Реферат: Разностные аппроксимации - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Разностные аппроксимации

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 4612 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

16 Разностные аппроксимации 1. Примеры разностных аппроксимаций. Различные способы приближенной з амены одномерных дифференциальных уравнений разностными изучались ранее . Напомним примеры разностных аппроксимаций и введем необходимые обозначения . Будем рассматривать равномерную сетку с шагом h , т.е . множество точек h = x i = ih, i=0, 1, 2,… . Пусть u(x) – достаточно гладкая фун кция , заданная на отрезке [x i-1 , x i+1 ]. Обозначим Разностные отношения называются соответственно правой , левой и центральной разностными производными функции u(x) в точке x i , т.е . при фиксированном x i и при h 0 (тем самым при i ) пределом этих отношений является u ’ (x i ) . Проводя разложение по формуле Тейлора , получим u x,i – u ’ (x i ) = 0,5hu ’ ’ (x i ) + O(h 2 ), u x,i – u ’ (x i ) = -0,5hu ’ ’ (x i ) + O(h 2 ), u x,i – u ’ (x i ) = O(h 2 ), Отсюда видно , что левая и правая разностные производные аппроксимируют u ’ (x) с первым порядком по h , а центральная разностная производная – со вторым порядком . Нетрудно показать , что вторая разностная производная аппроксимирует u ’ ’ (x i ) со вторым порядком по h , причем справедливо разложение Рассмотрим дифференциальное выражение (1) с переменным коэффициентом k(x ) . Заменим выражение (1) разностным отношением (2) где a=a(x) – функция , определенная на сетке h . Н айдем условия , которым должна удовлетворять функция a(x) для того , чтобы отношение (au x ) x,i аппроксимировало (ku ’ ) ’ в точке x i со вторым порядком по h . Подставляя в (2) разложения где u i ’ = u ’ (x i ) , получим С другой стороны , Lu = (ku ’ ) ’ = ku ’ ’ + k ’ u ’ , т.е. Отсюда видно , что L h u – Lu = O(h 2 ) , если выполнены условия (3) Условия (3) называются достаточными условиями второго порядка аппроксимации . При их выводе предполагалось , что функция u(x) имеет непрерывную четвертую производную и k(x) – дифференцируемая функци я . Нетрудно показать , что условиям (3) удовлетворяют , например , следующие функции : Заметим , что если положить a i = k(x i ), то получим только первый порядок аппроксимации. В качестве следующего примера рассмотрим разностную аппроксимацию оператора Лапласа (4) Введ ем на плоскости (x 1 , x 2 ) прямоугольную сетку с шагом h 1 по направлению x 1 и с шагом h 2 по направлению x 2 , т.е . множество точек h = (x i 1 , x j 2 ) | x i 1 = ih 1 , x j 2 = jh 2 ; i, j = 0, 1, 2,… , и обозначим Из предыдущих рассуждений следует , что разностное выражение (5) аппрокси мирует дифференциальное выражение (4) со вторым порядком , т.е . L h u ij – Lu(x i 1 , x j 2 ) = O(h 2 1 ) + O(h 2 2 ). Более того , для функций u(x 1 , x 2 ), обладающих непрерывными шестыми производными , справедливо разложение Разностное выражение (5) называется пятиточечным разностным оператором Лапласа , так как оно содержит значения функции u(x 1 , x 2 ) в пяти точках сетки , а именно в точках (x 1 i , x 2 j ), (x 1 i 1 , x 2 j ), (x 1 i , x 2 j 1 ). Указанное множество точек называется шаблоном разностного оператора . Возможны разностные аппроксимации оператора Лапласа и на шаблонах , содержащих большее число точ ек. 2. Исследование аппроксимации и сходимости 2.1. Аппроксимация дифференциального уравнения . Ранее рассматривалась краевая задача (k(x) u ’ (x)) ’ – q(x) u(x) + f(x) = 0, 0 < x < l, (1) – k(0) u ’ (0) + u(0) = 1 , u(l) = 2 , (2) k(x) c 1 > 0, 0, для которой интегро-интерполяционным методом была построена разностная схема (3) (4) где (5) (6) Обозначим через Lu(x) левую часть уравнения (1) и через L h y i – левую часть уравнения (3), т.е. Пусть (x) – достаточно гладкая функция и (x i ) – ее значение в точке x i сетки h = x i = ih, i = 0, 1, … ,N, hN = l (7) Говорят , что разно стный оператор L h аппроксимирует дифференциальный оператор L в точке x=x i , если разность L h i – L h (x i ) стремится к нулю при h 0. В этом случае говорят также , что раз ностное уравнение (3) аппроксимирует дифференциальное уравнение (1). Чтобы установить наличие аппроксимации , достаточно разложить по формуле Тейлора в точке x=x i значения i 1 = (x i h) , входящие в разностное выражение L h i . Большая часть этой работы проделана в предыдущей главе , где показано , что при условиях (8) выполняется соотношение Если кроме того , докажем , что d i = q(x i ) + O(h 2 ), i = f(x i ) + O(h 2 ) (9) то тем самым будет установлено , что оператор L h аппроксимирует L со вторым порядком по h , т.е. L h i – L (x i ) = O(h 2 ), i = 1, 2,… , N – 1 (10) Итак , доказательство второго порядка аппроксимации сводится к проверке сводится к проверке условий (8), (9) для коэффициентов (5), (6). Провер им сначала выполнение условий (8). Обозначая p(x) = k -1 (x) , получим следовательно, Аналогично Отсюда получим т.е . условия (8) выполнены . Условия (9) выполнены в силу того , что замена интегралов (6) значениями q i , f i соответствует приближенному вычислению этих интегралов по формуле прямоугольников с узлом в середине отрезка интегрирования. 2.2. Аппроксимация граничного условия. Исследуем погрешность аппроксимации разностного граничного условия (4). Обозначим l h (0) = – a 1 x, 0 + 0 . Если (x) – произвольная достаточно гладкая функция , то очевидно l h (0) = – k(0) ’ (0) + (0) + O(h) , т.е . имеет место аппроксимация первого порядка по h . Однако если =u(x) – решение задачи (1), (2), то разностное граничное условие (4) имеет второй порядок аппроксимации , т.е. Докажем последнее утверждение . Используя разложение u x, 0 = (u 1 – u 0 )/h = u ’ (x 1/2 ) + O(h 2 ), x 1/2 = 0,5h, a 1 = k 1/2 + O(h 2 ) получим Отсюда имеем Учитывая граничное условие (2), получаем l h u(0) = 0,5h [ – (ku ’ ) ’ (0) + d 0 u 0 – 0 ] + O(h 2 ) . Выражение , стоящее в квадратных скобках , преобразуем , учитывая уравнение (1), к виду – (ku ’ ) ’ (0) + d 0 u 0 – 0 = – (ku ’ ) ’ (0) + q(0)u(0) – f(0) + + (d 0 – q(0))u 0 – (f(0) – 0 ) = (d 0 – q(0))u 0 – (f(0) – 0 ) . Из соотношений получаем что и требовалось доказать. Таким образом , при достаточной г ладкости коэффициентов k(x), q(x), f(x) и решения u(x) разностная схема (10) аппроксимирует исходную задачу (2) со вторым порядком по h . При практическом использовании разностной схемы для нахождения ее коэффициентов не обязательно вычислять интегралы (4), (6) точно . Можно воспользоваться коэффициентами , полученными путем замены этих интегралов квадратурными формулами , имеющими точность O(h 2 ) и выше . Например , в результате применения формулы прямоугольников получим следующие коэффициенты : a i = k(x i – 0,5h), d i = q(x i ), i = f(x i ). Применяя формулу трапеций , получим Представление коэффициентов разностной схемы в виде интегралов (4), (6) оказывается полезным при исследовании сходимости в случае разрывных функций k(x), q(x), f(x) . 2.3. Уравнение для погрешности. Решение y i = y(x i ) разностной задачи (3), (4) зависит от шага h сетки , y(x i ) = y h (x i ) . По сущест ву , мы имеем семейство решений y h (x i ) , зависящее от параметра h . Говорят , что решение y h (x) разностной задачи сходится к решению u(x) исходной дифференциальной задачи , если при h 0 погрешность y h (x i ) – u(x i ), i = 0, 1,… , N , стремится к нулю в некоторой норме . В настоящем параграфе в качестве такой нормы будем брать норму в сеточном пространстве C( h ) , т.е . положим Говорят , что разностная схема имеет m-й порядок точности (или сходится с порядком m ), если где m>0, M>0 – константы , не зависящие от h . Выше было установлено , что схема (3), (4) имеет второй порядок аппроксимации . Докажем теперь , что эта схема имеет и второй порядок точности . Для этого прежде всего выпишем уравнение , которому удовлетворяет погрешность z i = y i – u(x i ) . Поставим y i = z i + u(x i ) в уравнения (3), (4). Тогда получим уравнения (11) (12) где обозначено Функция i , входящая в правую часть уравнения (11), называется погрешностью аппроксимации дифференциального уравнения (1) разностным уравнением (3) на решении задачи (1), (2). В п .1 было доказано , что i = O(h 2 ) при h 0, i=1, 2,… , N – 1 . Анало гично , величина 1 является по определению погрешностью аппроксимации краевого условия (2) разностным краевым условием (4) на решении задачи (1), (2), причем 1 =O(h 2 ) . Таким образом , структура ура внений для погрешности (11), (12) та же , что и у разностной схемы (3), (4), отличаются только правые части. Чтобы доказать сходимость разностной схемы , оценим решение задачи (11), (12) через правые части i , 1 , т.е . получим неравенство вида (13) с константой M 1 , не зависящей от h . Из этого неравенства и будет следовать , что Отметим , что неравенства вида (13), называемые априорными оценками , нашли широкое применение в теории разностных схем . Поскольку с труктура для погрешности (11), (12) та же , что и у разностной схемы (3), (4), а отличаются только правые части , то оценка (13) выполняется одновременно с аналогичной оценкой для разностной схемы (3), (4) при 2 = 0 . Последняя оценка выражает устойчивость решения разностной задачи по правым частям и 1 . 2.4. Разностные тождества и неравенства. Для того , чтобы доказать неравенство (13), нам потребуются некоторые разностные тождества и неравенства . Будем рассматривать сеточные функции , заданные на сетке (7). Обозначим Справедливо следующее разностное утверждение : (y, x ) = – ( , y x ) + y N N – y 0 1 . (14) Действительно, что и требовалось доказать . Тождество (14) называется формулой суммирования по частям . Подставляя в (14) вместо выражение az x и вместо y функцию z, получаем пе рвую разностную формулу Грина (15) Здесь В частности , если z N = 0 (как в задаче (11), (12)), то получим (16) Обозначим и докажем , что для любой сеточной функции z i , удовлетворяющей условию z N = 0 , справедливо неравенство (17) Для доказательства воспользуемся тождеством и применим неравенств о Коши-Буняковского Тогда получим Откуда сразу следует неравенство (17). 2.5. Доказательство сходимости. Возвращаясь к доказательству сходимости схемы (3), (4), получим тождество , которому удовлетворяет погрешность z i = y i – u(x i ) . Для этого умножим уравнени е (11) на hz i и просуммируем по i от 1 до N – 1 . Тогда получим Отсюда , применяя разностную формулу Грина (16), получим Далее , согласно (12) имеем следовательно , справедливо тождество (18) Из этого тождества и будет сейчас выведено требуемое неравенство вида (13). Замет им прежде всего , что если k(x) c 1 > 0, 0, q(x) 0, то коэффициенты разностной схемы (3), (4) удовлетворяют неравенствам a i c 1 > 0, 0, d i 0. (19) Это утверждение сразу следует из явного представления коэффициентов (5), (6). Воспользовавшись (19), о ценим слагаемые , входящие в левую часть тождества (18), следующим образом : Тогда придем к неравенству (20) Оценим сверху правую часть этого неравенства . Будем иметь Подставляя эту оценку в (20) и учитывая неравенство (17), получим т.е. Окончательно (21) Поскольку из неравенства следует, ч то погрешность z i = y i – u(x i ) также является величиной O(h 2 ) при h 0. Итак , справедливо следующее утверждение. Пусть k(x) – непрерывно дифференцируемая и q(x), f(x) – непрерывные функции при x [0, l], решение u(x) задачи (1), (2) обладает непрерывными четвертыми производными . Пусть коэффициенты разностной схемы (3), (4) удовлетворяют условиям (8), (9), (19). Тогда решение разностной задачи (3), (4) сходится при h 0 к решению исходной дифференциальной задачи (1), (2) со вторым порядком по h, так что выполняется оценка где M – постоянная , не зав исящая от h. 3. Разностные схемы для уравнения теплопроводности 3.1. Исходная задача. Будем рассматривать следующую первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами . В области 0 < x < 1, 0 < t T требуется найти решение уравнения (1) удовлетворяющее начальному условию u(x, 0) = u 0 (x) (2) и граничным условиям u(0, t) = 1 (t), u(1, t) = 2 (t). (3) Здесь u0(x), 1 (t), 2 (t) – заданные функции . Известно , что при определенных предположениях гладкости решени е задачи (1) – (3) существует и единственно . В дальнейшем при исследовании аппроксимации разностных схем будем предполагать , что решение u(x, t) обладает необходимым по ходу изложения числом производных по x и по t. Решение задачи (1) – (3) удовлетворяет пр и нципу максимума и тем самым непрерывно зависит от начальных и граничных данных. 3.2. Явная схема. Как всегда , для построения разностной схемы надо прежде всего ввести сетку в области изменения независимых переменных и задать шаблон , т.е . множество точек с етки , участвующих в аппроксимации дифференциального выражения . Введем сетку по переменному x такую же , как в предыдущей главе , т.е. h = x i = ih, i = 0, 1,… , N, hN = 1 и сетку по переменному t с шагом , которую обозначим = t n = n , n = 0, 1,… , K, K = T Точки (x i , t n ), i = 0, 1,… , N, n = 0, 1,… , K , образуют узлы пространст венно-временной сетки h, = h x . Узлы (x i , t n ) , принадлежащие отрезкам I 0 = 0 x 1, t = 0 , I 1 = x = 0, 0 t T , I 2 = x = 1, 0 t T , называются граничными узлами сетки h, , а остальные узлы – внутренними . На рисунке граничные узлы обозначены крестиками , а внутренние – кружочками. Слоем называется множество всех узлов сетки h, , имеющих одну и ту же временную координату . Так , n-м слоем называется мн ожество узлов (x 0 , t n ), (x 1 , t n ),… , (x N , t n ) . Для функции y(x, t) , определенной на сетке h, , введем обозначения y n i = y(x i , t n ) , (4) Иногда для упрощения записи индексы i и n будем опускать , обозначая ( x i , t n+1 ) (x i-1 , t n+1 ) (x i , t n+1 ) (x i+1 , t n+1 ) (x i-1 , t n ) (x i , t n ) (x i+1 , t n ) (x i , t n ) (x i-1 , t n+1 ) (x i , t n+1 ) (x i+1 , t n+1 ) (x i , t n+1 ) (x i-1 , t n ) (x i , t n ) (x i+1 , t n ) (x i-1 , t n ) (x i , t n ) (x i+1 , t n ) (x i , t n-1 ) Чтобы аппроксимировать уравнение (1) в точке (x i , t n ), введем шаблон , изображенный на рисунке и состоящий из четырех узлов (x i 1 , t n ), (x i , t n ), (x i , t n+1 ). Производную u/ t заменим в точке (x i , t n ) разностным отношением y n t, i , а производную 2 u/ 2 x – второй разностной производной y n xx, i . Правую часть f(x, t) заменим приближенно сеточной функцией n i , в качестве n i можно взять одно из следующих выражений : В результате получим разносное уравнение (5) которое аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение в точке (x i , t n ) с первым порядком по и вторым порядком по h при условии , что разность n i – f(x i , t n ) имеет тот же порядок малости. Под разностной схемой понимается совокупность разностных уравнений , аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во всех внутренних узлах сетки и дополнительные (начальные и граничные ) у словия – в граничных узлах сетки . Разностную схему по аналогии с дифференциальной задачей будем называть также разностной задачей . В данном случае разностная схема имеет вид (6) Эта схема представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с числом уравнений , равным числу неизвестных . Находить решение такой системы следует по слоям . Решение на нулевом слое задано начальн ыми условиями y 0 i = u 0 (x i ), i = 0, 1,… , N . Если решение y n i , i = 0, 1,… , N , на слое n уже найдено , то решение y i n+1 на слое n+1 находится по явной формуле (7) а значения доопределяются из граничных условий . По этой причине схема (6) называется явной разностной схемой . Несколько позже мы познакомимся и с неявными схемами , в которых для нахождения y i n+1 при заданных y i n требуется решать систему уравнений. Погрешность разностной схемы (6) определяется как разность z i n = y i n – u(x i , t n ) между решением задачи (6) и решением исходной задачи (1) – (3). Подставляя в (6) y i n = z i n + u(x i , t n ) , получим уравнение для погрешности (8) где – погрешность аппроксимации разностной схемы (6) на решении задачи (1) – (3), i n = O( + h 2 ) . Можно оценить решение z i n уравнения (8) через правую часть i n и доказать тем самым сходимость разностной схемы (6) с первым порядком по и вторым – по h. Однако это исследование мы отложим , а сейчас на примере схемы (6) продемонстрируем один распространенный прием исследования ра зностных схем с постоянными коэффициентами , называемый методом гармоник . Хотя данный метод не является достаточно обоснованным , в частности не учитывает влияния граничных условий и правых частей , он позволяет легко найти необходимые условия устойчивости и сходимости разностных схем . Покажем , например , что явную схему (6) можно применять лишь при условии 0,5h 2 , означающем , что шаг по времени надо брать достаточно малым. Рассмотрим уравнение (9) т.е . однородное уравнение , соответствующее (5). Будем искать частные решения (9), имеющие вид y j n ( ) = q n e ijh , (10) где i – мнимая единица , – любое действительное число и q – число , подлежащее определению . Подставляя (10) в уравнение (9) и сокращая на e ijh , по лучим откуда найдем (11) Начальные условия соответствующие решениям вида (10) (их называют гармониками ), ограничены . Если для некоторого множитель q станет по модулю больше единицы , то решение вида (10) будет неограниченно возрастать при n . В этом случае разностное уравнение (9) называется неустой чивым , поскольку нарушается непрерывная зависимость его решения от начальных условий . Если же |q| 1 для всех действительных , то все решения вида (10) ограничены при любом n и разностное уравне ние (9) называется устойчивым . В случае неустойчивости найти решение разностной задачи (6) по формулам (7) практически невозможно , так как погрешности (например погрешности округления ), внесенные в начальный момент времени , будут неограниченно возрастать п ри увеличении n. Такие разностные схемы называются неустойчивыми. Для уравнения (9) неравенство |q| 1 выполняется согласно (11) при всех тогда и только тогда , когда 0,5. Таким образом , использование схемы (6) возможно лишь при выполнении условия 0,5h 2 . Разностные схемы , устойчивые лишь при некотором ограничении на отно шение шагов по пространству и по времени , называются условно устойчивыми . Следовательно , схема (6) возможно устойчива , причем условие устойчивости имеет вид /h 2 0,5. Условно устойчивые схемы дл я уравнений параболического типа используются редко , так как они накладывают слишком сильное ограничение на шаг по времени . Действительно , пусть , например , h = 10 -2 . Тогда шаг не должен превосходить 0,5 * 10 -4 , и для того чт обы вычислить решение y j n при t = 1 , надо взять число шагов по времени n = -1 2 * 10 4 , т.е . провести не менее 2 * 10 4 вычислений по формулам (7). 3.3. Неявные схемы. Чисто неявной разностной с хемой для уравнения теплопроводности теплопроводности (схемой с опережением ) называется разностная схема , использующая шаблон (x i , t n ), (x i 1 , t n+1 ), (x i , t n+1 ) и имеющая вид (12) Здесь n i = f(x i , t n+1 ) + O( + h 2 ) . Схема имеет первый порядок аппроксимации по и второй – по h. Решение системы (12) находится , как и в случае явной схемы , по слоям , начиная с n = 1. Однако , теперь , в отличие от явной схемы , для нахождения y i n+1 по известным y i n требуется решить систему уравнений (13) где = /h 2 , F i n = y i n + i n . Эту систему можно решать методом прогонки , так как условия устойчивости прогонки выполнены. Для исследования устойчивости разностной схемы (12) будем искать частные решения уравнения имеющие вид (10). Тогда получим следовательно , |q| 1 при любых , , h . Таким образом , схема (12) абсолютно устойчива , т.е . устойчива п ри любых шагах и h . Абсолютная устойчивость является основным условием неявных схем . Теперь уже не надо брать шаг слишком малым , можно взять , например , = h = 10 -2 . Величина шагов сетки , h определяются теперь необходимой точностью расчета , а не соображениями устойчивости. Шеститочечной симметричной схемой называется разностная схема (14) для которой начальные и граничные условия задаются так же , как и в схеме (12). Эта схема использует шеститочечный шаблон , изображенный на рисунке. Обобщением трех расс мотренных схем является однопараметрическое семейство схем с весами . Зададим произвольный действительный параметр и определим разностную схему (15) При = 0 получим отсюда явную схему , при = 1 – чисто неявную схему и при = 0,5 – симметричную схему (14). Исс ледуем погрешность аппроксимации схемы (15) на решении исходной задачи (1) – (3). Представим решение задачи (15) в виде y i n = u(x i , t n ) + z i n , где u(x i , t n ) – точное решение дифференциальной задачи (1) – (3). Тогда для погрешности получим систему уравнений (16) i = 1, 2,… , N – 1, n = 0, 1,… , K – 1, z 0 n+1 = z N n+1 = 0, n = 0, 1,… , K – 1, z i 0 = 0, i = 0, 1,… , N. Сеточная функция i n , входящая в правую часть уравнения (16) и равная (17) называется погрешностью аппроксимации схемы (15) на решении задачи (1) – (3). Получим первые члены разложения функции i n по степеням h и . Будем разлагать все функции , входящие в выражение для i n , по формуле Тейлора в точке (x i , t n + 0,5 ). Учитывая разложения где получим Отсюда , проводя разложение в точке (x i , t n+1/2 ) и обозначая u = u (x i , t n+1/2 ) , будем иметь и , перегруппировывая слагаемые , получим , что Учитывая уравнение (1) u ’ ’ – u = – f и следствие из него u IV – u ’ ’ = – f ’ ’ , окончательно можно записать , что (18) Из формулы (18) можно сделать следую щие выводы . Если то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по и четвертый – по h . Такая схема называется схемой повышенного порядка аппроксимации . Если то схема (15) имеет второй порядок аппроксимации по и по h. При остальных значениях и при i n 0 в виде (10), то получим и |q| 1 при всех , если (19) Отсюда видно , в частности , что все схемы с 0,5 абсолютно устойчивы . Схема повышенного порядка аппроксимации ( = * ) также абсолютно устойчива , что проверяется непосредственно. При 0 разностная схема (15) является неявной схемой . Для нахождения решения y i n+1 по заданным y i n требуется решать систему уравнений (20) где Система (20) решается методом прогонки . Условия устойчивости прогонки при 0 сводятся к неравенству |1 + 2 | 2 | | и выполнены при – 1/(4 ). Последнее неравенство следует из условия устойчивости (19) разностной схемы. 3.4. Уравнения с переменными коэффициентами и линейные уравнения. Рассмотрим первую к раевую задачу для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами (21) где (x, t), k(x, t), f(x, t) – достаточно гладкие функции , удовлетворяющие условиям 0 < c 1 k(x, t) c 2 , (x, t) c 3 > 0 . (22) Дифференциальное выражение при каждом фиксированном t аппроксимируем в точке (x i , t) так же , как и в стационарном случае , разностным отноше нием (23) где разностный коэффициент теплопроводности a(x i , t) должен удовлетворять условиям второго порядка аппроксимации Наиболее употребительны следующие выражения для a(x i , t) : Разностная схема с весами для задачи (21) имеет вид (24) Здесь в ка честве t можно взять любое значение t [t n , t n+1 ] , например t = t n + 0,5 . Если в уравнении (24) t = t n + 0,5 , = 0,5 , то схема (24) имеет второй порядок аппроксимации по и по h . При остальных значениях и t выполняется первый порядок аппроксимации по и второй – по h . При исследовании устойчив ости разностных схем с переменными коэффициентами иногда применяется принцип замороженных коэффициентов , сводящий задачу к уравнению с постоянными коэффициентами . Рассмотрим явную схему , соответствующую уравнению (24) с = 0 и f(x i , t) 0 , т.е . схему (25) Предположим , что коэффициенты (x i , t), a(x i , t) – постоянные , (x i , t) = const, a(x i , t) a = const . Тогда уравнение (25) можно записать в виде или Из п .2 известно , ч то последнее уравнение устойчиво при ’ 0,5h 2 , т.е . при (26) Принцип замороженных коэффициентов утверждает , что схема (25) устойчива , если условие (26) выполнено при всех допустимых значениях a(x i , t), (x i , t) , т.е . если при всех x, t выполнены неравенства (27) Если известно , что 0 < c 1 a(x i , t) c 2 , (x i , t) c 3 > 0 , то неравенство (27) будет выполнено при Строгое обоснование устойчивости схемы (25) будет дано в примере 2 из главы 2. Если параметр 0,5, то из принципа замороженных коэфф ициентов следует абсолютная устойчивость схемы (24). Рассмотрим теперь первую краевую задачу для нелинейного уравнения теплопроводности (28) В случае нелинейных уравнений , когда заранее неизвестны пределы изменения функции k(u) , избегают пользоваться явными схемами . Чисто неявная схема , линейная относительно y i n+2 , i = 1, 2,… , N – 1 , имеет вид (29) где a i = 0,5 (k(y n i ) + k(y n i-1 )) . Эта схема абсолютно устойчива , имеет первый порядок аппроксимации по и второй – по h . Решение y i n+1 , i = 1, 2,… , N – 1 , находится методом прогонки . Заметим , что схему (29) можно записать в виде где k i = k(y i n ) . Часто исполь зуется нелинейная схема (30) Для реализации этой схемы необходимо применить тот или иной итерационный метод . Например такой : (31) Здесь s – номер итерации . Как видим , нелинейные коэффициенты берутся с предыдущей итерации , а в качестве начального приближе ния для y i n+1 выбирается y i n . Это начальное приближение тем лучше , чем меньше шаг . Число итераций M задается из соображений точности . В задачах с гладкими коэффициентами при k(u) c 1 > 0 часто бывает достаточно провести две – три итерации . Значения y i (S+1) на новой итерации находятся из системы (31) методом прогонки . При M = 1 итерационный метод (31) совпадает с разностной схемой (29). Для приближенного решения нелинейного уравнения (28) применя ются также схемы предиктор – корректор второго порядка точности , аналогичные методу Рунге – Кутта для обыкновенных дифференциальных уравнений . Здесь переход со слоя n на слой n+1 осуществляется в два этапа . Приведем пример такой схемы . На первом этапе реша ется неявная линейная система уравнений из которой находятся промежуточные значения y i n+1/2 , i = 0, 1,… , N . Затем на втором этап е используется симметричная шеститочечная схема для уравнения (28), в которой нелинейные коэффициенты a(y), f(y) вычисляются при y = y i n+1/2 , т.е . схема
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
28 февраля освобождается пост Папы Римского. Сергей Кужугетович тихо матерясь идет в ателье заказывать белую сутану ...
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Разностные аппроксимации", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru