Реферат: Работа с программой EUREKA - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Работа с программой EUREKA

Банк рефератов / Программирование

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 526 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Лабораторная работа N1 6--------------------------- Знакомство с оболочкой системы Eureka. Ре шение систем линейных уравнений. Цель работы 6---------------- Приобретение навыков работы с обо лочкой системы Eureka. Решение систем линейных уравнений при помощи системы Eureka. Теоретическое введение. а ) Интегрированная многооконная система Eureka предназначена для автоматизации наиболее массовых математическ их рас четов не очень высо- кой сложности . Она объединяет : редактор , вычислитель , верификатор (проверяет правильность вычислений ), генерат ор отчетов и простой гра- фопостроитель . Система ориентирована на П К класса IBM PC XT и AT и мо- жет размещать на одн ом гибком диске с объемом хранимой информации до 360 Кбайт . Нормальная работа системы обесп ечивается при ОЗУ 512 Кбайт и выше . Система может работать на ПК без математического сопроцессора, однако его использование значительно повы шает скорость работы. Eureka имеет следующие ограничения : - максимальная длина идентификаторов до 40 символов , из них 10 яв- ляются основными ; - число определенных пользователем функций не более 10; - число используемых числовых констант не более 200; - число переменных не более 12; - число подстановок одних переменных в другие до 6. б ) Для загрузки системы ее надо проинсталлировать , т.е . перенести все файлы , входящие в нее , на рабоч ий диск в одну директорию . Запуска- ющим файлам системы является файл eureka.exe. После запуска на экране монитора появляется табло оболочки систе- мы . Экран оказывается разделенным на ч етыре окна. Edit - для ввода и редактирования текста задачи ; Solution - для вывода результатов ; Report - для вывода отче та о вычисле ниях на экран , принтер или в файл с расширением log; Verify - для проверки точности результата. Окно в пассивном состоянии обведено одинарной рамкой , а в актив- ном - двойной . Курсор располагается в а ктивном окне . Кроме окон , табло оболочки содержит верхнюю и нижнюю ст роки меню . Нижняя строка меню представляет возможности работы с ключев ыми клавишами (hot keys). Ee содержимое может менятся в зависимости от режима работы системы . Наи- больший интерес эта строка представляет в режиме редактирования . В этом случае она предлагает следующие команды : F1 - Help - помощь по контексту (можно получат ь в любой позиции меню и подменю ); F2 - Save - запись текущего файла на диск ; F3 - Load - загрузка файла с диска ; F5 - Zoom - расширение активного окна на весь экран и возвращение его (при повторном нажатии ) к исходным размерам. F6 - Next - переключение активности окон (по ци клу ); F7 - Beg.Bek - отметка начала блока ; F8 - EndBek - отметка конца блока SCROOL - Size/move - изменение размера и положени я окна. Нажатие клавиши Ctrl и Alt приводят к вы свечиванию иных ключевых клавиш . Имеет смысл взять на вооружени е еще hotkeys такие как : Esc - отмена команды (переход в вышестояще е меню ); A lt+E - переход в окно редактирования ; Alt+S - начать рещение задачи ; Alt+C - включить встроенный калькулятор ; Alt+X - выход из системы. В верхней строке оболочки перечисляют ся позиции основного меню системы : File - работа с файл ами ; Edit - редактирование текущего файла ; Solve - запуск вычислителя ; Commands - выбор команды управления ; Report - подготовка отчета ; Graph - вывод графиков и таблиц ; Options - задание опций системы ; Window - работа с о кнами. Если активировать в верхней строке позицию File, то после нажатия клавиши Enter откроется подменю со следующим пунктами : Load - загрузка файла ; New - подготовка к заданию нового файла ; Save - запись текущего файла ; Directory - просмотр директории ; Change dir - смена текущей директории ; New directory - создание новой директории ; Rename - переименование текущего файла ; OS shell - временный выход в MS DOS (возврат по команде Exit); Quit - выход из систем ы по окончани и работы. Если активизировать вторую позицию ве рхней строки и нажать клави- шу Enter, то мы окажемся в окне редакт ирования задач. Третьей позицией верхней строки являе тся команда Solve. После то- го как редактирование задачи окончено нужно нажать Esc (для попадания в верхнюю строку меню ) и активизировав пункт меню Solve, запустить за- дачу на счет нажатием клавиши Enter. Если в описании задачи ошибок с точки зрения системы нет , то начнется процесс решения . По окончании этого про цесса результат работы б удет представлен в окне Solution. Четвертая позиция верхней строки - Commands. П ри активизации этой позиции и нажатии клавиши Enter открывается следующее подменю : Verify - проверка решения (результат работы э той команды вы водит- ся в одноименное окно ); Calculate - включение калькулятора (для выключения - Esc); Find other - поиск другого решения (Т.к . итерацио нные методы при- водят только к одному из возможных решений , то для нахождения других надо исключить найд енное и заново решить задачу . Именно это и делает данная команда ); Iterate - пуск итераций после остановки решен ия (Команда исполь- зуется для уточнения найденного решения при условии , что заданная точ- ность не достигнута , а время отведенно е на пр оцесс решения закончено ). Пятая позиция верхней строки (Report) открыв ает следующее подменю : Go - составление отчета (результат этой ко манды появляется в окне Report); Output - направление вывода отчета (экран , пр интер ); Formatted - фор матирование отчета ; Capture - запись отчета в файл eureka.log (По запр осу EUREKA.LOG EXIST.A TO ERASE этот файл можно дополнить или стереть . При включенной команде в строке переключений будет с тоять ON, иначе OFF); Logfile name - изменение имени log-файла. Подменю шестой позиции верхней строки (Gragh) состоит из четырех пунктов. Plot - построение графика (После ввода зна чений левой и правой границ аргумента , если , конечно , функция предварительно описана при помощи команды Funct ion, будет построен график функции состоящий из текстовых символов псевдографики . При наж атии F5 этот график перестра- ивается в графическом режиме с высоки м разрешением ); Output - вывод графика на экран или прин тер ; List - вывод таблицы (После вывода нач ального значения , шага вы- числений и количества точек в которых вычисляются значения функций вы- водится таблица со значениями аргумента и функции , если , конечно, функция предварительно описана при помощи команды Function или в окне Edit); Function - задание функции , которую надо постр оить. 6Опишем последовательность действий необх одимых для построения гра- 6фика функции более подробно. 6Способ N 1 7\\\\\\\\\\\\\ 6Активизируйте (т.е . подведите курсор и нажмите Enter) пункт верх- 6него меню под названием - Graph. В откры вшемся подменю активизируйте 6пункт - Function. В появившуюся после этого строку введите название 6вашей фунуции (например y(x) или ab) и на жмите Enter. Во вновь появив- 6шуюся строку в ведите определение вашей функции (например sin(x)+x^2) 6и нажмите Enter. После этого активизируйте пункт подменю с названием 6- Plot. В появившуюся строку введите начало интервала построения гра- 6фика и нажмите Enter. Во вновь появивше еся окно вве дите конец интерва- 6ла и 0 6нажмите Enter. 0 6 В результате все х перечисленных действий на дисп- 6лее появится окно содержащее график выполненный символами псевдогра- 6фики . Если теперь нажать 0 6F5, то граф ик перерисуется на весь экран 6при помощи истинной графики. 0 6По вторное нажатие F5 приводит к воз- 6вращению экрана в состояние 0 6 существ овавшее до первого нажатия этой 6клавиши. 0 6График может быть перерисова н на весь экран в сиволах псевдо- 6графики, 0 6если преред F5 была на жата клавиша F4. 0 6 При этом , для того 6чтобы вернуться в режим позволяющий использовать 0 6истинную графику 6необходимо нажать F7. 6Способ N 2 7\\\\\\\\\\\\\ 6Войдите в окно Edit. Запишите в нем определение одной или неск оль- 6ких функций (например : 6z(x)=sin(x)+x^2 6p(x)=deriv(deriv(5*cos(x),x),x) 0 6m(x)=1/x ) 6и любую вычислительную задачу (наприме р t=z(1)). 6Поднимитесь в верхнюю строку меню и активи зируйте в ней пункт Solve. 6После того , как вычислительная задача будет решена активизируйте пункт 6меню Graph. В открывшемся подменю активизир уйте пункт Plot. При этом 6появится меню , позволяющее выбрать фун кцию (из числа определенных в 6окне Ed it) для построения графика . Выбор функции осуществляется при 6помощи курсора . Его надо подвести к названию функции и нажать Enter. 6Далее выполняются те же действия , что и в I 5ом 6 способе после активиза- 6ции пункта Plot. 6Если возникает по требность в построении графика другой функции (из 6числа определенных в окне Edit), то нео бходимо : войти в окно Edit, 6выйти из этого окна (при этом редактировать записи не обязательно ), 6активизировать пункт Solve и далее повтори ть описанные выш е действия. 6Примечание 7\\\\\\\\\\\\\ 6Для вывода на экран функции в табличном виде пригодны оба описан- 6ных выше способа . Отличием является только то , что вместо пункта Plot 6активизируется пункт List. При этом Eureka потр ебует ввести : начало 6интервала вычислений , шаг вычисления и число точек , в которых вычис- 6ляются значения функции. Седьмая позиция верхней строки (Options) имее т следующее подменю : Variables - изменение значений переменных без вхождения в редак- тор ; Settings -задание установок системы (к пример у : accuracy - зада- ние погрешности вычислений ; complex [ 5yes 4no 0] - разрешает вычисления с комплексными числами ; casefold [ 5yes 4no 0] с параметром yes отменяет имею- щееся по умолчанию различия меж ду прописными и строчными буквами ; di- gits - определяет число цифр у результатов вычислений ; substlevel N - задает количество преобразований переменных , в ходе которых одни пере- менные автоматически выражаются через дру гие . При N=0 такие преобразо- ван ия не выполняются . Допустимые значения N от 0 до 6. В некоторых случаях варьирование этого параметра поз воляет получить более точный результат ). Кроме перечисленных этот пункт подменю содержит еще ряд установок , о назначении которых можно узнать , воспользовавшись клави- шей F1 (т.е . help). С olors - установка окраски окон ; рамок и текстов ; Directories - установка директории (Система и от дельные файлы мо- гут храниться в разных директориях . В этом случае нужно указать систе- ме , где находя тся ее файлы и файлы с примерами расчетов .); LoadSETUP - загрузка установочного файла ; WriteSETUP - запись установочного файла. Восьмая позиция верхней строки (Window) такж е имеет подменю : Open - открывает указанное окно ; Close - закрывает указанное окно ; Next - делает активным следующее окно ; Zoom - расширяет активное окно ; Tile - делает размеры окон равными ; Stack - располагает окна друг за другом ; Goto - переход в активное окно из меню. в ) Системы ли нейных алгебраических уравнений можно решать как с по- мощью прямых , так и с помощью итер ационных методов . Т.к . о прямых ме- тодах решения таких , как метод Крамер а или метод Гаусса , рассказыва- лось в курсе математики , то рассмотрим здесь только некотор ые итераци- онные методы . Итерационные методы предста вляют для нас интерес еще и потому , что Eureka решает системы линейных уравнений ( как и нелиней- ных ) итерационными методами . При этом может использоваться подстанов- ка одних переменных в другие , н ередко сводящая задачу к точному реше - нию. Итерационные методы применяются на пр актике к большим системам с разреженными матрицами . Разработано большое число разлиных итерацион- ных методов , каждый из которых ориент ирован на решение сравнительн о узкого класса задач . Рассмотрим два на иболее простых и извесных итера- ционных метода. _Метод простой итерации Для того чтобы применить метод пр остой итерации к решению системы линейных уравнений Ах =b 4 0 (1) c квадратной не вырожденной матрицей А , необходимо преобразовать эту систему к виду 4^ ^ х =Ах +b 4 0 (2) 4^ ^ Здесь А - квадратная матрица (nxn), а b - вектор столбец длины n. Са- мый простой способ привести систему (1) к виду (2) выразить х 41 0 из пер- вого уравнения системы (1) 4-1 6x 41 6=a 411 6(-a 412 6x 42 6-a 413 6x 43 6 -...-a 41n 6x 4n 6) х 42 0 из второго уравнения и т.д . В результате получаем систему 6: 4^ ^ ^ ^ 6x 41 6= -a 412 6x 42 6-a 413 6x 43 6-...-a 41n 6x 4n 6+b 41 4^ ^ ^ ^ 6x 42 6=-a 421 6x 41 6- 4 6-a 423 6x 43 6-...-a 42n 6x 4n 6+b 42 6..................................... 4^ ^ ^ ^ 6 4^ 6x 4n 6=-a 4n1 6x 41 6-a 4n2 6x 42 6-a 4n3 6x 43 6-a 4n4 6x 44 6-...+b 4n 4^ у которой на главной диагонали матри цы А находятся нулевые элементы. Остальные элементы вырожаются по формулам 6 : 4^ ^ 6a 4ij 6=a 4ij 6/a 4ii 6 и b 4i 6=b 4i 6/a 4ii 6 . 4(0) (0) (0) (0) Выберем начальное приближение 6 x 4 6= 4 6(x 41 6, 4 6x 42 6, 4 6... 4 6,x 4n 6). Часто в качестве началь 6н 0ого прибли жения выбирают столбец свободных членов (b 41 0, b 42 0,...b 4n 0). Подставляя его в правую часть системы (2) нахо- дим первое приближение 4(1) ^ 5 4(0) 5 4^ 6x 4 6= 4 6A 4 6x 4 6+ 4 6b 6П 0родолжая этот процесс далее , получ им последовательность х 5(0) 0, 5 0х 5(1) 0, 5 0х 5(2) 0, 5 0..., 5 0х 5(k) 0, ... 6 0приближений , вычисляемых по формуле 4(k+1) ^ (k) ^ 6x 4 6= 4 6A 4 6x 4 6+ 4 6b , k=0,1,2,... Спра 6в 0едли 6в 0а следующая теорема о сходимости метода простой итерации. _Теоремма Пусть выполнено одно из условий : 4n 6 4n 6----¬ 4 ---- 6¬ 4M 6 4A 6 4X 6 \ ¦ 4^ 6 4 6¦ ¦ 4 6¦ 4 6\ 4 6 ¦ 4 6¦ 61 7, 6i 7, 6n 7 4 6/ 4 6¦ a 4ij 6 ¦ = q < 1 <=> ¦ a 4ii 6 ¦ > 4 6 / 4 6 ¦ a 4ii 6 ¦ 4 , 6i=1,...,n 6----- ----- 6j=1 4 6j=1 6i 7- 6j или 4n n 4---- 6¬ 4 ---- 6¬ 4M 6 4A 6 4X 6 4 6\ 4 ¦ ^ ¦ ¦ ¦ 6\ 4 ¦ ¦ 61 7, 6j 7, 6n 7 4 6/ 4 ¦ 6a 4ij ¦ 6= 4 6q 4 6< 1 4 6<=> 4 ¦ 6a 4jj ¦ 6> 4 6/ 4 ¦ 6a 4ij ¦ 6 ,j=1,...,n 4---- 6- 4 ---- 6- 6i=1 i=1 6i 7- 6j Тогда : (I) решение Х системы (2) существует и единственно ; (II) при произвольном начальном приближении х 5(0) 0 справедлива оценка погрешности 6: 4(k) - k (0) - 4M A X ¦ 6 x 4i 6- 4 6x 4i 6 ¦ <= q 4 M A X ¦ 6 x 4i 6- 4 6x 4i 6 ¦ . 61 7, 6i 7, 6n 4 7 61 7, 6i 7, 6n Замечание 1 При помощи понятия нормы теорема о сходимости метода простой ите- рации для системы линейных уравнений может быть сформулирована в более общем виде. Замечание 2 При выполнении условий теоремы о сходимости метода простой итера- ции для системы линейных уравнений сп раведлива следующая апостериорная оценка 6: 4(k) - (k) (k-1) 4M A X ¦ 6x 4i 6- 4 6x 4i ¦ <= 6 q/(1-q) 4 6 4M A X ¦ 6 x 4i 6- 4 6x 4i 6 4 6¦ 61 7, 6i 7, 6n 4 61 7, 6i 7, 6n _Метод Зейделя Этот метод является модификацией мето да простой итерации . Основ- ная идея модифик ации состоит в том , что при вычислении очередного 4_ (к +1)-го приближения к неизвестному 6x 4i 0 при 6i 0>1 используются уже найден- 4- - ных (к +1)-е приближения 6к 0неизвес тным 6x 41 0 ,... 6,x 4i-1 0 , а не к-е прибли 6- жения , как в предыдущем методе. На (к +1)-ой итерации i-ая компонента вычисляется по форм 6у 0ле 6: 4(k+1) ^ (k+1) ^ (k+1) ^ (k) ^ (k) ^ 6x 4i 6= 4 6-a 4i,1 6x 41 6- 4 6... 4 6-a 4i,i-1 6x 4 6-a 4i,i+1 6x 4 6-...-a 4i,n 6x 4 6+ 4 6b Достаточное условие сходимости метода Зйделя совпадает в приве- денной формулировке с условием сходимости метода простои итерации. 2) Eure 6k 0a позволяет решать системы лине йных уравнений (как и мно- гие другие задачи ) без составления как их-либо программ . К примеру для решения системы линейных уравнений 6: 6- ¬ - ¬ 62x 41 6+3x 42 6+5x 43 6=31 ¦ 2 3 5 ¦ ¦ 31 ¦ 6-x 41 6+3x 43 6=11 т.е . Ax=b, где A=¦ -1 0 3 ¦ b=¦ 11 ¦ 6x 41 6-7x 42 6+5x 43 6=0 ¦ 1 -7 5 ¦ ¦ 0 ¦ 6L - L - 6н 0ужно сделать в окне Edit любую из двух приведенных ниже записей (Eu 6- re 6k 0a воспримет эти записи практически оди наково 6 ). 6I) 0 6¦¦ II) 6¦¦ 62*X1+3*X2+5*X3=31 ¦¦ 2*X1+2*X3+3*X2+3*X3-31=0 6-1*X1+3*X3=11 ¦¦ -X1+3*X3=0 6x1-7*X2+5*X3=0 ¦¦ X1-5*X2+5*X3-2*X2=0 6¦¦ После чего подняться в верхнюю с троку меню (при помо 6щ 0и ESC) и 6 0 подведя 6 0курсор к пункту Solve 6 0нажа ть Enter. Если 6 0матрица 6 0 системы вырождена , то попытка 6 0решения 6 0не 6 0преведет к успеху . 6 0В нашем 6 0случае 6det A 7- 60 0и поэтому в окне решений (Solution) по явятся результаты , полу 6- ченные с заданной точностью : 6X1=1.00000000 X2=3.000000000 X3=4.000000000 Eure 6k 0a позволяет решать системы линейных уравнений не только с дествительными , но и с комплексными к оэффициентами . К решению таких уравнений сводятся , например , задачи на вычисление напряжений и токов у электро - и радиотехнических цепей п ри их работе на переменном токе. Далее приводится пример записи в окне Edit системы линейных уравнений с комплексными коэффиециентами 6: 6$ complex=yes 6i^2=-1 6(2+i)*X1+7*X2+(7-i)*X3=0 6(5-i)*X1+i*X2+3*i*X3=2 6(3-i)*X1+2*X2+5*X3=4 6Задание 6----------- а ) Проверьте при помощи встроенного в Eur e 6k 0a калькулятора может ли быть решена ваша система методом простой итерации. б ) Проверьте при помощи окна Edit и пункта меню Solve не является ли ваша система вырожденной. в ) Решите вашу систему . Сделайте пр оверку решения при помощи окна Veri fy. Под 6го 0т 6о 0вьте отчет о решении в окне Report. г ) Найдите матрицу , обратную к матр ице вашей системы . Для этого, используя равенство 6AA 5-1 6=E 0, 6 составьте n 52 6 уравне ний с n 52 6 неизвестными, 6где n*n размер исходной матрицы. 6d) Используя равенство AA 5-1 6=E , проверьте является ли 0 найденн 6ая в пункте 6( 0г 6) матрица обратной к A. Лабораторная работа N2 6-------------------------- Язык и функци 6и 0 системы Eu re 6k 0a. Решение нелинейных уравнений . 6 0Решение систем нелинейных уравнений. Вычисление экстремум 6а 0 функций от одной переменной. 6Цель работы 6-------------- Приобре тение навыков решения нели нейных уравнений и систем нели- нейных уравнений при помощи систем Eure 6k 0a. _Теоретическое введение a) Алфавит системы Eure 6k 0a содержит стандартный набор символов. Это латинские прописные (от А до Z) и строчные (от а до z) буквы , а также ряд спецзнаков. : - разделитель для выражений размещенных в одной строке ; ; - отмечает начало строки комментария ; - внутри скобок размещается комментарий ; [] - используется для раб оты с ра змерными комментариями ; $ - указывает , что следующее слово-директива ; = - операция присваивания ; := - задание (определение ) функции пользовател я или начальных значений переменных. Длинные выражения после символа арифм 6е 0ти ческой операции можно пе- реносить на другую строку. Директивы , относящиеся к установкам , м огут быть заданы в окне Edit в виде блока. _Пример $ settings acuracy=0.000001 digits=5 $ end Eureca может производить следую щие опе рации : + сложение ; - вычитание ; * умножение ; / деление ; ^ возведение в степень ; () изменение приоритета операций ; . отделение целой части числа от дробной ; ,отделение переменных друг от друга в списках ; < меньше ; > больше ; <= меньше и ли равно ; >= больше или равно. Приоритет операций определяется как и в языках Бейсик , Паскаль и т.д. Eure 6k 0a имеет функции re(z) и im(z), возвращающие де йствительную и мнимую части комплексного числа z=x+iy. Перед применением этих функций обх одимо ввести директиву : $ complex=yes и о бозначить мнимую ед 6и 0ницу i^2=-1. Алгебраическ 6ие 0 функци 6и abs(z) - модуль ; exp(z) - вычисление e=2,71828... в степени z; floor(x) - целая часть х ; ln(z) - вычисление натураль ного логарифма z; log 10(z) - вычисление десятичного логарифма z; sqrt(z) - вы числение корня квадратного из z; pos(x) - возвращает х при х >0 и 0 в противном случае ; sgn(x) - возвращает : 1 при х >0, -1 при х <0 и 0 при x=0 _Тригонометрические и гиперболические функции atan2(y,x) - вычисление арктангеса по координатам x и у (угол заключенный между осью Ох и отрезком , концы которого -(0,0) и (х,у )); polar(x,y) - преобоазование декартовых координат в полярные ; sin(z), cos(z), t an(z) - вычисление синуса , косинуса и тангеса z; sinh(z), cosh(z), tanh(z) - вычисление гиперболических синуса, косинуса и тангеса z. Кроме перечисленных выше функций Eure 6k 0a и меет еще ряд функций и процедур : deriv(f(x),x) - вычислен ие производной ф-ции f(x); integ (f(x),x,a,b) - вычисление определенного интеграла о т f(x) в пределах от а до b. fact(n) - вычисление факториала числа n; ncum(x) - вычисляет специальную функцию ошибок Р (х ) для нормаль- ного распределения ; poly(x,an,...,a0) - вычисляет значение всех действитель ных и комплексных корней полинома an*x^n+...a1*x+a0 и позвол яет задать функ- цию P(x) вычисляющую значение полинома в точке х. sum(f(i),i,n,k) - вычисляет сумму f(i) при 6 0индекс 6е 0 i, меняющемся от n до k. В системе Eure 6k 0a пользователь имеет возмо жность задавать необхо- димые ему функции через имеющиеся вст роенные . Функции пользователя за- даются в виде : Имя ф-ции (список переменных )=выражения или Имя ф-ции (список переменных ):=в ыпажение Вторая форма используется если задан ная функциональная зависи- мость рассматривается как приближения. б ) Eureca не вычисляет производные (и ин егралы ) в аналитической форме . Она может вычислять значения пр оизвод ной в точке численным ме- тодом . С помощью системы Eure 6k 0a можно выч исл 6я 0ть и производные более высокого порядка . Например , чтобы вычислит ь вторую производную функции sin(x), достаточно написать : F=deriv(deriv(sin(x),x),x). Ниже приводи тся запись в окне Edit. Комментарии помогают понять смысл записи. ;Вычисление производной $ settings ; Установка digits=12 ; числа знаков $ end ; результата ; Задана функция d(x)=d(sin(x))/dx d(x)=deriv(sin(x),x) d1=d(4.3) ; Вычислена функция d(x)=cos(x) ; в точке x=4.3 После этого для получения решения надо подняться в верхнюю строку меню и активизировать пункт Solve. При эт ом используя пункт меню 6G 0raph м ожно построить график d(x). в ) Пусть f(x) - функция , определенная на отрезке [a,b]. Предполо- 4_ жим , что на этом отрезке содержится единственная точка x локального 4- минимума f(x), причем функция строго убывает при 7 0x 7, 0x и строго возрас- 4- тает 7 0при 7 0x 7. 0x. Такая функция называется унимодальной . Заметим , что достаточно рассмотреть задачу минимизации фун кции f(x), так как макси- мизация сводится к минимизации с пом ощью введения новой функции g(x)=-f(x). Таким образом будут решены оба в арианта экстремальной за- дачи. Ряд методов минимизации основан на сравнении значений функции f(x), вычис ляемых в точках x1,x2,...,x 4n 0. Эти методы часто называют ме- тодами прямого поиска , а точки x 4i 0 - проб ными точками . Одним из наибо- лее эффективных методов из этого ряда является метод золотого сечения. Золотым сечением отрезка называется т акое разбиение отрезка на две неравные 6 части ,что отношение 0 дл ины всего отрезка к длине 6 0его бо 6- льшей части равно отношению длины 6 0б ольшей части к длине меньшей части отрезка. Золотое сечение отрезка [a,b] осуществляется каждой из двух сим- метрично расположенных относительно центра отрезка точек : 62 2 7a 6=a + --------- ( b - a ) 7 b 6=a + --------- ( b - a ) 7|\\\ 6 7|\\\\ 63 + 7? 6 5 1 + 7? 6 5 При этом точка 7a 0 осуществляет золотое сечение не только отрезка [a,b], но и отрезка [a, 7b 0 ]. Кроме того точка 7 b 0 осуществляет золотое се 6- чение не только отрезка [a,b], но и от резка [ 7 a 0,b]. Очередная (к +1) 6 0 интерации 6 0производится следующим образом . 6 0Точки 7a 5(k) 0 и 7b 5(k) 0 7 0находятся по формулам : 62 5 62 7a 5(k) 6=a 5(k) 6 + ---------- 7 D 5(k) 7 b 5(k) 6=a 5(k) 6 + ---------- 7D 5(k) 7|\\\\ 6 5 7|\\\\\ 63 + 7? 6 5 5 61 + 7? 6 5 6г 0де 7D 5(k) 0 - длина отрезка локализации экс тремума при к 5ой 0 инт ерации. Если 6f( 7a 5(k) 6) 5 7, 5 6f( 7b 5(k) 6) , то 6- ¬ - ¬ 6x 5(k+1) 0 6принадлежит 0 6¦ 0 6a 5(k+1) 4, 6b 5(k+1) 6¦ 5= 6¦ 0 6a 5(k) 4, 7b 5(k) 6¦ 0 7` 6L - L - 6и x 5(k+1) 6= 7a 5(k) Если 6f( 7a 5(k) 6) > f( 7b 5(k) 6) , то 6- ¬ - ¬ 6x 5(k+1) 6 принадлежит ¦ a 5(k+1) 6,b 5(k+1) 6¦ =¦ 7a 5(k) 6,b 5(k) 6¦ 6L - L - 6и x 5(k+1)= 7b 5(k) Заметим , что точка 6x 5(k) 0 отстоит от к онцов отрезка [a 5(k) 0, b 5(k) 0] на вел 6и 0чину , не превышающую 62 6---------- 7 D 5(k) 7|\\\\ 6 . 61 + 7? 6 5 Поэтому верна оценка : 62 6¦ x 5(k) - 6x 5* ¦ 7 , 6 ---------- 7 D 5(k) 6 = 7 D 5(k+1) 7|\\\\ 6 . 61 + 7? 6 5 7|\\\ 7? 0 65 + 1 Т.к . каждая интерация сокращает длину отрезка 6 0в 6 ------------- 62 6раз, 0 то справедлива следующая оцен ка погрешности : 6- -¬ 5k+1 6¦ 2 ¦ 6¦ x 5(k) 6 - x 5* ¦ 7 , 6¦ ----------- ¦ 5 (b - a) 6¦ 7|\\\\ 6 ¦ 6L 1 + 7? 6 5 7 6- Таким образом , метод золотого сечения сходится со скоростью гео- метрической прогрессии , знаменатель которой 52 g 5 0= 5 ----------- 7 ~ 6 0.62 7|\\\\ 61 5 6+ 5 7? 6 5 Существуют методы , которые могут оказ аться более эффективными, если минимизируемая функция достаточно гл адкая . Часть из них является просто модификациями методов решения нелинейных уравнений применитель- но к уравнению f(x)=0. г ) Eure 6k 0a позволяет решать задачу поиска экстремума функции при помощи задания директив : 7 0$min и $max. При эт ом если функция имеет нес- колько экстремумов , то для нах ожд ения того который нужен имеет смысл нарисовать график функции и исходя из этого графика задать начальное приближение и ограничени 6я 0 для поис ка экстремума . В противном случае поиск экстремума будет происходить от начальных значений заданных сис- темой Eure 6k 0a по умолчанию и может привест и не к тому экстремуму , кото- рый хотелось бы найти . Ниже приводится пример 6записи из окна Edit. Эта 6запись позволяет найти экстремум. $ max (T) V(x)=5*x*exp(-x/2)*(2+sin(3*x)) x:=2 V(x) >10 T=V(x) В результате решения получается : T=10.629942, x=2.5805014 6. д ) Корень х 5* 0 уравнения f(x)=0 называется простым , если f(x 5* 0)=0 и f'(x 5* 0) 7- 00. В противном случае корень называе тся кратным . Целое число m называется к ратностью корня x 5* 0, если f 5(k) 0(x 5* 0)=0 для к =0,1,2,...m-1 и f 5(m) 0(x 5* 0) 7- 00. 7 0Геометрически 7 0корень 7 0x соответствуе т 7 0точке 7 0пересечения графика 7 0функции y=f(x) с осью O 6x 0. Решение 7 0задачи 7 0отыскания ко рней нелинейного уравнения осуществляет в два этапа . Первый этап называ 6- ется этапом локализации корней , второй - этапом итерационного уточ 6- нения корней. 6 0 Первый 6 0этап удобно 6 0 выполнять при помощи графических средств системы Eure 6 k 0a. 6 0На втором э тапе для 6 0вычисления каждого из корней с точностью 6e 0>0 используют какой-либ о из итерационных 6 0методов, позволяющих 5 0построить последовательность 6x 5(0) 0, 6x 5(1) 0,.., 6x 5(n) 0... 5 0прибли 6- жений, 6 0сходящ уюся 5 0к 5 0 корню 6 x 5* 0. 6 0Сформулируем 6 0 один из 6 0этих 6 0методов в 6 0виде теоремы. 6Теорема 0 61. 0(о сходимости метода Ньют она ) 6------------------------------------------- Пусть 6x 5* 0- простой вещес твенный кор ень уравнения f(x)=0 и пусть f'(x) 7- 00 в окрестности U 4r 0(x 5* 0)= x: 6¦ 0x-x 5* 6¦ 00 0 6 0при 6 x 7- 60 0 6 0и 6 (Ax,x)=0 0 6 0при 6 x=0, где 6x=(x 41 6,...,x 4n 6) 5T 6. Сущесвует большое количество различных методов нахождения безус- ловного минимума функции многих переменны х . Рассмотрим в качестве при- мера один из них . Этод метод назыв ается методом наискорейшего спуска и является одним из представителей большо го семейства итерационных мето- дов . Пусть х 5(k) 0- приближение к точке минимума х , а u 5(k) 0=u(x 5(k) 0) -зна 6- чение 5 0градиента в точке х 5(k) 0. 5 0Напом ним еще раз , что в малой 5 0окрест- ности точки х 5(к ) 0 направление наискор ейшего убыва ния функции f(x) зада- ется антиградиентом 5 0-u 5(k) 0. Исходя из этого итерационную формулу мето- дом наискорейшего спуска записывают в виде : 6x 5(k+1) 6 = x 5(k) 6- 5 7a 4k 6u 5(k) 4 6 4 6(1) Здесь - 7a 4к 0 ша г спуска , выбираем ый из соображений минимизации функции от одной скалярной переменной 7f 4k 6( 7a 6) = f(x 5(k) 6- 5 7a 6u 5(k) 6) 0при 8 5 7a 0>0. 5 0Т.е. 6в 0качестве 7 a 4к 6 0выбираем 6 7 a 0 для к оторого 7 f 4k 6( 7a 4k 6) = 7 6min 7f 4k 6( 7a 6) 0 6при 0 7a 6>0. Рассмотрим применение этого метода дл я минимизации квадратичной функции f(x 41 0, ..., x 4n 0)=f(x), где 6n n 4 6n 61 ----¬ ----¬ 4 6----¬ 6f (x) = --- \ \ a 4ij 6x 4i 6x 4j 6 - \ b 4i 6x 4i 6 (2) 62 / / 4 6/ 6----- ----- 4 6----- 6i=1 j=1 i=1 Коэффициенты а 4ij 0 являются элем ент ами симметричной положительно определенной матрицы А . Используя матричн ые обозначения , запишем f(x) так : 61 6f(x) = ---(Ax,x) - (b,x) 4 6 4 6(3) 62 Вычислим градиент и матрицу Гесс е для функции (2). 6- n n 4 6¬ ' 4 - 6 n 4 6 ¬ ' 6d f(x) 0 61 0 6¦ -----¬ -----¬ 4 6¦ 4 ¦ 6 -----¬ 4 6 ¦ 6------- 0 6= 4--- 6¦ \ \ a 4ij 6x 4i 6x 4j 6 ¦ 4 6- 4 ¦ 6 \ b 4i 6x 4i 6 ¦ 6d x 4k 6 0 62 ¦ / / 4 6¦ 4 6 4 ¦ 6 / 4 6¦ = 6¦ ------ ------ 4 6¦ 4 ¦ 6 ------ 4 6¦ 6L i=1 j=1 4 6-x 4k L 6 i=1 4 6 -x 4k 4( 6 где k=1,....,n) 6- n 4 6 n 4 6 n 4 6 4 6¬ ' 61 0 6¦ -----¬ 4 6 4 6 -----¬ 4 6 -----¬ 4 6¦ 6= 0 6---¦ \ a 41j 6x 41 6x 4j 6+..+ \ a 4kj 6x 4k 6x 4j 6 +..+ \ a 4nj 6x 4n 6x 4j 6¦ - b 4k 6 = 62 0 6¦ / 4 6 4 6 / 4 6/ 4 6¦ 6¦ ------ 4 6 4 6------ 4 6------ 4 6¦ 6L j=1 4 6 4 6j=1 j=1 4 6 4 6-x 4k 61 - 4 6 4 6¬ 6= ---¦ a 41k 6x 41 6 +..+ (a 4k1 6x 41 6 +..+ 2a 4kk 6x 4k 6 +..+ a 4kn 6x 4n 6) +.. + a 4nk 6x 4n 6 ¦ - b 4k 6 = 62 L 4 6 4 6- 61 - 4 6 4 6 4 6¬ 6= ---¦ (a 41k 6 + a 4k1 6)x 41 6 +..+ 2a 4kk 6x 4k 6 +..+ (a 4kn 6 + a 4nk 6)x 4n 6 ¦ - b 4k 6 = 62 L 4 6 4 6 4 6- 6( т.к . матрица A симметричная ) 6n 61 - 4 6 4 6¬ 4 6----- ¬ 6= ---¦ 2a 4k1 6x 41 6 +..+ 2a 4kk 6x 4k 6 +..+ 2a 4kn 6x 4n 6 ¦ - b 4k 6 = \ a 4kj 6x 4j 6 - b 4k 62 L 4 6 4 6- 4 6 / 6------ 6j=1 Окончательно получаем : 6n 6df(x) -----¬ 6------- = \ a 4kj 6x 4j 6 - b 4k (4) 6dx 4k 6 / 6------ 6j=1 Тогда в матричной форме можно зап исать : 6u(x) = Ax - b (5) Дифференцируя обе части равенства (4) по х 4р 0 (р =1, ...n), получаем 4 0: 6d 52 6f(x) 6--------- = a 4pk 6dx 4p 6dx 4k 4^ Таким образом , матрица Гессе А (х ) не зависит от х и равна А. 6Т 0еперь благодаря формуле (5) формулу (1) можно записать в виде : 6x 5(k+1) 6 = x 5(k) 6 - 7 a 4k 6(Ax 5(k) 6- 5 6b) (6) Заметим , что 5 6: 61 7f 4k 6( 7a 6) = ---(A(x 5(k) 6- 5 7a 6u 5(k) 6),x 5(k) 6 - 7 a 6u 5(k) 6) - 5 6(b,x 5(k) 6 - 7 a 6u 5(k) 6) = 62 6(*) 61 5 6 5 61 6= ---(Au 5(k) 6,u 5(k) 6 ) 7a 52 6 - (u 5(k) 6,u 5(k) 6) 7a 6 + ---(Ax 5(k) 6,x 5(k) 6) - (b,x 5(k) 6) 62 5 62 6( Доказательство формулы (*) см . в конце лабораторной работы N 3 ) Эта функция является квадратичной фун кцией параметра 8 7a 0 и достига- ет минимума при таком значении 8 7a 0= 7a 4к, 0 для которого 7f 4k 5' 6( 7a 4k 6) = (Au 5(k) 6,u 5(k) 6) 7a 4k 6 - (u 5(k) 6,u 5(k) 6) = 0 Таким образом , применительно к минимиз ации квадратичной функции (3) метод наискорейшего спуска эквивалентен расчету по формуле (6), где 6(u 5(k) 6,u 5(k) 6) 7a 4k 6 = ------------ 5--- 6 (7) 6(Au 5(k) 6,u 5(k) 6) Имеет место следующая теорема. _Теорема Пусть А - симметричная , положительно опр еделенная матрица , и мини- мизируется квадратичная функция (3). Тогда п ри любом выборе начального приближения метод наискорейшего спуска (6), (7) сходится и верна сле- дующая оценка погрешности 7|\\\\\\\ 6 - ¬ 5n 7/ l 4max 6 ¦ 7 l 4max 7 6- 7 l 4min 6 ¦ 6¦ x 5(k) 6 - x 5* 6¦ 7 , 6 7/ 6-------- ¦---------------¦ 5 ¦ 6x 5(0) 6 - x 5* ¦ 7? l 4min 6 ¦ 7 l 4max 7 6+ 7 l 4min 6 ¦ 6L - Здесь 7l 4min 7 0и 7l 4max 7 0- минимальное и максим альное собственные зна 6- чения матрицы А. б ) Система Eureka решает задачи на пои ск минимума (максимума ) функции 6 0нескольких 6 0переменных . При 6 0э том могут б ыть заданы ограни 6- чения и удобные для поиска 6 0начальны е значения . 6 0Для проверки 6 0способ 6- ности системы Eureka решать оптимизационные за дачи разработан ряд тес 6- товых задач , содержащих подвохи . Одна из таких задач - поиск минимума функци и Розенброка . 6Э 0та функция 6 0двух переменных образует в трехмер 6- ном пространстве " овраг ", затрудняющий пои ск . Далее приводится за 6- пись из окн a Edit, позволяющая минимизировать функцию Розенброка. 6$ min (F) 6f(x,y)=100*(y-x^2)^2+(1-x)^2 6F=f(x,y) 6x:=-1.2 6y:=0 Начальное значение переменных далеки от решения х =y=1 и F=0. Еще одна тестовая задача содержит ограничения. 6$ min (F) 6f(x,y)=(x-2)^2+(y-1)^2 6F=f(x,y) 6-x^2+y>=0 6-x-y+2>=0 Точное решение : F=1, x=1, y=1. При решении оптимизационных задач с ограничениями Eure 6k 0a выводит в окне Solution сообщение о том , наскол ько полно удовлетворены ограни- чения . В идеальном случае выводится 100 %. Если это число значительно меньше чем 100 %, то это может служить признаком неточного нахождения экстремума . Пока не существует программа , которая была бы способна ре- шить любую оптимизационную задачу . Поэтом у надо быть готовым к тому, что Eureka может не справиться с предложен ным ей заданием. в ) При решении ряда технологических и экономических проблем воз- никает задача вида : найти max Z(x) или min Z(x) 6n 6-----¬ если 6 Z(x) = \ c 4j 6x 4j 6 + c 40 6/ 6------ 6j=1 при ограничениях 6n 6-----¬ 6\ a 4ij 6x 4j 7 , 6 b 4i 6 ( i=1,m 41 6 ) 6/ 6------ 6j= 1 6n 6-----¬ 6\ a 4ij 6x 4j 6 = b 4i 6 ( i=m 41 6+1,m 42 6 ) 6/ 6------ 6j=1 6n 6-----¬ 6\ a 4ij 6x 4j 7 . 6 b 4i 6 ( i=m 42 6+1,m ) 6/ 6------ 6j=1 6x 4j 7. 6v 4j 7. 60 4 6 4 6( 4 6j=1,n 41 6) 6x 4j 7, 6w 4j 7, 60 4 6 4 6( 4 6j=n 41 6+1,n 4 6) Такие задачи называются задачами лине йного программирования . Для решения этих задач создан специальный метод , называемый сим плекс-мето- дом . Изучение задач линейного программиро вания является предметом спе- циального курса , поэтому рассмотрим здесь часный случай . Пусть n=2 (т.е . Z(x)=с 41 0х 41 0+с 42 0х 42 0+с 40 0 ) и п ри этом заданы следующие ограничения 2 -----¬ \ 6 a 4ij 6x 4j 7 , 6 b 4i 6 ( i=1,m ) / ------ 6j=1 6x 4j 7. 6v 4j 7. 60 4 6 ( j=1,2 ) В этом случае решение задачи имеет наглядную геометрическую инт 6ер 0- претацию . 6 0Исходя из заданных ограничений 6 0строится многоугольник до- пустимых решений . Далее , для каждой т очки плоскости функция Z(x) принимает 6 0фиксированное 6 0значение Z 4т 0. 6 0Множество 6 0всех 6 0точек , в кото 6- рых , 6 0Z(x)=Z 4т 0 есть 6 п 0рямая 6 0с 41 0х 41 0+с 42 0х 42 0+с 40 0=Z 4т 0 6 0перпендикулярная 6 0вектору 76 6C 0=(с 41 0,с 42 0), выходящему 6 0из начала 6 0 координат . Е сли эту прямую предви 6- гать 6 0параллельно 6 0самой 6 0себе 6 0по 6 0направлению вектора с , то линейная функция Z(x) будет возрастать , а в против оположном направлении - убы 6- 76 вать . Пусть при движении прямой Z по направлению вектора 6C 0 она впервые встретится с многоугольником допустимых р ешений в одной из его вершин. Зафиксируем это положение прямой Z. В э той точке функция Z(x) примет минимальное значение. 76 При дальнейшем движении прямой Z по направлению вектора 6C 0 она пройдет через другую вершину , выходя из многоугольника допустимых ре- шений . В этой точке функция Z(x) примет максимальное значение. Вообще говоря , прямая Z может и меть с многоугольником допустимых решений (на входе и на выходе ) либ о одну общую точку (выршину многоу- гольника ), либо бесконечное множество точе к (сторону многоугольника ). Если область допустимых решений незамкнут а , т о минимума и (или ) макси- мума Z(x) можем не быть совсем. Рассмотрим типичную задачу линейного программирования . Пусть не- кий цех с про 6и 0зводительностью 450 тон н продукта в месяц способен про- изводить три разновидности этого продукта . Согласно договорам цех дол- жен изготовить не менее 40-ка тонн первой , 60-ти тонн второй , 80-ти тонн третьей разновидности продукта за месяц . Для изготовления этих разновидностей продукта используются четыре материала в различных со- отношениях . Цех располаг ает следующим и запасами материалов : первого - 100 тонн , второго - 150 тонн , третьего - 120 тонн и четвертого - 180 тонн . Данные о расходах материалов на производство одной тонны каждой разновидности продукта сведены в таблицу. ------------------T-------------T-----------T-----------T------------¬ ¦ 6--¬Расход матери- 0¦ ¦ ¦ ¦ ¦ 6¦ L--¬ала на 0 6одну 0¦ ¦ ¦ ¦ ¦ 6¦Раз- 0 6L--¬тонну 0 6¦ 0 I-го ¦ II-г о ¦ III-го ¦ IV-го ¦ ¦ 6новидно -L---¬ 0 6¦ 0 ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ 6сти продукта L---- 0¦ ¦ ¦ ¦ ¦ +-----------------+-------------+-----------+----- ------+------------+ ¦первая ¦ 0.3 тонны ¦ 0.2 тонны ¦ 0.4 т онны ¦ 0.4 тонны ¦ +-----------------+-------------+-----------+-----------+------------+ ¦вторая ¦ 0.2 тонны ¦ 0.1 тонны ¦ 0.3 т онны ¦ 0.6 тонны ¦ +-----------------+--- ----------+-----------+-----------+------------+ ¦третья ¦ 0.2 тонны ¦ 0.5 тонны ¦ 0.2 т онны ¦ 0.3 тонны ¦ L-----------------+-------------+-----------+-----------+------------- Требуется найти оптимальное (в смысле максимизации прибыли ) коли- чество каждого вида изготавливаемого прод укта при условии , что стои- мости 6 0разновидностей 6 0этого 6 0продукта 6 0равны : 6 0первого - 13.5, второ 6- го -11.3 6 и 0 третьего - 8.2 денежные единицы з а тонну. Для решения приведенно й выше задачи при помощи системы Eureka нужно сделать следующую запись в окне Edit. 6$ max (f) 6Z(x,y,v)=13.5*x+11.3*y+8.2*v 60.3*x+0.2*y+0.2*v 7, 6 100 60.2*x+0.1*y+0.5*v 7, 6 150 60.4*x+0.3*y+0.2*v 7, 6 120 60.4*x+0.6*y+0.3*v 7, 6 180 6x 7 . 640 : y 7 . 660 : v 7 . 680 6x+y+v 7, 6450 6f=Z(x,y,v) После решения получаем следующие резул ьтаты. 6f 7~ 6 4538.9983 , x 7~ 6 90. 001006 , y 7~ 6 119.99876 , v 7~ 6 239.99985 6x+y+v 7~ 6 499.9996 6По cле подстановки получаем : 60.3*x+0.2*y+0.2*v 7~ 6 99.000023 60.2*x+0.1*y+0.5*v 7~ 6 150.00000 60.4*x+0.3*y+0 .2*v 7~ 6 120.00000 60.4*x+0.6*y+0.3*v 7~ 6 179.99961 _Вывод формулы (*) 61 6---(A(x - 7a 6u),x - 7 a 6u) - (b,x - 7 a 6u) = 62 61 1 6= ---(A(x - 7 a 6u),x) - ---(A(x - 7a 6u), 7a 6u) - (b,x) + (b,u) 7a 6 = 62 2 61 - ¬ 6= ---¦ (Ax,x) - (Au,x) 7a 6 - (Ax,u) 7a 6 + 5 6(Au,u) 7a 52 6 ¦ - (b,x) + (b,u) 7a 6 = 62 L - 6--------------------------------------------------------------------- Заметим, 6 0что (Au,x) 6 0= 6 0(Ax,u). 6 0Действительно, 6 0(Au 6, 0x) 6 0= 6 0( 6u 0, 6Ax 0) 6т.к . 0А - симметричная ма трица 6 и (u,Ax) = (Ax,u) по свойству скалярно- 6го произведения . 6--------------------------------------------------------------------- 61 - 5 ¬ 6= ---¦ (Ax,x) + (Au,u) 7a 52 ¦ 6 - (Ax,u) 7a 6 - (b,x) + (b,u) 7a 6 = 62 L 5 - 6( т.к . u = Ax - b , то Ax = u + b ) 61 - 5 ¬ 6= ---¦ (Ax,x) + (Au,u) 7a 52 ¦ - 6(u + b,u) 7a 6 - (b,x) + (b,u) 7a 6 = 62 L 5 - 61 7 6- ¬ 6= ---¦ (Ax,x) + (Au,u) 7a 52 6 ¦ - (u,u) 7a 6 - (b,u) 7a 6 - (b,x) + (b,u) 7a 6 = 62 L - 61 1 6= ---(Au,u) 7a 52 - 6 (u,u) 7a 6 + ---(Ax,x) - (b,x) . 62 2 6 Задание 6----------- а ) Составьте матрицу А для предлож енной вам квадратичной функции. Проверьте при помощи критерия Сильвестра положительную определенность матрицы А . Найдите 6( 7l 4max 6 - 4 7l 4min 6) 6q = --------------- 6( 7l 4max 6 - 7 l 4min 6) являющееся знаменателем геометрической прогр ессии со скоростью которой сходится 6 0метод 6 0наискорейшего 6 0спуска . (Для этого составьте уравнени е 6det (A - 7 l 6E) = 0 и решите его используя процедуру 4 6poly(x,a 4n 6,...,a 40 6) 4. б ) Придумайте пример задачи линейного программирования и решите эту задачу при помощи системы Eureka. Изме ните коэффициенты целевой функции и ограничени я . Решите зад ачу заново . Придумайте трактовку по- лученным результатам. Лабораторная работа N4 4------------------------- Приближение функций . Вычисление определе нных интервалов . Решение дифференциальных уравнений. 6Цель работы 6-------------- Приобретение навыков вычисления определнн ых интегралов , реше- ния диф . уравнений и приближения функц ий методом наименьших квад- ратов при помощи системы Eure 6k 0a. 6Теоретическое введение 6------------------------- I) 6 Вычисление определенных интегралов 7\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ Разобъем отрезок интегр ирования [a,b] на отрезки [x 4i-1 0,x 4i 0] точками a=x 40 00. 4 0Логарифмируя это 6 0равенство , 6 0 приходим 6 0к 6 0линейной 6 0зависимости 6 0ln 6( 0y 6) 0=ln 6(a)+bx велечины 6 Y 0=ln 6( 0y 6) 0 от 6 0 x. б ) Рассмотрим несколько примеров решения указанной выше 6 0задачи в системе Eure 6k 0a. _Пример 1 Пусть имеется ряд точек 6 0(x 41 0,y 41 0),(x 42 0,y 42 0),...(x 4n 0,y 4n 0) и надо 6 0подо 6- брать коэффициенты a и b линейной зависимост и : 6y(x)=a+bx т.е. 7 f 40 6(x)=1, 7 f 41 6(x)=x (6) такими , чтобы 6 0 прямая 6 0y(x) 6 0 прошла в "о блаке " 6 0точек 6 0с 6 0наименьшим 6общим 0среднеквадратичным 6 0отключением от них . Зависимость (6) приб- лиженная 6 0поэтому 6 0вместо знака 6 0точного равенства 6 0надо использовать знак :=. 6 0 Чтобы 6 0отдать системе 6 0команду 6 на 0 решения методом наимень- ших 6 0квадратов 6 0необходимо 6 0указать 6 0д ирективу $ substlevel=0. Пусть координ аты 6 0заданных точек таковы 6 0: 6 0(7,4 6. 05),(9,7),(11,8),(15,9 6. 07), тогда в окне Edit должна быть сделана следующая запись f(x):=a+b 6*x f(7)=4.5:f(9)=7:f(11)=8:f(15)=9.7 $ substlevel=0 После 6 0этого для 6 0получения решен ия 6 0 6н 0адо подняться 6 0в верхнюю 6 0ст ороку меню и активизировать пункт Solve. _Пример 2 Заданная линейная зависимость иммет б олее сложный вид : y(x)=ax 53 0+be 5x 0+c 6(1/x) 7 6 0 т.е . 7f 40 0(x)=x 53 0, 7f 41 0(x)=e 5x 0, 7 f 42 0(x)=1/x При этом записать в окне Edit будет иметь следующий вид : f(x):=a*f1(x)+b*f2(x)+c*f3(x) f1(x)=x^3 4 0: 4 0f2(x)=exp(x) 4 0: 4 0f3(x)=1/x f(3)=7 4 0: 4 0f(4)=5.7 4 0: 4 0f(5)=4.7 4 0: 4 0f(6.3)=6.4 f(8.1)=7.54 4 0: 4 0f(9)=8.74 $ substlevel=0 _Пример 3 Заданная 6 0нелинейная 6 0зависимость 6 0имее т 6 0вид : 6 0y(x)=e 5t 6, 5 6где t=ax 5n 6+b Ecли в окне Edit сделана запись : f(x):=exp(a*x^n+b) f(1)=1.49:f(2)=2.35:f(3)=4.26 f(4)=8.59:f(5)=19.01 $ substlevel=0 , то в качестве ответа будут получен ы значения : a=0.25247859 6, 0b=0.14432727 6, 0 6n 0=1.4951058 6C 0истема 7 0 Eure 6k 0ca находит неизвестные параме тры и для 7 0 более сложных зависимос тей например y(x)=ae 5-bx 0+ab. Eще один выжный вид аппроксимационной зависимости 6 0- 6 0полиномальная зависимость y(x)=a 4m 0x 5m 0+...a 41 0x+a 40 0. Количество пар 6задан 0 ных точек должно превышать 6 0 m+1. Если 6 0оно 6 0равно 6 0этой 6 0велечине , то 6 0реализуется 6 0 не регрессия , а обчная полиномиальная аппрок симация. 6III) Решение дифференциальных уравнений. 7\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ а ) Система Eure 6k 0a 6 0не приспособлена для 6 0решения диф . уравнений. Однако , в некоторых случаях система мо жет решать задачу Кош 6и 0 6 0методом Э 6й 0лера . При 6 0этом 6 0прийдется 6 0 огр аничит 6ь 0ся несколькими (7-8) точками, поскольку в 6 0 противном 6 0случае 6 в 0озмож ности 6 0 системы 6 0 преобразовывать переменные и подставлять их друг в друга будут исчерпаны. 6 0Отсутствие в языке системы операторов 6 организации циклов усложняет задачу . Кроме 6того переменные в системе Eureka переопреде лить нельзя , что иллюстри- 6руе тся примером . Пусть в окне Edit записана приведенная ниже информа- 6ция. 6y=7 6p(y)=sin(y)*exp(y) 6p1=p(4) 6y1=y 6y=847 6y2=y 6При этом в окне Solution после решения появл яются следующие зна- 6чения переменных : y=7 , y1=7 и y2=7. Значение p1=p(4) буд ет вычис- 6лено верно. 6б ) Приближенное решение задачи Коши методом Эйлера заключается 6в приближенном решении диф . уравнения y 4x 5' 6=f(x,y(x)), удовлетворяюще м 6начальному условию y(x 40 6)=y 40 6. Сеточное решение задачи состоит в пост- 6роении 4 6таблицы 4 6приближенных 4 6значений 4 6y 41 6,y 42 6,...,y 4n 6 4 6в 4 6 точках 6x 41 6,x 42 6,...,x 4n 6. 4 6Чаще всего x 4i 6=x 40 6+ih 4 6, i=1,2,...,n. Точки x 4i 6 называются 6узлами сетки , a h - шагом сетки (h>0). 6В методе Эйлера y 4i+1 6 вычисляется по формуле : 6y 4i+1 6= 4 6y 4i 6+ 4 6hf(x 4i 6,y 4i 6) , i=0,1,..... 6Этот метод относится к группе одн оша говых методов , в которых для 6расчета точки (x 4i+1 6,y 4i+1 6) требуется информация только о последней вы- 6численной точке (x 4i 6,y 4i 6). 6Метод имеет простую геометрическую ин терпритацию . Предположим , что 6известна точка (x 4i 6,y 4i 6) на иск омой интегральной кривой . Тогда каса- 6тельная к этой кривой , проходящая через точку (x 4i 6,y 4i 6) определяется 6уравнением : 6z(x)=y 4i 6+ y 4x 5' 6(x 4i 6)(x-x 4i 6) ,а т.к . 5 6y 4x 5' 6(x 4i 6)=f(x 4i 6,y 4i 6) 4 6и 4 6 x 4i+1 6-x 4i 6=h , 6то z(x 4i+1 6) = y 4i 6+ hf(x 4i 6,y 4i 6)=y 4i+1 6в ) Запишем в качестве примера след ующее диф . уравнение : y 5' 6-y = e 5x 6с начальными условиями x 40 6=3 , y(x 40 6)=y 40 6=4e 53 6 , где e 7 ~ 6 2.71828.... 6Точным р ешением этого диф . урав нения является функция 5 6y = (x + 1)e 5x 6. 6Выберем шаг сетки h = 0.05 . В этом случае для решения диф . уравне- 6ния методом Эйлера в окне Edit должна быть сделана следующая запись : 6f(x,y)=exp(x)+y 6h=0. 05 : x0=3 : y0=4*exp(3) 6y1=y0+h*f(x0,y0) : x1=x0+h 6y2=y1+h*f(x1,y1) : x2=x1+h 6y3=y2+h*f(x2,y2) : x3=x2+h 6y4=y3+h*f(x3,y3) : x4=x3+h 6y5=y4+h*f(x4,y4) : x5=x4+h 6y6=y5+h*f( x5,y5) : x6=x5+h 6y7=y6+h*f(x6,y6) : x7=x6+h 6Задание 6----------- 6а ) Найдите точное решение предложенн ого вам диф . уравнения. 6б ) Найдите при помощи сис тем ы Eureka сетечное решение 6диф . уравнения методом Эйлера. 6в ) Получите приближенное решение диф . уравнения в аналитичес- 6кой форме используя для этого пред ложенную вам аппроксимационную за- 6висимость. 6г ) Определите площадь, заключенную между графиком точного и 6графиком 0 6приближенного решения на от резке сеточного решения. 6д ) Определите площадь , заключенную ме жду графиком точного ре- 6шения и осью 0x на отрезке сеточног о решения. 6e) Определите в процентах отношение площади , вычисленной в 6пункте (г ), к площади , вычисленной в пункте (д ). РАБОТА В СИСТЕМЕ EUREKA. Введение Интегрированная многооконная система Eureka пр едназначена для решения не очень сложных и часто встречающихся математических задач. С помощью системы Eureka можно решать с ледующие задачи : 1) Решение нелинейного уравнения ; 2) Вычисление корней полинома ; 3) Вычи сление определенного интеграла ; 4) Вычисление производных функции ; 5) Поиск экстремумов функций одной ил и многих переменных ; 6) Решение системы линейных уравнений ; 7) Решение сис темы нелинейных ура внений ; 8) Аппроксимация функций ; 9) Интерполяция функций ; 10) Линейное и нелинейное программировани е ; Система объединяет : редактор , вычислитель , верификатор (проверяет правильность вычислений ),генератор отчет ов и простой графопостро- итель.Система ориентирована на ПК класса IBM PC XT и AT и может размещаться на одном гибком диске объ емом до 360 Кбайт . Система может работать на ПК без математичес кого сопроцессора , однако его использован ие значительно повышае т скорость работы. Загрузка системы Необходимо выполнить файл eureka.exe. После запуска на экране монитора появляется табло оболочки системы . Экран оказывается разделенным на четыре окна : Edit - для ввода и редактирования текста задачи ; Solution - для вывода результатов ; Report - для вывода отчета о вычислениях на экран,принтер или в файл с расширением log; Verify - для проверки точности результата. Окно в пассивном состоянии обведено одинарной рамкой,а в ак- тивном - двойной.Курсор располагается в акт ивном окне. . - 2 - Меню системы Кроме окон , табло оболочки содержит верхнюю и нижнюю строки меню. В верхней строке оболочки перечисляют ся позиции основного меню системы : File - работа с файлами ; Edit - редактирование текущего файла ; Solve - запуск вычислителя ; Commands - выбор команды управления ; Report - подготовка отчета ; Graph - вывод графиков и таблиц ; Options - задание опций системы ; Window - работа с окнами. Переход в верхнюю строку меню выполня ется клавишей ESC. Нижняя строка меню показывает возможн ости работы с ключевым и клавишами (hot keys). Ee содержимое может меняться в зависимости от режима работы системы.Наибольший интер ес эта строка представ- ляет в режиме редактирования.В этом сл учае она предлагает следую- щие команды : F1 - Help - помощь по контексту ( можн о получать в любой по- зиции меню и подменю ); F2 - Save - запись текущего файла на диск ; F3 - Load - загрузка файла с диска ; F5 - Zoom - расширение активного окна на весь экран и воз- вращение его (при пов торном нажатии ) к исходным размерам ; F6 - Next - переключение активности окон (по ци клу ); F7 - BegBek - отметка начала блока ; F8 - EndBek - отметка конца блока ; SCROOL - Size/move - изменение размера и положения ок на. Нажатие клавиш Ctrl и Alt приводит к выс вечиванию иных клю- чевых клавиш. Esc - отмена команды (переход в вышестояще е меню ); Alt+E - переход в окно редактирования ; Alt+S - начать решение задачи ; Alt+C - включить встроенный калькуля тор ; Alt+X - выход из системы. . - 3 - Операции с файлами Если активировать в верхней строке позицию File,то после нажатия клавиши Enter откроется подменю со следующими пунктами : Load - загрузка файла ; New - подготовка к заданию нового файла (очистка окон ); Save - запись текущего файла ; Directory - просмотр директории ; Change dir - смена текущей директории ; New directory - создание новой директории ; Rename - переименование текущего файла ; OS shell - временный выход в MS DOS (возврат по команде Exit); Quit - выход из системы по окончании ра боты. Редактирование текста задачи Если активизировать вторую позиц и ю верхней строки и нажать клавишу Enter, то мы окажемся в окне р едактирования задач. Решение задачи Третьей позицией верхней строки являе тся команда Solve. После того как редактирование задачи окончено нужно нажать Esc (для п о- падания в верхнюю строку меню ) и а ктивизировав пункт меню Solve, запустить задачу на счет нажатием кла виши Enter. Если в описании задачи ошибок с точки зрения системы нет , то начнется процесс ре- шения . По окончании этого процесса ре зультат работы бу дет предс- тавлен в окне Solution. Команды Четвертая позиция верхней строки - Commands. П ри активизации этой позиции и нажатие клавиши Enter откр ывается следующее подме- ню : Verify - проверка решения (результат работы э то й команды выводится в одноименное окно ); Calculate - включение калькулятора (для выключения - Esc); Find other - поиск другого решения (Т.к . итерацион ные методы . - 4 - приводят только к о дному из возможных решений, то для нахождения других надо и сключить найден- ное и заново решить задачу . Име нно это и делает данная команда . При этом радиус поиска иного решения задается ус тановкой : radius = действи- тельное число . По умолчанию радиус равен нулю .); Iterate - пуск итераций после остановки решен ия (Команда ис- пользуется для уточнения найденного решения при условии , что заданна я точность не достигнута , а время отведенное на процесс решения закончено ). Формирование отчета Отчет содержит : титул , листинг программ ы , результат решения и его верификации и график заданной фун кции. Пятая позиция верхней строки ( Report ) открывает следующее подменю : Go - составление отчета (результат этой ко манды появляется в окне Report); Output - направление вывода отчета (экран , пр интер ); Formatted - форматирование отчета ; Capture - запись отчета в файл eureka.log ( По запросу EUREKA.LOG EXIST.A TO ADD,E TO ERASE этот файл можно дополнить или стереть . При включенной команде в строке перекл ючений будет стоять ON, иначе OFF); Logfile name - изменение имени log-файла. Построение графика Подменю шестой позиции верхней строки ( Gragh ) состоит из четырех пунктов : Plot - построение графика ; Output - вывод графика на э кран или принтер ; List - вывод таблицы ; Function - задание функции , которую надо постр оить. Опишем последовательность действий , необхо димых для построе- ния графика функции более подробно. Способ N 1 . - 5 - Активизируйте (т.е . подведите курсор и нажмите Enter) пункт верхнего меню под названием - Graph. В откр ывшемся подменю акти- визируйте пункт - Function. В появившуюся после этого строку вве- дите название вашей ф ункции (напр имер y(x) или ab) и нажмите En- ter. Во вновь появившуюся строку введите определение вашей функ- ции (например sin(x)+x^2) и нажмите Enter. После это го активизи- руйте пункт подменю с названием - Plot. В появившуюся строку вве- дите начало интервала построения г рафика и нажмите Enter. Во вновь появившееся окно введите конец интервала и нажмите Enter. В результате всех перечисленных действий н а дисплее появится окно, содержащее график , выполненный символами псевдографики . Если те- перь нажать F5, то график перерисуется на весь экран при помощи истинной графики . Повторное нажатие F5 приво дит к возвращению эк- рана в состояние,существовавшее до первог о нажатия этой клавиши. График может быть перерисован на весь экран в символах псевдогра- фики , если перед F5 была нажата клавиша F4. При этом , для того чтобы вернуться в режим , позволяющий и спользовать истинную графи- ку , необходимо нажать F7. Способ N 2 Войдите в окно Edit. Запишите в нем определение одной или не- скольких функц ий (например : z(x)=sin(x)+x^2 p(x)=deriv(deriv(5*cos(x),x),x) m(x)=1/x ) и любую вычислительную задачу (например t=z(1)). Поднимитесь в верхнюю строку меню и активизируйте в ней пункт Solve. После того , как вычислительная задача будет решена активи- зируйте пункт меню Graph. В открывшемся п одменю активизируйте пункт Plot. При этом появится меню , позвол яющее выбрать функцию (из числа определенных в окне Edit) для построения графика . Выбор функции осуществляется при помощи курсора . Его надо подвести к названию функции и нажать Enter. Далее вы полняются те же дейс- твия , что и в 1-ом способе после активизации пункта Plot. Если возникает потребность в построен ии графика друго й функ- ции (из числа определенных в окне Edit), то необходимо : войти в окно Edit, выйти из этого окна (при эт ом редактировать записи не обязательно ), активизировать пункт Solve и дал ее повторить опи- санные выше действия. . - 6 - Примечание : Для вывода на экран фу нкции в табличном виде при- годны оба описанных выше способа . Отл ичием является только то, что вместо пункта Plot активизируется пункт List. При этом Eureka потребует ввести : начало интервала вычисл ений , шаг вычисления и число точек , в которых вычисляются зна чения функции. Параметры системы Седьмая позиция верхней строки (Options) имее т следующее под- меню : Variables - изменение значений переменных без вхождения в редактор ; Settings - задание установок системы : accuracy - задание погрешности вычислений ; complex [yes/no] - с параметром yes разрешает вычисления с комплексными числами ; casefold [yes/no] - с параметром yes отменяет имеющееся по умолчанию различия ме жду пропис- ными и строчными буквами ; digits - определяет число цифр у результа тов вычи- сл ений ; substlevel=n - задает количество преобразований переменных,в ходе которых одни пере менные автома- тически выражаются через другие . Пр и n = 0 такие преобразования не выполняются . Допуст имые значения n: 0,1,2,....,6. По умолчанию эта установка рав на шести . Если задача не решается или решается пло- хо , то варьирование n в указанных пределах в ряде случаев улучшает ситуацию . Так , в задаче N14 для самостоятельной работы рекомендуется в качестве первой строки листинга записать $ substlevel=2 . Кроме перечисленных , этот пункт по дменю содер- жит еще ряд установ ок , о назначении которых можно узнать , воспользовавшись клавишей F1 (т.е . Help). С olors - установка окраски окон , рамок и текстов ; Directories - установка директории (Система и от дельные фай- лы могут храниться в разных директориях.В этом случае нужно указать системе , где находятся ее файлы и файлы с примерами расч етов .); Load SETUP - загрузка установочного файла ; Write SETUP - запись установочного файла. . - 7 - Работа с окнами Восьмая позиция верхней строки (Window) такж е имеет подменю : Open - открывает активное или указанное ок но ; Close - закрывает активное или указанное ок но ; Next - делает активным следующее окно ; Zoom - расширяет активное окно ; Tile - делает размеры окон равными ; Stack - располагает окна друг за другом ; Goto - переход в активное окно из меню. Сведения о системе Eur eka имеет следующие ограничения : - максимальная длина идентификатора до 40 символов,из них 10 являются основными ; - число определенных пользователем функций не более 10; - число используемых числовых констант не более 200; - числ о переменных не более 12; - число подстановок одних переменных в другие до 6. При этом может использоваться подстан овка одних переменных в другие , нередко сводящая задачу к точному решению. Алфавит системы Eureka содержит стандартный н абор символов. Это латинские прописные (от А до Z) и строчные (от а до z) буквы, а также ряд спецзнаков : : - разделитель для выражений размещенных в одной строке ; ; - отмечает начало строки комментария ; - внутри скобок размещается комме нтарий ; [] - используется для работы с размерными комментариями ; $ - указывает , что следующее слово - дирек тива (установка ); = - операция присваивания ; := - задание (определение ) функции пользовател я или началь- ных значений переменных. Длинные выражения после символа арифм етической операции мож- но переносить на другую строку. Eureka может производить следующие операции : + сложение ; - вычитание ; . - 8 - * умножение ; / деление ; ^ возведение в степень ; () изменение приоритета операций ; < меньше ; > больше ; <= меньше или равно ; >= больше или равно. Элементарные функции Eureka имеет функции re(z) и im(z), возвращающие де йст ви- тельную и мнимую части комплексного ч исла z=x+iy. Перед примене- нием этих функций необходимо ввести директиву : $ complex=yes и обозначить мнимую единицу i^2=-1 или i = sqrt(-1). abs(z) - модуль ; exp(z) - вычисление e=2,71828... в степени z; floor(x) - целая часть х ; ln(z) - вычисление натурал ьного ло- гарифма z; log10(z) - вычисление десятичного логарифм а z; sqrt(z) - вычисление корня квадратного из z; pos(x) - в озвращает х при х >0 и 0 в противном случае ; sgn(x) - возвращает : 1 п ри х >0, -1 при х <0 и 0 при x=0; atan2(y,x) - вычисление аркта нгенса по координатам x и у (угол заключенный ме жду осью Ох и отрезком, концы которого (0,0) и (х,у )); polar(x,y) - преобразовани е декартовых координат в полярные ; sin(z), cos(z), tan(z) - вычис- ление : синуса , косинуса и тангенса z; sinh(z), cosh(z),tanh(z) - вычисление гиперболических : синуса , косинуса и тангенса z. Кроме перечисленных выше функций Eureka имеет еще ряд функций и процедур : fact(n) - вычисление фак ториала числа n; ncum(x) - вычисляет специальную функцию ошибок Р (х ) для нор- мального распределения ; sum(f(i),i,n,k) - вычисляет сумму f(i) при индексе i, мен яю- щемся от n до k. В системе Eureka пользователь имеет возмож ность задавать не- обходимые ему функции через имеющиеся встроенные . Функции пользо- вателя задаются в виде : Имя функции (список переменных ) = выраже ние или Имя функции (список переменных ) := выраже ние Вторая форма используется , если заданн ая функционал ьная за- висимость рассматривается как приближенная. . - 9 - --------------------------------------------------------------¬ ¦ Примеры задач решаемых системой EUREKA. ¦ ¦ ------------------------------------------- ¦ L-------------------------------------------------------------- Пример N1 ------------ Решить нелинейное уравнение : e 5(x^2) 0-5x+1=0. Р ешение Набираем в окне Edit: exp(x^2)-5*x+1=0. Производим дейс твия описанные в пункте " Решение задачи " ( д алее это будет имено- ваться " решить задачу "). Решив задачу получаем в окне Solution: Variables Values x = 1.3086594 При помощи отделения корня можно попр обовать найти другое реше- ние , т.е . набрать в окне Edit: (exp(x^2)-5*x+1)/(x-1.3086594)=0 и решить задачу заново . Искать другое р ешение можно также при по- мощи пункта меню Fi nd other и установки radius. Пример N2 ------------ Вычислить корни полинома x 56 0-x 54 0-x 53 0+3x 52 0-1, т.е . решить уравнение : x 56 0-x 54 0-x 53 0+3x 52 0-1=0. Решение Для вычисления значений , а также действительных и комплексных корней полинома в системе Eureka существует специальная функция : poly(x,an,......,a0). Набираем в окне Edit: $ settings ; Начало блока установок complex=yes ; Работать с комплексными числами ac curacy=1.0e-9 ; Задаваемая точность вычислений digits=8 ; Количество знаков у результатов в ычислений $ end ; Конец блока установок i=sqrt(-1) ; Определение мнимой единицы p(x):=poly(x,1,0,-1,-1,3,0,-1) Решив за дачу получаем в окне Solution: . - 10 - Roots to the polynomial p # Real part Imaginary part 1 0.69807525 0.0000000 2 -0.54737816 0.0000000 3 0.94982970 0.6507578 4 0.94982970 -0.6507578 5 -1.0251783 0.9608054 6 -1.0251783 -0.9608054 После нахождения корней сделаем выбор очную проверку . Подста- вив первый , третий и чет вертый корни в полином . Для этого сделаем в окне Edit следующие записи : $ settings complex=yes accuracy=1.0e-9 digits=8 $ end i=sqrt(-1) a=0.69807525 z1=a^6-a^4-a^3+3*a^2-1 b=0.94982970+0.6507578*i c=0.9 4982970-0.6507578*i z2=b*b*b*b*b*b-b*b*b*b-b*b*b+3*b*b-1 z3=c*c*c*c*c*c-c*c*c*c-c*c*c+3*c*c-1 Решив задачу убеждаемся в том , что значения полинома в выбран- ных точках практически равны нулю . К сожалению другая форма записи при работе с к омплексными числами в системе Eureka может привести к ошибочному результату . Если Eureka выдает сообще- ние " Error 5: too many formulas ", проверяем корни по очереди порциями , доступными для обработки систем ой. Пример N3 ------------- 4_____ Вычислить производную функции f(x)=3lg(x)- 7? 0(x/2)+x 52 0 в точке 0,5. . - 11 - Решение Т.к . в системе Eureka надежнее работает функция вычисляющая натуральный логарифм , то выразим десятичн ый логарифм через отно- шение натуральных : lg(x)=ln(x)/ln(10). Набираем в окне Edit: a=1/ln(10) f(x)=3*a*ln(x)-sqrt(x/2)+x^2 x=0. 5 z=deriv(f(x),x) Решив задачу получаем в окне Solution: Variables Values a = 0.43429448 x = 0.50000000 z = 3.1057669 Пример 4 ----------- lg(1+x) Вычислить интеграл от функции f(x)= 7 \\\\\\\ 0 н а интервале [0,1]. (1+x 52) Решение Набираем в окне Edit: a=1/ln(10) f(x)=a*ln(1+x)/(1+x^2) z=integ(f(x),x,0,1) Решив задачу получаем в окне Solution: Variables Values a = 0.43429448 z = 0.11821420 Пример 5 ----------- Проверить,что при ¦ a ¦ <= 0,9 выполняется равенство : 7p 7! 0 sin 52 0(x) 7 p 72 0 7\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ 0 dx = 7 \\\ 71 0 1 + 2 a cos x + a 52 0 2 50 . - 12 - Равенство проверить в точках a = -0,9;-0,45;0;0,45;0,9. Решение Набираем в окне Edit: t=3.1415926/2 f(a,x)=sin(x)^2/(1+2*a*cos(x)+a^2) t1=-0.9 : i1=integ(f(t1,x),x,0,3.1415926) t2=-0.45 : i2=integ(f(t2,x),x,0,3.1415926) t3=0 : i3=integ(f(t3,x),x,0,3.1415926) t4=0.45 : i4=integ(f(t4,x),x,0,3.1415926) t5=0.9 : i5=integ(f(t5,x),x,0,3.1415926) Решив задачу получаем в ок не Solution: Variables Values i1 = 1.5707963 i2 = 1.5707963 i3 = 1.5707963 i4 = 1.5707963 i5 = 1.5707963 k = 1.5707963 t1 = -0.9000000 t2 = -0.4500000 t3 = 0.0000000 t4 = 0.4500000 t5 = 0.9000000 Пример 6 ----------- Eureka позволяет решать задачу поиска экстремума функции при помощи задания директив : $min и $max. При это м , если функция имеет несколько экстремумов , то для на хождения того , который ну- жен , имеет смысл нарисовать график фун кции и исходя из это го гра- фика задать начальные приближения и ограничения для поиска экстремума . В противном случае поиск э кстремума будет происходить от начальных значений , заданных системой Eureka по умолчанию и может привести не к тому экстремуму , который х отелось бы найти. Вычислить максимум функции f(x)=5xe 5(-x/2) 0(2+sin(3x)), причем он должен быть больше 10. . - 13 - Набираем в окне Edit: $ max (T) V(x)=5*x*exp(-x/2)*(2+sin(3*x)) x:=2 V(x)>10 T=V(x) Решив задачу получаем в окне Solution: Variables Values T = 10.629942 x = 2.5805009 Пример 7 ----------- Вычислить минимум функции f(x)=x 52 0+y 52 0+z 52 0-1. Набираем в окне Edit: $ min (Fxyz) F(x,y,z) = x^2 +y^2 +z^2 -1 Fxyz = F(x,y,z) Решив задачу получаем в окне Solution: Variables Values Fxyz = -1.0000 x = 6.1257e-13 y = -1.3030e-12 z = -5.9622e-14 Пример 8 ----------- Имеется квадратный лист бумаги со стороной a. Из листа делается коробка следующим образом : по углам листа вырезаются четыре квадрата и коробка cклеивается по швам . Какова должна быть сторона вырезае мого квадрата , чтобы коробка имела наибольшую вместимость . Решить задачу при a=6. . - 14 - Набираем в окне Edit: $ settings accuracy=1.0e-12 $ end $ Max(Y) a=6 G(x)=x*(a-2*x)^2 Y=G(x) : 0
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
В развитых странах обсуждают свои проблемы, в недоразвитых - проблемы развитых стран.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по программированию "Работа с программой EUREKA", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru