Реферат: Линейное программирование: постановка задач и графическое решение - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Линейное программирование: постановка задач и графическое решение

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 396 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

9 Линейное программирование : постановка задач и графическое решение ПЛАН Введение. 1. Общая задача линейного программирован ия. 1.1. Формулировка задачи. 1.2. Геометрическая интерпрета ция задачи линейного программирования. 2. Графический метод решения задачи линейного программирования. 2.1. Область применения. 2.2. Примеры задач , ре шаемых графическим методом. 2.3. Обобщение графического метода решения задач линейного программировани я. Литература. Введение. Линейное программирование - это на ука о методах исследования и отыскания на ибольших и наименьших значений линейной функ ции , на неизвестные которой наложены л инейные ограничения . Таким образом , задачи лин ейного программирования относятся к задачам н а условный экстремум функции . Казалось бы , что для исследования линейной функции многих переменных на условный экстремум доста т очно применить хорошо разработанные методы математического анализа , однако невоз можность их использования можно довольно прос то проиллюстрировать . Действительно , путь необходимо иссл едовать на экстремум линейную функцию Z = С 1 х 1 +С 2 х 2 +... +С N x N при линейны х ограничениях a 11 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 1 N Х N = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2N Х N = b 2 . . . . . . . . . . . . . . . a М 1 x 1 + a М 2 x 2 + ... + a М N Х N = b М Так как Z - линейная функция , то = С j ( j = 1, 2, ..., n ), то все коэффициенты линейной функции не могут быт ь равны нулю , следовательно , внутри об ласти , образованной системой ограничений , экстрема льные точки не существуют . Они могут быть на границе области , но исследовать точки границы невозможно , поскольку частные произв одные являются константами. Для решения з адач линейного прогр аммирования потребовалось создание специальных м етодов . Особенно широкое распространение линейное программирование получило в экономике , так как исследование зависимостей между величинами , встречающимися во многих экономических зада ч а х , приводит к линейной функции с линейными ограничениями , наложенными на неизвестные. 1. Общая задача линейного програм мирования 1.1. Формулировка задачи. Даны линейная функция (1.1) Z = С 1 х 1 +С 2 х 2 +... +С N x N и система линейных ограничений a 11 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 1N Х N = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2N Х N = b 2 . . . . . . . . . . . . . . . a i1 x 1 + a i2 x 2 + ... + a iN Х N = b i (1.2) . . . . . . . . . . . . . . . a M1 x 1 + a M2 x 2 + ... + a MN Х N = b M (1.3) x j 0 (j = 1, 2, ... ,n) где а ij , Ь j и С j - зад а нные постоянные величины. Найти такие неотрицательные значения х 1 , х 2 , . .., х n , которые удовлетворяют системе огра ничений (1. 2 ) и доставляют линейной функции (1.1) минимальное значение. Общая задача имеет несколько форм записи . Векторная форма записи . Мин имизировать линейную фун кцию Z = СХ при ограничениях ( 1. 4 ) А 1 х 1 + А 2 x 2 + .. . + А N x N = А о , X 0 где С = (с 1 , с 2 , ..., с N ); Х = (х 1 , х 2 , ..., х N ); СХ - скалярное произведение ; векторы A 1 , A 2 ,..., A N , A 0 состоят соответственно из коэффици ентов при неизвестн ых и свободных чле нах . Матричная форма записи . Минимизировать линейную функцию, Z = СХ при ограничениях АХ = А 0 , Х 0, где С = (с 1 , с 2 , ..., с N ) - матрица- c трока ; А = (а ij ) - матрица системы ; Х - матрица-столбец , А 0 - матрица-столбец Запись с помощью з наков суммирования. Минимизировать линейную функцию Z = С j х j при огран ичениях 0пределение 1. Планом или допустимым решением задачи лине йного программирования называется Х = (х 1 , х 2 , ..., х N ), удовлетворяю щий условиям (1.2) и (1.3). 0пред еление 2. План Х = (х 1 , х 2 , ..., х N ) называется опорным , если векторы А ( i = 1, 2, ..., N ), входящие в разложение (1.4) с положительными коэф фициентами х , являются линейно независимыми. Так как векторы А являются N -мерными , то из определения опорного пл ана следует , что число его положительных компонент не может превышать М. 0пределение 3. Опорный план называется невырожденным, если он со держит М положительных компонент , в противном случае опорный план называется вырожденным. 0пределение 4 . Оптимальным планом или оптимальным решен ием задачи линейного программирования называется план , доставляющий наименьшее (наибольшее ) зна чение линейной функции . В дальнейшем рассмотрено решение задач линейного программирования , связанных с нахожд ением минимального зн ачения линейной функ ции . Там , где необходимо найти максимальное значение линейной функции , достаточно заменить на противоположный знак линейной функции и найти минимальное значение последней фун кции . Заменяя на противоположный знак получен ного минимально г о значения , определяе м максимальное значение исходной линейной фун кции . 1.2 Геометрическая интерпретация задач и линейного программирования. Рассмотрим задачу линейного прог раммирования , система ограничений которой задана в виде неравенств . Найти минимал ьное значени е линейной функции (1. 5 ) Z = С 1 х 1 +С 2 х 2 +... +С N x N при ограничениях a 11 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 1N Х N b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2N Х N b 2 (1.6) . . . . . . . . . . . . . . . a M1 x 1 + a M2 x 2 + ... + a MN Х N b M (1.7) x j 0 (j = 1, 2, ... ,n) Совокупность чисел х 1 , х 2 , ..., х N , удовлетворяю щих ограничениям (1. 6 ) и (1. 7 ), называется решением . Если система неравенств (1. 6 ) при условии (1. 7 ) имеет хотя бы одно решение , она называется совместной , в противном с лучае - несовм естной. Рассмотрим на плоскости х 1 Ох 2 совместную систему линейных неравенств a 11 x 1 + a 22 x 2 b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 b 2 . . . . . . . . a M1 x 1 + a M2 x 2 b M x 1 0, x 2 0 Это все равно , что в системе (1. 6 ) - (1. 7 ) положи ть N =2. Каждое неравенство этой системы геометрич ески определ яет полуплоскость с граничной прямой a i1 x 1 + a i2 x 2 = b i ,(i = 1, 2, ..., m ). Условия неотрицательности определяют полуплоскости соответст венно с граничными прямыми х = 0, х = 0. Система совместна , поэтому полуплоскости , как выпуклы е множества , пересекаясь , образуют общую часть , к оторая является выпуклым множеством и предста вляет собой совокупность точек , координаты ка ждой из которых являются решением данной системы (рис . 1.1). Совокупность этих точек (решений ) назовем многоугольни ком решений . Он может быт ь точкой , отрезком , лучом , много-угольником , нео граничен-ной многоугольной облас-тью. Если в системе ограничений (1.6) - (1.7) n = 3, то каждое нера - венство геометрически представляет полупространство трехме рного пространства , гран ичная плоскость к оторого a i 1 x 1 + a i 2 x 2 + a i 3 x 3 = b i ,( i = 1, 2, ..., n ), а условия неотрицательности – полупрост - ранства с граничными плоскостями соответственно х j = 0 ( j = 1, 2, 3). Если система ограничений совместна , то эти полуп ространства , как выпуклы е множества , перес екаясь , образуют в трехмерном пространстве об щую часть , которая называется многогранником решений . Мно гогранник решений может быть точкой , отрезком , лучом , многоугольником , многогранником , многогран ной неограниченной областью . Пусть в си стеме ограничений (1.6) - (1.7) n 3; тогда каждое неравен ство определяет полупространство n -мерного прос транства с граничной гиперплоскостью a i 1 x 1 + a i 2 x 2 + a iN x N = b i ( i = 1, 2 , ..., m ), а условия неотрицательности – полупро странства с граничными гиперпло скостями х j 0 ( j = 1, 2, ..., n ). Если система ограничений совместна , то по аналогии с трехмерным пространством она обр азует общую часть n -мерного пространства , называемую многогранником решений , так как координаты каждой его точки являются решением . Таким образом , геометрически задача линейного программирования представляет собой отыскание такой точки многогранника решений, координаты котор ой доставляют линейной функции минимальное з начение , причем допустимыми решениями служат все точки м ногогранника решений. 2. Графическ ий метод решения задачи линейного программиро вания. 2.1. Область применения. Графический м етод основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется в основном при решении задач двумерног о пространства и только некоторых зад ач трехмерного простран 6тва , так как довол ьно трудно построить многогранник решений , ко торый образуется в результате пересечения пол упространств . Задачу пространства размерности бол ьше трех изобразить графически вообщ е невозможно. Пусть задача линейного программирования з адана в двумерном пространстве , т . е . ограничения содер жат две переменные . Найти минимальное значени е функции (2.1) Z = С 1 х 1 +С 2 х 2 при a 11 x 1 + a 22 x 2 b 1 (2.2) a 21 x 1 + a 22 x 2 b 2 . . . . . . . . a M1 x 1 + a M2 x 2 b M ( 2 . 3 ) х 1 0, х 2 0 Допустим , что система ( 2 . 2 ) при условии ( 2 . 3 ) совместна и ее мн огоугольник решений ограничен . Каждое из нера венств ( 2 . 2 ) и ( 2 . 3 ), как отмечалось выше , определяет полуплоскость с граничными прямы ми : a i 1 x 1 + a i 2 x 2 + a i 3 x 3 = b i ,( i = 1, 2, ..., n ), х 1 =0, х 2 = 0. Линейная функция ( 2 . 1 ) при фиксированных значениях Z является уравнением прямой линии : С 1 х 1 + С 2 х 2 = const . Построим многоугольник решений сис темы ограничений ( 2 . 2 ) и график линейной функции ( 2 . 1 ) при Z = 0 (рис . 2 . 1 ). Тогда поставленной задаче линейного пр граммирования можно дать следующую интерпретацию . Найти точку многоугольника решений , в которой прямая С 1 х 1 + С 2 х 2 = const опорная и функция Z при этом достигает минимума . Значения Z = С 1 х 1 + С 2 х 2 возрастают в направлении вектора N =(С 1 , С 2 ) , поэтому пряму ю Z = 0 передвигаем параллельно самой себе в направлении век тора Х . Из рис . 2 . 1 следует , что прямая дважды становится опорн ой по отношению к многоугольнику решений ( в точках А и С ), приче м минимальное значение принимает в точке А . Координаты точки А (х 1 , х 2 ) находим , реша я систему уравнений прямых АВ и АЕ . Если многоугольник решений представляет собой неограниченную многоуголь-ную область , то возможны два случая . Случай 1. Пр ямая С 1 х 1 + С 2 х 2 = const , передвигаясь в напра влении вектора N или противоположно ему , постоянно пересекает многоугольник решений и ни в какой точке не является опорной к нему . В эт ом случае линейная функция не огра нич ена на многоугольнике решений как сверху , так и снизу (рис . 2.2). Случай 2. Пр ямая , пере-двигаясь , все же становится опорной относительно многоу-гольника решений (рис . 2.2, а – 2.2, в ). Тогда в зави-симости от вида области ли-нейная фун кция может быть ограниченной сверху и неограниченной снизу (рис . 2.2, а ), ограниченной снизу и неограниченн ой сверху (рис . 2.2, б ), либо ограниченной как снизу , так и сверху (рис . 2.2, в ). 2.1. Примеры задач , решаемых графич еским методом. Решим графи ческим методом задачи использования сырья и составления раци она. Задача испо льзования сырья. Для изготовления двух видов продукции Р 1 и Р 2 используют три вида сырья : S 1 , S 2 , S 3 . Запасы сырья , количество единиц сырья , затрачиваемых на изготовление единицы продукци , а т ак же величина прибыли , получаемая от реал изации единицы продукции , приведены в таблице 2.1. Таблица 2.1. Вид сырья Запас сырья Количество единиц сырья , идущих на изготовление единицы продукции Р 1 Р 2 S 1 20 2 5 S 2 40 8 5 S 3 30 5 6 Приб ыль от единицы продукции , руб. 50 40 Необходимо составить такой план выпуска продукции , что бы при ее реализации получить максимальную прибыль. Решение. Обозначим через х 1 количество единиц продукции Р 1 , а через х 2 – количество единиц продукции Р 2 . Тогда , учитывая количество единиц сырья , расхо дуемое на изготовление продукции , а так же запасы сырья , получим систему ограничений : 2х 1 + 5х 2 20 8х 1 + 5х 2 40 5х 1 + 6х 2 30 которая показывает , что количество сырья , расходуемое на изготовление продукции , не может превысит имеющихся запасов . Если продукция Р 1 не выпускается , то х 1 =0 ; в противном случае x 1 0. То же самое получаем и для продукции Р 2 . Таким образом , на неизвестные х 1 и х 2 должно быть наложено ограничение неотр ицательности : х 1 0, х 2 0. Конечную цель решаемой задачи – получение максимальной прибылипри реализации п родукции – выразим как функцию двух пере менных х 1 и х 2 . Реализация х 1 единиц продукции Р 1 и х 2 единиц продукции Р 2 дает соответственно 50х 1 и 40х 2 руб . прибыли , суммарная прибыль Z = 50х 1 + 40х 2 (руб .) Условиями не оговорена неделимость единиц а продукции , поэтому х 1 и х 2 (пла н выпуска продукции ) могут быть и дробными числами. Требуется найти такие х 1 и х 2 , при кото рых функция Z достинает максимум , т.е . найти ма ксимальное значение линейно й функции Z = 50х 1 + 40х 2 при ограничениях 2х 1 + 5х 2 20 8х 1 + 5х 2 40 5х 1 + 6х 2 30 х 1 0, х 2 0. Построим многоугольник решений (рис . 2.3). Для этого в системе координат х 1 Ох 2 на плоскости на п лоскости изобразим граничные прямые 2х 1 + 5х 2 = 20 ( L 1 ) 8х 1 + 5х 2 = 40 ( L 2 ) 5х 1 + 6х 2 = 30 ( L 3 ) х 1 = 0, х 2 = 0. Взяв какую-нибудь точку , например , начало координат , установим , какую полуплоско сть определяет соответствующее неравенство (эти полуплоскости на рис . 2.3 показаны стрелками ) . Многоугольни ко м решений данной задачи является ограниченны й пятиугольник ОАВС D . Для построения прямой 50х 1 + 40х 2 = 0 строим радиус- вектор N = (50;40) = 10(5;4) и через точку O проводим п рямую , перпендикулярную ему . Построенную прямую Z = 0 пере мещаем параллельно самой себе в направл ении вектора N . Из ри c . 2 . 3 с ледует , что опорной по отношению к многоу гольнику решений эта прямая становится в точке С , где функция Z принимает максимальное значение . Точка С лежит на пересечении прямых L 1 и L 2 . Для определения ее коо рдинат решим систему уравнений 8 x 1 + 5х 2 = 40 5х 1 + 6х 2 = 30 Оптимальный план задачи : х 1 = 90/23 = 3,9; х 2 = 40/23 = 1,7. Подставляя значения х 1 и х 2 в линейную функцию , получаем Z max = 50 3,9 + 40 1,7 = 260,3 Таким образом , для того чтобы по лучить максимальную прибыль в размере 260,3 руб ., необходимо запланировать производство 3,9 ед . про дукции Р 1 и 1,7 ед . продукции Р 2 . Задача сост авления рациона. При откорме каждое животное ежедневно должно получать не менее 9 ед . питате льного вещества S 1 , не менее 8 ед . вещества S 2 и не менее 12 ед . вещ ества S 3 . Для составления рацио на используют два вида корма . Содержание к оличества елиниц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и стоимость 1 кг корм а приведены в таблице 2.2. Таб лица 2.2. Питательные вещества Количество единиц питательных вещ еств в 1 кг корма . Корм 1 Корм 2 S 1 3 1 S 2 1 2 S 3 1 6 Стоимость 1 кг корма , коп. 4 6 Необходимо составить дневной рацион нужно й питательности , причем затраты на него до лжны быть мини мальными. Решение. Для составления математической модели обозначим через х 1 и х 2 соответственно количество килограммов корма 1 и 2 в дневном рационе . Принимая во внимание значения , приведенные в таблице 2.2, и условие , что дневной рацион удовлетворяет тре буемой питательности то лько в случае , если количество единиц пита тельных веществ не меньше предусмотренного , п олучаем систему ограничений 3х 1 + х 2 9 х 1 + 2х 2 8 х 1 + 6х 2 12 х 1 0, х 2 0. Если корм 1 не используется в рационе , то х 1 =0 ; в противн ом случае x 1 0. Аналогично имеем х 2 0. То есть должно выполняться условие неотрицательности переменных : х 1 0, х 2 0. Цель данной задачи – до биться минимальных затрат на дневной рацион , поэтому общую стоимость рациона можно вы разить в виде линейной функци и Z = 4х 1 + 6х 2 (коп .) Требуется найти такие х 1 и х 2 , при которых функция Z принимает минимальное . Таким образом , необходимо найти минимальное значение линейной функции Z = 4 х 1 + 6х 2 при огранич ениях 3х 1 + х 2 9 х 1 + 2х 2 8 х 1 + 6х 2 12 х 1 0, х 2 0. Построим мног оугольник решений (рис . 2.4). Для этого в систе ме координат х 1 Ох 2 н а плоскости изобразим граничные прямые 3х 1 + х 2 = 9 ( L 1 ) х 1 + 2х 2 = 8 ( L 2 ) х 1 + 6х 2 = 12 ( L 3 ) х 1 = 0, х 2 = 0. Взяв какую-нибудь точку , например , начало координат , установим , какую полу плоскость определяет соответствующее неравенство (эти полуплоскости на рис . 2.4 показаны стрелками ) . В результате получим неограниченную многоугольную область с угловыми точками А , В , С , D . Для построения прямой 4х 1 + 6х 2 = 0 строим радиус-вектор N = (4;6) и через точку O проводим прямую , перпендикулярную ему . П остроенную прямую Z = 0 перемещаем параллельно самой с ебе в направлении вектора N . Из ри c . 2 .4 следует , она впервые коснется многогранника решений и с танет опорной по отношен ию к нему в угловой точе В . Если прямую перемещат ь дальше в направлении вектора N , то зна чения линейной функции на многограннике решен ий возрастут , значит , в точке В линейная функция Z принимает минимальное значение . Точка В лежит на пересечении прямых L 1 и L 2 . Для определения ее координат решим систему уравнений 3 x 1 + х 2 = 9 х 1 + 2х 2 = 8 Имеем : х 1 = 2; х 2 = 3. Подставляя значения х 1 и х 2 в линейную функцию , получаем Z min = 4 2 + 6 3 = 26. Таким образом , для того , чтобы обеспеч ить минимум затрат (26 коп . в день ), н еобходимо дневной рацион составить из 2 кг корма 1 и 3 кг корма 2. 2.2. Обобщение графического метода реше ния задач линейного программирования. Вообще , с помощью графического метода может быть ре - шена задача ли нейног о программирования , система ограниче - ний которой содержит n неизвестных и m линей но независи - мых уравнений , если N и M связаны соотн ошением N – M = 2. Действительно , пусть поставлена задача линейного программирования . Найти минимальное значение линейной функции Z = С 1 х 1 +С 2 х 2 +... +С N x N при ограничениях a 11 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 1N Х N = b 1 (2.3) a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2N Х N = b 2 . . . . . . . . . . . . . . . a М 1 x 1 + a М 2 x 2 + ... + a М N Х N = b М x j 0 (j = 1, 2, ..., N) где все уравнения линейно независимы и выполняется c оотношение N - M = 2. Используя метод Жордана-Гаусса , производим M исключений , в результате которых базисными неизвестными оказались , например , M первых неизвестных х 1 , х 2 , ..., х M , а свободными - два п оследних : х М +1 , и х N , т . е . система ограничений приняла вид x 1 + a 1,М +1 x М +1 + a 1N Х N = b 1 (2.4) x 2 + a 2,М +1 x М +1 + a 2N Х N = b 2 . . . . . . . . . . . . x М + a М , М +1 x 2 + a М N Х N = b М x j 0 ( j = 1, 2, ..., N ) С помощью уравнений преобразованной систе мы выра жаем линейную функцию только ч ерез свободные неизвестные и , учитывая , что все базисные неизвестные - неотрицательные : х j 0 ( j = 1, 2, ..., M ), отбрасываем их , переходя к системе ограничений , выраженн ых в виде неравенств . Таким образом , оконч ательно получае м следующую задачу . Найти минимальное значение линейной функц ии Z = С М +1 х М +1 +С N x N при ог раничениях a 1,М +1 x М +1 + a 1N Х N b 1 a 2,М +1 x М +1 + a 2N Х N b 2 . . . . . . . . . . a М,М +1 x М +1 + a М N Х N b М x М +1 0, х N 0 Преобразованная задача содержит дв а неизвестных ; решая ее графическим методом , находим оптимальные значения x М +1 и х N , а затем , подставляя их в (2.4), находим оптимальные значения х 1 , х 2 , ..., х M . Пример. Графическим м етодом найти оптимальный план задачи ли-нейно го программирования , при к отором линейная функция Z = 2х 1 - х 2 + х 3 - 3х 4 + 4х 5 достигает максимального значен ия при ограничениях х 1 - х 2 + 3х 3 - 18х 4 + 2х 5 = -4 2х 1 - х 2 + 4х 3 - 21х 4 + 4х 5 = 2 3х 1 - 2х 2 + 8х 3 - 43х 4 + 11х 5 = 38 x j 0 ( j = 1, 2, ..., 5) Решение. Используя метод Жордана-Гау сса , произведем три полных исключения неизвес тных х 1 , х 2 , х 3 . В результате приходим к системе х 1 + х 4 - 3х 5 = 6 х 2 + 7х 4 + 10х 5 = 70 х 3 - 4х 4 + 5х 5 = 20 Откуда x 1 = 6 – х 4 + 3 x 5 , х 2 = 70 – 7х 4 -10х 5 , х 3 = 20 + 4х 4 -5х 5 . Подставляя эти значения в функцию и отбрасывая в системе базис ные переменные , получаем задачу , выраженную то лько через свободные переменные х 4 и х 5 : найти максимальн ое значение линейной функции Z = 6х 4 + 15х 5 – 38 при ограничениях х 4 - х 5 6 7х 4 + 10х 5 70 - 4х 4 + 5х 5 20 х 4 0, х 5 0. Построим мног огранник решений и линейную функцию в сис теме координат х 4 Ох 5 (рис . 2.5). Из рис . 2.5 заключаем , что линейн ая функция принимает максимальное значение в угловой точке В , которая лежит на пер есечении прямых 2 и 3. В результате реш ен ия системы 7х 4 + 10х 5 = 70 4х 4 + 5х 5 = 20 находим : х 4 = 2, х 5 = 28/5. Максимальное зн ачение функции Z max = -38 + 12 + 84 = 58. Для отыскания оптимального плана исходно й задачи подставляем найденные значения х 4 и х 5 . Окончательно получаем : х 1 = 104/5, х 2 = 0, х 3 = 0, х 4 = 2, х 5 = 28/5. ЛИТЕРАТУРА 1. Математические методы анализа эк ономики /под ред . А.Я.Боярского . М.,Изд-во Моск . Ун-та , 1983 2. А.И.Ларионов , Т.И.Юрченко “Экономико-математические методы в п ланировании : Учебник – М .: Высш.школ а , 1984 3. Ашманов С. А . “Линейное программирование” ,- М .: 1961
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Если вы умная и красивая, у вас хорошая фигура, вы едите всё и не толстеете, у вас есть любимый человек и у вас хорошие отношения с родителями - диагноз один: вы ведьма!
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Линейное программирование: постановка задач и графическое решение", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru