Реферат: Сходящиеся последовательности - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Сходящиеся последовательности

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 1146 kb, скачать бесплатно
Обойти Антиплагиат
Повысьте уникальность файла до 80-100% здесь.
Промокод referatbank - cкидка 20%!

Узнайте стоимость написания уникальной работы



Удмуртский государственный университет






Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.


Определение: Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {xn-а} является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности {xn}.


В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.


Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности: Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого положительного числа  можно указать номер N такой, что при nN все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству:

|xn-a|<.


При этом число а называется пределом последовательности.


Некоторые свойства сходящихся последовательностей:


ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.


Доказательство: Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности {xn}. Тогда, используя специальное представление для элементов xn сходящейся последовательности {xn}, получим xn=а+n, xn=b+n, где n и n – элементы бесконечно малых последовательностей {n} и {n}.

Вычитая данные соотношения, найдем n-n=b-a. Так как все элементы бесконечно малой последовательности {n-n} имеют одно и то же постоянное значение b-a, то (по теореме: Если все элементы бесконечно малой последовательности {n} равны одному и тому же числу с, то с=0) b-a=0, т.е. b=a. Теорема доказана.


ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.


Доказательство: Пусть {xn} - сходящаяся последовательность и а – ее предел. Представим ее в следующем виде:


xn=а+n,


где n- элемент бесконечно малой последовательности. Так как бесконечно малая последовательность {n} ограничена (по теореме: Бесконечно малая последовательность ограничена.), то найдется такое число А, что для всех номеров n справедливо неравенство |n|А. Поэтому | xn |  |a| + A для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности {xn}. Теорема доказана.


Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Например, последовательность 1, -1, 1, -1, … - ограничена , но не является сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к некоторому числу а, то каждая из последовательностей {xn-a} и {xn+1-a} являлась бы бесконечно малой. Но тогда (по теореме: Разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.) {(xn-a) – (xn+1-a)}={xn– xn+1} была бы бесконечно малой, что невозможно т.к. |xn– xn+1| = 2 для любого номера n.


ТЕОРЕМА: Сумма сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {хn} и {yn}.


Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn} и {yn}. Тогда:


xn=а+n, yn=b+n,


где {n} и {n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn + yn) - (а + b) =n+n.

Таким образом, последовательность {(хn + yn) - (а + b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {хn + yn} сходится и имеет своим пределом число а+b. Теорема доказана.


ТЕОРЕМА: Разность сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {хn} и {yn}.


Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn} и {yn}.Тогда:


xn=а+n, yn=b+n,


где {n} и {n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn - yn) - (а - b) =n-n.

Таким образом, последовательность {(хn - yn) - (а - b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {хn - yn} сходится и имеет своим пределом число а-b. Теорема доказана.


ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся последовательностей {хn} и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {хn} и {yn}.


Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {хn} и {yn}, то xn=а+n, yn=b+n и xnyn=ab+an+bn+nn. Следовательно,


xnyn-аb=an+bn+nn.


(в силу теоремы: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.) последовательность {an+bn+nn} бесконечно малая, и поэтому последовательность {xnyn-аb} тоже бесконечно малая, а значит последовательность {xnyn} сходится и имеет своим пределом число аb. Теорема доказана.


ЛЕММА: Если последовательность {yn} сходится и имеет отличный от ноля предел b, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является ограниченной.


Доказательство: Пусть . Так как b0, то >0. Пусть N – номер, соответствующий этому , начиная с которого выполняется неравенство:

|yn-b|< или |yn-b|<


из этого неравенства следует, что при nN выполняется неравенство |yn|>. Поэтому при nN имеем . Следовательно, начиная с этого номера N, мы можем рассматривать последовательность , и эта последовательность ограничена. Лемма доказана.


ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся последовательностей {xn} и {yn} при условии, что предел {yn} отличен от ноля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {xn} и {yn}.


Доказательство: Из доказанной ранее леммы следует, что, начиная с некоторого номера N, элементы последовательности {yn} отличны от ноля и последовательность ограничена. Начиная с этого номера, мы и будем рассматривать последовательность . Пусть а и b – пределы последовательностей {xn} и {yn}. Докажем, что последовательность бесконечно малая. В самом деле, так как xn=а+n, yn=b+n, то

.
Так как последовательность ограничена, а последовательность бесконечно мала, то последовательность бесконечно малая. Теорема доказана.


Итак, теперь можно сказать, что арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами.


ТЕОРЕМА: Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравентству xnb (xnb), то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству аb (ab).


Доказательство: Пусть все элементы xn, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xnb. Предположим, что аn}, то для положительного =b-a можно указать номер N такой, что при nN выполняется неравенство


|xn-a|


Это неравенство эквивалентно


-(b-a)n-a


Используя правое из этих неравенств мы получим xnnb рассматривается аналогично. Теорема доказана.


Элементы сходящейся последовательности {xn} могут удовлетворять строгому неравенству xn>b, однако при этом предел а может оказаться равным b. Например, если xn=1/n, то xn>0, однако .

Следствие 1: Если элементы xn и уn у сходящихся последовательностей {xn} и {yn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn  уn, то их пределы удовлетворяют аналогичному неравенству

.

Элементы последовательности {yn-xn} неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел . Отсюда следует, что

.


Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности {xn} находятся на сегменте [a,b], то и ее предел с также находится на этом сегменте.

Это выполняется, так как аxnb, то acb.


ТЕОРЕМА: Пусть {xn} и {zn}- сходящиеся последовательности, имеющие общий предел а. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {yn}удовлетворяют неравенствам xnynzn. Тогда последовательность {yn} сходится и имеет предел а.


Доказательство: достаточно доказать, что {yn-a} является бесконечно малой. Обозначим через N’ номер, начиная с которого, выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполнятся также неравенства xn-а  yn-а  zn-а. Отсюда следует, что при nN’ элементы последовательности {yn-a} удовлетворяют неравенству


|yn-a|  max {|xn-a|, |zn-a|}.


Так как и , то для любого >0 можно указать номера N1 и N2 такие, что при nN1 |xn-a|<, а при nN2 |zn-a|<. Итак последовательность {yn-a} бесконечно малая. Теорема доказана.

Итак, мы показали неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.


ПРИМЕРЫ

  1. Последовательность сходится и имеет своим пределом ноль. Ведь каково бы ни было >0, по свойству Архимеда вещественных чисел существует такое натуральное число n, что n>. Поэтому для всех nn, а это означает, что .


  1. Последовательность сходится и , что следует из того, что

, и того, что .


ЗАДАЧИ


ЗАДАЧА № 1


Пусть числовая последовательность а1, а2, а3, … удовлетворяет условию


(m, n = 1, 2, 3, … ),


тогда последовательность


,…


должна либо расходиться к , причем предел этой последовательности будет равен ее нижней грани.


РЕШЕНИЕ:


Видим частный случай теоремы у M. Fekete. Достаточно рассмотреть случай, когда нижняя грань  конечна. Пусть >0 и +. Всякое целое число n может быть представлено в форме n=qm+r, где r=0 или 1, или 2, …, или m-1. Полагая единообразие а0=0, имеем:


an=aqm+ram+am+…+am+ar=qam+ar,

,


ЗАДАЧА № 2


Пусть числовая последовательность а1, а2, а3, … удовлетворяет условию



тогда существует конечный предел


,


причем


(n = 1, 2, 3, … ).

РЕШЕНИЕ:


Из неравенств 2am-12m<2a>m+1 получаем:


(*)

Ряд

сходится, ибо в силу неравенства (*) он мажорируется сходящимся рядом:


|a1|+2-1+2-2+2-3+…


запишем целое число n по двоичной системе:


n=2m+12m-1+22m-2+…+m (1, 2, …, m = 0 или 1)


согласно предположению



.


Применяя теорему (1) для данных:

s0=0, s1=, sm-1=, sm=, …, pn0=0, pn1=, …, pn, m-1=,

, pn, m+1=0, …,


заключаем, что . Наконец, в силу (*) имеем:


.



ЗАДАЧА № 3


Если общий член ряда, не являющегося ни сходящимся, ни расходящимся в собственном смысле, стремится к нулю, то частичные суммы этого ряда расположены всюду плотно между их нижним и верхним пределами lim inf и lim sup.


РЕШЕНИЕ:


Нам достаточно рассмотреть случай, когда частичные суммы s1, s2, …, sn, … ограничены. Пусть , , l - целое положительное число, l>2 и .

Разобьем числовую прямую на l интервалов точками


-, m+, m+2, …, M-2, M-, +.


Выберем такое N, чтобы для n>N выполнялось неравенство |sn-sn+1|<. Пусть, далее, sn1 (n1>N) лежит в первом интервале и sn2 (n2> n1) – в последнем. Тогда числа конечной последовательности не смогут “перепрыгнуть” ни один из l-2 промежуточных интервалов длиной . Аналогично рассуждаем и в том случае, когда последовательность будет не “медленно восходящей”, а “медленно нисхожящей”.


ЗАДАЧА № 4


Пусть для последовательности t1, t2, … , tn, … существует такая последовательность стремящихся к нулю положительных чисел …, что для каждого n


.

Тогда числа t1, t2, … , tn, …лежат всюду плотно между их нижним и верхним пределами.


РЕШЕНИЕ:


Существуют в сколь угодно большом удалении конечные последовательности , произвольно медленно нисходящие от верхнего предела последовательности к ее нижнему пределу.


ЗАДАЧА № 5


Пусть v1, v2, … , vn, … - положительные числа, v1  v2  v3 … Совокупность предельных точек последовательности


, …


заполняет замкнутый интервал (длина которого равна нулю, если эта последовательность стремится к пределу).


РЕШЕНИЕ:



ЗАДАЧА № 6


Числовая последовательность, стремящаяся к , имеет наименьший член.


РЕШЕНИЕ:


Какое бы число мы ни задали, слева от него будет находиться лишь конечное число членов последовательности, а среди конечного множества чисел существует одно или несколько наименьших.


ЗАДАЧА № 7


Сходящаяся последовательность имеет либо наибольший член, либо наименьший, либо и тот и другой.


РЕШЕНИЕ:


При совпадении верхней и нижней граней рассматриваемой последовательности теорема тривиальна. Пусть поэтому они различны. Тогда по крайней мере одна из них отличается от предела последовательности. Она и будет равна наибольшему, соответственно наименьшему, члену последовательности.


ЗАДАЧА № 8


Пусть l1, l2, l3, … , lm, … - последовательность положительных чисел и , тогда существует бесконечно много номеров n, для которых ln меньше всех предшествующих ему членов последовательности l1, l2, l3, … , ln-1.


РЕШЕНИЕ:


Пусть задано целое положительное число m и  – наименьшее из чисел l1, l2, l3, … , lm; >0. Согласно предположению в рассматриваемой последовательности существуют члены, меньше чем . Пусть n – наименьший номер, для которого ln<. Тогда:

n>m; ln1, ln2, …, lnn-1.


ЗАДАЧА № 9


Пусть l1, l2, l3, … , lm, … - последовательность положительных чисел и , тогда существует бесконечно много номеров n, для которых ln превосходит все следующие за ним члены ln+1, ln+2, ln+3,…


ЗАДАЧА № 10


Пусть числовые последовательности


l1, l2, l3, … , lm, … (lm>0),

s1, s 2, s 3, … , s m, … (s1>0, sm+1>sm, m=1, 2, 3, …)


обладают тем свойством, что


, .


Тогда существует бесконечно много номеров n, для которых одновременно выполняются неравенства


ln>ln+1, ln>ln+2, ln>ln+3, …

lnsn>ln-1sn-1, lnsn>ln-2sn-2, … lnsn>l1s1,


РЕШЕНИЕ:


Будем называть lm “выступающим” членом последовательности, если lm больше всех последующих членов. Согласно предположению в первой последовательности содержится бесконечно много выступающих членов; пусть это будут:


,…


Каждый невыступающий член lv заключается (для v>n1) между двумя последовательными выступающими членами, скажем nr-1r. Имеем последовательно:


,


значит


(*)


отсюда заключаем, что



Действительно, в противном случае , значит, в силу (*) и вся последовательность
l1s1, l2s2, … были бы ограничены, что противоречит предположению. Теперь пусть задано целое положительное число m и  – наименьшее из чисел ,… ; >0. Согласно предположению в рассматриваемой последовательности существуют члены, меньше чем . Пусть k – наименьший номер, для которого <. Тогда:

k>m; .


ЗАДАЧА № 11


Если числовая последовательность ,… стремится к и А превышает ее наименьший член, то существует такой номер n (возможно несколько таких), n1, что n отношений



все не больше А, а бесконечное множество отношений


,…
все не меньше А.


РЕШЕНИЕ:


Имеем . Пусть минимум последовательности


L0-0, L1-A, L2-2A, L3-3A, …


Будет Ln-nA; тогда


Ln-u-(n-u)A Ln-nA; Ln+v-(n+v)A Ln-nA,


u=1, 2, …, n; v=1, 2, 3, …; n=0 исключено в силу предложений относительно А.


ЗАДАЧА № 12


Пусть относительно числовой последовательности l1, l2, l3, … , lm, … предполагается лишь, что


.
Пусть, далее, А>l1. Тогда существует такой номер n, n  1, что одновременно выполняются все неравенства


.
Если А, то также n.


РЕШЕНИЕ:


Пусть


l1+l2+l3+…+lm=Lm, m=1, 2, 3, …; L0=0.


Так как L1-A<0, то L0-0 не является минимумом в предыдущем решении. ln+1A; поэтому ln+1, а следовательно и n должны стремиться к бесконечности одновременно с А.


ЗАДАЧА № 13


Пусть числовая последовательность l1, l2, l3, … , lm, … удовлетворяет условиям


,


Пусть, далее, l1>A>0. Тогда существует такой номер n, n  1, что одновременно выполняются все неравенства


.
Если А0, то также n0.


РЕШЕНИЕ:


Положим


l1+l2+l3+…+lm=Lm, m=1, 2, 3, …; L0=0.


Тогда . Последовательность


L0-0, L1-A, L2-2A, L3-3A, …, Lm-mA, …


стремится к -. Пусть ее наибольший член будет Ln-nA. Тогда интересующие нас неравенства будут выполняться для этого номера n.

В последовательности L0, L1, …, Lm, … содержится бесконечно много членов, превышающих все предыдущие. Пусть Ls будет один из них. Тогда числа:



все положительны: коль скоро А меньше наименьшего из них, соответствующий А номер n больше или равен s. Точки (n, Ln) должны быть обтянуты теперь бесконечным выпуклым сверху полигоном.

7



1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Поехал как-то русский отдыхать в Египет. Гуляет вечерком по берегу моря, видит кувшин старинный морем на берег выбросило. Ну он его открывает, а оттуда, как водится, джин выскакивает и представляется: я типа великий древний джин Хаттаб Джюрписияб ибн Абдурашлёп. За то, что ты освободил меня, исполню три твоих желания. "Только три?" - удивляется русский. И думает, а ведь столько всего надо, столько всего охота, тут без бутылки не разберёшься и говорит джину: "Слушай, поставь-ка мне пузырь водки, пока я соображаю чего хочу". Ну джин ему организует бутылку водки и говорит: "У тебя осталось ещё два желания". Русский возмущается, как типа, ты бутылку водки засчитал? Ну и козёл! Ну вот как теперь всё, что я хочу, в только два желания уместить? "Слушай" - говорит - "тут тогда одной бутылки мало -ставь ещё одну". Ну джин проставился и говорит: "У тебя осталось последнее желание, мой спаситель". Русский аж офигел и кричит: "Как, ты и эту бутылку за отдельное желание засчитал!? Блин, как всё сложно! Не могу сообразить ... Давай-ка сразу ящик водки..."
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Сходящиеся последовательности", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2017
Рейтинг@Mail.ru