Реферат: История математики и геометрии арабского мира - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

История математики и геометрии арабского мира

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 825 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Алгебра; квадратные уравнения Автором основополагающего арабск ого трактата по алгебре «Краткой книги об исчислении аль-джабра и аль-му кабалы», в латинских переводах оказавшего также большое влияние на сред невековую европейскую науку, был уже не раз упоминавшийся аль-Хорезми. В центре внимания стоит решение шести канонических классов уравнений пе рвой и второй степеней, которые он, как и все его преемники в странах арабс кого Востока, записывали без всякой символики: Сам аль-Хорезми выражал уравнение, скажем, четвертого кла сса так: «Квадраты и корни равны числу». Чтобы решить какое-либо уравнени е первой или второй степени, его требуется предварительно свести к одном у из этих типов, которые как видно, не содержат вычитаемых членов. Для этог о применяются операции, давшие название как трудам по алгебре, так и само й этой науке. Операция аль-джабр (восполнение) есть перенос вычитаемых чл енов уравнения в другую часть в виде прибавляемых членов; аль-мукабала (п ротивопоставление) есть сокращение равных членов в обеих частях. Кроме т ого, требовалось привести коэффициент а п ри квадрате к единице, так как правила решения формулировались для этог о случая. Таким образом, уравнение 2х 2 +100-20х=58 с помощью аль-джабра преобразуется в 2х 2 +100=58+20х и после деления на 2 с помощью аль-мукабалы – в уравнение пятого класса х 2 +21=10х . Что касается решений ,то аль-Хорезми формулируе тлишь правила, дающие положительные корни уравнений. Уравне ния четвертого и шестого классов всегда имеют один и только один такой к орень (другой отрицательный); уравнение пятого класса либо имеет два так их корня, либо вовсе не имеет действительных корней. Аль-Хорезми указыва ет условия, при которых корни существуют, в том числе когда есть только од ин корень (мы бы сказали теперь – двойной). Правила формулируются на прим ерах с числовыми коэффициентами, но вполне общим образом. Обоснованы пра вила для четвертого и шестого классов с помощью некоторых геометрическ их преобразований прямоугольных фигур, соответствующих нашим алгебраи ческим преобразованиям. Например, правило решения уравнения х 2 +10х=39 . Неизвестная величина х изображается линией, х 2 – квадратом, построенном на это й линии, а произведение 10х – суммой двух пр ямоугольников со сторонами х и 5 (рис 4). Эти прямоугольники вместе с квадратом образ овывали Г-образную фигуру с площадью 39. Наконец, Г-образная фигура дополня ется квадратом со стороной 5 до полного квадрата с площадью 64. Сторона пол ного квадрата одновременно есть х+5 и 8; след овательно, х=3 . Рис. 4 Рис. 5 Это и другие доказат ельства аль-Хорезми напоминают теоремы античной геометрической алгебры , но лишь отчасти . Пре дшественники аль-Хорезми в алгебре неизвестны ; несомненно , он опирался на местные традиции , синтезировавшие элементы вавило нской и греческой математики . В алгебраическом трактате аль-Хорезми мы находим также краткие свед ения о действиях с алгебраическими выражениям и , некоторые примеры алгебраического решения треугольников и большой отдел задач на ра здел наследств , выражающихс я уравнением первой степени. Другой вариант геометрических доказательств и нескольк о более полный анализ правил решения квадратных уравнений встречается у Ибн Турка аль-Хуттали, уроженца Хуттла – района нынешнего Душанбе, сов ременника аль-Хорезми. И, наконец, доказательства этих правил для четвер тых-шестых классов квадратных уравнений с помощью V – VI предложений II книги Евклида , выражающих правила мы находи м у багдадского ученого Сабита ибн Корры (836 – 901). Ибн Корра, уроженец сирийс кого города Харрана ,принадлежал к потомкам древних вавилонян – сабиям , из среды которых вышли многие астрономы и математики. В эпоху эллинизма сабии усвоили греческий язык. Поссорившись со своими единоверцами, Ибн К орра приехал в Багдад, примкнул к кругу ученых, группировавшихся около б ратьев Бану Муса, и вскоре занял в нем выдающееся место. Ибн Корра – автор многих сочинений по математике, астрономии и механике, но также перевод ил и редактировал переводы с греческого и сирийского. Именно в его перев одах сохранились не дошедшие до нас по-гречески книги «Конические сечен ия» Аполлония, «Книга лемм», «Книга о семиугольнике» и другие мемуары Ар химеда. Все позднейшие ученые Востока пользовались его переводом «Алам агеста» и «Началами» Евклида в его редакции. Квадратным уравнениям посв ящен трактат Ибн Корры «Рассуждение об установлении задач алгебры с пом ощью геометрических доказательств». Приведем в качестве примера обосн ование Ибн Корры решения уравнения . Ибн Корра строил квадрат ABDC , равный х 2 , и продолжал одну из его сторон н а отрезок BE =а (рис. 5). Далее он строил прямоугольник DE , р авный произведению ах . Тогда прямоугольн ик CE = ABDC + DE равен х 2 +ах= b и, следовательно, известен. Но если середина отрезка BE – точка F , то в силу VI предложения II книги «Начал» . Так как произведение известны, известен и квадр ат , а следовательно, и сама линия . Искомая линия = х равна ра зности известных линий . Отметим, что Ибн Корра называл алг ебру уже просто «аль-джабр» без «аль-муккабалы». Алгебра квадратных уравнений получ ила дальнейшее развитие в «Книге об аль-джабр и аль-мукабале» египетског о математика Х века Камила аль-Мисри. Абу Камил с большим искусством влад ел различными преобразованиями, в частности иррациональных выражений. Его книга уже не содержит геометрических приложений. Этому вопросу Абу К амил посвятил специальное сочинение, где с помощью квадратных уравнени й решены многие задачи на определение элементов правильных пяти- и десят иугольников, вписанных в данный круг или описанных около него. Приведем одну любопытную задачу, в которой нарушено античное требование однород ности слагаемых величин и вместе с тем приходится действовать иррацион альными числами. Требуется найти высоту равностороннего треугольника, если сумма площади и высоты равна 10. Дело сводится к уравнению , корень которого . Иранский математик Абу Бакр аль-Караджи в посвященном ба гдадскому визирю Фахр аль-Мульку трактате «Аль-Фахри» (ок. 1010) дал решение т рехчленных уравнений вида , непоср едственно приводящих к квадратным. Но самые замечательные результаты о тносятся к уравнениям третьей и отчасти четвертой степени. Кубические уравнения Первый толчок в этом напра влении сообщила задача Архимеда о делении данного шара плоскостью на дв а сегмента с данным отношением объемов. Решения, найденные Архимедом и е го преемниками остались арабам неизвестными. Первый шаг сделал аль-Маха ни, выразивший задачу уравнением типа . Вслед затем несколько уче ных Х века – аль-Хазани, Ибн аль-Хайсам и другие – дали геометрическое по строение величины , представив ее (используем нашу тер минологию) как абсциссу точки пересечения двух подходящим образом подо бранных конических сечений. Этот геометрический метод, известный грека м со времен Евдокса (его применил к удвоению куба Менехм), приобрел основн ое значение в алгебре стран ислама. На протяжении Х века уравне ниями высших степеней с числовым или же произвольным коэффициентами бы л выражен целый ряд геометрических, тригонометрических и физических за дач: построение сторон вписанных в данный круг правильных девяти- и семи угольников, построение сегмента шара по данным объему и площади поверхн ости, задача о трисекции данного угла и др. Все эти задачи сводятся к уравн ениям третьей степени. Трисекции угла посвящен трактат Сабита ибн Корры «Деление прямолинейного угла на три равные части». Ибн Корра, следуя Арх имеду, сводит эту задачу к построению с помощью «вставки», а задачу о поме щении отрезка между сторонами и продолжением стороны прямоугольника таким образом, чтобы положе ние этого отрезка проходило через вершину , он сводит к проведению чере з вершину гиперболы, для которой прям ые и служат асимптотами, и к пров едению окружности с центром и радиусом (рис. 6). Если гипербола и окруж ность пересекутся в точке на прямые и , то искомый отрезок – отрезок НЕ прямой АЕ ; в си лу известного свойства гиперболы откуда , т.е. . Но отку да .Поэтому , четырехугольник DHEG – параллелограмм , и , следовательно , HE = DG = I . В том же сочинении с помощью пересечения гиперболы и окружности решена задача построения двух средних пропорциональных между двумя линиями , частным случаем является задача удвоения к уба . В обработке Ибн Корры сохранилась упоминавшаяся ранее «Книга о семиугольнике» Архимеда. рис. 6 Построение стороны п равильного вписанного девятиугольника для вычисления тригонометриче ских таблиц подробно изложено в крупнейшем астрономическом произведен ии средневекового Востока – «Каноне Мас’ уда» Абу Райхана аль-Беруни (973 – ок. 1050). Уроженец г. Кят, аль-Беруни сначала работал в родном ему Хорезме и в Гургане на южном берегу Каспийского моря, а с 1017 года, после захвата Хорез ма был вынужден переехать в столицу империи Махмуда Газну. После завоева ния Махмудом Северной Индии аль-Беруни прожил в ней несколько лет и глуб око изучил санскритскую научную литературу. Аль-Беруни принадлежит бол ьшое число сочинений по различным разделам математики и естествознани я вплоть до минералогии и фармакогнозии. «Канон Мас’ уда», посвященный с ыну Махмуда Мас’ уду вступившему на престол в 1030 году, - огромный энциклоп едический труд, в котором, помимо астрономии, имеются большие части, посв ященные тригонометрии, хронологии и географии. В тригонометрической ча сти «Канона» аль-Беруни свел определение стороны вписанного правильно го девятиугольника, т.е. хорды , к кубическим уравнен иям , в первом из которых х – хорда дуги 2/9 окружности, а во в тором х – сторона вписанного пр авильного 18-угольника. Приближенно решая первое из этих уравнений, аль-Бе руни нашел, что х =1;52, 45, 47, 13, откуда сле дует, что хорда 1/9 окружности равна 0; 41, 2, 32, 41, 55. Однако он не сообщил здесь спосо ба приближенного вычисления корней и лишь описал итерационный прием на хождения стороны девятиугольника, состоящий в последующем определении хорд (т.е. 1/12, 1/6 и 1/5 круга), а зате м хорд и т.д. Аль-Беруни довел вычисле ния до значения 0;41, 2, 32, 42, 29, отличающегося от результата приближенного решен ия уравнения менее чем на кварту. Уравнение четвертой степени Аб у Али ибн аль-Хайсама (965-1039). Уроженец Басры в Ираке, ибн аль-Хайсам работал гл авным образом в Каире; ему принадлежат много трудов по математике и астр ономии. Латинский перевод его «Книги оптики» оказал большое влияние на р азвитие этой науки в Европе. К уравнению четвертой степени сводится зада ча Ибн аль-Хайсама об определении места отражения светящейся точки от ци линдрического зеркала по данным положениям точки и глаза. Каирский учен ый решил ее с помощью пересечения окружности и гиперболы. В построении кубических уравнений были достигнуты с толь значительные успехи, что вскоре стало возможным создание обобщающ ей их теории. Наиболее удачное положение ее дал Омар Хайям в «Трактате о д оказательствах задач алгебры» (1074). В этом труде алгебра впервые выступае т как самостоятельная наука. Подобно Ибн Корре, Хайям нередко называл ал гебру аль-джабр; он употребляет также термин «алгебраисты» (джабриййун). Предметом алгебры Хайям объявляет неизвестное число и неизвестную вел ичину, отнесенные к другим известным числам или величинам. Такое отнесен ие осуществляется в виде уравнения, т.е. приравнивания одних степеней к д ругим. Тем самым алгебра рассматривается как наука об уравнениях, которы е мы теперь называем алгебраическими. Рис. 7 Отметив, что поиски чи слового решения кубических уравнений, т.е. решения в радикалах, оказалис ь тщетными, Хайям высказывает надежду, что это будет сделано в будущем; де йствительно, это удалось итальянцам в начале XVI века. Общим методом решения объяв ляется построение корней с помощью пересечения конических сечений. Гла вное содержание трактата составляет классификация уравнений, подбор с оответствующих каждому классу пар конических сечений и определение во зможного числа и границ положительных корней, т.е., как говорят теперь, отд еление корней. Уравнения исследуются в общем виде, т.е. коэффициенты их пр едполагаются произвольными положительными величинами. Всего Хайям раз личает 14 канонических классов. Для каждого их них он указывает требуемые конические сечения – параболы, равносторонние гиперболы и окружности, абсциссы точек пересечения которых выражают корни уравнения, и анализи рует условия возможности положительных корней. Так, для решения уравнен ия Хайям строит гипербо лу и окружность следующим образом: он считает коэффициент р линией ВС , коэффициент q – квадратом со стороной BD , а свободный член r – параллелепипедом с основание м q и высотой s = AB (т.е. BC = p , BD = , AB = r / q ), и откладывает отрезки AB и BC на одной прямой в одну с торону от точки B , а BD – на перпендикуляре к этой прямой (рис. 62 а, б , где соответстве нно r / q > p ). Далее точку А пр оводится гипербола, асимптотами которой служат прямая BD и прямая DL , параллельная АВ , и окружность, построенная на отрезке АС как на диаметре. Если принять з а оси координат прямые AB и BD , уравнения этих кривы х можно записать в виде и Корнем уравнения является абсцисса точки К пересечения этих кривых. Хайям правильно указывает, что во втором случае ( r / q > p ) этот корень единс твенный (абсцисса r / q точки А не у довлетворяет кубическому уравнению, так как уравнения кривых при исклю чении у дают уравнение четвертой степени, корни которого – корни кубического уравнения и число r / q ), о днако он не заметил, что в первом случае ( r / q > p ) могут существовать еще два положительных корня и, таким о бразом, прошел мимо открытия трех корней кубического уравнения, обнаруж енных только Дж. Кардано в XVI веке. Вп рочем, заметить возможность еще двух точек пересечения кривых на чертеж е нелегко. Во всех остальных случаях анализ существования одного или дву х положительных корней у Хайяма совершенно правильный. Для примера Хайя м применяет свой геометрический метод, комбинируя его с некоторыми расч етами, и к отделению корней уравнений с числовыми коэффициентами. Геометрическая теория кубических уравнений привле кала внимание математиков стран ислама и позднее и аль-Каши распростран ил ее на уравнения четвертой степени. Мы не знаем, однако, изложил ли он св ои результаты, мельком упоминаемые в «Ключе арифметики», в специальном с очинении. Впоследствии геометрическое построение корней уравнений яви лось предметом исследования европейских математиков Нового времени – Декарта и многих других, которые, впрочем, отправлялись от трудов гречес ких классиков: открытия арабских ученых в этой области были им незнакомы . Наряду с общей теорией разрабатывались и приемы чис ленного решения уравнений третьей степени. Такие приемы были известны н апример аль-Беруни, который, как мы видели, определял в «Каноне Мас’ уда» сторну вписанного правильного девятиуольника. Аль-Каши в недошедшем до нас «Трактате о хорде и синусе» предложил оригинальный итерационный пр ием решения уравнения трисекции угла, которое можно записать в виде , Страница рукописи алгебраического трактата Хайяма. где . Метод аль-Каши известе н нам в изложении Кази-заде ар-Руми, работавшего в Самаркандской обсерва тории одновременно с аль-Каши, в «Трактате об определении синуса одного градуса» и внука ар-Руми Мирима Челеби в комментариях к астрономическим таблицам Улугбека. Этой задаче был посвящен и недошедший до нас трактат самого Улугбека. Аль-Каши записывает кубическое уравнение в форме и берет в качестве в кач естве первого приближения , к качестве второго ; далее вычисляются и т.п.в зависимости от тр ебуемой точности. Этот процесс в рассматривавшихся случаях сходится оч ень быстро; с его помощью аль-Каши вычислил значение 0; 1,2, 49, 43, 11, 44, т.е. в десятичных дробях 0,017 452 406 437 283 571, где все цифры верны. Г. Ганкель писал, что этот прием «не уступает по тонкости и изяществу всем открытым на Западе после Виета методам при ближения». Следует все же добавить, что способ аль-Каши – частного харак тера. Мы отмечали риториче ский характер арабской алгебры. Только в мавританских государствах был и сделаны первые шаги к созданию алгебраической символики, которые мы зн аем по труду «Снятие покрывала с науки Губар» аль-Каласади, работавшего в Гренаде перед самой гибелью последнего мавританского эмирата на юге И спании и умершего изгнанником в Африке (1486). Аль-Каласади для обозначения к вадратного корня из числа ставил над этим числом букву «джим» - первую бу кву слова «джизр» - корень, а при записи уравнений для обозначения неизве стных и их квадратов ставил на соответствующими коэффициентами буквы « шин» и «мим» - первые буквы слов «шай» - вещь и «мал» -квадрат. Роль знака рав енства играет буква «лам» - возможно, последняя буква слова «йа’ далу» - р авно. Интересно также обозначение пропорций \: члены пропорций разделяю тся троеточиями вида , а неизвестная в пропорциях тр ойного вида обозначается той же буквой «джим», что и корень (в странах исл ама неизвестную, как и у нас, часто называли корнем). Символика аль-Каласади была сто ль развита, что невозможно считать ее всецело созданием этого ученого. П о-видимому, к его предшественникам принадлежал марокканский мавританс кий математик XIII века Ибн аль-Банна аль-Мараккуши (из Марокко), который, по сообщению тунисского ист орика XIV века Ибн Халдуна, применял при доказательствах алгебраические обозначения, служащие одн овременно и для «отвлеченного рассуждения» и для «наглядного представ ления». Теория чисел Достижения в теории чисел были менее значительны. Все же следует упомянуть решение неопределенных ура внений первой степени и их систем в целых числах, иногда требовавшие тер пеливых расчетов. Так, Абу Камил в «Книге редкостей в арифметике» нашел в се 2676 целых решений системы , Были расс мотрены и некоторые задачи на решение в целых числах уравнений второй степени. Быть может, особенно з амечательно, что математики стран ислама впервые высказали утверждени е, составляющее первый частный случай теоремы Ферма, именно, что уравнен ие неразрешимо в рационал ьных числах (кроме тривиального случая, когда хотя бы одна из неизвестны х равна нулю). В свою очередь, это утверждение связано с предположением о н еразрешимости в рациональных числах задачи об удвоении куба , которое должно было возникнут ь еще у древних греков. «Трактат о построении прямоугольных треугольник ов с рациональными сторонами и о пользе их познания» Абу Джафара Мухамме да ибн Хасана (переписанный в 970 году), посвященный построению пифагоровых троек чисел, начинается с упоминания, что этот вопрос был изложен Абу Мух аммедом аль-Худжанди перед доказательством того, что «сумма двух кубиче ских чисел не является кубическим числом». Имя Мухаммед в арабской запис и, где гласные опускаются, только одной буквой отличается от имени Махму д, а в Х веке работал известный математик и астроном Абу Махмуд Хамид аль-Х уджанди. Поэтому обычно считают, что автором трактата о кубических числа х был этот ученый. Однако Хамид аль-Худжанди умер около 1000 года, а в рукопис и, переписанной в 970 году, об аль-Худжанди говорится «да помилует его Аллах », как говорится только о покойных. Аль-Худжанди, как показывает это имя, п роисходит из города Ходжента; быть может, первый из них был учителем втор ого. Доказательство нера зрешимости уравнения в рациональных числах, данное Абу Мухаммедом аль-Худжанди, не сохранилось. Весьма сомнительно, чтобы о но было безошибочным: для этого недоставало арифметических средств. Наи более раннее доказательство этого предложения дал Эйлер в середине XVIII века. Сабит ибн Корра посвят ил «Книгу о нахождении дружественных чисел легким способом» изложению способа образования дружественных чисел, т.е. пар чисел, каждое из которы х равно сумме делителей другого. Спосод ибн Корры, обобщающий пифагорейс кий способ образования совершенных чисел, изложенный в «Началах» Эвкли да, состоит в том, что если и - 1 – простые числа, то чи сла и - дружественные числа (при n =2 мы пол учаем М=220 и N =284 ). Геометрические вычисления В геометрии большое место зан имали вопросы, связанные с применением вычислительных методов. К этому к ругу проблем относятся уже упоминавшиеся применения алгебры; использо вались с этой целью и тригонометрические приемы. Уже «Книга измерения пл оских и шаровых фигур» братьев Бану Муса, написанная в середине IX века, свидетельствовала о глу боком усвоении античных приемов измерения, в частности изложенных в «Из мерении круга» Архимеда. В дальнейшем вычисление со все возрастающей то чностью элементов фигур, особенно правильных многоугольников и многог ранников, занимало многих ученых; сказанное относится и к точному или пр иближенному вычислению круглых фигур и их частей, а также фигур, встреча ющихся строительном деле, - арок, сводов, полых куполов и поверхностей в фо рме сталактитов. Быть может самым ярким примером искусного применения вычислительной техники служит «Трактат об окружн ости» аль-Каши, в котором длина окружности вычислена (с помощью последов а-тельного извлечения квадратных корней) как среднее арифметическое па раметров вписанного и описанного правильных многоугольников с числом сторон 3• 2 28 . Это дало аль-Каши для отношения длины окружности к диаметру, т.е. числа р , приближение р =3; 08,29,44,00,47,25,53,07,25, которое он зедсь же переводит в десятичные дроби: р =3,141 592 653 589 793 25, где неверна только послед няя цифра 5, которую следовало бы заменить на 38…. Подобная точность была вн овь достигнута лишь сто пятьдесят лет спустя А. Ван Роменом, который восп ользовался вписанным и описанным 2 30 – угольниками. Заметим в этой связи, что математики стран ислама уже высказали мысль об иррациональности числа р – факт, доказанный только в XVIII веке Ламбертом и Лежандром. Рис 8 Геометрические построения Для нужд землемерия, архитект уры, техники разрабатывались и методы геометрических построений. Внук С абита ибн Корры Ибрахим ибн Синан (908-946) посвятил теории геометрических пос троений специальную «Книгу о методе анализа и синтеза и о других действи ях в геометрических задачах». В «Книге о построении трех (конических) сеч ений» Ибн Синан рассматривает семь способов построения эллипса, гиперб олы и параболы по точкам с помощью циркуля и линейки. Абу Саид ас-Сиджизи ( X - XI века) в «Трактате об описании кони ческих сечений» применил для непрерывного построения всех трех кониче ских сечений так называемый совершенный циркуль, одна из ножек при враще нии может вытягиваться и сокращаться по длине отрезка прямолинейной об разующей конуса от его вершины до точек сечения. На рис. 8 изображен соверш енный циркуль, ножка АВ которого закреплена под углом б к плоско сти бумаги, а ножка ВС переменой д лины вращается вокруг ножки АВ п од углом в . Заметим, что эксцентр иситет е ко нического сечения связан с углами б и в соотношением е = cos б / cos в т.е. б > в сечение является эл липсом, при б = в – параболой, а при б < в – ветвь ю гиперболы. Рис . 9 Непрерывному построению элли пса с помощью нити, закрепленной в его фокусах (так называемый способ сад овника), посвящен написанный в IX веке трактат одного из братьев Бану Муса аль-Хасана «Об удлине нном круге». На рис. 9 изображено построение таким образом эллипса с фокус ами А и В . Большое число геометрических п остроений изложено в «Книге о том, что необходимо ремесленнику из геомет рических представлений» Абу-л-Вафы аль-Бузджани. Помимо элементарных за дач, решаемых с помощью циркуля и линейки точно, здесь даются и приближен ные построения, например для правильных семи- и девятиугольника; рассмот рены и механические приемы трисекции угла, а также удвоения куба. Около п олутора десятков задач решено с помощью циркуля постоянного раствора – такие построения представляли практический интерес, ибо на открытой местности удобно пользоваться окружностями фиксированного радиуса. Аб у-л-Вафа указывает также способы построения по точкам параболы, которую он называет «зажигательным зеркалом». Интересны построения Абу-л-Вафы н а сфере: помимо элементарных задач сферической геометрии здесь решаютс я задачи разделения сферы на сферические многоугольники, получаемые пр оектированием из центра сферы на сферические многоугольники, получаем ые проектированием из центра сферы ребер вписанных в нее правильных и по луправильных многогранников. Построениям на сфере посвящено специальн ое «Рассуждение о циркуле для больших кругов» Ибн аль-Хайсама. Из геометрических задач Абу-л-Вафы отметим остроумн ое построение квадрата, равновеликого трем равным квадратам, путем раск роя этих квадратов: два из них делятся диагонально пополам, полученные т реугольники приставляются к сторонам третьего квадрата. Тогда фигура EFGH искомый квадрат, котор ый получается отрезанием выступающих частей треугольников и вставлени ем их на место конгруэнтных им частей квадрата EFGH , не заполненных треугольниками ( рис. 9). Абу-л-Вафа показывает неточность методов, которыми решают эту зада чу ремесленники, а также решает другими методами, из которых следует отм етить построение стороны утроенного квадрата как диагонали куба, постр оенного на одном из малых квадратов. Особенно важно замечание Абу-л-Вафы к последнему методу: «Точно так же обстоит дело, если мы хотим построить к вадрат более чем их трех или менее чем из трех квадратов», который для n >3 ква дратов означает мысленное построение диагонали n – мерного куба, построенного на д анном квадрате. Именно в эту эпоху на Востоке получили распространение г еометрические названия степеней высшее третьей: квадрато-квадрат (мал а ль-мал), квадрато-куб (мал аль-ка’ б) и кубо-куб (ка’ б аль-ка’ б) и т.д., являющ иеся переводами терминов Диофанта и их обобщениями; эит термины были хор ошо известны Абу-л-Вафе, которому принадлежат комментарии к «Арифметика м» Диофанта. Теория параллельных Среди общих проблем геометрии пристальное внимание арабских ученых привлекла теория параллельных. П остулат параллельных Эвклида (если прямая образует с двумя прямыми, лежа щими в одной плоскости, внутренние односторонние углы, в сумме меньше дв ух прямых, то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются с той стороны, где эта сумма меньше двух прямых) был подвергнут специальному р ассмотрению еще греками. Многие полагали, что содержащееся в этом постул ате утверждение является теоремой, которую можно доказать с помощью дру гих постулатов и аксиом «Начал». Первый арабский труд по этому во просу был написан еще аль-Аббасом аль-Джаухари, работавшим под руководст вом аль-Хорезми. Аль-Джаухари в «Совершенствовании книги “Начала”» опир ался на неявно предполагаемое допущение, равносильное доказываемому п остулату: если при пересечении двух прямых какой-либо третьей накрестле жащие углы равны, то это же имеет место при пересечении тех же двух прямых любой другой прямой. Он доказал в качестве теоремы предложение: через лю бую точку внутри любого данного угла можно провести прямую, пересекающу ю обе его стороны. На скрытом допущении этого предложения основывалось о дно из доказательств постулата о параллельных, придуманных Лежандром. Два трактата, посвященные доказательству V постулата принадлежат Сабиту ибн Корре. В «Книге о доказательстве известного постулата Эвклида» Ибн Корр а основывается на предположении, что если две прямые удаляются друг от д руга с одной стороны, они обязательно приближаются с другой стороны. С по мощью этого утверждения, равносильного V постулату, Ибн Корра доказывает существование параллел ограмма, после чего уже легко доказывается V постулат. В «Книге о том, что две линии проведенные под углами, меньшими двух прямых, встретятся» Ибн Корра исходит из существо вания равноотстоящих прямых, с помощью чего доказывает сначала существ ование прямоугольника. Здесь, однако, существование равноотстоящих пря мых на плоскости (утверждение само по себе равносильное доказываемому) н е постулируется: Ибн Корра пытается вывести его из представления о «прос том движении», т.е. о равномерном поступательном движении вдоль прямой. И менно он считает очевидным (здесь-то и скрыто утверждение, содержащее до казываемый постулат), что при таком движении все движущиеся точки описыв ают прямые линии. Ибн аль-Хайсам также рассмотрел теорию параллельных в двух сочинениях. В трактате «О разрешении сомнений в книге Эвклида “На чала”» исходным служит утверждение, что две пересекающиеся прямые не мо гут быть параллельны одной прямой, т.е. что из одной точки нельзя провести двух параллелей к одной прямой. В «Книге комментариев к введениям книги Эвклида “Начала”» Ибн аль-Хайсам использует то же представление о «прос том движении», что и Ибн Корра. С помощью «простого движения» Ибн аль-Хайс ам устанавливает, что коней отрезка, перпендикулярного к прямой, вдоль к оторой происходит движение, описывает прямую, которая, таким образом, яв ляется равноотстоящей от данной прямой. Далее оказывается существован ие прямоугольника, для чего рассматривается четырехугольник с тремя пр ямыми углами и три гипотезы о четвертом угле этого четырехугольника, кот орый априори можно предположить острым, тупым и прямым (рис 10). Рис. 10 Как мы теперь знаем, гипотеза ос трого угла имеет место в геометрии Лобачевского, в которой выполняются в се аксиомы геометрии Эвклида, кроме V постулата. Гипотеза тупого угла выполняется в неэвклидово й геометрии Римана (эллиптическая геометрия) и на сфере, если считать бол ьшие круги сферы прямыми линиями. Наконец, гипотеза прямого угла имеет б ольшое место в геометрии Эвклида. Ибн аль-Хайсам опровергает первые две гипотезы с помощью «доказанного» им существования равно-отстоящих пря мых. Такой же четырехугольник и те же гипотезы рассматривал, правда по-ин ому, в XVIII веке Ламберт. Рис. 11 Омар Хайям в «Комментариях к трудн остям во введениях книги Эвклида» подверг критике геометрию недопусти мо вводить движение. Собственное доказательство Хайяма базируется на п ринципе, который он считал более простым, чем постулат Эвклида: две сходя щиеся прямые пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые рас ходились в месте схождения. Каждое их этих двух утверждений равносильно утверждению постулату Эвклида. В отличие от многих своих предшественни ков, Хайям формулировал свой постулат явно. В его рассуждениях основную роль играет рассмотрение четырехугольника с двумя равными сторонами, п ерпендикулярными к основанию. Углы, прилегающие к четвертой стороне, рав ны между собой; подобно Ибн аль-Хайсаму, Хайям разбирает три гипотезы о ве личине этих углов (рис. 11). Опровергая гипотезы острого и тупого углов, он та кже приходит к существованию прямоугольника, и т.д. Комментарии Хайяма к Эвклиду оказали влияние на работы по теории параллельных Насир ад-Дина а т-Туси, который в своем «Изложении Эвклида» предложил доказательство, ос нованное на постулате: если прямые, расположенные в одной плоскости, рас ходятся в одном направлении, они не могут в этом направлении сходится, ес ли только не пересекаются. И он рассматривает четырехугольник Хайяма и т ри гипотезы о нем. Заметим, что тот же четырехуголь ник и те же три гипотезы были положены в основу исследований по теории па раллельных итальянского математика первой половины XVIII века Саккери. Мы назвали далеко не всех математиков, занимавшихся теорией параллельных на протяжении IX – XIV веков. Р азумеется, арабские математики были далеко от мысли о создании неевклид овой геометрии и только стремились вывести постулат Эвклида о параллел ьных из принципов, которые считали более очевидными. Но попутно они сдел али несколько выдающихся открытий: установили двустороннюю зависимост ь между этим постулатом и величиной суммы углов четырехугольника и, след овательно, треугольника; установили логическую эквивалентность ряда п редложений теории параллельных; применили для опровержения острого и т упого углов способ приведения к противоречию и т.д. При этом Хайям получа ет некоторые предложения, по существу принадлежащие к первым теориям не евклидовых геометрий Лобачевского и Римана. Исследования по теории параллельных ат-Туси стали и звестными в Европе в XVII ве ке, в частности Валлису, и таким образом сыграли роль в подготовке одного из крупнейших открытий математики – систем неевклидовых геометрий. Тригонометрия Тригонометрия возникла сначал а в форме исчисления хорд в трудах александрийских астрономов. Индийцы, отправляясь от этих трудов, ввели линии синуса, косинуса и синуса-версус а. Познакомившись с индийскими «сиддхантами», арабские ученые существе нно продвинули вперед разработку тригонометрии, которая стала благода ря им разветвленной и самостоятельной наукой. Первоначально тригонометрия изл агалась в составе астрономических сочинений, заключавших и тригономет рические таблицы. Мы уже указывали, что арабы называли линию синуса слов ом «джайб» (транслитерация индийского слова «джива» - хорда, тетива), пере веденным на латынь словом sinus ; от латинского сокращения выражения complementi sinus , ко торым было переведено арабское выражение «джайб тамам» - синус дополнен ия, произошел наш «косинус». Понимая под словом «синус» линию синуса, ара бы называли радиус круга «наибольшим синусом» или «полным синусом»; пос леднее выражение долго сохранялось в Европе в виде названия sinus totus и обозначения sin tot . Линии тангенсов и котангенсов арабы первоначально именов али соответственно «обращенной тенью» (зиил ма’ кус) и «плоской тенью» ( зиил мустав) – названиями, восходящими к гномике александрийских астро номов и объясняющимися тем, что линии тангенса и котангенса первоначаль но рассматривались как тени гномона – горизонтального и вертикальног о – соответственно на вертикальную и горизонтальную плоскости; позже э ти линии стали называть соответственно «тенью» и «тенью дополнения» (в Е вропе их вначале называли umbra – тень). Линии синуса и косинуса измеряли, следуя традиции александрийских и инд ийских астрономов, в 60-х долях радиуса, а линии тангенса и котангенса – в 7- х и 12-х долях гномона. Линии секанса и косеканса, являющихся отрезками прямой диаметра, сначал а называли диаметрами обращенной и соответственно плоской тени, а в пос ледствии – первым и вторым диаметрами. Теоретический интерес этих двух последних линий невелик, но таблицы их вплоть до открытия логарифмов име ли практическую ценность, поскольку позволяли деление на косинус и сину с умножением. Наиболее ранние таблицы синусов в арабском мире были соста влены, по-видимому, аль-Хорезми, а в астрономических таблицах его совреме нника Хабаша аль-Хасиба аль-Марвази имелись уже линии тангенса, котанген са, секанса и косеканса. Рис. 12 Вслед за индийскими астрономами ученые стран ислама при решении астрономических задач пользовали сь правилами сферической тригонометрии . Например , Сабит ибн Корра в «Книге о часовом инс трументе , называемом солнечными часами» дал два решения задачи об определении высоты h Солнца над горизонтом по широте ц местности , склонению д Солнца и его часовому углу h . Пра вила Ибн Корры в наших обозначениях имеют вид где t 0 – угол – ZPA на рис. 12. Первое правило отличается о т правила Варахамихиры только тем, что произведение cos ц cos д замене но равным ему отношением во втором правиле h находится без помощи t 0 . То и другое равн осильно сферической теореме косинусов. Эти же правила изложены в «Книге о науке звезд» аль-Баттани, а затем аль-Беруни в «Каноне Ма’ суда» и други ми астрономами стран ислама. К той же теореме сводились прав ила определения расстояния между двумя городами с данными географичес кими координатами и определение направлений на священный город мусуль ман Мекку (так называемая Кибла) в городе с данными координатами. В первом случае при определении расстояния АВ между городами А и В , в сферическом треугольнике ABN , образованным этими городами и севе рным полюсом Земли N , извест ны угол N , равный разности до лгот городов А и В , и расстояния (в градусах) NA и NB , равны е дополнениям широт городов А и В до р /2. Во втором случае, если считать, что город В – Мекка, требуется узнать угол А того же треугольника. К задачам сферической тригономе трии сводятся такие важные для сферической астрономии задачи взаимног о перехода между тремя применяемыми в астрономии системами координат н а небесной сфере: экваториальной, где роль экватора играет небесный эква тор, а роль полюса – полюс мира, вокруг которого совершается видимое сут очное вращение светил; эклиптической, где роль экватора играет эклиптик а, по которой совершается видимое годичное движение Солнца, а роль полюс а – полюс эклиптики, и наконец, горизонтальной, где роль экватора играет линия горизонта, а роль плюса – зенит. Сферической тригонометрии было посвящено также сочин ение Сабита ибн Корры «Трактат о фигуре секущих», в котором доказана сфе рическая теорема Менелая, формулируемая еще с помощью синусов, как у пос ледующих математиков, а, следуя Менелаю и Птолемею, с помощью хорд удвоен ных дуг. На рубеже IX и Х веков, например, в «Книге о науке звезд» Сабия Абу Абдаллаха а ль-Баттани (ок. 850-929) учение о тригонометрических функциях, представлявшихс я в виде отрезков, связанных с кругом определенного радиуса, достигло до вольно высокого развития. Были найдены простейшие соотношения между ни ми, разработаны приемы составления тригонометрических таблиц и устано влен ряд основных теорем, служащих для решения плоских и сферических тре угольников. Правда, запас этих теорем был невелик и потому решение треуг ольников было часто довольно громоздким. Весьма значительного развити я достигло искусство решения сложных тригонометрических задач в «Кано не Мас’ уда» аль-Беруни. Математики и астрономы стран ислама проявили бо льшое вычислительное искусство при составлении тригонометрических та блиц. Мы упоминали об алгебраическом вычислении sin 1° аль-Каши, но уже в Х веке Абу-л-Вафа в своем «Алмагесте» с помощью тонких интерполяционных приемов вычислил sin 0°,5 с точностью до 10 -8 . Абу-л-Вафа пользовался линейным интерпо лированием; аль-Беруни предложил в «Каноне Мас’ уда» применять квадрат ическое интерполирование. Одним из замечательных о бразцов высокой техники приближенных вычислений может служить итераци онный прием решения трансцендентного уравнения, получившего позднее и мя Кеплера – уравнения t = – k sin (где t – данное число), встретившегося ара бским ученым в теории параллакса. Прием, применявшийся еще аль-Хасибом а ль-Мравази, состоит в образовании 0 = t+k sin t 1 =t+k sin 0 2 =t+k sin 1 ………………….. аль-Хасиб мог удовлетвор ится отысканием 3. В XI веке появляется сводное сочинение, посвященное сфери ческой тригонометрии, - трактат «Собрание правил науки астрономии» (теор емы сферической тригонометрии, необходимые для астрономии, называли «п равилами астрономии»). Имя автора в дошедшей до нас рукописи не указано, с казано только, что трактат посвящен некоему Амид аль-Мульк Абу Насру Ман сур ибн Мухаммеду и написан в Исфахане через два года после того, как была закрыта астрономическая обсерватория, которой руководил автор. Как вид но из предисловия автору известен «Канон Мас’ уда» аль-Беруни, закончен ный в 1030 голу; рукопись переписана в начале XIII века. Поэтому весьма возможно, что упомянутый Амид аль- Мулк – Кудури (1024-1064), визир сельджукского султана Торгул-бека. Трактат состоит из трех книг. В п ервой изложена теория составных отношений, где, как и в комментариях Хай яма к Эвклиду, составление отношений трактуется как умножение некоторы х величин. Во второй выводятся плоская и сферическая теоремы Менелая, а в третьей доказываются теоремы сферической тригонометрии, «заменяющие» теорему Менелая и решаются все шесть задач определения элементов сфери ческого треугольника по трем известным, в том числе впервые – по трем уг лам. В связи с последней задачей здесь впервые же определяются полярный треугольник, вершины которого являются полюсами А’ В’ С’ сторон данного треугольника АВС , а стороны определяются через углы данног о треугольника (рис. 13). Рис. 13 Если в «Каноне Мас’ уда» тангенс и котангенс называются еще «обращенной и плоской теням и» , здесь мы встречаем уже «тень» и «т ень дополнения» , однако автор иногда сбиваетс я на старую терминологию . Дальнейшие авторы уже прочно перешли на терминологию , введенн ую , по-видимо м у , в этом трактате . Рассматриваемый трактат – первое большое сочинение , специально посвященное сферической три гонометрии. Все последующие авторы писали со чинения по сферической астрономии по плану этого трактата. Таков «Тракт ат о полном четырехстороннике» Насир ад-Дина ат-Туси (1260) и упоминаемая ат-Т уси книга Фазл ад- Дина ас-Салара, его предшественника на посту советника Хулагу-хана, казненного последним в 1262 году. Трактат ат-Туси состоит из пят и книг: первая также посвящена теории составных отношений, вторая – пло ской теореме Менелая, третья – тригонометрическим функциям, четвертая сферической теореме Менелая, пятая – теоремам сферической тригономет рии, «заменяющим» теорему Менелая. Здесь изложены в переработанном виде и все шесть случаев определения элементов сферического треугольника. Т рактат ат-Туси в свою очередь, оказал значительное влияние на дальнейше е развитие этой науки, в частности Региомонтана. Инфинитезимальные методы Уже в середине IX века арабские математики владели античным методом исчерпыван ия, который обогатили некоторыми примерами, позволившими им получить по- новому уже ранее известные, а также и совсем новые результаты. В «Книге из мерения плоских и сферических фигур» братьев Бану Муса методом исчерпы вания доказан ряд предложений, имеющихся в трактатах Архимеда «Измерен ие круга» и «О шаре и цилиндре». Близка к Архимеду и «Книг а о карастуне» Сабита ибн Корры, посвященная теории рычажных весов. Нахо дя равнодействующую двух равных параллельных сил, представляемых груз ами, подвешенными к балке или коромыслу весов, он обобщает эту задачу на с лучай, когда к балке «подвешено сколь угодно грузов и даже бесконечно мн ого». В случае любого конечного числа равных параллельных сил, приложенн ых на равных расстояниях друг от друга, равнодействующая равна сумме эти х сил и приложена на середине отрезка между крайними точками приложения сил. Обобщая этот факт на случай бесконечно многих сил, Ибн Корра приходи т к тому, что равнодействующая непрерывной нагрузки, равномерно распред еленной на отрезке, приложена в середине этого отрезка. С математической токи зрения этот результат равносилен вычислению интеграла В «Книге об измерении кон ического сечения, называемого параболой», Ибн Корра весьма оригинально произвел квадратуру сегмента параболы. То, что площадь этого сегмента ра вна 2/3 описанного около него параллелограмма, доказал еще Архимед, причем двумя способами: так называемым механическим методом и суммированием г еометрической прогрессии, но соответствующий мемуар великого сиракузя нина не был, по-видимому, известен арабским ученым. Во всяком случае, Ибн К орра решает задачу по-другому: он рассматривает параболу и делит ее диам етр на неравные части, относящиеся между собой как нечетные числа 1 : 3 : 5 : 7 :.. 1 : 4 : 9 : 16:…, а соответствующие ординаты то чек параболы – как натуральные числа 1 : 2 : 3 : 4 :…. Таким образом, вычисление Ибн Корры равносильно вычислению и нтеграла , причем он впервые делит отрезок интегрирования на неравные части. Это в ычисление было существенным шагом вперед по сравнению с древними, так ка к у Архимеда встречаются лишь вкладки, равносильные интегрированию и Прием Ибн Корры получил дальнейшее развитие только в XVII веке, когда с помощью родственного приема – деления отрезка ин тегрирования на неравные части в геометрической прогрессии – П.Ферма в ычислил интегралы Рис. 13 Задача кв адратуры параболы была решена еще одним ч резвычайно изящным методом внуком Ибн Корры Ибн Синаном в «Книге об измерении па раболы» . Сначала Ибн Синан доказывает , что если один многоугольник полу чен из др угого с помощью аффинного преобразования , то площадь треугольника , начерченного в первом многоугольнике , относится к площади соответс твующего треугольника во втором многоугольнике как площади этих многоугольников . Отметим , ч то здесь впервые проя в ляется аффи нное преобразование наиболее общего вида ; Ибн Синан не имеет еще никакого термина и описывает соответствие многоугольников , указыва я на параллельность соответствующих линий на сохранение отношений отрезков соответствующих прямых . Далее утвержде н ие с пом ощью метода исчерпывания обобщается на сегмен ты парабол и на вписанные в них треуг ольники , основаниями которых являются хорды с егментов , а вершинами – концы диаметров , сопряженных с этими хордами (рис . 13). И , након ец , Ибн Синан доказывает , что пл о щадь сегмента параболы равна 4/3 площади вписанного в него треугольника , сравнивая с егмент параболы с одним из малых сегменто в , из которых состоит избыток сегмента над треугольником (рис . 13 большой сегмент – АВС , малые – ANB и ВМС ). Ибн Синан доказывает , что площади треугольников , вписанные в малый и большой сегменты ,относятся как 8:1, откуда в силу доказанного следует , что таково же отношение и площадей самих сегментов , т.е . площадь сегмента относится к площади избытка как 4:1 и , следовательно , к пл о щади вписанного треугольника как 4:3. Рис. 14 В «Книге измерения параболических тел» Ибн Корра рассматривает тела , полученные вращением сегмента параболы . Он называет тела , образованные вращением сегментом около его хорд ы п араболическими сферами , а тела , полученные вра щением сегмента около одного из его диаме тров ,- параболическими куполами . Ибн Корра разл ичает яйцевидные и тыквообразные параболические сферы (рис . 14 а , б ) и параболические купола с гладкой , выступающей и в давленной вершинами (рис . 14 в , г , д ). Параболический купол с гладкой вершиной – сегмент параболоида вращения , объем которого был найден Архим едом в сочинении «О коноидах и сфероидах» . В «Книге измерения параболических тел» н аходятся объемы параболических куполов всех трех типов методом , близким к методу предыдущего трактата Ибн Корры . Более простой метод определения кубатуры параболических ку полов был предложен в конце Х века ир анцем Абу-с-Сахлом аль-Кухи . Ибн Корра и аль- Кухи нашли , что объем параболичес к ого купола с гладкой , выступающей или вдав ленной вершинами равен половине объема прямог о кругового цилиндра тела вращения параллелог рамма , описанного около сегмента параболы , при вращении которого относительно одного из его диаметров получается параболиче с кий купол (объем этого тела вращения равен объему прямого кругового цилиндра с той же боковой поверхностью ). Объем параболической сферы был найден в трактате «Об изм ерении параболического тела» Ибн аль-Хайсама. Это вычисление потребова ло суммирования ряда четвертых степеней натуральных чисел, древним неи звестного: Далее Ибн аль-Хайсам доказывает неравенства с помощью которых он, применя я метод исчерпывания, доказывает, что объем параболической сферы равен 8/15 объема тела вращения параллелограмма, описанного около сегмента пара болы, при вращении которого относительно одной из ее хорд получается пар аболическая сфера (объем этого тела вращения также равен объему прямого кругового цилиндра с той же боковой поверхностью). Вычисление Ибн аль-Ха йсама было равносильно новому интегрированию . Перечисленные и некоторые другие от крытия оставались, однако, неизвестными в Европе до недавнего времени. Другое направление инфинитезималь ных исследований берет свое начало в «Книге о замедлении и ускорении дви жения по зодиакальному кругу в соответствии с его расположением относи тельно эксцентрического круга», также принадлежащей Ибн Корре. Трактат посвящен изучению видимого движения светила (например, Солнца) по эклипт ике в соответствии с одной из гипотез Птолемея о движении по эклиптике, с огласно которой истинное движение светила – равномерное по кругу с цен тром D , расположенному в плоскости эк липтики эксцентрично относительно Земли Е ( рис 15). В трактате показывается, что скорость видимого движения достигает минимума в точке А эксцентрического круга, н аиболее удаленной от Земли (т.е. в апогее светила), достигает максимума в т очке С , наиболее близкой к Земле (т.е. в перигее ), меньше в точках, более близких к точке А , и бо льше в точках, более близких к точке С . Термин а «скорость» у Ибн Корры нет, в этом смысле он применяет слово «движение» ( харака), но терминами «замедление» (ибта) и «ускорение» (сур’ а) он пользуе тся. Рис. 15 Особенно интересно предло жение трактата : «Что касается среднего равном ерного движения на зодиакальном круге , т о оно не является истинным ни в каком месте , за исключением двух точек эксцентр ического круга , в которых всегда движение среднее… . Это – две точки , видимое рассто яние каждой из которых от самого дальнего расстояния по зодиакальному кругу – четверть круга» . В этом предложении показывается , что в точках B и F , для которых углы 4ВЕ и AFE пря мые , мгновенная скорость равна средней . Таким образом , в этом трактате Ибн Корра пр иходит к представлениям о мгновенной скорости и ускорении такого движения. Эти идеи получили дальнейшее развити е в книге аль-Беруни «Метод исследования движения Солнца» и его «Каноне Мас’ уда». В «Каноне Мас’ уда» аль-Беруни характеризует движение Солнц а по эклиптике (при той же гипотезе, что и у Ибн Корры) вблизи апогея и периг ея следующим образом: «Замедление будет происходить по обе стороны апог ея, а предел замедления – в нем самом. Затем замедление уменьшается и пер еходит в ускорение, предел которого в перигее. Далее ускорение уменьшает ся и переходит в замедление». Аль-Беруни также отмечает, что «замедление движения в апогее переходит в его ускорение в перигее только после того, как оно проходит через равенство его и среднего (движения) в месте наибол ьшего угла уравнения. Изменение его по обе стороны от этого места не ощущ ается, так как приращение (угла уравнения) уменьшается от апогея до указа нного места, потом как бы останавливается в нем, а затем увеличивается до тех пор, пока Солнце не достигнет перигея». Под углом уравнения точки М эксцентрического круга подразумевается угол DME , равный разности углов ADM и AEM , под к оторыми дуга АМ видна из центров D и Е . Следует отметить также, что, сформулировав в «Каноне М ас’ уда»правило квадратичного интерполирования для таблиц синусов и т ангенсов, аль-Беруни указывает, что «это уточнение возможно для всех таб лиц по общему правилу», и формулирует для всевозможных встречающихся зд есь непрерывных зависимостей, заданных, впрочем, таблицами, независимо о т того, являются ли графики, выражающие эти зависимости, пользуясь совре менной терминологией, выпуклыми кривыми, как график синуса, или вогнутым и кривыми, как график тангенса. Заметим также, что в философской литературе на арабск ом языке нашло отражение и античное атомистическое учение о пространст ве и времени, отвергавшееся Аристотелем и Эвклидом. Упомянем прежде всег о сочинения «мутакаллимов» - приверженцев так называемого калама, основ анного в Х веке аль-Аш’ шари, которые придерживались атомистической точ ки зрения как на пространство, так и на время (таким образом они стремилис ь обосновать основное положение своего учения, согласно которому Аллах каждое мгновение вновь создает мир, вследствие чего ничто не может совер шится не по его воле). Далее, заслуживает внимания философская полемика а ль-Беруни с Ибн Синой по поводу книг Аристотеля «Физика» и «О небе», где ал ь-Беруни оспаривал мнение Аристотеля о прочности атомистической точки зрения, а Ибн Сина защищал его, а также критика атомизма в комментариях к А ристотелю западноарабского философа Ибн Рушида (Аверроэс, 1126-1198). Латински е переводы философских трудов Авиценны и Аверроэса сыграли существенн ую роль при начальной разработке новых течений математической и механи ческой мысли в средневековых Оксфордской и Парижской школах. Значение математики стран исла ма Математика стран ислама оказал а исключительное влияние на развитие математики как на Востоке, так и на Западе. Мы уже упоминали о том, что в XIII веке в Ханабалыке (Пекин) появились исследования по сферической тригонометрии. Эти работы, несомненно связаны с деятельностью Насир ад- Дина ат-Туси. Известно, что в 1267 году в Ханабалык прибыл сотрудник Марагинс кой обсерватории Джамал ад-Дин (по китайским источникам – Чжа-ма-лу-тин), доставивший туда новые астрономические приборы, а также что в Мараге раб отал китайский астроном Фао Мун-чи. Мы указывали также, что крупный средн еазиатский ученый XI века ал ь-Беруни прожил несколько лет в Индии. В своей «Индии» аль-Беруни писал, чт о познакомил индийских ученых с «Началами» Эвклида, «Алмагестом» Птоле мея и некоторыми своими трактатами, переводя их на санскрит. Но особенно глубоким было влияни е математики стран ислама на Западную Европу. Математики мавританских г осударств Северной Африки и Пиренейского полуострова, внесшие в развит ие математики гораздо меньший вклад, чем их восточные коллеги, сыграли и сключительно важную роль в ознакомлении европейцев с достижениями уче ных стран ислама и их греческих, индийских и восточных предшественников . С начала XI века в течении ок оло ста лет распространение сведений, полученных с Востока, имело в разв итии математики в Европе решающее значение. В районы Испании, освобождаю щиеся от власти мавров, ученые многих стран Европы приезжали знакомится с математикой и естественными науками. В XII веке здесь достигает блестящего расцвета деятельность п ереводчиков и компиляторов арабских и переведенных с греческого сочин ений. В это время на латынь переводится ряд сочинений аль-Хорезми, Бану Му са, Ибн Корры, Ибн аль-Хайсама и других математиков Востока и по существу с оздается латинский вариант арабской математической литературы. «Начал а» Эвклида и многие сочинения Архимеда переводятся на латынь сначала с а рабских переводов. Европейцы изучали арабскую литературу не только в Ис пании. Итальянец Леонардо Пизанский обучался математике в Северной Афр ике и объехал многие страны Востока. Переводы с арабского продолжали играть существенную роль и позже, когда в Европе наметились собственные оригинальные направления. Достаточно упомянуть про Региомонтана, осно вой тригонометрического труда которого были работы аль-Баттани и Насир ад-Дина ат-Туси. Начиная с XIV века основным путем влияния ученых стран ислама на Европу стано вится Византия. В этот период многие сочинения переводятся с арабского с начала на греческий, а затем с греческого на латынь и живые европейские я зыки. Мы уже упоминали о том, что вскоре после взятия Константинополя тур ками Ала ад-Дин аль-Кушчи познакомил византийских ученых с некоторыми от крытиями ученых самаркандской школы. Это видно из того, что в византийск их рукописях XV века приводя тся вычисления с десятичными дробями со ссылкой на то, что этот способ за имствован у турок, а также из того, что первой европейской рукописью, где в стречаются термины «положительный» и «отрицательный», является немецк ая рукопись, приписываемая мифическому автору по имени Initus Algebras . В ней сказано, что ее оригинал был написан по-арабски, с арабс кого она была переведена на греческий, с греческого – на латынь, а с латын и – на немецкий (мы видели, что эти термины встречались в трактате самого аль-Кушчи). Были переведены на латынь и астрономические таблицы Улугбека . О влиянии науки стран ислама на на уку Европы говорят такие наши термины, как «арабские цифры», «алгебра», « алгоритм», «цифра», «корень», «синус». Арабского происхождения также мно гие астрономические термины и большинство названий звезд. Усвоение уче ными Европы науки стран ислама позволило начать строить европейскую на уку на прочном фундаменте и не повторить заново весь пройденный их предш ественниками путь.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Если женщина привлекательная, то очень хочется попробовать на ощупь и её внутренний мир.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "История математики и геометрии арабского мира", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru