Реферат: Замечательные кривые - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Замечательные кривые

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 1833 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Министерство высшего и профессионального образования Оренбургский г осударственный университет Аэрокосмический институт Реферат по высшей математике : “Замечательные кривые” Выполнил : Обухов Е . В . (2000 МСИ ) Проверил : Липилина В . В. Оренбург – 2000 План. 1. Цепочка Галилея 2. Цепная линия 3. График показате льной функции 4. Подбор длины цепочки 5. А если длина не та 6. Все цепные линии подобны Цепочка Галилея. В книге Галилея “Беседы и математические доказательства…” , напечатанной впервые на итальянском языке в голландском городе Лейдене в 1638г ., предлагался , между прочим , такой способ построения параболы : “Вобьём в стену два гвоздя на одинаковой высоте над горизонтом и на таком расстоянии друг от друга , чтобы оно равнялось двойной ширине прямоугольника , на ко т ором желательно построить полупараболу ; между одним и другим гвоздём подвесим тонкую цепочку , которая свешивалась бы вниз и была такой длины , чтобы самая низкая точка её находилась от уровня гвоздя на расстоянии , равном высоте прямоугольника (рис . 1). Цепо чка эта , свисая , расположится в виде параболы , так что , отметив её след на стене пунктиром , мы получим параболу , рассекаемую пополам перпендикуляром , проведённым через середину линии , соединяющей оба гвоздя”. Способ этот прост и нагляден , но не точен . Это понимал и сам Галилей . На самом деле , если параболу построить по всем правилам , то между нею и цепочкой обнаружатся зазоры . Они видны на том же рис . 1, где соответствующая парабола обозначена сплошной линией. Цепная линия. Только через полвека после выход а книги Галилея старший из двух братьев-математиков Бернулли – Якоб нашёл чисто теоретическим путём точную формулу провисающей цепочки . Не спеша сообщать своё решение задачи , он бросил вызов другим математикам . Правильное решение опубликовали уже в следую щ ем 1691г . Христиан Гюйгенс , Готфрид Вильгельм Лейбниц и младший брат Якоба – Иоганн Бернулли . Все они пользовались для решения задачи , во-первых , законами механики , а во-вторых , могучими средствами недавно разработанного тогда математического анализа – пр о изводной и интегралом. Гюйгенс назвал кривую , по которой располагается цепочка , подвешенная за два конца , цепной линией . Так как цепочки бывают разной длины , да и концы их могут подвешиваться на разных расстояниях друг от друга – то ближе , то дальше , то и цепных линий существует не одна , а много . Но все они подобны между собой , как , например , подобны между собой любые окружности. График показательной функции. Оказалось , что разгадка секрета цепной линии лежит в показательной функции . В XVIII веке она была ещё новинкой , а теперь её должен знать каждый восьмиклассник . Это функция вида y = a x , где a – какое-либо положительное число , не равное 1. Вычисления показали , что для построения цепной линии удобнее всего принят ь a равным так называемому неперову числу , обозначаемому буквой e . Оно получило своё имя в честь шотландского математика Джона Непера – одного из изобретателей логарифмов . Число это почти столь же знаменито , как и число ; его приближённое значение , взятое с точностью до 0,0005: e 2,718. На рис . 2 сплошной линией изображен график показательной функции y=e x , а пунктиром - график другой показательной функции , тесно связанной с предыдущей. Если восполь зоваться отрицательными показателями степеней , то последнюю функцию можно представить в виде y=e - x . Теперь ясно , что оба графика симметричны друг другу относительно оси ординат , что и обнаруживает рисунок. Образуем теперь две новые функции , беря для каждого x либо полусумму значений наших показате льных функций – получим y = 1 / 2 ( y=e x + e - x ) , либо их полуразность : y= 1 / 2 (y=e x -e - x ) . Графики этих новых функций приведены на рис . 3 и рис . 4. Оказывается , что первый из них это и есть одна из цепных линий . Из него путем простых преобразований , о которых пойде т речь ниже , можно получить любую цепную линию , симметричную относительно оси ординат . Что касается графика , представленного на рис . 4, то он будет нами использован как вспомогательное средство при переходе от цепной линии рис . 3 к более общему случаю цеп н ой линии. Подбор длины цепочки. Рассмотрим подробнее связь между кривой , изображенной на рис . 3 , и формой висящей цепочки. Представим себе , что эта кривая вычерчена на строго вертикальной и совершенно гладкой стене и что нам разрешено забивать гвозди в ра зные точки кривой . Забьём их , как советовал Галилей , в точках A и B на одной горизонтали (впрочем , это условие несущественно ). Подберём теперь тонкую цепочку , длина которой точно равна 2 l – длине дуги AB – и концы её закрепим в A и B . Тогда цепочка провисн ет строго по дуге , которую мы заранее вычертили . Никаких зазоров между ней и этой кривой не будет наблюдаться . Подбор цепочки нужной длины можно про изводить путем проб . Взять цепочку подлиннее – с запасом , а потом подвешивать её за разные звенья в точках A и B , по мере надобности увеличивая или уменьшая длину провисающей части , пока не произойдёт совпадения (рис . 5). Но можно поступить и иначе : зная d (половину расстояния между гвоздями ), найти путём вычисления l (половину длины дуги AB ) и тогда уже брать цепочку , длина которой точно равна 2 l . Такой подсчёт удаётся с помощью интеграла . Укажем здесь результат : l = 1/2 ( e d - e - d ) . Отсюда следует , что если взя ть на графике функции y = 1/2 ( e x - e - x ) (рис . 4) x = d , то соответствующая ордината у точки E этого графика будет равна l . Так как l = 1/2 ( e d - e - d )< r =1/2( e d - e - d ) ( см . рис . 5 ), то получается любопытное заключение : длина дуги CB цепной линии , представленной на рис . 5 (половина длины всей цепочки ) короче , чем ордината точки подвеса . С другой стороны , имеем : l > d , т.е. э та длина больше , чем абсцисса точки подвеса. А если длина не та ? Как отыскать уравнение линии в случае , когда для данных точек подвеса A и B длина ц епочки 2 l ` не совпадает с длиной 2 l дуги AB , принадлежащей кривой y = 1/2 ( e x - e - x ) ? В поисках ответа мы будем опираться на отмеченный выше факт , что все цепные линии подобны между собой. Пусть , например , l `> l . Тогда цепочка провиснет по некоторой дуге AC ` B , р асположенной под дугой ACB ( рис . 5 ) . Мы покажем , что нужное уравнение цепной линии , которой принадлежит дуга AC ` B , можно найти в три приёма . Сначала перейти от кривой (1): y = 1/2 ( e x - e - x ) к некоторой кривой (2): y = 1/2 ( e x / k - e - x / k ) ;эта кривая получается из (1) посредством преобразования подобия с центром в точке O и коэффициентом подобия k ( k >0) . Затем перейти от кривой (2) к кривой (3): y = b + k /2 ( e x / k - e - x / k ) посредством сдвига предыдущей в направлении оси ординат ( в зависимости от знака b вверх или вниз ). Вся хи трость заключается в том , чтобы определить коэффициент подобия k . С этой целью отметим в плоскости вспомогательной кривой , изображённой на рис . 4, точку F с координатами x = d и y = l ` . В силу того , что l `> l , она не попадёт на кривую , а окажется выше неё. Прод олжим OF до пересечения с кривой в некоторой точке G (можно доказать , что точка пересечения найдётся , помимо точки O , и притом только одна ). Положим OF / OG (в нашем случае 0 < k < 1 ); тогда координатами точки G будут числа x = d / k , y = l `/ k . Поэтому они будут связа ны уравнением кривой : l `/ k =1 /2 ( e d / k - e - d / k ) . Отсюда следует , что если на кривой (1) (рис . 3) взять точки A ` и B ` с абсциссами – d / k и d / k , то длина дуги A ` B ` , их соединяющей , будет равна 2 l `/ k . Все цепные линии подобны. Найденное число k используем как коэффициент подобия в преобразовании кривой (1); в качес тве центра подобия возьмем начало координат O . Тогда каждой точке P ( x , y ) кривой (1) будет соответствовать точка Q ( kx , ky ) преобразованной кривой (2) (рис . 6). Если ввести обозначения : X = kx , Y = ky , то x = X / k , y = Y / k . Последние числа должны удовлетворять уравнен ию (1) , так как точка P ( x , y ) лежит на ней . Получаем : Y / k =1 /2 ( e X / k - e - X / k ) . Это и есть уравнение кривой (2), полученной в результате преобразования. Большие буквы для обозначения координат можно здесь заменить маленькими , помня , что теперь это координаты люб ой точки кривой (2). Заметим , что точкам A ` и B ` кривой (1) с абсциссами – d / k и d / k будут соответствовать точки A `` и B `` кривой (2) с абсциссами – d и d (рис . 7). В силу подобия дуг A ` B ` и A `` B `` длина A `` B `` будет равна 2 l ` , т . е . равна заданной длине цепо чки. В этом и состоит преимущество кривой (2) перед исходной кривой (1). Недостаток её , однако , в том , что кривая (1) проходила через заданные точки подвеса A и B , а кривая (2) может через них и не проходить . Но этот недостаток легко устранить . Если ордина та точки B `` ( или A `` ): k /2( e d / k + e - d / k ) не равна r , т . е. B `` не совпадает с B , то положим r - k /2( e d / k + e - d / k )= b . В результате сдвига кривой (2) в направлении оси ординат на величину b она перейдёт в кривую ( 3): y = b + k /2( e d / k + e - d / k ) . Последняя кривая , во-перв ых , подобна кривой (1) и , следовательно , является сама цепной линией . Во-вторых , она проходит через заданные точки подвеса : A (- d , r ) и B ( d , r ) . И , в-третьих , длина дуги AB равна длине данной цепочки 2 l ` . Эти условия и обеспечивают , как это было доказано Бер нулли , Гюйгенсом и Лейбницем , что цепочка провиснет как раз по дуге AB . На этом очерк о цепочке Галилея можно считать законченным . Список использованной литературы 1. А . И . Маркушевич “Замечательные кривые” ; Москва ; “Наука” -1978г. 2. Г . Штейнгауз “М атематический калейдоскоп” ; Москва ; “ГосТехИздат” -1949г. 3. Г . Н . Берман “Циклоида” ; Москва ; “ГосТехИздат” -1954г.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Нашим чиновникам запрещено иметь всё, кроме народа.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Замечательные кривые", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru