Реферат: Замечательные кривые - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Замечательные кривые

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 1833 kb, скачать бесплатно
Обойти Антиплагиат
Повысьте уникальность файла до 80-100% здесь.
Промокод referatbank - cкидка 20%!

Узнайте стоимость написания уникальной работы



Министерство высшего и профессионального образования


Оренбургский государственный университет


Аэрокосмический институт




Реферат по высшей математике:



“Замечательные кривые”




Выполнил: Обухов Е. В. (2000МСИ)

Проверил: Липилина В. В.






Оренбург – 2000

План.


  1. Цепочка Галилея

  2. Цепная линия

  3. График показательной функции

  4. Подбор длины цепочки

  5. А если длина не та

  6. Все цепные линии подобны


Цепочка Галилея.

В книге Галилея “Беседы и математические доказательства…”, напечатанной впервые на итальянском языке в голландском городе Лейдене в 1638г., предлагался, между прочим, такой способ построения параболы: “Вобьём в стену два гвоздя на одинаковой высоте над горизонтом и на таком расстоянии друг от друга, чтобы оно равнялось двойной ширине прямоугольника, на котором желательно построить полупараболу; между одним и другим гвоздём подвесим тонкую цепочку, которая свешивалась бы вниз и была такой длины, чтобы самая низкая точка её находилась от уровня гвоздя на расстоянии, равном высоте прямоугольника (рис. 1). Цепочка эта, свисая, расположится в виде параболы, так что, отметив её след на стене пунктиром, мы получим параболу, рассекаемую пополам перпендикуляром, проведённым через середину линии, соединяющей оба гвоздя”.

Способ этот прост и нагляден, но не точен. Это понимал и сам Галилей. На самом деле, если параболу построить по всем правилам, то между нею и цепочкой обнаружатся зазоры. Они видны на том же рис. 1, где соответствующая парабола обозначена сплошной линией.


Цепная линия.

Только через полвека после выхода книги Галилея старший из двух братьев-математиков Бернулли – Якоб нашёл чисто теоретическим путём точную формулу провисающей цепочки. Не спеша сообщать своё решение задачи, он бросил вызов другим математикам. Правильное решение опубликовали уже в следующем 1691г. Христиан Гюйгенс, Готфрид Вильгельм Лейбниц и младший брат Якоба – Иоганн Бернулли. Все они пользовались для решения задачи, во-первых, законами механики, а во-вторых, могучими средствами недавно разработанного тогда математического анализа – производной и интегралом.

Гюйгенс назвал кривую, по которой располагается цепочка, подвешенная за два конца, цепной линией.

Так как цепочки бывают разной длины, да и концы их могут подвешиваться на разных расстояниях друг от друга – то ближе, то дальше, то и цепных линий существует не одна, а много. Но все они подобны между собой, как, например, подобны между собой любые окружности.


График показательной функции.

Оказалось, что разгадка секрета цепной линии лежит в показательной функции. В XVIII веке она была ещё новинкой, а теперь её должен знать каждый восьмиклассник. Это функция вида y=ax, где a – какое-либо положительное число, не равное 1. Вычисления показали, что для построения цепной линии удобнее всего принять a равным так называемому неперову числу, обозначаемому буквой e. Оно получило своё имя в честь шотландского математика Джона Непера – одного из изобретателей логарифмов. Число это почти столь же знаменито, как и число ; его приближённое значение, взятое с точностью до 0,0005:e2,718.

На рис. 2 сплошной линией изображен график показательной функции y=ex, а пунктиром - график другой показательной функции, тесно связанной с предыдущей.

Если воспользоваться отрицательными показателями степеней, то последнюю функцию можно представить в виде y=e-x. Теперь ясно, что оба графика симметричны друг другу относительно оси ординат, что и обнаруживает рисунок.

Образуем теперь две новые функции, беря для каждого x либо полусумму значений наших показательных функций – получим y=1/2 (y=ex+e-x), либо их полуразность: y=1/2 (y=ex-e-x). Графики этих новых функций приведены на рис. 3 и рис. 4. Оказывается, что первый из них это и есть одна из цепных линий. Из него путем простых преобразований, о которых пойдет речь ниже, можно получить любую цепную линию, симметричную относительно оси ординат. Что касается графика, представленного на рис. 4, то он будет нами использован как вспомогательное средство при переходе от цепной линии рис. 3 к более общему случаю цепной линии.


Подбор длины цепочки.

Рассмотрим подробнее связь между кривой, изображенной на рис. 3, и формой висящей цепочки. Представим себе, что эта кривая вычерчена на строго вертикальной и совершенно гладкой стене и что нам разрешено забивать гвозди в разные точки кривой. Забьём их, как советовал Галилей, в точках A и B на одной горизонтали (впрочем, это условие несущественно). Подберём теперь тонкую цепочку, длина которой точно равна 2l – длине дуги AB – и концы её закрепим в A и B. Тогда цепочка провиснет строго по дуге, которую мы заранее вычертили. Никаких зазоров между ней и этой кривой не будет наблюдаться.

Подбор цепочки нужной длины можно производить путем проб. Взять цепочку подлиннее – с запасом, а потом подвешивать её за разные звенья в точках A и B, по мере надобности увеличивая или уменьшая длину провисающей части, пока не произойдёт совпадения (рис. 5). Но можно поступить и иначе: зная d (половину расстояния между гвоздями), найти путём вычисления l (половину длины дуги AB) и тогда уже брать цепочку, длина которой точно равна 2l. Такой подсчёт удаётся с помощью интеграла. Укажем здесь результат: l=1/2(ed-e-d). Отсюда следует, что если взять на графике функции y=1/2(ex-e-x) (рис. 4) x=d, то соответствующая ордината у точки E этого графика будет равна l.

Так как l=1/2(ed-e-d)d-e-d) (см. рис. 5), то получается любопытное заключение: длина дуги CB цепной линии, представленной на рис. 5 (половина длины всей цепочки) короче, чем ордината точки подвеса. С другой стороны, имеем: l>d, т.е. эта длина больше, чем абсцисса точки подвеса.


А если длина не та?

Как отыскать уравнение линии в случае, когда для данных точек подвеса A и B длина цепочки 2l` не совпадает с длиной 2l дуги AB, принадлежащей кривой y=1/2(ex-e-x)? В поисках ответа мы будем опираться на отмеченный выше факт, что все цепные линии подобны между собой.

Пусть, например, l`>l. Тогда цепочка провиснет по некоторой дуге AC`B, расположенной под дугой ACB(рис. 5). Мы покажем, что нужное уравнение цепной линии, которой принадлежит дуга AC`B, можно найти в три приёма. Сначала перейти от кривой (1): y=1/2(ex-e-x) к некоторой кривой (2): y=1/2(ex/k-e-x/k);эта кривая получается из (1) посредством преобразования подобия с центром в точке O и коэффициентом подобия k (k>0). Затем перейти от кривой (2) к кривой (3): y=b+k/2(ex/k-e-x/k) посредством сдвига предыдущей в направлении оси ординат (в зависимости от знака b вверх или вниз).

Вся хитрость заключается в том, чтобы определить коэффициент подобия k. С этой целью отметим в плоскости вспомогательной кривой, изображённой на рис. 4, точку F с координатами x=d и y=l`. В силу того, что l`>l, она не попадёт на кривую, а окажется выше неё.

Продолжим OF до пересечения с кривой в некоторой точке G (можно доказать, что точка пересечения найдётся, помимо точки O, и притом только одна). Положим OF/OG (в нашем случае 0); тогда координатами точки G будут числа x=d/k, y=l`/k. Поэтому они будут связаны уравнением кривой: l`/k=1/2(ed/k-e-d/k). Отсюда следует, что если на кривой (1) (рис. 3) взять точки A` и B` с абсциссами –d/k и d/k, то длина дуги A`B`, их соединяющей, будет равна 2l`/k.






Все цепные линии подобны.

Найденное число k используем как коэффициент подобия в преобразовании кривой (1); в качестве центра подобия возьмем начало координат O. Тогда каждой точке P(x,y) кривой (1) будет соответствовать точка Q(kx,ky) преобразованной кривой (2) (рис. 6). Если ввести обозначения: X=kx, Y=ky, то x=X/k, y=Y/k. Последние числа должны удовлетворять уравнению (1), так как точка P(x,y) лежит на ней. Получаем: Y/k=1/2(eX/k-e-X/k). Это и есть уравнение кривой (2), полученной в результате преобразования. Большие буквы для обозначения координат можно здесь заменить маленькими, помня, что теперь это координаты любой точки кривой (2).

Заметим, что точкам A` и B` кривой (1) с абсциссами –d/k и d/k будут соответствовать точки A`` и B`` кривой (2) с абсциссами –d и d(рис. 7). В силу подобия дуг A`B` и A``B`` длина A``B`` будет равна 2l`, т. е. равна заданной длине цепочки. В этом и состоит преимущество кривой (2) перед исходной кривой (1). Недостаток её, однако, в том, что кривая (1) проходила через заданные точки подвеса A и B, а кривая (2) может через них и не проходить. Но этот недостаток легко устранить. Если ордината точки B`` (или A``): k/2(ed/k+e-d/k) не равна r, т. е. B`` не совпадает с B, то положим r-k/2(ed/k+e-d/k)=b.

В результате сдвига кривой (2) в направлении оси ординат на величину b она перейдёт в кривую (3): y=b+k/2(ed/k+e-d/k). Последняя кривая, во-первых, подобна кривой (1) и, следовательно, является сама цепной линией. Во-вторых, она проходит через заданные точки подвеса: A(-d,r) и B(d,r). И, в-третьих, длина дуги AB равна длине данной цепочки 2l`. Эти условия и обеспечивают, как это было доказано Бернулли, Гюйгенсом и Лейбницем, что цепочка провиснет как раз по дуге AB.

На этом очерк о цепочке Галилея можно считать законченным.




Список использованной литературы


  1. А. И. Маркушевич “Замечательные кривые”; Москва; “Наука”-1978г.

  2. Г. Штейнгауз “Математический калейдоскоп”; Москва; “ГосТехИздат”-1949г.

  3. Г. Н. Берман “Циклоида”; Москва; “ГосТехИздат”-1954г.


1Авиация и космонавтика
2Архитектура и строительство
3Астрономия
 
4Безопасность жизнедеятельности
5Биология
 
6Военная кафедра, гражданская оборона
 
7География, экономическая география
8Геология и геодезия
9Государственное регулирование и налоги
 
10Естествознание
 
11Журналистика
 
12Законодательство и право
13Адвокатура
14Административное право
15Арбитражное процессуальное право
16Банковское право
17Государство и право
18Гражданское право и процесс
19Жилищное право
20Законодательство зарубежных стран
21Земельное право
22Конституционное право
23Конституционное право зарубежных стран
24Международное право
25Муниципальное право
26Налоговое право
27Римское право
28Семейное право
29Таможенное право
30Трудовое право
31Уголовное право и процесс
32Финансовое право
33Хозяйственное право
34Экологическое право
35Юриспруденция
36Иностранные языки
37Информатика, информационные технологии
38Базы данных
39Компьютерные сети
40Программирование
41Искусство и культура
42Краеведение
43Культурология
44Музыка
45История
46Биографии
47Историческая личность
 
48Литература
 
49Маркетинг и реклама
50Математика
51Медицина и здоровье
52Менеджмент
53Антикризисное управление
54Делопроизводство и документооборот
55Логистика
 
56Педагогика
57Политология
58Правоохранительные органы
59Криминалистика и криминология
60Прочее
61Психология
62Юридическая психология
 
63Радиоэлектроника
64Религия
 
65Сельское хозяйство и землепользование
66Социология
67Страхование
 
68Технологии
69Материаловедение
70Машиностроение
71Металлургия
72Транспорт
73Туризм
 
74Физика
75Физкультура и спорт
76Философия
 
77Химия
 
78Экология, охрана природы
79Экономика и финансы
80Анализ хозяйственной деятельности
81Банковское дело и кредитование
82Биржевое дело
83Бухгалтерский учет и аудит
84История экономических учений
85Международные отношения
86Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
87Финансы
88Ценные бумаги и фондовый рынок
89Экономика предприятия
90Экономико-математическое моделирование
91Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Тренировки в ФК "Анжи" (Махачкала) начинаются с тоста за родителей.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Замечательные кривые", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2017
Рейтинг@Mail.ru