует (n-3).

Определение 2:Дополнительными диагоналями выпуклого n-угольника называются диагонали, которые в данном разбиении пересекают главные диагонали.

Замечание: их существует менее (n-3).

I.Определение k:


Будем выделять из выпуклого n-угольника

следующим образом: соединяем диагоналями через одну вершину данного n-угольника, причем выделением считается получение последующего a-угольника из предыдущего,

используя не менее двух диагоналей. Выделение ведется до тех пор, пока не получится четырехугольник или треугольник (r = 4 или r = 3 (r – остаточный коэффициент)). Назовем каждое такое выделение циклом и введем величину, которая будет “считать” их (d). Для каждого d существует 2d+1 многоугольников, первый многоугольник для данного d ,будет (2d+1+1)-угольником. Для первой половины (для данного d) многоугольников r = 3, для второй - r = 4. Последним многоугольником, для которого r = 3 будет (32d )-угольником. Окончательно получаем: r = 3, если n[2d+1+1; 32d], в противном случае r = 4. За каждый цикл, если проводить дополнительные диагонали, будет добавляться по 2 пересечения и через d циклов число пересечений достигнет максимума в полученном данным способом разбиении. Обозначим это число буквой k.

Итак, за 1 цикл 2 пересечения, за 2 цикла – 4, за 3 – 6, очевидна арифметическая прогрессия с разностью 2, a1=2 и количество членов равным d; значит k=2+2(d-1)=2d – только в том случае, если конечной фигурой окажется треугольник. В противном случае k=2d+1, так как четырехугольник имеет собственную диагональ.

Рассчитаем d: т.к.: d=1, n [22+1; 23]

d=2, n [23+1; 24]

d=3, n [24+1; 25]

Зависимость d от n- логарифмическая по основанию 2; становится очевидным равенство: d=[log2(n-1)]-1. Выразим k через n:

k=2([log2 (n-1)]-1), если n[2[log2(n-1)]+1; 32[log2(n-1)]-1]

или

k=2([log2(n-1)]-1)+1= 2[log2 (n-1)]-1, если n[2[log2(n-1)]+1; 32[log2(n-1)]-1]

Так как k – максимум пересечений, то уместны неравенства:

k?2([log2 (n-1)]-1), если n[2[log2(n-1)]+1; 32[log2(n-1)]-1]

или (*)

k?2[log2 (n-1)]-1, если n[2[log2(n-1)]+1; 32[log2(n-1)]-1]

II. Найдем число дополнительных диагоналей (m), которые пересекают главные не более k раз.

выбрали Выделим в данном выпуклом n-угольнике

(k+3)-угольник (k+3)-угольник (если это возможно), зн.

уже ‘использовано’ (n+3)-2=k+1 всех

отбросили существующих треугольников

1 треугольник n-угольника (всего их (n-2)),потом

добавили другой ‘отбросим’ крайний треугольник и

треугольник и ‘добавим’ к получившейся фигуре еще

опять получили один, имеющий общую с ней сторону,

(k+3)-угольник ‘не использованный’ треугольник, тогда

останется (k+2) не использованных

треугольника, и так далее до тех пор, пока не ‘используем’ все (n-2)треугольника. Очевидна арифметическая прогрессия с разностью 1, am=n-2 и c количеством членов равным m. Получим:n-2=k+1+(m-1)<=>n-2=k+m<=>m=n-k-2m=n-(k+2)Значит, в n-угольник можно вписать (k+3)угольник (n-(k+2))раз, то есть существуют

такие (n-(k+2)) дополнительные диагонали, которые пересекут k главных диагоналей.

Окончательно получаем: Pkn=(n- (k+2))Аn , где (*).



1Авиация и космонавтика
2Архитектура и строительство
3Астрономия
 
4Безопасность жизнедеятельности
5Биология
 
6Военная кафедра, гражданская оборона
 
7География, экономическая география
8Геология и геодезия
9Государственное регулирование и налоги
 
10Естествознание
 
11Журналистика
 
12Законодательство и право
13Адвокатура
14Административное право
15Арбитражное процессуальное право
16Банковское право
17Государство и право
18Гражданское право и процесс
19Жилищное право
20Законодательство зарубежных стран
21Земельное право
22Конституционное право
23Конституционное право зарубежных стран
24Международное право
25Муниципальное право
26Налоговое право
27Римское право
28Семейное право
29Таможенное право
30Трудовое право
31Уголовное право и процесс
32Финансовое право
33Хозяйственное право
34Экологическое право
35Юриспруденция
36Иностранные языки
37Информатика, информационные технологии
38Базы данных
39Компьютерные сети
40Программирование
41Искусство и культура
42Краеведение
43Культурология
44Музыка
45История
46Биографии
47Историческая личность
 
48Литература
 
49Маркетинг и реклама
50Математика
51Медицина и здоровье
52Менеджмент
53Антикризисное управление
54Делопроизводство и документооборот
55Логистика
 
56Педагогика
57Политология
58Правоохранительные органы
59Криминалистика и криминология
60Прочее
61Психология
62Юридическая психология
 
63Радиоэлектроника
64Религия
 
65Сельское хозяйство и землепользование
66Социология
67Страхование
 
68Технологии
69Материаловедение
70Машиностроение
71Металлургия
72Транспорт
73Туризм
 
74Физика
75Физкультура и спорт
76Философия
 
77Химия
 
78Экология, охрана природы
79Экономика и финансы
80Анализ хозяйственной деятельности
81Банковское дело и кредитование
82Биржевое дело
83Бухгалтерский учет и аудит
84История экономических учений
85Международные отношения
86Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
87Финансы
88Ценные бумаги и фондовый рынок
89Экономика предприятия
90Экономико-математическое моделирование
91Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Тот, кто не ест после 6 вечера, тот ест после 12 ночи.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, курсовая по математике "Разбиения выпуклого многоугольника", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2017
Рейтинг@Mail.ru