Высшая математика

Министерство образования РФ

03-Шз-14-ТФ

Санкт-Петербургский Государственный Университет Технологии и Дизайна

Тверской филиал

Контрольные работы №7 - 8

по высшей математике

Выполнила: студентка факультета 280800

2 курса Лебедева Н. А.

Проверил:

172007, Тверская обл.,

г. Торжок,

Калининское шоссе,

дом 31, кв. 46.

Тверь 2003

Задание № 11

Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек приходятся на разные месяца.

Число всех возможных случаев: n=12¹².

Число благоприятных случаев равно числу размещений из 12 элементов по 12: m=12!

Искомая вероятность P=m /n

P= 12!/12¹²=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12/12*12*12*12*12*12*12*12*12*12*12*12=0,00005

Задание № 31

Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность выхода из строя за смену для них, соответ-ственно, равна 0,75; 0,8; и 0,7. Найти вероятность того, что за смену выйдут из строя точно 2 станка.

P₁=0,75

P₂=0,8

P₃=0,7

P₁₁-?

Вероятность невыхода из строя станков:

g₁=1- P₁= =0,25 g₂=1- P₂ =0,2 g₃=1- P₃ =0,3

Могут быть такие варианты (теорема умножения):

1 и 2 вышли из строя, 3 нет P_12-3 = P₁ * P₂ * g₃

1 и 3 вышли из строя, 2 нет P_13-2 = P₁ * P₃ * g₂

2 и 3 вышли из строя, 1 нет P_23-1 = P₂ * P₃ * g₁

По теореме сложения (или - или) искомая вероятность:

P₁₁= P_12-3+ P_13-2+ P_23-1= P₁ * P₂ * g₃+ P₁ * P₃ * g₂+ P₂ * P₃ * g₁

P₁₁= 0,75* 0,8* 0,3+0,75* 0,7*0,2+0,8*0,7*0,25=0,18+0,105+0,14=0,425

Задание № 51

Стрелок производит 2 выстрела по цели с вероятностями 0,7 и 0,8. Найти закон распре-деления, математическое ожидание и дисперсию разности между числом попаданий и числом промахов.

В нашем случае Х- дискретная случайная величина с тремя значениями: -2; 0; 2.

Если показаний 0, а промахов2, то Х₁=0-2=-2

Если показаний при первом выстреле (второй промах) или попадание при втором выстреле (первый промах), то Х₂=1-1=0

Если показаний при первом выстреле и при втором, то Х₃=2

P_о=P(Х=0)=(g=1-P)= P₁*g₂+P₂*g₁=0,7*0,2+0,8*0,3=0,38

P₂=P(Х=2)=0,7*0,8=0,56

P₁=P(Х=-2)= 1-(0,38+0,56)=0,06

Закон распределения:

Математическое ожидание:

m_х=-2*0,06+0*0,38+2*0,56=-0,12+1,12=1

Найдем второй начальный момент:

?₂(Х)=(-2²)*0,06+0²*(0,38)+2²*0,56=0,24+2,24=2,48

Д_х=?₂(Х)- m_х²=2,48-1=1,48

Задание № 71

Заявки на ремонт оборудования подчиняются закону Пуассона со среднем числом 1,9 заявки в смену. Какова вероятность того, что за данную смену поступит более 6 человек.

Сначала найдем вероятность поступления равно 6 заявок по закону Пуассона:

P_n(К)=?^к*е^-?/К!

Унас К=6; ?= 1,9

P_n(6)=1,9⁶*е^-1,9/6!= 1,9⁶/1*2*3*4*5*6* е^1,9=47/720*2,7^1,9=47/720*6,6=0,0099

Так как поступление заявок, события независимое, то искомая вероятность

P_n(К>6)=1- P_n(6)=1-0,0099=0,9901

Задание № 91

Случайная величина Х имеет закон распределения арксинуса, если функция распреде-ления

0 при х >-1

F(х)=А+B*arcsinх при -1? х< 1

1 при х ?1

Найти A ,B плотность и математическое ожидание.

Плотность распределения вероятности (или дифференциальная функция распределения)

f (х)=F^? (х)

0 при х >-1

f(х)= B/?1-х² при -1? х< 1

1. при х ?1

Определим коэффициент B и A, используя свойства плотности вероятности и самой функции распределения

_{+? -1 1 ? 1 1}

? f(х)dх=1 ? 0*dх+? B/?1-х²*dх+? 0*dх=1 ? B*dх /?1-х²=1 B? dх /?1-х²=1

^{-? -? -1 1 -1 -1}

₁

B*arcsinх|=1 B*(?/2+?/2)=1 ?*B=1 B=1/?

^-1

Так как при Х=1; F(х)=1, то А+1/?*arcsin|=1 А+1/?* ?/2=1 А=1-0,5 А=0,5

Математическое ожидание:

_+?

М(х)= ? х* f(х)dх В нашем случае

^-?

_{-1 1 ? 1 1}

М(х)= ? х*0*dх+1/? ? хdх/?1-х²+ ? х*0*dх=1/? ? хdх/?1-х²=-1/?*?1-х²|=1/?*(0-0)=0 М(х)=0

^{-? -1 1 -1 -1}

Замена: 1-х²=t²

-2хdх=2tdt

xdx=-tdt

- ? tdt/t=- ? dt=-t=-?1-х².

Задание № 111

Производительность бомбометание по мосту, имеющими размеры18м в длину и 6м в ширину Отклонения места попадания от центра моста по длине и ширине – нормальные случайные величины с математическим отражением, равны нулю, и среднем квадрати-ческим отклонением 3м и 2м. Какова вероятность того, что из двух бомб хотя бы одна попадет в мост.

Найдем вероятность попадания в мост одной сброшенной бомбы.

Математическое ожидание равно 0, поэтому применима формула:

Р (|х|

В нашем случае искомая вероятность:

Р₁=Р(|х|<9>

Вероятность того, что из двух сброшенных бомб хотя бы одна попадет в мост:

Р=1-(1-0,8641)²=1-0,1359²=1-0.0185=0,9815

Задание № 151

Построить доверительный интеграл для математического ожидания ? нормально распре-деленной генеральной совокупности с известным сраднеквадратичным отклонением ? с помощью выборки объема n данным средним выборочным х, с заданной надежностью ?=0,90, х= 12,45, n= 64, ?=2

Вероятность попадания неизвестного математического ожидания «а» в интеграле (х-t?/?u);

(х+t?/?u) определяется формулой:

Р[(х-t?/?u)<а<(х+t?/?u)]=2Ф(t)=? где Ф(t)-функция Лапласа

Зная 2Ф(t)=?=0,90 или Ф(t)=0,45 находим по таблице 2 учебника Гмурмана t=1,65 отсюда

t?/?u=1,65*2/?64 1,65*2/8=1,65/4=0,41

х-t?/?u= 12,45-0,41=12,04

х+t?/?u=12,45+0,41=12,86

Искомый доверенный интеграл 12,04<а>

Задание № 161

Найти выборочное уравнение прямой у_х-у=r?_у/?_х(х-х) регрессий Y на Х по данной корреляционной таблице.

ТАБЛИЦА №1

Найдем сначала коэффициент корреляции r_?=?n_ху*ху-nху/n*?_х *?_у

Расчет упрощается, если перейти условным вариантам:

U_i=Х_i-С₁/h₁ и V=У_i-С₂/h₂

В этом случае:

r_?= ?n_uv*UV-nUV/n?_u?_v

Вычеслим ?n_uv*UV по таблице 1

U_i=Х_i-С₁/h₁= Хi-20/5 за ложный нуль взято С₁=20 и шаг h₁=5

V=У_i-С₂/h₂= Уi-55/10 за ложный нуль взято С₂=55 и шаг h₂=10

Составим корреляционную таблицу в условных вариантах:

ТАБЛИЦА №2

ТАБЛИЦА №3

Итак, искомая сумма

?n_uv*UV=76

Величины U и V искомая из определения средней, а ?_u и ?_v по формулам:

?_u=?u²-(u²) ?_v=?v²-(v²)

U= ?n_u*U/n=4(-3)+7(-2)+10(-1)+57*0+19*1+3*2/100=-0,11

V= ?n_v*V/n=6(-2)+8(-1)+55*0+17*1+14*2/100=0,25

U²= ?n_u*U²/n=4*9+7*4+10*1+57*0+19*1+9*4/100=1,29

V²= ?n_v*V²/n=6*4+8*1+17*1+14*4/100=1,05

?_u =?u²-(u²)= ?1,29-(-0,11)²=1,13

?_v=?v²-(v²)=?1,05-0,25=0,0625

Коэффициент корреляции:

r_?= ?n_uv*UV-nUV/n?_u?_v=76-100(-0,11)*0,25/100*1,13*0,99=76+2,75/111,87=0,704

Находим

Х=U* h₁+С₁=-0,11*5+20=19,45

У=V* h₂ +С₂=0,25*10+55=57,5

?_х= ?_u*h₁=1,13*5=5,65

?_v= ?_v*h₁=0,99*10=9,9

Составим искомое уравнение:

У_х-57,5=0,704*9,9/5,65(х-19,45)

У_х-57,5=1,23(х-19,45)

Ух-57,5=1,23х-23,92

У_х=1,23х+33,58

Задание № 181

Найти по заданному вариационному ряду выборки выборочное среднее х, выборочную дисперсию S², исправленную выборочную дисперсию S².

У нас выборка состоит из 100 измерений:

n=5+10+30+25+15+10+5=100

Выборочное среднее:

Х=?n_iх_i/n=125*5+135*10+145*30+155*25+165*15+175*10+185*5/100=153,5

Выборочная дисперсия:

S²=?n_i (х_i-х)²/n=5(125-153,5)²+10(135-153,5)²+30(145-153,5)²+25(155-153,5)²15(165-153,5)²+10(165_153,5)²10(175-153,5)²5(185-153,5)²/100=212,75

Исправленная выборочная дисперсия:

S²= ?n_i (х_i-х)²/n-1=21275/99=214,9