Реферат: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Банк рефератов / Физика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 8893 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

 Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений 1. Введение Хорошо известно, что изображения одной и той же сцены, полученные при различных условиях освещения и(или) измененных,,,.. оптических свойствах объектов могут отличаться радикально. Это обстоятельство порождает значительные трудности в прикладных задачах анализа и интерпретации изображений реальных сцен, в которых решение должно не зависеть от условий регистрации изображений. Речь идет, например, о задачах выделения неизвестного объекта на фоне известной местности, известного объекта на произвольном фоне при неконтролируемых условиях освещения, о задаче совмещения изображенний одной и той же сцены, полученных в различных спектральных диапазонах и т.д. Методы морфологического анализа, разработанные более десяти лет тому назад, [1-5], для решения перечисленных задач, были в основном ориентированы для применения к черно-белым изображениям[3]. и оказались достаточно эффективными, [5-11]. Между тем, по меньшей мере два обстоятельства указывают на целесообразность разработки морфологических методов анализа цветных изображений. Во-первых, в задаче обнаружения и выделения объекта последний, как правило, прежде всего цветом отличается от фона. Во-вторых, описание формы изображения в терминах цвета позволит практически устранить эффект теней и влияние неопределенности в пространственном распределении интенсивности спектрально однородного освещения. 2. Цвет и яркость спектозонального изображения. Рассмотрим некоторые аспекты теории цвета так называемых многоспектральных (спектрозональных, [13]) изображений, аналогичной классической колориметрии [12]. Будем считать заданными n детекторов излучения со спектральными чувствительностями j =1,2,..., n , где я (0, ) - длина волны излучения. Их выходные сигналы, отвечающие потоку излучения со спектральной плотностью e ( я ) 0, я (0, ), далее называемой излучением, образуют вектор , w яяя= . Определим суммарную спектральную чувствительность детекторов , я (0, ), и соответствующий суммарный сигнал назовем яркостью излучения e яяя. Вектор назовем цветом излучения e яяя. Если цвет e яяя и само излучение назовем черным . Поскольку равенства и эквивалентны, равенство имеет смысл и для черного цвета, причем в этом случае - произвольный вектор, яркость оторого равна единице. Излучение e яяяяназовем белым и его цвет обозначим если отвечающие ему выходные сигналы всех детекторов одинаковы: . Векторы , и , , удобно считать элементами n -мерного линейного пространства . Векторы f e , соответствующие различным излучениям e яяя, содержатся в конусе . Концы векторов содержатся в множестве , где П - гиперплоскость . Далее предполагается, что всякое излучение , где E - выпуклый конус излучений, содержащий вместе с любыми излучениями все их выпуклые комбинации (смеси) Поэтому векторы в образуют выпуклый конус , а векторы . Если то и их аддитивная смесь . Для нее . (1) Отсюда следует Лемма 1. Яркость f e и цвет e любой аддитивной смеси e яяя излучений e 1 ( ),...,e m ( ) , m=1,2,... определяются яркостями и цветами слагаемых . Подчеркнем, что равенство , означающее факт совпадения яркости и цвета излучений e яяя и , как правило, содержит сравнительно небольшую информацию об их относительном спектральном составе. Однако замена e яяя на в любой аддитивной смеси излучений не изменит ни цвета, ни яркости последней. Далее предполагается, что вектор w яяя таков, что в E можно указать базовые излучения , для которых векторы , j =1,..., n , линейно независимы. Поскольку цвет таких излучений непременно отличен от черного, их яркости будем считать единичными , , j =1,..., n . В таком случае излучение характеризуется лишь цветом , j =1,..., n . Для всякого излучения e яяя можно записать разложение , (1*) в котором - координаты в базисе , или, в виде выходных сигналов детекторов излучения, - , где , , - выходной сигнал i- го детектора, отвечающий j- ому излучению j ( ), i , j =1,..., n . Матрица - стохастическая, поскольку ее матричные элементы как яркости базовых излучений неотрицательны и , j =1,..., n. При этом яркость и вектор цвета , , j =1,..., n , (конец которого лежит в П) определяются координатами j и цветами излучений , j =1,..., n , и не зависят непосредственно от спектрального состава излучения e яяя. В ряде случаев белое излучение естественно определять исходя из базовых излучений, а не из выходных сигналов детекторов, считая белым всякое излучение, которому в (1*) отвечают равные координаты: . Заметим, что слагаемые в (1*), у которых j <0, f e, физически интерпретируются как соответствующие излучениям, "помещенным" в левую часть равенства (1*) с коэффициентами - j >0: . В такой форме равенство (1*) представляет “баланс излучений”. Определим в скалярное произведение и векторы , биортогонально сопряженные с : , i , j =1,..., n . Лемма 2. В разложении (1*) , j=1,...,n , . Яркость , где , причем вектор я ортогонален гиперплоскости П, так как , i,j=1,...,n. Что касается скалярного проиведения , то его естественно определять так, чтобы выходные сигналы детекторов были координатами f e в некотором ортонормированном базисе . В этом базисе конус . Заметим, что для любых векторов и, тем более, для ,, - R n. . Пусть Х - поле зрения, например, ограниченная область на плоскости R 2 , или на сетке , спектральная чувствительность j -го детектора излучения, расположенного в точке ; - излучение, попадающее в точку . Изображением назовем векторнозначную функцию (2**) Точнее, пусть Х - поле зрения, ( Х , С , я) - измеримое пространство Х с мерой яяя C - -алгебра подмножеств X . Цветное (спектрозональное) изображение определим равенством , (2) в котором почти для всех , , - -измеримые функции на поле зрения X , такие, что . Цветные изображения образуют подкласс функций лебеговского класса функций . Класс цветных изображений обозначим L E , n . Впрочем, для упрощения терминологии далее любой элемент называется цветным изображением, а условие (2*) условием физичности изображений f ( ). Если f яяя - цветное изображение (2), то , как нетрудно проверить, - черно-белое изображение [2], т.е. , . Изображение , назовем черно-белым вариантом цветного изображения f яяя, а цветное изображение , f(x) 0 , x X - цветом изображения f яяя . В точках множества В= x X : f ( x )=0 черного цвета я ( x ), x В , - произвольные векторы из , удовлетворяющие условию: яркость я ( x )=1. Черно-белым вариантом цветного изображения f яяя будем также называть цветное изображение b ( ), имеющее в каждой точке Х ту же яркость, что и f яяя , b(x)=f(x), x X , и белый цвет, (x)= b (x)/b(x)= , x X. 3. Форма цветного изображения. Понятие формы изображения призвано охарактеризовать форму изображенных объектов в терминах характерности изображений, инвариантных относительно определенного класса преобразований изображения, моделирующих меняющиеся условия его регистрации. Например, довольно часто может меняться освещение сцены, в частности, при практически неизменном спектральном составе может радикально изменяться распределение интенсивности освещения сцены. Такие изменения освещения в формуле (2**) выражаются преобразованием , в котором множитель k(x) модулирует яркость изображения в каждой точке при неизменном распределении цвета. При этом в каждой точке у вектора f (x) может измениться длина, но направление останется неизменным. Нередко изменение распределения интенсивности освещения сопровождается значительным изменением и его спектрального состава, но - пространственно однородным, одним и тем же в пределах всей изображаемой сцены. Поскольку между спектром излучения e и цветом нет взаимно однозначного соответствия, модель сопутствующего преобразования изображения f (x) в терминах преобразования его цвета ( ). Для этого определим отображение A ( ): , ставящее в соответствие каждому вектору цвета подмножество поля зрения в точках которого изображение , имеет постоянный цвет . Пусть при рассматриваемом изменении освещения и, соответственно, ; предлагаемая модель преобразования изображения состоит в том, что цвет преобразованного изображения должен быть также постоянным на каждом множестве A ( ) , хотя, вообще говоря, - другим, отличным от . Характекрным в данном случае является тот факт, что равенство влечет . Если - самое детальное изображение сцены, то, вообще говоря, на различных множествах A ( ) и A ( ) цвет изображения может оказаться одинаковым - , A( ) “” A ( ) ,, A ( ) ., f ( ), v( f ( )),. . Как правило, следует учитывать непостоянство оптических характеристик сцены и т.д. Во всех случаях форма изображения должна быть инвариантна относительно преобразования из выделенного класса и, более того, должна определять изображение с точностью до произвольного преобразования из этого класса. Для определения понятия формы цветного изображения f ( ) на удобно ввести частичный порядок , т.е. бинарное отношение, удовлетворяющее условиям: 1) , 2) , , то , ; отношение должно быть согласованным с определением цветного изображения (с условием физичности), а именно, , если . Отношение интерпретируется аналогично тому, как это принято в черно-белой морфологии[2], а именно, означает, что изображения f яяяя и я g яяя сравнимы по форме, причем форма я g яяяя не сложнее, чем форма f яяя . Если и , то f яяя и g яяя назовем совпадающими по форме (изоморфными), f яяя ~ g яяя . Например, если f яяя и g яяя - изображения одной и той же сцены, то g яяя , грубо говоря, характеризует форму изображенных объектов не точнее (подробнее, детальнее), чем f яяяя , если . В рассматриваемом выше примере преобразования изображений яя если между множествами A ( ), и A ( ), существует взаимно-однозначное соответствие, т.е., если существует функция , такая, что A ( ( ))= A ( ), , причем , если . В этом случае равенства и эквивалентны, и изоморфны и одинаково детально характеризуют сцену, хотя и в разных цветах. Если же не взаимно однозначно, то A ( )= U A ( ) и . В этом случае равенство влечет (но не эквивалентно) , передает, вообще говоря, не все детали сцены, представленные в . Пусть, скажем, g яяя - черно-белый вариант f яяя , т.е. g(x)=f(x) и g (x)/g(x)= , x X . Если преобразование - следствие изменившихся условий регистрации изображения, то, естественно, . Аналогично, если f яяяяя g яяяя яяизображения одной и той же сцены, но в g яяяя явследствие неисправности выходные сигналы некоторых датчиков равны нулю, то . Пусть F - некоторая полугруппа преобразований , тогда для любого преобразования F F , поскольку, если некоторые детали формы объекта не отражены в изображении f яяя, то они, тем более, не будут отражены в g яяя. Формой изображения f яяя назовем множество изображений , форма которых не сложнее, чем форма f` яяя, и их пределов в (черта символизирует замыкание в ). Формой изображения f яяяя в широком смысле назовем минимальное линейное подпространство , содержащее . Если считать, что для любого изображения , то это будет означать, что отношение непрерывно относительно сходимости в в том смысле, что . Рассмотрим теперь более подробно понятие формы для некоторых характерных классов изображений и их преобразований. 4. Форма кусочно-постоянного (мозаичного) цветного изображения. Во многих практически важных задачах форма объекта на изображении может быть охарактеризована специальной структурой излучения, достигающего поле зрения X в виде здесь - индикаторные функции непересекающихся подмножеств А i , i=1,…...,N, положительной меры поля зрения Х , на каждом из которых функции , , j =1,..., n , i =1,..., N , непрерывны. Поскольку согласно лемме 2 , (3) то цветное изображение f e яяя, такого объекта характеризует его форму непрерывным распределением яркости и цвета на каждом подмножестве A i , i =1,..., N . Для изображения , где , также характерно напрерывное распределение яркости и цвета на каждом A i , если , - непрерывные функции. Если, в частности, цвет и яркость постоянны на A i , i =1,..., N , то это верно и для всякого изображения , если не зависит явно от . Для такого изображения примем следующее представление: , (4) его черно-белый вариант (4*) на каждом A i имеет постоянную яркость , и цвет изображения (4) (4**) не меняется на A i и равен , i =1,..., N . Поскольку для реальных изображений должно быть выполнено условие физичности (2*), , то форму изображения (4), имеющего на различных множествах А i имеет несовпадающие яркости и различные цвета , определим как выпуклый замкнутый в конус: . (4***) v(a) , очевидно, содержится в n N мерном линейном подпространстве , (4****) которое назовем формой a( ) в широком смысле. Форму в широком смысле любого изображения a( ), у которого не обязательно различны яркости и цвета на различных подмножествах A i ,i=1,...,N, определим как линейное подпространство , натянутое не вектор-функции F a( ),F F, где F - класс преобразований , определенных как преобразования векторов a(x) F a(x) во всех точках x X ; здесь F - любое преобразование . Тот факт, что F означает как преобразование , так и преобразование , не должен вызывать недоразумения. Изображения из конуса(4***) имеют форму, которая не сложнее, чем форма a( ) (4), поскольку некоторые из них могут иметь одно и то же значение яркости или(и) цвета на различных множествах А i , i=1,…………..,N . Также множества оказываются, по существу, объединенными в одно, что и приводит к упрощению формы изображения, поскольку оно отражает меньше деталей формы изображенного объекта, чем изображение (4). Это замечание касается и L( a ( )), если речь идет о форме в широком смысле. Лемма 3 . Пусть А i - измеримое разбиение X: . Изображение (3) имеет на каждом подмножестве A i : постоянную яркость и цвет , если и только если выполняется равенство (4); постоянный цвет , если и только если в (3) ; постоянную яркость f i , i=1,..., N , если и только если в (3) не зависит от , i=1,…...,N. Доказательство . На множестве A i яркость и цвет изображения (3) равны соответственно. , , i=1,.…..,N. Если выполнено равенство (4), то и от не зависят. Наоборот, если и , то и , т.е. выполняется (4). Если , то цвет не зависит от . Наоборот, пусть не зависит от . В силу линейной независимости координаты я ( i) (x) не зависят от , т.е. и, следовательно, где - яркость на A i и . Последнее утверждение очевидно Цвет изображения определяется как электродинамическими свойствами поверхности изображенного объекта, так и спектральным составом облучающего электромагнитного излучения в том диапазоне, который используется для регистрации изображения. Речь идет о спектральном составе излучения, покидающего поверхность объекта и содержащего как рассеянное так и собственное излучения объекта. Поскольку спектральный состав падающего излучения, как правило, пространственно однороден, можно считать, что цвет изображения несет информацию о свойствах поверхности объекта, о ее форме, а яркость в значительной степени зависит и от условий “освещения”. Поэтому на практике в задачах морфологического анализа цветных изображений сцен важное значение имеет понятие формы изображения, имеющего постоянный цвет и произвольное распределение яркости в пределах заданных подмножеств A i , i=1,...,N, поля зрения X . Итак, пусть в согласии с леммой 3 , (5) где, - индикаторная функция A i , , функция g i яяя задает распределение яркости (6) в пределах A i при постоянном цвете , i=1,...,N , (7) причем для изображения (5) цвета (i) , i=1,.…..,N, считаются попарно различными, а функции g (i) , i=1,.…..,N, - удовлетворяющими условиям i=1,.…..,N. Нетрудно заметить, что в выражениях (5),(6) и (7) без потери общности можно принять условие нормировки , позволяющее упростить выражения (6) и (7) для распределений яркости и цвета. С учетом нормировки распределение яркости на A i задается функцией а цвет на A i равен (7*) Форму изображения (5) определим как класс всех изображений (8) , каждое из которых, как и изображение (5), имеет постоянный цвет в пределах каждого A i , i=1,...,N. Форма таких изображений не сложнее, чем форма f (я) (5), поскольку в изображении на некоторых различных подмножествах A i , i=1,...,N, могут совпадать значения цвета, которые непременрно различны в изображении f (я) (5). Совпадение цвета на различных подмножествах A i , i=1,...,N ведет к упрощению формы изображения по сравнению с формой f(я) (5). Все изображения , имеющие различный цвет на различных A i , i=1,...,N , считаются изоморфными f яяяя яи между собой), форма остальных не сложнее, чем форма f яяя . Если , то, очевидно, . Если в (8) яркость , то цвет на A i считается произвольным (постоянным), если же в точках некоторого подмножества , то цвет на A i считается равным цвету на , i=1,...,N. Цвет изображения (8) может не совпадать с цветом (5). Если же по условию задачи все изображения , форма которых не сложнее, чем форма , должны иметь на A i , i=1,...,N , тот же цвет, что и у то следует потребовать, чтобы , в то время, как яркости остаются произвольными (если , то цвет на A i определяется равным цвету f яяя на A i , i=1,...,N ). Нетрудно определить форму любого, не обязательно мозаичного, изображения f яяя яв том случае, когда допустимы произвольные изменения яркости при неизменном цвете ( x ) в каждой точке . Множество, содержащее все такие изображения (9) назовем формой в широком смысле изображения , у которого f(x) 0, -почти для всех , [ср. 2]. является линейным подпространством , содержащем любую форму , (10) в которой включение определяет допустимые значения яркости. В частности, если означает, что яркость неотрицательна: , то - выпуклый замкнутый конус в , принадлежащий . Более удобное описание формы изображения может быть получено на основе методов аппроксимации цветных изображений, в которых форма определяется как оператор наилучшего приближения. В следующем параграфе дано представление формы изображения в виде оператора наилучшего приближения. 5. Задачи аппроксимации цветных изображений. Форма как оператор наилучшего приближения. Рассмотрим вначале задачи приближения кусочно-постоянными (мозаичными) изображениями. Решение этих задач позволит построить форму изображения в том случае, когда считается, что для любого преобразования , действующего на изображение как на вектор в каждой точке и оставляющего элементом , т.е. изображением. Форма в широком смысле определяется как оператор наилучшего приближения изображения изображениями где - класс преобразований , такой, что . Иначе можно считать, что (10*) а - оператор наилучшего приближения элементами множества , форма которых не сложнее, чем форма . Характеристическим для является тот факт, что, если f (x)= f (y), то для любого . 5.1. Приближение цветного изображения изображениями, цвет и яркость которых постоянны на подмножествах разбиения поля зрения X . Задано разбиение , требуется определить яркость и цвет наилучшего приближения на каждом . Рассмотрим задачу наилучшего приближения в цветного изображения f ( ) (2) изображениями (4), в которых считается заданным разбиение поля зрения X и требуется определить из условия (11) Теорема 1 . Пусть . Тогда решение задачи (11) имеет вид , i=1,...,N, j=1,...,n, (12) и искомое изображение (4) задается равенством . (13) Оператор является ортогональным проектором на линейное подпространство (4****) изображений (4), яркости и цвет а которых не изменяются в пределах каждого A i , i=1,...,N. Черно-белый вариант (4*) цветного изображения (4) является наилучшей в аппроксимацией черно-белого варианта цветного изображения f яяяя яяя , если цветное изображение (4) является наилучшей в аппроксимацией цветного изображения f яяяя яяя . Оператор , является ортогональным проектором на линейное подпространство черно-белых изображений, яркость которых постоянна в пределах каждого . В точках множества цвет (4**) наилучшей аппроксимации (4) цветного изображения f яяя (2) является цветом аддитивной смеси составляющих f яяя излучений, которые попадают на . Доказательство . Равенства (12) - условия минимума положительно определенной квадратичной формы (11), П - ортогональный проектор, поскольку в задаче (11) наилучшая аппроксимация - ортогональная проекция f яяя на . Второе утверждение следует из равенства , вытекающего из (13). Последне е утверждение следует из равенств , i=1,...,N вытекающих из (12) и равенства (1), в котором индекс k следует заменить на x X . Замечание 1. Для любого измеримого разбиения ортогональные проекторы и определяют соответственно форму в широком смысле цветного изображени я (4), цвет и яркость которого, постоянные в пределах каждого , различны для различных , ибо , и форму в широком смысле черно-бел ого изображени я , яркость котор ого постоянна на каждом и различна для разных ,[2]. Если учесть, условие физичности (2*), то формой цветного изображения следует считать проектор на выпуклый замкнутый конус (4***) Аналогично формой черно-белого изображения следует считать проектор на выпуклый замкнутый конус изображений (4*), таких, что [2] . Дело в том, что оператор определяет форму изображения (4), а именно - множество собственных функций оператора . Поскольку f( ) - наилучшее приближение изображения изображениями из , для любого изображения из и только для таких - . Поэтому проектор можно отождествить с формой изображения (4). Аналогично для черно-белого изображения a( ) , - . [2]. И проектор можно отождествить с формой изображения (4*), как это сделано в работах [2,3] . Примечания. Формы в широком смысле не определяются связью задач наилучшего приближения элементами и , которая известна как транзитивность проецирования. Именно, если оператор наилучшего в приближения злементами выпуклого замкнутого (в и в ) конуса , то . Иначе говоря, для определения наилучшего в приближения элементами можно вначале найти ортогональную проекцию изображения на , а затем спроецировать в на . При этом конечномерный проектор для каждого конкретного конуса может быть реализован методом динамического программирования, а для многих задач морфологического анализа изображений достаточным оказывается использование лишь проектора П . Форма в широком смысле (4***) изображения (4) полностью определяется измеримым разложением , последнее, в свою очередь определяется изображением , если векторы попарно различны. Если при этом , то форма в широком смысле может быть определена и как оператор П ортогонального проецирования на , определенный равенством (13). Посмотрим, каким образом воспользоваться этими фактами при построении формы в широком смысле как оператора ортогонального проецирования на линейное подпространство (10*) для произвольного изображения . Пусть - множество значений и - измеримое разбиение X , порожденное , в котором - подмножество X , в пределах которого изображение имеет постоянные яркость и цвет, определяемые вектором , если . Однако для найденного разбиения условие , вообще говоря, невыполнимо и, следовательно, теорема 1 не позволяет построить ортогональный проектор П на . Покажем, что П можно получить как предел последовательности конечномерных ортогональных проекторов. Заметим вначале, что любое изображение можно представить в виде предела (в ) должным образом организованной последовательности мозаичных изображений (*) где - индикатор множества , принадлежащего измеримому разбиению В (*) можно, например, использовать так называемую исчерпывающую последовательность разбиений [], удовлетворяющую следующим условиям - - C - измеримо, ; - N+1 -oe разбиение является продолжением N- го, т.е. для любого , найдется i=i(j), , такое, что ; - минимальная -алгебра, содержащая все , совпадает с C. Лемма (*). Пусть - исчерпывающая последователь-ность разбиений X и - то множество из , которое содержит . Тогда для любой C-измеримой функции и -почти для всех [ ]. Воспользуемся этим результатом для построения формы в широком смысле П произвольного изображения . Пусть - минимальная -алгебра, относительно которой измеримо , т.е. пусть , где - прообраз борелевского множества , B - -алгебра борелевских множеств . Заменим в условиях, определяющих исчерпывающую последовательность разбиений, C на и выберем эту, зависящую от , исчерпывающую последовательность ( - измеримых) разбиений в лемме (*). Теорема (*). Пусть , - исчерпывающая последовательность разбиений X , причем - минимальная - алгебра, содержащая все и П (N) - ортогональный проектор , определенный равенством , Тогда 1) для любого - измеримого изображения и почти для всех , , 2) для любого изображения при (в ), где П - ортогональный проектор на . Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из леммы (*) и определения . Для доказательства второго утверждения заметим, что, так как A (N+1) - продолжение разбиения A (N) , N=1,2,..., то последовательность проекторов П (N) , N=1,2,..., монотонно неубывает : и потому сходится (поточечно) к некоторому ортогональному проектору П. Так как - множество всех -измеримых изображений и их пределов (в ), а в силу леммы (*) для любого -измеримого изображения , то для любого изображения и для любого , ибо -измеримо, N =1,2,... Вопрос о том, каким образом может быть построена исчерпывающая последовательность разбиений, обсуждается в следующем пункте. Заданы векторы f 1 ,...,f q , требуется определить разбиение , на множествах которого наилучшее приближение принимает соответственно значенния f 1 ,...,f q. Рассмотрим задачу приближения цветного изображения f яяя, в которой задано не разбиение поля зрения X , а векторы в , и требуется построить измеримое разбиение поля зрения, такое, что цветное изображение - наилучшая в аппроксимация f яяя . Так как , (14*) то в A i следует отнести лишь те точки , для которых , =1,2,... ,q , или, что то же самое, =1,2,..., q . Те точки, которые согласно этому принципу могут быть отнесены к нескольким множествам, должны быть отнесены к одному из них по произволу. Учитывая это, условимся считать, что запись , (14) означает, что множества (14) не пересекаются и . Чтобы сформулировать этот результат в терминах морфологического анализа, рассмотрим разбиение , в котором (15) и звездочка указывает на договоренность, принятую в (14). Определим оператор F , действующий из в по формуле , , i =1,..., q . Очевидно, F всегда можно согласовать с (14) так, чтобы включения и , i=1,...,q, можно было считать эквивалентными. F , .. Теорема 2. Пусть - заданные векторы R n . Решение задачи наилучшего в приближения изображения fяяя изображениями имеет вид , где - индикаторная функция множества . Множество определено равенством (15). Нелинейный оператор , как всякий оператор наилучшего приближения удовлетворяет условию F 2 =F, т.е. является пректором. Замечание 2. Если данные задачи доступны лишь в черно-белом варианте, то есть заданы числа , i =1,...,q, которые можно считать упорядоченными согласно условию , то, как показано в [3], искомое разбиение X состоит из множеств где , и имеет мало общего с разбиением (14). Замечание 3. Выберем векторы f i , i=1,..,q единичной длины: , i =1,...,q. Тогда . (16) Множества (16) являются конусами в R n , ограниченными гиперплоскостями, проходящими через начало координат. Отсюда следует, что соответствующее приближение изображения f яяя инвариантно относительно произвольного преобразования последнего, не изменяющего его цвет (например ), в частности, относительно образования теней на f яяя . Замечание 4. Для любого заданного набора попарно различных векторов оператор F , приведенный в теореме 2, определяет форму изображения, принимающего значения соответственно на измеримых множествах (любого ) разбиения X. Всякое такое изображение является неподвижной (в ) точкой F: , если , все они изоморфны между собой. Если некоторые множества из - пустые, или нулевой меры, соответствующие изображения имеют более простую форму. Иначе говоря, в данном случае формой изображения является множество всех изображений, принимающих заданные значения на множествах положительной меры любого разбиения X, и их пределов в . Теоремы 1 и 2 позволяют записать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f ( ) изображениями , в котором требуется определить как векторы , так и множества так, чтобы . Следствие 1. Пусть D i , i=1,...,N, - подмножества R n (15), П - ортогональный проектор (13), , где . Тогда необходимые и достаточные условия суть следующие : , где , . Следующая рекуррентная процедура, полезная для уточнения приближений, получаемых в теоремах 1,2, в некоторых случаях позволяет решать названную задачу. Пусть - исходные векторы в задаче (14*), - соответствующее оптимальное разбиение (14), F (1) - оператор наилучшего приближения и - невязка. Воспользовавшись теоремой 1, определим для найденного разбиения оптимальные векторы . Согласно выражению (13) , и соответствующий оператор наилучшего приближения П (1) (13) обеспечит не менее точное приближение f ( ) , чем F (1) : . Выберем теперь в теореме 2 , определим соответствующее оптимальное разбиение и построим оператор наилучшего приближения F (2) . Тогда . На следующем шаге по разбиению строим и оператор П (3) и т.д. В заключение этого пункта вернемся к вопросу о построении исчерпывающего -измеримого разбиения X, отвечающего заданной функции . Выберем произвольно попарно различные векторы из f (X) и построим по формуле (15) разбиение R n . Для каждого q=1,2,... образуем разбиение E (N(q)) , множества , j=1,...,N(q) , которого образованы всеми попарно различными пересечениями множеств из . Последовательность соответствующих разбиений X , i=1,...,N(q), q=1,2... -измеримы и является продолжением 5.2. Приближение изображениями, цвет которых постоянен на подмножествах разбиения поля зрения X . Задано разбиение , требуется определить цвет и распределение яркостей наилучшего приближения на каждом A i ,i=1,...,N. Для практики, как уже было отмечено, большой интерес представляет класс изображений (5), цвет которых не изменяется в пределах некоторых подмножеств поля зрения, и задачи аппроксимации произвольных изображений изображениями такого класса. Запишем изображение (5) в виде (17) где . Пусть A 1 ,...,A N - заданное разбиение X , - индикаторная функция A i , i=1,...,N. Рассмотрим задачу наилучшего в приближения изображения изображениями (17), не требуя, чтобы (18) Речь идет о задаче аппроксимации произвольного изображения изображениями, у которых яркость может быть произвольной функцией из , в то время, как цвет должен сохранять постоянное значение на каждом из заданных подмножеств A 1 ,...,A N поля зрения X , (см. Лемму 3). Так как то минимум S (19) по достигается при , (20) и равен (21) Задача (18) тем самым сведена к задаче . (22) В связи с последней рассмотрим самосопряженный неотрицательно определенный оператор . (23) Максимум (неотрицательной) квадратичной формы на сфере в R n , как известно, (см.,например, [11]) достигается на собственном векторе y i оператора Ф i , отвечающем максимальному собственному значению >0, , и равен , т.е. . Следовательно, максимум в (22) равен и достигается, например, при Теорема 3. Пусть A 1 ,...,A N -заданное измеримое разбиение X, причем m (A s )=0, (18) A s, s. я(A i )>0, i=1,...,N. Решением задачи (18) наилучшего приближения изображения изображениями g ( ) (17) является изображение (24) Операторы , i=1,...,N, и - нелинейные (зависящие от f ( ) ) проекторы: П i проецирует в R n векторы на линейное подпространство , натянутое на собственный вектор оператора Ф i (23), отвечающий наибольшему собственному значению я i , ; (25) П проецирует в изображение на минимальное линейное подпространство , содержащее все изображения Невязка наилучшего приближения (19*) . Доказательство. Равентство (24) и выражение для П i следует из (17),(20) и решения задачи на собственные значения для оператора Ф i (23). Поскольку Ф i самосопряженный неотрицательно определенный оператор, то задача на собственные значения (23) разрешима, все собственные значения Ф i неотрицательны и среди них я i - наибольшее. Для доказательства свойств операторов П i , i=1,...,N, и П введем обозначения, указывающие на зависимость от f ( ): (26*) Эти равенства, показывающие, что результат двукратного действия операторов П i , i=1,...,N, и П (26) не отличается от результатата однократного их действия, позволят считать операторы (26) проекторами. Пусть f i - cсобственный вектор Ф i , отвечающий максимальному собственному значению я i . Чтобы определить следует решить задачу на собственные значения для оператора : . Поскольку ran k =1, имеет единственное положительное собственное значение, которое, как нетрудно проверить, равно я i , и ему соответствует единственный собственный вектор f i . Поэтому . Отсюда, в свою очередь, следует равенство (26*) для Лемма 4. Для любого изображения решение (24) задачи (18) наилучшего приближения единственно и является элементом . Доказательство. Достаточно доказать, что единственный (с точностью до положительного множителя) собственный вектор f i оператора (23), отвечающий максимальному собственному значению я i , можно выбрать так, чтобы , поскольку в таком случае будут выполнены импликации: , составляющие содержание леммы. Действительно, если то согласно (23) , поскольку включение означает, что ; отсюда и из (25) получим, что , i=1,...,N, а поэтому и в (24) . Убедимся в неотрицательности . В ортонормированном базисе e 1 ,...,e n , в котором , выходной сигнал i- го детектора в точке (см. замечание 1) задача на собственные значения (23*) имеет вид , p=1,...,n, где , . Так как матрица симметрическая и неотрицательно определенная ( ) она имеет n неотрицательных собственных значений , которым соответствуют n ортонормированных собственных векторов , а поскольку матричные элементы , то согласно теореме Фробенуса-Перрона максимальное собственное значение - алгебраически простое (некратное), а соответствующий собственный вектор можно выбирать неотрицательным: . Следовательно, вектор f i определен с точностью до положительного множителя , . Замечание 4. Если , т.е. если аппроксимируемое изображение на множествах того же разбиения имеет постоянный цвет, то в теореме 3 , . Наоборот, если , то , т.е. определяется выражением (17), в котором . Итак, пусть в изображении g ( ) (17) все векторы f 1 ,.….., f N попарно не коллинеарны, тюею цвета всех подмножеств A 1 ,...,A N попарно различны. Тогда форма в широком смысле изображения (17) есть множество решений уравнения , , (27) где , f i - собственный вектор оператора Ф i : , отвечающий максимальному собственному значению я i , i=1,...,N . В данном случае , если и только если выполнено равенство (27). Оператор П (24), дающий решение задачи наилучшего приближения , естественно отождествить с формой в широком смысле изображения (17). Заданы векторы цвета 1 ,..., q , требуется определить разбиение A 1 ,..., A q , на множествах которого наилучшее приближение имеет соответственно цвета 1 ,..., q и оптимальные распределения яркостей 1 ,..., q,,,. . Речь идет о следующей задаче наилучшего в приближения изображения . (28) Рассмотрим вначале задачу (28) не требуя, чтобы . Так как для любого измеримого , (29) и достигается на , (30) то, как нетрудно убедиться , , (31) где звездочка * означает то же самое, что и в равенстве (14): точки x X, в которых выполняется равенство могут быть произвольно отнесены к одному из множеств A i или A j . Пусть - разбиение , в котором (32) а F : R n R n оператор, определенный условием (33) Тогда решение задачи (28) можно представить в виде , (34) где - индикаторная функция множества A i (31), i=1,...,q и F -оператор, действующий в по формуле (34) (см. сноску 4 на стр. 13). Нетрудно убедиться, что задача на минимум (29) с условием физичности (35) имеет решение (36) Соответственно решение задачи (28) с условием физичности имеет вид , (37) где - индикаторная функция множества , (38) В ряде случаев для построения (34) полезно определить оператор F + : R n R n , действующий согласно формуле (39) где , так что , i=1,...q. (40) Подытожим сказанное. Теорема 4. Решение задачи (28) наилучшего в приближения изображения изображениями на искомых множествах A 1 ,...,A q разбиения X заданные цветами 1 ,..., q соответственно, дается равенством (34), искомое разбиение A 1 ,...,A q определено в (31). Требование физичности наилучшего приближения приводит к решению (37) и определяет искомое разбиение формулами (38). Решение (34) инвариантно относительно любого, а (37) - относительно любого, сохраняющего физичность, преобразования, неизменяющего его цвет. Формой в широком смысле изображения, имеющего заданный набор цветов 1 ,..., q на некоторых множествах положительной меры A 1 ,...,A q разбиение поля зрения можно назвать оператор (34), формой такого изображения является оператор F + (37). Всякое такое изображение g ( ) , удовлетворяющее условиям физичности (неотрицательности яркостей), удовлетворяет уравнению F + g ( ) = g ( ) , те из них, у которых ( A i )> 0, i=1,...,q, изоморфны, остальные имеют более простую форму. В заключение этого раздела вернемся к понятию формы изображения, заданного с точностью до произвольного, удовлетворяющего условиям физичности, преобразования яркости. Речь идет о форме изображения , заданного распределением цвета , при произвольном (физичном) распределении яркости, например, . Для определения формы рассмотрим задачу наилучшего в приближения изображения такими изображениями , (41) Теорема 5. Решение задачи (41) дается равенством , (42) в котором , где . Невязка приближения , (43) ( !) Определение. Формой изображения, заданного распределением цвета , назовем выпуклый, замкнутый конус изображений или - проектор на . Всякое изображение g ( ), распределение цвета которого есть ( ) и только такое изображение содержится в и является неподвижной точкой оператора : g ( ) = g ( ). (#) Поскольку на самом деле детали сцены, передаваемые распределением цвета ( ), не представлены на изображении f ( ) = f ( ) ( ) в той области поля зрения, в которой яркость f ( x )= 0, x X, будем считать, что - форма любого изображения f ( x ) = f ( x ) ( x ), f ( x )> 0, x X( mod ), все такие изображения изоморфны, а форма всякого изображения g ( ), удовлетворяющего уравнению (#), не сложнее, чем форма f ( ). Замечание 5. Пусть 1 ,..., N - исходный набор цветов, , A 1 ,...,A N - соответствующее оптимальное разбиение X, найденное в теореие 4 и , (34*) - наилучшее приближение f ( ). Тогда в равенстве (24) , (24*) если A 1 ,...,A N - исходное разбиение X в теореме 3. Наоборот, если A 1 ,...,A N - заданное в теореме 3 разбиение X и f 1 ,..., f N - собственные векторы операторов Ф 1 ,...,Ф N (23) соответственно, отвечающие максимальным собственным значениям, то f 1 ,..., f N и будет выполнено равенство (24), если в (34*) определить i как цвет f i в (24), i=1,...,N . Проверка этого замечания не представляет затруднений. В. Случай, когда допускаются небольшие изменения цвета в пределах каждого A i , i=1,...,N . Разумеется, условие постоянства цвета на множествах A i , i=1,...,N , на практике может выполняться лишь с определенной точностью. Последнюю можно повысить как путем перехода к более мелкому разбиению , так и допус тив некоторые изменения цвета в пределах каждого A i , i=1,...,N , например, выбрав вместо (17) класс изображений (17*) в котором в (3). Поскольку в задаче наилучшего приближения f ( ) изображениями этого класса предстоит найти , векторы при любом i= 1 ,...,N , можно считать ортогональными , определив , (*) из условия минимума невязки по . После этого для каждого i=1,...,N векторы должны быть определены из условия (**) при дополнительном условии ортогональности . Решение этой задачи дается в следующей лемме Лемма 5. Пусть ортогональные собственные векторы оператора Ф i (23), упорядоченные по убыванию собственных значений: . Тогда решение задачи (**) дается равенствами . Доказательство. Заметим, что, поскольку Ф i - самосопряженный неотрицательно определенный оператор, его собственные значения неотрицательны, а его собственные векторы всегда можно выбрать так, чтобы они образовали ортогональный базис в R n . Пусть P i - ортогонально проецирует в R n на линейную оболочку собственных векторов и [ P i Ф i P i ] - сужение оператора P i Ф i P i на . Тогда левая часть (*) равна следу оператора [ P i Ф i P i ] , где - j -ое собственное значение оператора (см., например, [ 10 ]). Пусть . Тогда согласно теореме Пуанкаре, [10], , откуда следует утверждаемое в лемме. Воспользовавшись выражениями (*) и леммой 5, найдем, что в рассматриваемом случае имеет место утверждение, аналогичное теореме 3. Теорема 3* . Наилучшее приближение любого изображения f ( ) изображениями (17*) имеет вид , Где : ортогональный проектор на линейную оболочку , собственных векторов задачи . Невязка наилучшего приближения равна . Рассмотрим теперь задачу наилучшего приближения изображения f яяя изображениями (17), в которых заданы и фиксированы векторы , и надлежит определить измеримое разбиение и функции , как решение задачи (30) При любом разбиении минимум в (30) по достигается при , определяемых равенством (20). В свою очередь, очевидно, что (31) где точки , в которых выполняется равенство могут быть произвольно включены в одно из множеств : либо в , либо в . Это соглашение отмечено звездочкой в (31). Таким образом доказана Теорема 6. Пусть заданные векторы R n . Решением задачи (30) является изображение , где ортогональный проектор определен равенством (25), а - индикаторная функция множества (31), i=1,...,N. Невязка наилучшего приближения равна . Замечание 5. Так как при , то условия (31), определяющие разбиение , можно записать в виде , (32) показывающем, что множество в (32) инвариантно относительно любого преобразования изображения , не изменяющего его цвет . Теоремы 3 и 6 позволяют сформулировать необходимые и достаточные условия наилучшего приближения изображения f ( ) изображениями (17), при котором должны быть найдены и i 0 , i=1,...,N, такие, что . Теорема 7. Для заданного изображения f ( ) определим множества равенствами (32), оператор П - равенством (24), - равенствами (25). Тогда , определено равенством (32), в котором - собственный вектор оператора Ф i (23) , отвечающий наибольшему собственному значению, причем в (23) , наконец, будет дано равенством (20), в котором , где - собственный вектор оператора , отвечающий наибольшему собственному значению ; наконец, . Замечание 6. Следующая итерационная процедура полезна при отыскании : Для изображения f ( ) зададим и по теореме 5 найдем и , затем по теореме 3, используя найдем и . После этого вновь воспользуемся теоремой 3 и по найдем и и т.д. Построенная таким образом последовательность изображений очевидно обладает тем свойством, что числовая последовательность , k =1,2,.….. монотонно не возрастает и, следовательно, сходится. К сожалению ничего определенного нельзя сказать о сходимости последовательности . Формы (10) и (9) удобно задавать операторами П f и П * f соответственно. Теорема 7. Форма в широком смысле изображения определяется ортогональным проектором П * f : , при этом и . Доказательство. Так как для , то получаем первое утверждение. Для доказательства второго утверждения рассмотрим выпуклую задачу на минимум , решение которой определяется условиями (см., например, [11] ) . Отсюда следует, что и тем самым доказано и второе утверждение Замечание. Так как , где f i (x) - выходной сигнал i -го детектора в точке , причем f i (x) 0 , i=1,..., n , и, следовательно цвет реальных изображений непременно имеет неотрицательные , то для реальных изображений , условия и , эквивалентны. Если же для некоторого , то условие не влечет . Заметим также, что для изображений g ( ) , удовлетворяющих условию , всегда . Для спектрозональных изображений характерна ситуация, при которой k детекторов регистрируют рассеянную объектами солнечную радиацию в диапазоне видимого света, а остальные n-k регистрируют собственное тепловое излучение объектов ( в инфракрасном диапазоне). В таком случае любое изображение можно представить разложением (40) В котором . Если ИК составляющей солнечного излучения можно пренебречь по сравнению с собственным излучением объектов, то представляет интерес задача приближения изображениями f ( ) , в которых f 1 ( ) - любая неотрицательная функция из , 1 ( ) - фиксированное векторное поле цвета, f 2 ( ) - термояркость, 2 ( ) - термоцвет в точке . Форма П * f видимой компоненты f ( ) (40) определяется как оператор наилучшего приближения в задаче , в данном случае , причем П * f действует фактически только на " видимую компоненту " g ( ) , обращая " невидимую, ИК, компоненту " g ( ) в ноль. Форма ИК компоненты f ( ) может быть определена лишь тогда, когда известно множество возможных преобразований 2 ( ) f 2 ( ) . Некоторые применения. Задачи идентификации сцен. Рассмотрим вначале задачи идентификации сцен по их изображения, неискаженным геометрическими преобразованиями, поворотами, изменениями масштаба и т.д. Ограничимся задачами, в которых предъявляемые для анализа изображения получены при изменяющихся и неконтролируемых условиях освещения и неизвестных и, вообще говоря, различных оптических характеристиках сцены. 1). Задачи идентификации при произвольно меняющейся интенсивности освещения . Можно ли считать f ( ) и g ( ) изображениями одной и той же сцены, возможно, отличающимя лишь распределениями яркости, например, наличием теней В простейшем случае для идентификации достаточно воспользоваться теоремой 5, а именно, f ( ) и g ( ) можно считать изображениями одной и той же сцены, если существует распределение цвета , для которого v ( ( )) содержит f ( ) и g ( ). Если , и , то, очевидно, существует , при котором f ( x ) v ( ( )), g( x ) v ( ( )), а именно, , , если , , если , и, наконец, - произвольно, если . На практике удобнее использовать другой подход, позволяющий одновременно решать задачи совмещения изображений и выделения объектов. Можно ли, например, считать g ( ) изображением сцены, представленной изображением f ( ) Ответ следует считать утвердительным, если . Здесь ( ) - распределение цвета на изображении f ( ), символ ~ 0 означает, что значение ( g ( )) можно объяснить наличием шума, каких-либо других погрешностей, или, наконец, - наличием или, наоборот, отсутствием объектов объясняющим несовпадение g ( ) и f ( ) с точностью до преобразования распределения яркостей. Такие объекты, изменившие распределение цвета g ( ) по сравнению с распределением цвета f ( ), представлены в . 2). Идентификация при произвольном изменении распределения интенсивности и пространственно однородном изменении спектрального состава освещения . Можно ли считать изображением сцены, представленной на изображении f ( ), изображение, полученное при изменившихся условиях регистрации, например, перемещением или изменением теней и изменением спектрального состава освещения Пусть П - форма в широком смысле изображения f ( ), определенная в теореме @, П * - форма f ( ). Тогда ответ на поставленный вопрос можно считать утвердительным, если . Если изменение g ( ) обусловлено не только изменившимися условиями регистрации, но также появлением и (или) исчезновением некоторых объектов, то изменения, обусловленные этим последним обстоятельством будут представлены на . 3). Задачи совмещения изображений и поиска фрагмента. Пусть f ( ) - заданное изображение, A X - подмножество поля зрения, A ( ) - его индикатор, A ( ) f ( ) -назовем фрагментом изображения f ( ) на подмножестве A, представляющем выделенный фрагмент сцены, изображенной на f ( ). Пусть g ( ) - изображение той же сцены, полученное при других условиях, в частности, например, сдвинутое, повернутое, т.е. геометрически искаженное по сравнению с f ( ). Задача состоит в том, чтобы указать на g ( ) фрагмент изображения, представляющий на f ( ) фрагмент сцены и совместить его с A ( ) f ( ). Ограничимся случаем, когда упомянутые геометрические искажения можно моделировать группой преобразований R 2 ->R 2 , преобразование изображения назовем сдвигом g ( ) на h. Здесь Q ( h ): R n ->R n , h H, - группа операторов. Векторный сдвиг на h H даст . В задаче выделения и совмещения фрагмента рассмотрим фрагмент сдвинутого на h изображения g ( ) в “окне” A : (100) причем, поскольку где то в (100) - ограничение на сдвиг “окна” А , которое должно оставаться в пределах поля зрения X. Если кроме цвета g ( ) может отличаться от f ( ), скажем, произвольным преобразованием распределения яркости при неизменном распределении цвета и - форма фрагмента f ( ), то задача выделения и совмещения фрагмента сводится к следующей задаче на минимум .(101) При этом считается, что фрагмент изображения g ( ), соответствующий фрагменту A ( ) f ( ), будет помещен в “окно”. А путем соответствующего сдвига h=h * , совпадает с A ( ) f ( ) с точностью до некоторого преобразования распределения яркости на нем. Это означает, что . т.е. в (101) при h=h * достигается минимум. 4). В ряде случаев возникает следующая задача анализа спектрозональных изображений: выделить объекты которые “видны”, скажем, в первом канале и “не видны” в остальных. Рассмотрим два изображения и . Определим форму в широком смысле как множество всех линейных преобразований : ( A - линейный оператор R 2 ->R 2 , не зависящий от x X) . Для определения проектора на рассмотрим задачу на минимум . [*] Пусть , , тогда задача на минимум [*] эквивалентна следующей: tr A * AS - 2trAB ~ . Ее решение (знаком - обозначено псевдообращение). = = Рис.1. f e - вектор выходных сигналов детекторов, отвечающий излучению e( ), e - его цвет; 1 , 2 , 3 , - векторы (цвета) базовых излучений, - белый цвет, конец вектора находится на пересечении биссектрис. Литература. [1] Пытьев Ю.П. Морфологические понятия в задачах анализа изображений, - Докл. АН СССР, 1975, т. 224, №6, сс. 1283-1286. [2] Пытьев Ю.П. Морфологический анализ изображений, - Докл. АН СССР, 1983, т. 296, №5, сс. 1061-1064. [3] Пытьев Ю.П. Задачи морфологического анализа изображений, - Математические методы исследования природных ресурсов земли из космоса, ред. Золотухин В.Г., Наука, Москва, 1984, сс. хххх-ххххх. [4] Пытьев Ю.П., Чуличков А.И. ЭВМ анализирует форму изображения, - Знание,сер. Математика, Кибернентика, Москва, 1988, 47 стр. [5] Yu.P.Pyt’ ev. Morphological Image Analysis, Patt. Recogn. and Image Analysis, 1993, v.3, #1, pp.19-28. [6] Антонюк В.А., Пытьев Ю.П. Спецпроцессоры реального времени для морфологического анализа реальных сцен. Обработка изображений и дистанционное исследования, -Новосибирск, 1981, сс. 87-89. [7] Антонюк В.А., Пытьев Ю.П., Рау Э.И. Автоматизация визуального контроля изделий микроэлектроники,Радиотехника и электроника, 1985, т. ХХХ,№12, сс. 2456-245 8. [8] Ермолаев А.Г., Пытьев Ю.П. Априорные оценки полезного сигнала для морфологических решающих алглритмов, - Автоматизация, 1984, №5, сс. 118-120. [9] Пытьев Ю.П, Задорожный С.С., Лукьянов А.Е. Об автоматизации сравнительного морфологического анализа электронномикроскопических изображений, - Изв. АН СССР, сер. физическая, 1977, т. 41, №11, сс. хххх-хххх. [10] A.A. Stepanov, S.Yu. Zheltov, Yu.V. Visilter. Shape analysis using Pyt'ev morphological paradigm and its using in machine vision. Proc. SPIE - Th. Intern. Soc. For Optical Engineering Videometrics III, 1994, v. 2350, pp. 163-167. [11] Пытьев Ю.П.. Математические методы интерпретации эксперимента, Высшая школа, 351 стр., 1989. [12] Майзель С.О. Ратхер Е.С. Цветовые расчеты и измерения. М : Л : Госэнергоиздат 1941, (Труды всесоюзного электротехнического института, вып.56). [13] P. Kronberg. Fernerkundung der Erde Ferdinand Enke. Verlag Stuthgart 1985.

1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Вовочка приносит из детского сада чужую игрушечную машинку.
Отец его спрашивает:
- Откуда у тебя эта машинка?
- А... Это мы с Лёшкой Сидоровым поменялись.
- Алёша дал тебе машинку, а ты что ему дал?
Вовочка, подумав, отвечает:
- По шее...
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по физике "Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru