Реферат: Методы pаcчeта элeктpоcтатичecкиx полeй - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Методы pаcчeта элeктpоcтатичecкиx полeй

Банк рефератов / Технологии

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 2157 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

23 1. Основные уравнения электростатического поля Прежде чем п риступить к изложению численных методов расчета электростатического поля , запишем основные уравнения , устанавливающие связи между вектором напряженности электрического поля , вектором электрического смещения и истоками электрического поля (т.е . зарядами ). Поскольку в данной работе рассматривается только электростати ческое поле , то будем считать , что эти векторы , так же как и заряды , являются функциями пространственных координат , но не функциями времени . Кроме того , мы ограничимся здесь рассмотрением системы уравнений для неподвижных сред , предполагая , что все находя щ иеся в них тела неподвижны. Распределение электрического поля в пространстве определяется одним из уравнений Максвелла , устанавливающим связь между вектором электрического смещения и истоками поля : . (1.1) Согласно уравнению (1.1) силовые линии вектора смещения начинаются и закачиваются на зарядах , плотность которых стоит в правой части уравнения (1.1). Уравнение (1.1) должно быть дополнено соотношением между векторами поля и диэлектрической проницаемостью среды . Условимся в дальнейшем считать , что значения , заданные в каждой точке поля , остаются постоянными во времени , не зависят от напря женности поля , но могут быть кусочно-постоянными в пространстве , т.е . могут изменяться скачком при переходе из одной среды в другую , оставаясь постоянными в пределах каждой среды . Тела с остаточной поляризованностью , а также анизотропные среды , из нашего р ассмотрения исключаются . При этих условиях для каждого момента времени имеем , (1.2) где =8,85 я 10 -12 Ф /м – электрическая постоянная. Кроме того , уравнения (1.1) и (1.2) необходимо дополнить граничными условиями для векторов и . Так как значения параметра могут изменяться скачком при переходе через поверхность раздела двух сред , то на этих поверхностях тер яют смысл пространственные производные ( div ) в уравнении (1.1). На поверхностях раздела должны удовлетворятся следующие граничные условия : , (1.3) т.е . при переходе из среды 1 в среду 2 тангенциальная составляющая вектора напряженности электрического поля сохраняется , если плотность объемного заряда конечна ; , (1.4) т.е . при переходе из среды 1 в среду 2 нормальная составляющая вектора электрического смещения изменяется на величину плотности поверхностного заряда на границе раздела . В уравнениях (1.1) (1.4) предполагается , что вектор нормали к границе раздела направлен из 1-й среды во 2-ю. Рассмотрим поведение электрического поля на границе раздела “диэлектрик-проводник” . Такие задачи типичны для расчета электрического поля , создаваемого в диэлектриках высоковольтными и заземленными металлическими (проводящими ) частями электроэнергетич еского оборудования . При этом , и напряженность электрического поля во 2-й среде с большим значением диэлектрической проницаемости и проводимости (проводнике ) оказывается близкой к нулю , а весь заряд проводящих частей конструкций оказывается распределенным по их поверхностям . Тогда на границе раздела двух сред тангенциальная составляющая вектора напряженности электрического поля равна нулю , (1.5) а нормальная составляющая определяется как , (1.6) где – поверхностная плотность заряда на поверхности проводника. Электростатическое поле. В рассматриваемых здесь условиях (электрическое поле неизменно во времени , его источники неподвижны ) определенный интеграл вектора напряженности электрического поля вдоль линии , соединяющей некоторые точки A и B , не зависит от выбора пути интегрирования . Этот интеграл называется электрическим напряжением между точками A и B . В таком случае вводится функция координат , называемая с калярным потенциалом электрического поля , разность значений которой в точках A и B равна напряжению между этими точками , т.е . , Тогда потенциал поля можно найти как неопределенный интеграл . Это позволяет дать т очное определение скалярного потенциала как функции , у которой взятая со знаком минус частная производная по некоторому направлению равна составляющей вектора напряженности электрического поля в этом направлении . Отсюда следует , что вектор напряженности э л ектрического поля и скалярный потенциал связаны соотношением . (1.7) В таком случае , если в некотором электрическом поле известно распределение потенциала в пространстве , то вектор может быть определен по трем своим составляющим . Так , например , в декартовых координатах , если , то , , , и . Введение скалярного потенциала электрического поля позволяет существенно упростить расчет распр еделения электрического поля . Как известно , дивергенция вектора выражается в общем случае через частные производные всех трех его составляющих . Поэтому , если в пространстве задано распределение , то найти вектор (и в соответствии с соотношением (1.2) вектор ) непосредственно из уравнен ия (1.1) можно только в простейших случаях , когда вектор имеет , например , только одну составляющую . В общем же случае решение становится возможным с помощью потенциала , позволяющего исключить из уравнений (1.1) и (1.2) векторы и , и получить связь между потенциалом плотностью заряда . Исключить вектор из уравнения (1.1) можно за счет постановки выражения (1.7) в соотношение (1.2): . Подставляя полученное соотношение в уравнение (1.1) получаем . Как было сказан о выше , мы ограничиваемся рассмотрением задач , в которых среда является кусочно-однородной , т.е . состоящей из участков , с постоянной диэлектрической проницаемостью в пределах данного участка . Для каждого такого однородного участка можно вынести за знак дивергенции . Тогда , или , (1.8) где . Уравнение (1.8) называется уравнением Пуассона. В подавляющем большинстве случаев электрические поля создаются заряженными проводниками . В этом случае все заряды являются поверхностными , т.е . они расп ределены по поверхностям проводников , являющимися границами электрического поля . Поле существует только в диэлектрике , а внутри проводников напряженность поля равна нулю (иначе в проводнике был бы ток ). В этом случае плотность объемного заряда равна нулю и после описывается уравнением Лапласа . (1.9) Как было отмечено выше , тангенциальная составляющая напряженности электрическ ого поля на поверхности проводника равна нулю (1.5). Это означает , что силовые линии перпендикулярны поверхности проводника и потенциал вдоль поверхности не изменяется . Но потенциал не может меняться и вглубь проводника . Поэтому в электростатическом поле д ля поверхности проводника справедливо граничное условие , (1.10) позволяющее говорить о постоянстве потенциала всего проводника. Таким образом , электростат ическое поле в любой области пространства , в которой диэлектрическая проницаемость среды постоянна , описывается уравнением Пуассона (1.8) относительно скалярного потенциала или эквивалентными ему уравнениями (1.1) и (1.2) относительно вектора напряженности поля . Связь между и устанавливается соотношением (1.7). На границах раздела между областями пространства с различными значениями выполняются граничные условия (1.3) и (1.4). На поверхно стях проводников выполняется условие (1.5), из которого вытекает условие эквипотенциальности поверхности проводника (1.10). 2. Расчет простейших электростатических полей методом изображений 3. Интегральные методы расчета электростатических полей 3. 1. Общая характеристика интегральных методов Интегральные методы расчета электростатических полей развивают идею , заложенную в методе изображений , в котором поля реальных проводящих тел моделируются полями систем простейших зарядов (точечных или линейных ) , а значения последних находятся из условия эквипотенциальности поверхности проводников. Идея интегральных методов заключается в следующем . Реальные распределения заряда по поверхностям тел полеобразующей системы замещаются фиктивными распределениями по не которым поверхностям , лежащим внутри реальных тел . Эти фиктивные распределения заряда определяются из условия эквипотенциальности поверхности проводников (1.10), а также из условий неразрывности тангенциальной составляющей вектора напряженности электричес к ого поля (1.3) и нормальной составляющей вектора электрического смещения (1.4) на границах раздела диэлектриков. Рассмотрим суть интегральных методов на примере расчета электростатического поля проводящего тела , помещенного в однородную среду с диэлектриче ской проницаемостью , которое ограничено поверхностью , и к которому приложено напряжение V (рис . 3.1). Рис . 3.1. К расчету электростатического поля интегральным методом. Пусть внутри тела по поверхности распределен заряд с неизвестной плотностью . Рассчитаем потенциал , наведенный этим распределенным зарядом в произвольной точке B поверхности . Для этого на поверхности возьмем произвольную точку A и выделим в ее окрестности бесконе чно малую площадку , плотность заряда на которой обозначим . Тогда потенциал в точке B определяется как . Поскольку в любой точке поверхности проводника должно выполняться условие равенства потенциала его поверхности приложенному напряжению , то получаем следующее интегральное уравнение относительно неизвестного распределения заряда по пов ерхности : . (3.1) После того , как из уравнения (3.1) определяется распределение , можно рассчитать параметры поля в любой точке пространства. Интегральные методы расчета электроста тических полей разделяют по способу размещения фиктивной поверхности внутри поверхности : 1. Поверхность целиком располагается внутри поверхности , нигде не пересекаясь с последней . Соответствующий метод называется методом эквивалентных зарядов (МЭЗ ). Чтобы упростить его реализацию , в большинстве случаев распределение заряда по поверхности полагается не непрерывным , а дискретным . Это означает , что на поверхности размещаются точеч ные , линейные , кольцевые или какие-либо иные сосредоточенные эквивалентные заряды (ЭЗ ). Выбор их конкретного вида определяется формой тела. 2. Поверхность ц еликом совпадает с поверхностью . Соответствующий метод называется методом интегральных уравнений (МИУ ). Таким образом , в МИУ заряд полагается распределенным по поверхности тела . Ниже методы эквивалентных зарядов и интегральных уравнений будут рассмотрены более подробно. 3.2. Метод эквивалентных зарядов Как было сказано выше , метод эквивалентных зарядов основан на замещении реального непрерывного распределения заряда по поверхности проводящих и диэлектрических тел совокупностью дискретных эквивалентных зарядов , расположенных внутри тел . Значения ЭЗ определяются и з условия эквипотенциальности поверхностей проводников (1.10) , а также из условий неразрывности тангенциальной составляющей вектора напряженности электрического поля (1.3) и нормальной составляющей вектора электрического смещения (1.4) на границах раздела диэлектриков. Начнем изучение метода эквивалентных зарядов с простейшего случая , когда полеобразующая система не содержит диэлектрических тел. 3.2.1. Расчет электростатического поля проводников . Рассмотрим проводник , ограниченный поверхностью , к которому приложено напряжение V (рис . 3.2). В данном случае реальное распределение заряда по поверхности тела замещается системой N точечных эквивалентных зарядов , расположенных внутри тела . На поверхности размещается N контурных точек (КТ ) . Потенциал каждой контурной точки должен быть равен приложенному напряжению . Тогда для каждой КТ можн о записать следующее уравнение : , (3.2) где – расстояние о т i-го заряда до j-ой контурной точки , . Таким образом , мы имеем систему из N линейных алгебраических уравнений с N неизвестными . Рис . 3. 2 . К расчету электростатического поля методом эквивалентных зарядов. Система уравнений (3.2) может также быть записана в матричной форме , (3.3) где P – матрица потенциальных коэффициентов размерности ; Q – вектор-столбец ЭЗ ; V – вектор-столбец потенциалов КТ . Элементы матрицы потенциальных коэффициентов P определяются по формуле . Система линейных алгебраических уравнений (3.3) может быть решена относительно неизвестных значений ЭЗ , например , методом Гаусса . После этого составляющие вектора напряженности электрического поля в любой точке пространства с координатами определяются следующим образом : (3.4) Здесь - координаты эквивалентных зарядов . Полный заряд проводника , ограниченного поверхностью определяется как (3.5) 3.2.2. Расчет электростатического поля при наличии границы раздела между двумя диэлектриками . Расчет электростатического поля в областях с двумя и более диэлектриками усложняет применение м етода эквивалентных зарядов . Особенностью данного расчета является необходимость учитывать не только поверхностный заряд проводников , но и заряд , наведенный на границах раздела диэлектриков . Рассмотрим порядок применения МЭЗ в такой ситуации на примере с истемы с двумя границами раздела “металл– диэлектрик” и одной границей раздела “диэлектрик– диэлектрик” (рис . 3.3). Рис . 3.3. К расчету электростатического поля в системе , включающей гра ницу раздела между двумя диэлектриками , методом эквивалентных зарядов. В данном случае наряду с эквивалентными зарядами , расположенными внутри электрода , в р асчете участвуют заряды , размещаемые по обе стороны границы раздела диэлектриков . В среде с диэлектрической проницаемостью располагаются заряды , а в среде с диэлектрической проницаемостью — заряды . Так как во всей рассматриваемой области должно выполняться уравнение Лапласа , при расчете параметров поля в среде с диэлектрической проницаемостью (или ) заряды , расположенные в данной среде , не учитываются. Система уравнений (3.3) сост авляется в данном случае следующим образом. Для контурных точек , лежащих на поверхности проводника в среде с диэлектрической проницаемостью ( ), должны выполняться равенства , (3.6) а для контурных точек , лежащих на поверхности проводника в среде ( ), должны выполняться равенства . (3.7) Выражения (3.6) и (3.7) представляют собой тр ебование эквипотенциальности поверхности проводника. Для контурных точек на границе раздела двух диэлектриков ( ) требуется выполнение двух условий : , (3.8) , (3.9) где ; – коэффициент пропорциональности между j -м эквивалентным зарядом и нормальной составляющей вектора напряж енности электрического поля в i -ой контурной точке ; - вектор нормали к границе раздела диэлектриков в i -ой контурной точке . Выражение (3.8) отражает требова ние неразрывности потенциала на границе раздела двух сред , вытекающее из граничного условия (1.5). Выражение (3.9) отражает требование неразрывности нормальной составляющей вектора электрического смещения (1.4), которое в соответствии с уравнением (1.2) п р иводит к скачку нормальной составляющей вектора напряженности электрического поля : . Решив систему уравнений (3.3), сформированную из уравнений (3.6) (3.9), относительно значений эквивалентных зарядов , затем , используя принцип суперпозиции , можно рассчитать поле как внутри , т ак и на поверхности диэлектрика . Особенностью расчета является то , что для вычисления поля в одной из диэлектрических сред источниками поля являются заряды , находящиеся в проводнике и в другом диэлектрике . Заряды внутри исследуемой области не учитываются. 3.3. Метод интегральных уравнений 3.3.1. Свойства простого слоя заряда. Как было сказано выше , идея метода интегральных уравнений заключается в замещении реальных распределений заряда по поверхности тел полеобразующей системы простыми слоями зарядов , расп ределенных по поверхности тел . Значения поверхностной плотности заряда определяются из условия эквипотенциальности поверхностей проводников (1.10) , а также из условий неразрывности тангенциальной составляющей вектора напряженности электрического поля (1. 3) и нормальной составляющей вектора электрического смещения (1.4) на границах раздела диэлектриков. Простой слой заряда обладает следующими основными свойствами . Во-первых , потенциал простого слоя заряда является непрерывной и ограниченной функцией коорд инат во всём пространстве , включая точки поверхности , на которой расположен этот слой . Отсюда непосредственно вытекает равенство тангенциальных составляющих напряженности электрического поля по обе стороны поля. Во-вторых , в соответствии с (1.4) нормальная составляющая напряженности электрического поля при переходе через простой слой зарядов испытывает скачёк равный , где и – значения нормальной составляющей электрического поля по обе стороны слоя , – поверхностная плотность заряда в рассматриваемой точке слоя . Отсюда следует, что если внутри замкнутой поверхности , покрытой простым слоем зарядов , нормальная к поверхности составляющая напряженности электрического поля равна нулю , т о по внешней поверхности . Можно также показать , что в этом случае потенциал на самой поверхности и внутри неё будет постоянным , а также будет равна нулю тангенциальная составляющая напряженности электрического поля на поверхности . Отсюда вытекает , что будет эквипотенциальной поверхностью , а поле будет совпадать с полем проводника такой же формы . Следовательно , с пом ощью простых слоёв зарядов можно создавать поля , идентичные полям реальных проводников. 3.3.2. Расчет электростатического поля проводников методом интегральных уравнений . Рассмотрим некоторое тело , ограниченное поверхностью , к которому приложен потенциал (рис . 3.4). Задача состоит в том , чтобы определить такое ра спределение поверхностной плотности заряда на поверхности , которое обеспечило бы равенство потенциала на ней значению . Рис . 3.4. К расчету электрос татического поля методом интегральных уравнений. Пусть точки A и B – произвольные точки поверхности , тогда для точки B согласно принципу суперпозиции имеем , (3.10) где – расстояние между точками A и B . Уравнение (3.10) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма I рода относительно неизвестной функции . В результате его решения определяется распределение по верхностной плотности заряда по поверхности . Если оно известно , то любые параметры электрического поля определяются по принципу суперпозиции . Так значения по тенциала и проекций вектора напряженности электрического по ля на координатные оси в произвольной точке M , лежащей вне поверхности определяются как (3.11) где – косинусы углов между вектором и направляющими углами координатных осей . 3.3.3. Численная реализация метода интегральных уравнений. Простейшим вариантом численного решения уравнения (3.10) является следующий метод . Нанесём на поверхность ( рис . 3.5 ) некоторую сетку и в каждой её ячейке выб ерем расчётную точку (на рис . 3.5 расчетные точки обозначены квадратиками ). Примем , что внутри каждой ячейки поверхностная плотность заряда постоянна . Тогда уравнение (3.10) можно переписать в следующем виде : . (3.12) Рис . 3.5. К численному расчету электростатического поля методом интегральных уравнений. Замена интеграла по поверхности в уравнении (3.10) на сумму интегралов по элементам поверхности в (3.12) приводит к замене интегрального уравнения системой линейных алгебраических уравнений с неизвестными . В (3.12) через n обозначено число ячеек сетки на поверхности . Коэффициенты системы уравнений (3.12) опреде ляются выражением . (3.13) При и подынтегральное выражение в (3.13) конечно . Если , то выражение имеет особенность Однако это выражение является интегрируемым . Выделим вблизи расчетной т очки диск малого радиуса . Тогда , учитывая , что в данном случ ае , соответствующий интеграл по этому диску записывается в виде . Таким образом , определяемые выражением (3.13) коэффициенты конечны как при , так и при . В методе эквивалентных зарядов возникают следующие проблемы , связанные друг с другом : Размещение эквивалентных зарядов и контурных точек ; Проблема обусловленности СЛАУ. Определитель матрицы СЛАУ равен нулю , если она имеет два одинаковых столбца или строки . Если же два столбца или две строки не одинаковы , но близки друг к другу , то определитель матрицы отличен от н уля , но очень мал . Его значение тем меньше , чем меньше отличия соответствующих строк или столбцов. В соответствии с этим , при сближении строк или столбцов исходной матрицы , будут возрастать коэффициенты матрицы , обратной к рассматриваемой . Будет возрастат ь и норма обратной матрицы . В линейной алгебре вводится понятие числа обусловленности N матрицы равного произведению норм прямой и обратной матриц N=||A -1 || ||A||. При сближении двух строк или столбцов матрицы , число обусло вленности N возрастает. Рассмотрим теперь СЛАУ , записанную в матричной форме : A X=U, где X и U – соответственно , векторы неизвестных и правых частей. Пусть правая часть U известна точно , а матрица A получает некоторое прираще ние А . Тогда решение также несколько изменится . Обозначим его приращение через Х . Это можно записать как (A+ A)(X+ X)=U. Если раскрыть с кобки и пренебречь величиной А Х , то получим Х А -1 АХ. Переходя к нормам , получим : . Смысл этого выражения состоит в том ,что относительная погрешность решения пропорциональна относительному изменению коэффициентов матрицы А , причем коэффициент пропорциональности равен числу обусловленности матрицы А. Системы уравнений с большим числом обусловленности N называются плохо обусловленн ыми . Для них небольшим изменениям коэффициентов матрицы соответствуют большие изменения решения. Теперь перенесем изложенные результаты на МЭЗ . Предположим , что расстояния от отдельных ЭЗ до каких-либо двух контурных точек близки . Это приводит к тому , что два столбца в матрице СЛАУ близки между собой и число обусловленности матрицы может быть весьма велико . В этом случае полученные значения ЭЗ очень сильно зависят от выбранных координат контурных точек . Поэтому если координаты ЭЗ и КТ выбраны неудачно , то р ешение может иметь осциллирующий знакопеременный характер , что не соответствует физической постановке задачи.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Бывают моменты, когда я хочу замуж. Тогда я надеваю халат, тапки, бигуди и иду варить борщ… Через час меня отпускает.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru