Реферат: Геометрические задачи на олимпиадах по информатике - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Геометрические задачи на олимпиадах по информатике

Банк рефератов / Информатика, информационные технологии

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 548 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

Реферат Геометрические задачи на олимпиадах по информатике Содержание Вве дение 1 . Основны е формулы и алгоритмы 2 . Численн ое решение геометрических задач 3 . Различн ые задачи Заключение Литература Введение На большинстве многих областных олимпиадах по информатике по край ней мере одна из задач связана с геометрическими понятиями. Причем сформ улированы они чаще всего в терминах вычислительной геометрии и описани е таких объектов как прямая, отрезок, окружность, треугольник и т.д. произв одится путем задания координат точек, характеризующих эти объекты, в той или иной системе координат. Прежде, чем мы перейдем к рассмотрению этого класса олимпиадных задач, перечислим элементарные подзадачи (иногда эт о просто формулы из курса математики), на решение которых обычно опирают ся решения задач вычислительной геометрии. 1 . Основные формулы и алгори тмы Большинство из перечисленных задач либо не требуют пояснений, либо приведены в [1-4]. Напомним лишь наиболее важные из н их. Причем основным инструментом для построения наиболее простых форму л во многих задачах вычислительной геометрии является векторное произ ведение. Поэтому рассмотрение начнем с вопросов, с ним связанных. Косое произведение в задачах вычислит ельной геометрии Под кос ым произведением векторов p 1 и p 2 с декартовыми к оординатами ( x 1 , y 1 ) и ( x 2 , y 2 ) можно понимать ориентированную площадь паралл елограмма, образованного точками (0,0), ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ), которая равна p 1 p 2 = – p 2 p 1 = x 1 y 2 – x 2 y 1 (задача 5.5) . Косое произведение напрямую связано с понят ием векторного произведения (но в отличие от последнего это скаляр). Поэт ому в литературе по вычислительной геометрии иногда используется имен но ито понятие. По-другому косое произведение как и векторное обозначает ся [ p 1 , p 2 ]. Если два ве ктора провести из общей начальной точки, то их косое произведение больше нуля, если угол между первым и вторым вектором ориентирован также как уг ол между первым и вторым базисными векторами и меньше нуля — в противно м случае. Косое произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и тольк о тогда, когда они коллинеарны (сонаправлены или противоположно направл ены). В задаче 3.2 проверить наличие пересечения у двух отрезков (а зачастую нас интересует лишь сам факт пересечения) несложно именно с использованием косого произведения. Пусть первый отрезок задан точками p 1 и p 2 , а второй — p 3 и p 4 (также обознача ются вектора с соответствующими координатами). Обозначим x max 1 и x min 1 — максимальну ю и минимальную из первых координат первого отрезка, x max 2 и x min 2 — то же для вто рого отрезка. Для второй координаты аналогично имеем y max 1 , y min 1 , y max 2 и y min 2 . Упомянутые отр езки пересекаются тогда, когда а) пересекаются ограничивающие их прямоугольники, т.е. x max 1 x min 2 , x max 2 x min 1 , y max 1 y min 2 и y max 2 y min 1 ; б) косые произведения ( p 3 – p 1 ) ( p 2 – p 1 ) и ( p 4 – p 1 ) ( p 2 – p 1 ) имеют разный знак, точнее [( p 3 – p 1 ),( p 2 – p 1 )] [( p 4 – p 1 ),( p 2 – p 1 )] 0; в) [( p 1 – p 3 ),( p 4 – p 4 )] [( p 2 – p 3 ),( p 4 – p 3 )] 0. Последние два условия означают, что конц ы одного отрезка лежат по разные стороны от прямой, которой принадлежит другой отрезок. Первое же условие исключает из специального рассмотрен ия случай равенства нулю всех четырех косых произведений, при котором от резки лежат на одной прямой и могут как пересекаться, так и нет. Площадь треугольника (задача 6.3) равна полови не модуля косого произведения двух векторов, образованных любыми двумя его сторонами. Тогда расстояние от точки C до прямой, заданной координатами точек A и B (задача 4.2), можно подсчи тать как отношение модуля косого произведения векторов CA и CB к длине отрезка AB (данная формула сл едует из двух способов вычисления площади треугольника). Площадь произвольного многоугольника с вершинами p 0 , p 1 , …, p n -1 , перечисленными в пор ядке его обхода против часовой стрелки, (задача 6.4) можно вычислить как сум му ориентированных площадей треугольников, образованных векторами p i и p i +1 , i = 0, …, n – 1; i + 1 вычисляется по модул ю n . Выпуклость многоугольника (задача 6.2) с ве ршинами p 0 , p 1 , …, p n -1 , перечисленными в порядке его обхода, легко прове рить с помощью сравнения знаков косого произведения пар векторов ( p i +1 – p i ) и ( p i +2 – p i +1 ), i = 0, …, n – 1; i + 1 и i + 2 вычисляются по модулю n . В случае выпукл ого многоугольника знаки у всех указанных произведений совпадают (если мы знаем направление обхода, то знак косых произведений для выпуклого мн огоугольника определен: при обходе по часовой стрелке произведения отр ицательны, а против часовой стрелки — положительны). На этом способы полезного применения косого произведения отнюдь не исч ерпаны. Выпуклая оболочка множества N точек плоско сти Задача состоит в том, чтобы перечислить все точки, принадлежащие границе выпуклой оболочки заданного множества то чек, в порядке ее обхода, например, пр о тив часовой стрелки (в некоторых задачах тре буется перечислить только угловые точки). Для эффективного решения этой задачи существует несколько различных алгоритмов (см. [1]-[4]). Приведем наибо лее простую реализацию одного из них — алгоритма Джарвиса. следую щий абзац проиллюстрировать рисунком из номера 16/2000, стр. 11 Перечисление точек искомой границы выпуклого многоугольника начнем с правой нижней точки, которая заведомо принадлежит границе в ы пуклой обол очки. Обозначим ее координаты ( x 0 , y 0 ). Следующей, при указанном порядке обхода, будет т очка ( x 1 , y 1 ), для которо й угол между осью OX и вектором ( x 0 , y 0 )-( x 1 , y 1 ) минимален. Если таких точек несколько, то углово й в многоугольнике станет точка, для которой длина вектора ( x 0 , y 0 )-( x 1 , y 1 ) максимальна, а следующей точкой, принадлежащей выпуклой оболочке — та, длина вектора у которой минимальна (таким образом наш выбор будет зависеть от конкретно й постановки задачи). Для нахождения следующей точки значения углов межд у векторами в ы числять необязательно. Мы опять можем воспользо ваться понятием знака векторного произведения. Пусть, далее, мы уже нашл и i -ю вер шину выпуклой оболочки ( x i , y i ). Тогда, ( i + 1)-я точка есть такая точка, еще не вошедшая в выпук лую оболочку, для которой угол между вектором ( x i -1 , y i -1 )-( x i , y i ) и вектором ( x i , y i )-( x i +1 , y i +1 ) минимален, при минимальной длине вектора ( x i , y i )-( x i +1 , y i +1 ) среди всех векторов с таким углом. Заметим, что дл я всех остальных точек ( x , y ), вектор ( x i , y i )-( x , y ) будет лежать вне угла, образованного указанными вект о рами, левее него. Тогда векторное произведение ( x i +1 – x i )( y – y i ) – ( y i +1 – y i )( x – x i ) 0, для любой точки ( x , y ), еще не вошедшей в границу выпуклой оболочки. Следовательно, мы можем сначала считать сл едующей, ( i + 1)-ой, любую, еще не вошедшую в выпуклую оболочку, т очку, а затем, вычисляем указанное выражение для о с тальных “св ободных” точек ( х , y ). Если для одной из них ( x i +1 – x i )( y – y i ) – ( y i +1 – y i )( x – x i ) < 0, считаем след ующей ее и продолжаем проверку остальных точек (аналогично алгоритму по иска минимального элемента в массиве). Если же значение выражения равно 0, то сравниваем квадраты длин векторов, а именно ( x i +1 – x i ) 2 + ( y i +1 – y i ) 2 и ( x – x i ) 2 + ( y – y i ) 2 . Таким образом, при решении данной задачи в с лучае изначально целочисленных координат мы полностью можем избежать применения вещественной арифметики, а, следов а тельно, избавитьс я от потери точности вычислений. В противном случае, в решение могут быть включены “лишние” точки, близкие к границе выпуклой оболочки или не учте ны некоторые из “нужных” точек. Сложность данного алгоритма составит O ( kN ), где k — количество точек в выпуклой оболочке, в худшем случае равное N . Существуют алгоритмы решения этой задачи, основанные на предварительной сортировке точек исходного множества, н апример, по значению угла в полярной системе координат с центром в одной из точек выпуклой оболочки, с вычислительной сложностью O ( N log N ) (алгоритм Грехема). То есть наиболее трудоемкой задачей оказывается именно сортировка исходн ых точек. Приведем программу решения данной задачи алгоритмом Джарвиса: var a, b : array [1..100] of record x,y: integer ; f: boolean end; min, m, j, k, n : integer ; begin readln(n); for i:=1 to n do begin read(a[i].x, a[i].y); a[i].f:= false end ; ищем нижнюю правую точку m:=1; for i:=2 to n do if a[i].y < a[m].y then m:=i else if (a[i].y = a[m].y) and (a[i].x > a[m].x) then m:=i; b[1]:=a[m]; a[m].f:= true ; k:=1; repeat min:=1; ищем первую еще свободную точку while a[min].f do inc(min); ищем очередную вершину выпуклой оболоч ки for j:=1 to n do if ( not a[j].f) and ((a[min].x-b[k].x)*(a[j].y-b[k].y)- (a[j].x-b[k].x)*(a[min].y-b[k].y)<0) then min:=j else if ( not a[j].f) and ((a[min].x-b[k].x)*(a[j].y-b[k].y)- (a[j].x-b[k].x)*(a[min].y-b[k].y)=0) and (sqr(a[min].x-b[k].x)+sqr(a[min].y-b[k].y) > sqr(a[j].x-b[k].x)+sqr(a[j].y-b[k].y)) then min:=j; k:=k+1; a[min].f:= true ; b[k]:=a[min] зап исана оч ередная вершина until min=m; пока ломаная не замкнется for j:=1 to k do печать результ ата writeln(b[j].x,' ',b[j].y); end . Приведем примеры задач, при решении которы х используется построение выпуклой оболочки. Задача 1. Стена . ( В англоязычном варианте задача предлагал ась на студенческих командных соревнованиях по программированию в Сан кт-Петербурге в 2001 г. ) Однажды жадный король приказал своему архи тектору построить стену вокруг дворца. Король был настолько жадный, что не стал слушать предложения архитектора о построении стены совершенно й формы. Вместо этого король приказал потратить на строительство стены о пределенной высоты и произвольной формы (не обязательно в виде ломаной!!!) как можно меньше кирпичей, но потребовал, чтобы стена отстояла от дворца не меньше, чем на L футов. В случае невыполнения условия или перерасход а средств архитектор может лишиться головы. Ваша задача помочь бедному архитектору. Ваша задача написать программу, которая определит минимально возможную длину стены, которой можно окру жить дворец и при этом выполнить все требования короля. Первая строка входного файла содержит 2 числа N (3 N 1000) — количество углов в здании дворца и L (1 L 1000) минимальное расстояние на которое стена может приближаться ко дворцу. Следующие N строк описывают координаты на поверхности земли углов дворца, в порядке их обхода по часовой стрелке. Каждая строка содержит два целых числа — X i и Y i , разделенных пробелом (-10000 X i , Y i 10000), которые описываю координаты углов дворц а в футах. Все углы дворца различны, а стороны не имеют других общих точек, кроме угловых. Запишите в выходной файл одно число, определяющее минимальную длину дво рца в футах, удовлетворяющую условию задачи. Ответ должен быть записан в виде целого числа, так как с вещественными числами король не знаком, одна ко округлять его следует так, чтобы целое число футов отличалось от наст оящего ответа менее, чем на 8 дюймо в (в 1 футе 12 дюймов). Пример входного ф айла Выходной файл 9 100 200 400 300 400 300 300 400 300 400 400 500 400 500 200 350 200 200 200 1628 Решение . Отве том на данную задачу будет длина выпуклой оболочки, увеличенная на длину окружности с радиусом L и округленная до ближайшего целого. Задача 2 . На пло скости заданы N точек. Построить замкнутую ломаную без самопересеч ений и самокасаний, вершинами которой должны стать все заданные точки. ( См., например, [5] , аналогичная задача предлагалась на киров ской областной олимпиаде 2002г. ). Решение. След ующий рисунок проиллюстрирует идею одного из возможных способов решен ия данной задачи: 2 . Численн ое решение геомет рических задач В ряде случаев при решении геометрических задач формулы из вычислительной геометрии могут оказаться слишком гро моздкими и приводят к решению нелинейных уравнений. Тогда на помощь могу т прийти численные (приближенные) методы, позволяющие решить задачу за т ребуемое время и с нужной точностью. Такой подход был продемонстрирован в [6] при рассмотрении задачи “Фонтан” (ее не следует путать с задачей 6, прив еденной ниже). Из численных методов наиболее часто употребимым является метод дихото мии (деления пополам). Рассмотрим его на примере задачи XII Всероссийской о лимпиады по информатике. Задача 3 . Разде л царства. Царство царя Гороха представляет собой вып уклый N -угольн ик, внутри которого расположены K селений. Царь решил завещать двум своим сыновьям по полцарства, одинаковые по площади и с равным количеством селений. Для эт ого он требует разделить царство одной прямолинейной границей. Напишите программу, строящую границу согласно царской воле. Если границ а проходит через селение, то оно может быть либо отнесено к одному из полу царств, либо разделено на два селения, которые будут отнесены к разным по луцарствам (при нечетном K граница, естественно, должна разделить какое-то из с елений). Первая строка входного файла содержит количество вершин многоугольник а N (3 яя N яя50). В следующ их N строках за даны координаты вершин многоугольника, перечисленные в порядке обхода контура по часовой стрелке. В ( N +2)-ой строке указано количество селений K (0 я K яя 100), а в последующи х K строках зад аны координаты селений. Все координаты — целые числа, не превосходящие по модулю 10 6 . Р азмерами селений следует пренебречь. В выходной файл нужно вывести координаты любых двух различных точек, чер ез которые следует провести границу. Координаты должны быть выведены с 6 знаками после десятичной точки. Пример входного ф айла Пример выходного файла 4 9 10 20 40 40 40 51 10 2 21 30 40 20 30.000000 35.000000 30.000000 15.000000 Решение. Выбе рем произвольную точку на границе царства. Для поиска прямой, проходящей через эту точку и делящей царство на две равные пока только по площади ча сти, зафиксируем две другие точки границы, так, что прямая проведенная че рез выбранную и первую из фиксированных точек делит царство на две нерав ные части, причем левая (или нижняя для горизонтальной прямой) часть мень ше правой (верхней). Прямая же, проходящая через выбранную точку и вторую и з фиксированных, делит царство в обратном соотношении. Тогда искомая точ ка находится между двумя фиксированными и ее можно искать методом делен ия пополам. Теперь следует подсчитать количество селений в каждой из уже равных по площади частей. Если оно различно, то на границе нужно выбрать е ще одну точку, при делении царства с помощью которой количество селений в половинах также будет соотноситься по-иному. Теперь можно применить ме тод деления пополам для правильного выбора опорной точки. Задача 4. Ранде ву. ( VII Всероссийская олимпиада по информати ке. ) Локаторы дальней космической связи замечают летящий в плоскости орбит ы земли неизвестный астероид с координат а ми ( x , y ). Астероид летит с пост оянной скоростью, векторное значение которой равно ( V x , V y ). С земли из точки с ко о р динатам и (0, 0) немедленно стартует ракета с радиусом действия R ( R > 0). Ракета летит по прям ой с постоянной скор о стью в пределах от 0 до W . Требуется определить, может ли ракета подлететь вплотную к астероиду в п ределах радиуса ее действия и найти вектор скорости ракеты, при котором время встречи ракеты с астероидом м и нимальное. Результат решения задачи должен быть вычислен с погрешностью не более 0.01. Влиянием земли и всех космических объектов пренебречь. Ракета и астер оид двигаются в одной плоскости. В начале входного файла содержится число N — количество наборов и с ходных данных (тес тов). Далее расположены N наборов исходных данных; каждый набор — шесть веще ственных чисел: X , Y , V x , V y , W , R . Все числа в исходном файле разделяются пробелами и ( или) символами перевода строки. Для каждого набора исходных данных вывести с новой строки вектор скорос ти ( U x , U y ) и минимальное время до встр е чи , либо сообщение “Встреча невозможна”. Пример файла исхо дных данных Пример выходного файла 2 5.3 2.8 10.6 5.6 11.0 50.0 3.0 – 4.0 – 3.0 4.0 5.0 10.0 Встреча невозможна 3.0 -4.0 0.5 Решение. Для р ешения этой задачи прежде всего необходимо уметь определять взаимное р асположение прямой, вдоль которой движется астероид, и окружности с цент ром на Земле и радиусом R . Если они не пересекаются, то встреча невозможна, в пр отивном случае требуется отыскать точки их пересечения. Затем для поиск а точки встречи с минимальным временем можно опять же применить дихотом ию. 3 . Различные задачи Задача 5. “Куда идем мы с Пятачком?” ( Кировское открытое ко мандное первенство по программированию, 2001 г.) Пятачок и Винни-Пух каждое утро ходят пит ь чай в гости к Кролику. Естественно, самым коротким путем. К сожалению, од нажды Винни-Пуху пришла в голову идея вырыть ловушку для Слонопотама. Са мое обидное, что они с Пятачком ее даже вырыли. Поэтому теперь каждое утро , идя в гости к Кролику, они боятся в нее провалиться. Напишите программу, которая посчитает длину самого короткого безопасн ого пути от домика Винни-Пуха до домика Кролика. Ловушка для Слонопотама представляет собо й яму абсолютно круглой формы. Путь является безопасным, если он не прохо дит по ловушке (но может проходить по ее границе). Во входном файле записаны сначала коорд инаты домика Винни-Пуха X В Y В , затем — координаты домика Кролика X К Y К , а затем — координаты центра и радиус ловушки X Л Y Л R Л . Все координаты — целые числа из диапазона от – 32000 до 32000. Радиус ловушки — натуральное число, не превышающее 32000. Домики Винни-Пуха и Кролика не могут находиться внутри ловушки, но могут находиться на ее границе. Выведите в выходной файл одно число — дл ину самого короткого безопасного пути от домика Винни-Пуха до домика Кро лика с тремя знаками после точки. Примеры входного файл а Примеры выходного файла 0 0 0 1 10 10 1 1.000 5 0 0 5 0 0 5 7.854 -5 0 5 0 0 0 3 11.861 Решение. Для р ешения этой задачи необходимо определять взаимное расположение окружн ости и отрезка (а не прямой ! !!) и правильно вычислять длину дуги окружности, огран иченной двумя заданными точками. Задача 6. Подсв етка фонтана. ( IX Всероссийская олимпиада по информатике ) Плоское дно фонтана описывается замкну той ломаной линией без самопересечений, причем никакие три ве р шины ломано й не лежат на одной прямой. Для организации подсветки фонтана между двум я заданными угл а ми (вершинами) по дну проложен гибкий натянутый ка бель (см. рис.). Требуется написать программу, вычисляющую дл и ну этого каб еля. Исходные данные записаны в файле в следующей последовательн о сти: · в 1-ой строке — число вершин N ( N 100); · в каждой из последующих N строк — пара чи сел через пробел, являющихся координатами вершин x 1 y 1 x 2 y 2 x N y N в порядке обход а ломаной против часовой стрелки, где 1, 2, . .., N - номера ве р шин; · в последней строке — номера соединя емых вершин k и l (1 k l N ). К оординаты вершин являются вещественными числами. Результат вывести в виде числа. Результат проверяется с точностью до шести знач ащих цифр. Результирующее число может быть как с фиксированной точкой, т ак и в нормализованном виде. Пример входного файла Пример выходного файла 7 2 0 5 0 6 3.5 5 6 4 2 3 7 0 5 3 7 7.5 Решение . Возм ожно несколько различных подходов к решению данной задачи. Один из них — поиск кратчайшего пути в графе (см. лекцию 8), в матрице смежности которо го записаны расстояния между вершинами границы фонтана, если их можно на прямую соединить шлангом и , если этого сделать нельзя. Для пост роения такой матрицы необходимо уметь проверять наличие пересечения д вух отрезков и в случае отсутствия пересечений — местоположение отрез ка относительно границы фонтана (внутри или снаружи он находится). В посл едней подзадаче достаточно определить местонахождение одной из внутре нних точек этого отрезка. Знание различных геометрических формул было необходимо и при решении з адачи XIII Всероссийской олимпиады по информатике “Пожар” (см. [7]). Заключение Т.о., в данной работе мы рассмотрели элемента рные подзадачи, на решение которых обычно опираются решения задач вычис лительной геометрии, а также олимпиадные задачи, связанные с геометриче скими понятиями. В работе приводятся подро бные решения задач с комментариями и пояснениями. Литература 1. Препарата Ф. , Шеймос М. Вычислительная геометрия: введение. — М.: Мир, 1989. 2. Окулов С.М. Геометрические алгоритмы. “Информатика”, №15, 16, 17, 2000. 3. Окулов С.М. 100 задач по информатике. Киров: изд-во ВГПУ, 2000. 4. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы. Построение и анализ. М.: МЦНМО, 2000. 5. Андреева Е., Фалина И. Ту рбо-Паскаль в школе. М.: Изд-во Бочкаревой Н.Ф., 1998. 6. Станкевич А . С. Решение задач I Всеро ссийской командной олимпиады по программированию. “Информатика”, №12, 2001. 7. Андреева Е.В. Решение з адач XIII Всероссийской олимпиады по информатике. “Информатика”, №19, 2001.
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Наконец прояснилась причина появления в Черном море кораблей ВМФ США: ВМФ Украины планирует морские учения. Необходима буксировка.
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по информатике и информационным технологиям "Геометрические задачи на олимпиадах по информатике", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru