Реферат: Сходящиеся последовательности - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Сходящиеся последовательности

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 1146 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Удмуртский государственный университет 11 Последовательность , у которой существует предел , называется сходящ ейся . Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся. Определение : Последовательность x n называется сходящейся , если существует такое число а , что последовательность x n -а является бесконечно малой . При этом число а называется пр еделом последовательности x n . В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль. Можно , также , дать еще одно определение сходящейся последовательности : Последовательность x n называется сходящейся , если существует такое число а , что для любого положительного числа можно указать номер N такой , что при n N все элементы x n этой последовательнос ти удовлетворяют неравенству : |x n -a|< . При этом число а называется пределом последовательности. Некоторые свойства сходящихся последовательностей : ТЕОРЕМА : Сходящаяся последовательность имеет только один предел. Доказательство : Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности x n . Тогда , используя специальное представление для элементов x n сходящейся последовательности x n , получим x n =а + n , x n =b+ n , где n и n – элементы бесконечно малых последовательностей n и n . Вычитая данные соотношения , найдем n - n =b-a. Так как все элементы бесконечно малой последовательности n - n имеют одно и то же постоянное значение b-a, то (по теореме : Если все элементы бесконечно малой последовательности n равны одному и тому же числу с , то с =0) b-a=0, т.е . b=a. Теорема доказана. ТЕОРЕМ А : Сходящаяся последовательность ограничена. Доказательство : Пусть x n - сходящаяся последовательность и а – ее предел . Представим ее в следующем виде : x n =а + n , где n - эле мент бесконечно малой последовательности . Так как бесконечно малая последовательность n ограничена (по теореме : Бесконечно малая последовательность ограничена .), то найдется такое число А , что для всех номеров n сп раведливо неравенство | n | А . Поэтому | x n | |a| + A для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности x n . Теорема доказана. Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся . Например , последовательность 1, -1, 1, -1, … - ограничена , но не является сходящейся . В самом деле , если бы эта последовательность сходилась к некоторому числу а , то каждая из последо вательностей x n -a и x n+1 -a являлась бы бесконечно малой . Но тогда (по теореме : Разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность .) (x n -a) – (x n+1 -a) = x n – x n+1 была бы бесконечно малой , что невозможно т.к . |x n – x n+1 | = 2 для любого номера n. ТЕОРЕМА : Сумма сходящихся последовательностей х n и y n есть сходящаяся последовательность , предел которой равен сумме пределов последовательностей х n и y n . Доказательство : Пусть а и b – соответственно пределы последов ательностей х n и y n . Тогда : x n =а + n , y n =b+ n , где n и n ) – бесконечно малые последовате льности . Следовательно , (х n + y n ) - (а + b) = n + n . Таким образом , последовательность (х n + y n ) - (а + b) бесконечно малая , и поэтому последователдьность х n + y n сходится и имеет своим пределом число а +b. Теорема доказана. ТЕОРЕМА : Разность сходящихся последовательностей х n и y n есть сходящаяся последовательность , предел которой равен разности пределов последовательностей х n и y n . Доказательство : Пусть а и b – соотв етственно пределы последовательностей х n и y n .Тогда : x n =а + n , y n =b+ n , где n и n ) – бес конечно малые последовательности . Следовательно , (х n - y n ) - (а - b) = n - n . Таким образом , последовательность (х n - y n ) - (а - b) бесконечно малая , и поэтому последователдьно сть х n - y n сходится и имеет своим пределом число а -b. Теорема доказана. ТЕОРЕМА : Произведение сходящихся последовательностей х n и y n есть сходящаяся последовательность , предел которой равен произведению пределов последовательностей х n и y n . До казательство : Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей х n и y n , то x n =а + n , y n =b+ n и x n y n =a b+a n +b n + n n . Следовательно, x n y n -а b=a n +b n + n n . (в силу теоремы : Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность .) последовательность a n +b n + n n бесконечно малая , и поэтому последовательность x n y n -а b тоже бесконечно малая , а значит последовательность x n y n сходится и имеет своим пределом число а b. Теорема доказана. ЛЕММА : Если посл едовательность y n сходится и имеет отличный от ноля предел b, то , начиная с некоторого номера , определена последовательность , которая является ограниченной. Доказате льство : Пусть . Так как b 0, то >0. Пусть N – номер , соответствующий этому , начиная с которого выполняется неравенство : |y n -b|< или |y n -b|< из этого неравенства следует , что при n N выполняется неравенство |y n |> . Поэтому при n N имеем . Следовательно , начиная с этого номера N, мы можем рассматривать последовательность , и эта последоват ельность ограничена . Лемма доказана. ТЕОРЕМА : Частное двух сходящихся последовательностей x n и y n при условии , что предел y n отличен от ноля , есть сходящаяся последовательность , предел которой равен частному пределов последовательностей x n и y n . Доказательство : Из доказанной ранее леммы следует , что , начиная с некоторого номера N, элементы последовательности y n отличны от ноля и последовательность огранич ена . Начиная с этого номера , мы и будем рассматривать последовательность . Пусть а и b – пределы последовательностей x n и y n . Докажем , что последовательность бесконечно малая . В самом деле , так как x n =а + n , y n =b+ n , то . Так как последовательность ограничена , а последовательность бесконечно мала , то последовательность бесконечно малая . Теорема доказана. Итак , теперь можно сказать , что арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами. ТЕОРЕМА : Если элементы сходящейся последовательности x n , начиная с некоторого номера , удовлетворяют неравентству x n b (x n b), то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенст ву а b (a b). Доказательство : Пусть все элементы x n , по крайней мере начиная с некоторого номера , удовлетворяют неравенству x n b. Предп оложим , что а b, однако при этом предел а может оказаться равным b. Например , если x n =1/n, то x n >0, однако . Следстви е 1: Если элементы x n и у n у сходящихся последовательностей x n и y n , начиная с некоторого номера , удовлетворяют неравенству x n у n , то их пределы удовлетворяют аналогичному неравенству . Элементы последовательности y n -x n неотрицательны , а поэтому неотрицателен и ее предел . Отсюда следу ет , что . Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности x n находятся на сегменте [a,b], то и ее предел с также находится на этом сегменте. Это выполняется , так как а x n b, то a c b. ТЕОРЕМА : Пусть x n и z n - сходящиеся последовательности , имеющие общий предел а . Пусть , кроме того , нач иная с некоторого номера , элементы последовательности y n удовлетворяют неравенствам x n y n z n . Тогда последовательность y n сходится и имеет предел а. Доказательство : достато чно доказать , что y n -a является бесконечно малой . Обозначим через N ’ номер , начиная с которого , выполняются неравенства , указанные в условии теоремы . Тогда , начиная с этого же номера , будут выполнятся также неравенства x n -а y n -а z n -а . Отсюда следует , что при n N ’ элементы последовательности y n -a удовлетворяют неравенству |y n -a| max |x n -a|, |z n -a| . Так как и , то для любого >0 можно указать номера N 1 и N 2 такие , что при n N 1 |x n -a|< , а при n N 2 |z n -a|< . Итак посл едовательность y n -a бесконечно малая . Теорема доказана. Итак , мы показали неравенства , которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей , в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей. ПРИМЕРЫ 1. Последовательность сходится и имеет своим пределом ноль . Ведь каково бы ни было >0, по свойству Архимеда вещественных чисел сущ ествует такое натуральное число n , что n > . Поэтому для всех n n , а это означает , что . 2. Последовательность сходится и , что следует из того , что , и того , что . ЗАДАЧИ ЗАДАЧА № 1 Пусть числовая последовательность а 1 , а 2 , а 3 , … удовлетворяет условию (m, n = 1, 2, 3, … ), тогда последовательность ,… должна либо расходиться к , причем предел этой последовательности будет равен ее нижней грани. РЕШЕНИЕ : Видим частный случай теоремы у M. Fekete. Достаточно рассмотреть случай , когда нижняя гр ань конечна . Пусть >0 и + . Всякое целое число n может быть представлено в форме n=qm+r, где r=0 или 1, или 2, … , или m-1. Полагая единообразие а 0 =0, имеем : a n =a qm+r a m +a m +… +a m +a r =qa m +a r , , ЗАДАЧА № 2 Пусть числовая последовательность а 1 , а 2 , а 3 , … удовлетворяет условию тогда существует конечный предел , причем (n = 1, 2, 3, … ). РЕШЕНИЕ : Из неравенств 2a m -12 и . Разобьем числовую прямую на l интервалов точками - , m+ , m+2 , … , M-2 , M- , + . Вы берем такое N, чтобы для n>N выполнялось неравенство |s n -s n+1 |< . Пусть , далее , s n1 (n 1 >N) лежит в первом интервале и s n2 (n 2 > n 1 ) – в последнем . Тогда числа конечной последовательности не смогут “перепрыгнуть” ни один из l-2 промежуточных интервалов длиной . Аналогично рассуждаем и в том случае , когда последовательность будет не “медленно восходящей” , а “медленно нисхожящей”. ЗАДАЧА № 4 Пусть для последовательности t 1 , t 2 , … , t n , … существует такая последовательность стремящихся к нулю положительных чисел … , что для каждого n . Тогда числа t 1 , t 2 , … , t n , …лежат всюду плотно между их нижним и верхним пределами. РЕШЕНИЕ : Существуют в сколь угодно большом удале нии конечные последовательности , произвольно медленно нисходящие от верхнего предела последовательности к ее нижнему пределу. ЗАДАЧА № 5 Пусть v 1 , v 2 , … , v n , … - п оложительные числа , v 1 v 2 v 3 … Совокупность предельных точек последовательности , … заполняет замкнутый интервал (длина которого равна нулю , если эта последовательность стремится к пределу ). РЕШЕНИЕ : ЗАДАЧА № 6 Числовая последовательность , стремящаяся к , имеет наименьший член. РЕШЕНИЕ : Какое бы число мы ни задали , слева от него будет находиться лишь конечное число членов последовательности , а среди к онечного множества чисел существует одно или несколько наименьших. ЗАДАЧА № 7 Сходящаяся последовательность имеет либо наибольший член , либо наименьший , либо и тот и другой. РЕШЕНИЕ : При совпадении верхней и нижней граней рассматриваемой последователь ности теорема тривиальна . Пусть поэтому они различны . Тогда по крайней мере одна из них отличается от предела последовательности . Она и будет равна наибольшему , соответственно наименьшему , члену последовательности. ЗАДАЧА № 8 Пусть l 1 , l 2 , l 3 , … , l m , … - последовательность положительных чисел и , тогда существует бесконечно много номеров n, для которых l n меньше всех предшествующих ему членов последовательности l 1 , l 2 , l 3 , … , l n-1 . РЕШЕНИЕ : Пусть задано целое положительное число m и – наименьшее из чисел l 1 , l 2 , l 3 , … , l m ; >0. Согласно предположению в рассматриваемой последовательно сти существуют члены , меньше чем . Пусть n – наименьший номер , для которого l n < . Тогда : n>m; l n 0), s 1 , s 2 , s 3 , … , s m , … (s 1 >0, s m+1 >s m , m=1, 2, 3, … ) обладают тем свойством , что , . Тогда существует бесконечно много номеров n, для которых одновременно выполняются неравенства l n >l n+1 , l n >l n+2 , l n >l n+3 , … l n s n >l n-1 s n-1, l n s n >l n-2 s n-2, … l n s n >l 1 s 1, РЕШЕНИЕ : Будем называть l m “выступающим” членом последовательности , если l m больше всех последующих членов . Согласно предположению в первой последовательности содержится бесконечно много в ыступающих членов ; пусть это будут : ,… Каждый невыступающий член l v заклю чается (для v>n 1 ) между двумя последовательными выступающими членами , скажем n r-1 0. Согласно предположению в рассматриваемой последовательности существуют члены , меньше чем . Пусть k – наименьший номер , для которого < . Тогда : k>m; . ЗАДАЧА № 11 Если числовая последовательность ,… стремится к и А превышает ее наименьший член , то существует такой номер n (возможно несколько таких ), n 1, что n отношений все не больше А , а бесконечное множество отношений ,… все не меньше А. РЕШЕНИЕ : Имеем . Пусть минимум последовательности L 0 -0, L 1 -A, L 2 -2A, L 3 -3A, … Будет L n -nA; тогда L n-u -(n-u)A L n -nA; L n+v -(n+v)A L n -nA, u=1, 2, … , n; v=1, 2, 3, … ; n=0 исключено в силу предложений относительно А. ЗАДАЧА № 12 Пусть относительно числовой последовательности l 1 , l 2 , l 3 , … , l m , … предполагается лишь , что . Пусть , далее , А >l 1 . Тогда существует такой номер n, n 1, что одновременно выполняются все неравенства . Если А , то также n . РЕШЕНИЕ : Пусть l 1 +l 2 +l 3 +… +l m =L m , m=1, 2, 3, … ; L 0 =0. Так как L 1 -A<0, то L 0 -0 не является минимумом в предыдущем решении . l n+1 A; поэтому l n+1, а следовательно и n должны стремиться к бесконечности одновременно с А. ЗАДАЧА № 13 Пусть числовая последовательность l 1 , l 2 , l 3 , … , l m , … удовлетворяет условиям , Пусть , далее , l 1 >A>0. Тогда существует такой номер n, n 1, что одновременно выполняются все неравенства . Если А 0, то также n 0. РЕШЕНИЕ : Положим l 1 +l 2 +l 3 +… +l m =L m , m=1, 2, 3, … ; L 0 =0. Тогда . Последовательность L 0 -0, L 1 -A, L 2 -2A, L 3 -3A, … , L m -mA, … стремится к - . Пусть ее наибольший член будет L n -nA. Тогда инте ресующие нас неравенства будут выполняться для этого номера n. В последовательности L 0 , L 1 , … , L m , … содержится бесконечно много членов , превышающих все предыдущие . Пусть L s будет один из них . Тогда числа : все положительны : коль скоро А меньше наименьшего из них , соответствующий А номер n больше или равен s. Точки (n, L n ) должны быть обтянуты теперь бесконечным выпуклым сверху полигоном.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
- Доктор, вы помните, когда у меня шалили нервы, вы мне что посоветовали?
- Завести любовника!
- Так вот, объясните мужу, что я не шлюха, а лечусь!
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Сходящиеся последовательности", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru