Реферат: Критерий Вилкоксона - текст реферата. Скачать бесплатно.
Банк рефератов, курсовых и дипломных работ. Много и бесплатно. # | Правила оформления работ | Добавить в избранное
 
 
   
Меню Меню Меню Меню Меню
   
Napishem.com Napishem.com Napishem.com

Реферат

Критерий Вилкоксона

Банк рефератов / Математика

Рубрики  Рубрики реферат банка

закрыть
Категория: Реферат
Язык реферата: Русский
Дата добавления:   
 
Скачать
Microsoft Word, 176 kb, скачать бесплатно
Заказать
Узнать стоимость написания уникального реферата

Узнайте стоимость написания уникальной работы

6 Какие гипотезы можно проверять с помо щью двухвыборочного критерия В илкоксона ? Установлено , ч то двухвыборочный критерий Вилкоксона (Манна-Уитни ) предназначен для проверки гипотезы H 0 : P(X < Y) = 1/2, где X - случайная в еличина , распределенная как элементы первой в ыборки , а Y - второй . Разобраны три примера. В пр икладной математической статист ике часто рассматривают вероятностную модель двух независимых выборок числовых результатов наблюдений . Первая выборка описывается набором m случайных величин X 1 , X 2 , ... , X m , имеющих одну и ту же функцию распределения F(x), а вторая выбо рка - набором n случайных величин Y 1 , Y 2 , ... , Y n , имеющих одну и ту же функцию распределения G(x), пр ичем все эти m+n случайных величин X 1 , X 2 , ... , X m , Y 1 , Y 2 , ... , Y n независимы в совокупности . Без ограничения общности можно считать , чт о m # n, в противном случае выборки можн о поменять местами . Обычно предполагается , что функции F(x) и G(x) непрерывны и строго возрастают . Из непрерывн ости этих функций следует , что с вероятнос тью 1 все m+n результатов наблюдений различны . В реальных ста тистических данных иногда встречаются совпадения , но сам факт их наличия - свидетельство нарушений предпосылок толь ко что описанной базовой математической модел и. Статистика S двухвыборочного критерия Вилкокс она определяется следующим образом . Все элеме н ты объединенной выборки X 1 , X 2 , ..., X m , Y 1 , Y 2 , ... , Y n упорядочиваются в порядке возрастания . Элементы первой выборки X 1 , X 2 , ..., X m занимают в общем вариационном ряду места с номерами R 1 , R 2 , ..., R m , другими словами , имеют ранги R 1 , R 2 , ..., R m . Тог да S = R 1 + R 2 + ... + R m . Статистика U Манна- Уитни определяется как число пар (X i , Y j ) таких , что X i < Y j , среди всех mn пар , в которых первый элемент - из первой выборки , а второй - из второй . Как известно [1, с .160], U = mn + m(m+1)/2 - S . Поскол ьку S и U линейно связаны , то часто говорят о критерии Вилкоксона (Манна-Уитни ). Не будем обсуждать здесь вопросы истории и терминологии , относящиеся к S и U. Критерий Вилкоксона - один из самых и звестных инструментов непараметрической статистики (наряду со статистиками типа Колмогорова-С мирнова и коэффициентами ранговой корреляции ). Свойствам этого критерия и таблицам его критических значений уделяется место во многи х монографиях по математической и прикладной статистике (см ., например , [1-3]). Однако в литературе имеются и неточные утверждения относительно возможностей к ритерия Вилкоксона . Так , одни полагают , что с его помощью можно обнаружить различие между функциями распределения F(x) и G(x). По мнен ию других , этот критерий нацелен на провер ку равенс т ва медиан распределений , соответствующих выборкам . И то , и другое , строго говоря , неверно . Настоящая статья на писана , чтобы внести ясность в рассматриваемы й вопрос . Ссылки на публикации с неточными и ошибочными утверждениями не приводим по нескольким при чинам . Во-первых , таких публи каций слишком много . Во-вторых , некоторые из них после исключения ошибок представляют ц енность для практически работающего статистика . В-третьих , зачем создавать рекламу плохим к нигам . И т.п. Введем некоторые обозначения . Пуст ь F -1 (t) - функция , обра тная к функции распределения F(x). Она определена на отрезке [0;1]. Положим L(t) = G(F -1 (t)). Поскольку F(x) непрерывна и строго возрастает , то F -1 (t) и L(t) обладают теми же свойствами . Важную роль в дальнейшем изложении будет игра ть величина a = P(X < Y) . Как нетрудно показать , a = P(X < Y) = . Введем также b 2 = - (1 -a) 2 , g 2 = - a 2 . Тогда математическ ие ожидания и дисперсии статистик Вилкоксона и Манна-Уитни согласно [1, с .160] выражаются че рез введенн ые величины : E(U) = mna , E(S) = mn + m(m+1)/2 - E(U) = mn(1- a) + m(m+1)/2, D(S) = D(U) = mn [ (n - 1) b 2 + (m - 1) g 2 + a(1 -a) ] . (1) Когда объемы обеих выборок безгранично растут , распределения статистик Вилкоксона и Манна-Уитни являются асим птотически нормальными (см ., например , [1, гл .5 и 6]) с параметрами , задаваемыми формулам и (1) . Если выборки полностью однородны , т.е . их функции распределения совпадают , справедлив а гипотеза H 0 : F(x) = G(x) при всех x, (2) то L(t) = t и a= 1/2 . Подставляя в формулы (1), получаем , что E(S) = m(m+n+1)/2, D(S) = mn(m+n+1)/ 12 (3) . Следовательно , расп ределение нормированной и центрированной статист ики Вилкоксона T = ( S - m(m+n+1)/2) (mn(m+n+1)/ 12 ) - 1/2 (4) при росте объе мов выборок пр иближается к стандартному нормальному распределению (с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1). Правила принятия решений и таблица к ритических значений для критерия Вилкоксона с троятся в предположении справедливости гипотезы полной однородности , описы ваемой формуло й (2). А что будет , если эта гипотеза неве рна ? Другими словами , какова мощность критерия Вилкоксона ? Пусть объемы выборок достаточно велики , так что можно пользоваться асимптотической нормальностью статистики Вилкоксона . Тогда в соответствии с формулами (1) статистика T б удет асимптотически нормальна с параметрами E(T) = ( 12mn ) 1/2 (1/2 - a) (m+n+1) - 1/2 , D(T) = 12 [(n - 1) b 2 + (m - 1) g 2 + a(1 -a) ] (m+n+1) - 1 . (5) Из формул (5) видно большое значение гипотезы H 01 : a = P(X < Y) = 1/2 . (6) Если эта гипот еза неверна , то , поскольку m # n, справедлива оценка u E(T) u $ ( 12m n (2n+1) - 1 ) 1/2 u 1/2 - au , а потому u E(T) u без гранично растет при росте объемов выборок . В то же время , поскольку b 2 # # 1, g 2 # # 1, a(1 -a)#1/4, то D(T) # 12 [(n - 1) + (m - 1) + 1/4] (m+n+1) - 1 # 12. (7) Следовательно , веро ятность о тклонения гипотезы H 01 , когда она неверна , т.е . мощность критерия Вилкоксона как критерия проверки гипотезы (6), стремится к 1 при возрас тании объемов выборок , т.е . критерий Вилкоксона является состоятельным для этой гипотезы при альтернативе А H 01 : a = P(X < Y) ё 1/2 . (8) . Если же гипот еза (6) верна , то статистика T асимптотически норм альна с математическим ожиданием 0 и дисперсие й , определяемой формулой D(T) = 12 [(n - 1) b 2 + (m - 1) g 2 + 1/4 ] (m+n+1) - 1 . (9) Гипотеза (6) являетс я сложной , дисперсия (9), как показывают приводимые ниже примеры , в зависимости от значений b 2 и g 2 может быть как бо льше 1, так и меньше 1, но согласно неравенст ву (7) никогда не превосходит 12. Приведем пример двух функций распределе ния F(x) и G(x) так их , что гипотеза (6) выполнен а , а гипотеза (2) - нет . Поскольку a = P(X < Y) = F(x)dG(x) , 1 - a = P(Y < X) = G(x)dF(x) (10) , и a = 1/2 в случае справедливости гипотезы (2), то для выполн ения условия (6) необходимо и достаточно , чтобы (F(x) - G(x)) dF(x) = 0 (11) , а потому естес твенно в качестве F(x) рассмотреть функцию равно мерного распределения на интервале (-1 ; 1). Тогда ф ормула (11) переходит в условие (F(x) - G(x)) dF(x) = - 1/2 (G(x) - (x + 1)/2 ) dx = 0 (11) . Это условие вы полняется , если функция (G(x) - (x + 1)/2 ) является нечетной . Пример 1. Пусть фун кции распределения F(x) и G(x) сосредоточены на интервале (-1 ; 1), на котором F(x) = (x + 1)/2 , G(x) = ( x + 1 + 1/p sin px ) / 2 . Тогда x = F -1 (t) = 2t - 1, L(t) = G(F -1 (t)) = (2 t + 1/p sin p(2t - 1)) / 2 = t + 1/2p sin p(2t - 1) . Условие (11) выполнено , поскол ьку функция (G(x) - (x + 1)/2 ) является нечетной . Следо вательно , a = 1/2 . Начнем с вычисления g 2 = t 2 dL(t) - 1/4 = t 2 d(t + 1/2p sin p(2t - 1)) - 1/4 . Поскольку d(t + 1/2p sin p(2t - 1)) = (1 + cos p(2t - 1) ) dt, то g 2 = t 2 ( 1 + cos p(2t - 1) ) dt - 1/4 = 1/12 + t 2 cos p(2t - 1) dt . С помощью заме ны переменных t = (x +1) / 2 получаем , что t 2 cos p(2t - 1) dt = 1/8 ( x 2 cos px dx + 2 x cos px dx + cos px dx) . В правой части последнего равенства стоят табличные интегра лы [4, с .71]. Проведя соответствующие вычисления , получаем , что в правой части стоит 1/8 ( - 4/ p 2 ) = - 1/(2 p 2 ). Следовательно, g 2 = 1/12 - 1/(2 p 2 ) = 0,032672733... Перейдем к b 2 . Поскольку b 2 = L 2 (t)dt- 1/4 = (t + 1/2p sin p(2t - 1)) 2 dt- 1/4 , то b 2 = 1/12 + 1/p (t sin p(2t - 1)) dt + (1/2p) 2 sin 2 p(2t - 1) dt . С помощью заме ны переменных t = (x+1) / 2 переходим к табличным интег ралам [4, с .65]: b 2 = 1/12 + (4p) -1 x sin px dx + (4p) -1 sin px dx + (8p 2 ) -1 sin 2 px dx. Проведя необходимы е вычисления , получаем , что b 2 = 1/12 + (4p) -1 ( - 2/p) +0+ (8p 2 ) -1 = 1/12 - 3(8p 2 ) -1 = 0,045337893... Следовательно , для рассматриваемых функций распределения нормированная и центрированная с татистика Вилкоксона (см . формулу (4)) асимптотически нормальна с математическим ожиданием 0 и дисперсией (см . формулу (9)) D(T) = ( 0,544 n + 0,392 m + 2,064 ) (m+n+1) - 1 . Как легко виде ть , дисперсия всегда меньше 1. Это значит , чт о в рассматриваемом случае гипотеза полной однородности (2) при проверке с помощью крите рия Вилкоксона будет приниматься чаще , чем если она на самом деле верна . На наш взгляд , это означает , что критерий Вилкоксона нельзя считать критерием для проверки гипотезы (2) при альтернативе общег о вида . Он не всегда позволяет проверить однородность - не при всех альтернативах . Точно так же критерии ти па хи-квадрат нельзя считать критериями проверки гипотез согласия и однородности - они позволяют о бнаружить не все различия , поскольку некоторы е "скрадывает " группировка . Обсудим теперь , действительно ли критери й Вилкоксона нацелен на проверку равенства медиан распределений , соответствующих выборка м . Пример 2. Построим семейство пар функций распределения F(x) и G(x) таки х , что их медианы различны , но для F(x) и G(x) выполнена гипотеза (6). Пусть распределения со средоточены на интервале (0 ; 1), и на нем G(x) = x , а F(x) имеет кусочно-линейный график с верши нами в в точках (0 ; 0), ( l , 1/2 ), ( d , 3/4), (1 ; 1). Следовательно , F(x) = 0 п ри x < 0 ; F(x) = x / (2 l) на [0 ; l ) ; F(x) = 1/2 + (x - l ) / (4 d - 4 l) на [l ; d ) ; F(x) = 3/4 + (x - d ) / (4 - 4 d) на [ d ; 1] ; F(x) = 1 при x > 1. Очевидно , что медиана F(x) равна l, а медиана G(x) равна 1/2 . Согласно соотношению (9) для выполнения ги потезы (6) достаточно определить d как функцию l , d = d ( l ) , из условия F(x) dx = 1/2 . Вычисления дают d = d ( l ) = 3 (1 - l ) / 2 . Учитывая , что d лежит между l и 1, не совпадая ни с те м , ни с другим , получаем ограничения на l, а именно , 1/3 < l < 3/5 . Итак , построено искомое семей ство пар функций распределен ия . Пример 3. Пусть , как и в примере 2, распределения сосредоточены на интервале (0 ; 1), и на нем F(x) = x , а G(x) - функция распределения , сосредоточенного в двух точка х - b и 1, т.е . G(x) = 0 при x, не превосходящем b ; G(x) = h на (b ; 1] ; G(x) = 1 при x > 1. С такой функцией G(x) легко проводить расчеты . Однако она не удовлетворяе т принятым выше условиям непрерывности и строгого возрастания . Вместе с тем легко в идеть , что она является предельной (сходимость в каждой точке отрезка [0 ; 1] ) для последовательности функций распределения , удо влетворяющих этим условиям , а распределение с татистики Вилкоксона для пары функций распред еления примера 3 является предельным для после довательности соответствующих распределений статисти ки Вилкоксона , получен н ых в рассма триваемых условиях непрерывности и строгого в озрастания. Условие P(X < Y) = 1/2 выполнено , если h = (1 - b) -1 / 2 (при b из отрезка [0 ; 1/2] ). По скольку h > 1/2 при положительном b, то очевидно , что медиана G(x) равна b, в то время как медиа н а F(x) равна 1/2 . Значит , при b = 1/2 медианы совп адают , при всех иных положительных b - различны . При b = 0 медианой G(x) является любая точка из отрезка [0 ; 1]. Легко подсчитать , что в условиях при мера 3 b 2 = b(1- b) -1 / 4 , g 2 = (1- 2b) / 4 . Следов ательно , распределение нормир ованной и центрированной статистики Вилкоксона будет асимптотически нормальным с математическ им ожиданием 0 и дисперсией D(T) = 3 [(n-1) b(1- b) -1 + (m-1) (1-2b) + 1] (m+n+1) - 1 . Проанализируем ве личину D(T) в зависимо сти от параметра b и объемов выборок m и n. При достаточно больши х m и n D(T) = 3 w b (1 - b) -1 + 3 (1 - w) (1 - 2 b) , с точностью до величин порядка (m+n) -1 , где w= n/(m+n). Значит , D(T) - линейная функция от w, а потому достигает экстремальных значен ий на границах интервала изменения w, т. е . при w = 0 и w = 1. В первом случае , при b(1-b) -1 <1-2b, минимум равен 3b(1-b) -1 (при w = 1), а макси мум равен 3(1 - 2b) (при w = 0). Во втором случае , при b(1-b) -1 >1-2b, максимум раве н 3b(1-b) -1 (при w = 1), а ми нимум равен 3(1 - 2b) (при w = 0). Если же b(1-b) -1 =1-2b, а это равенство справедливо при b=b 0 = 1 - 2 -1/2 = 0,293, то D(T) = 3 (2 1/2 - 1) = 1,2426... при всех w из отрезка [0 ; 1]. Первый из описанных выше случаев име ет быть при b < b 0 , при этом мини мум D(T) возрастает от 0 (п ри b=0, w=1 - предельный случай ) до 3(2 1/2 - 1) (при b=b 0 , w - любом ), а максимум уменьшается от 3 (при b=0, w=0 - предельный случай ) до 3 (2 1/2 - 1) (при b=b 0 , w - любом ). Второй случай относится к b из интервала (b 0 ; 1/2]. П ри этом минимум убывает от приведенного выше значения для b=b 0 до 0 (при b=1/2 , w=0 - предельный случай ) , а максимум возрас тает от того же значения при b=b 0 до 3 (при b=1/2 , w=0). Таким образом , D(T) может принимать все значения из интервала (0 ; 3) в зависимости о т значений b и w. Если D(T) < 1, то при применении критерия Вилкоксона к выборкам с рассматри ваемыми функциями распределения гипотеза однород ности (2) будет приниматься чаще (при соответств ующих значениях b и w - с вероятностью , сколь угодно б лизкой к 1), чем если бы она самом деле была верна . Если 1
1Архитектура и строительство
2Астрономия, авиация, космонавтика
 
3Безопасность жизнедеятельности
4Биология
 
5Военная кафедра, гражданская оборона
 
6География, экономическая география
7Геология и геодезия
8Государственное регулирование и налоги
 
9Естествознание
 
10Журналистика
 
11Законодательство и право
12Адвокатура
13Административное право
14Арбитражное процессуальное право
15Банковское право
16Государство и право
17Гражданское право и процесс
18Жилищное право
19Законодательство зарубежных стран
20Земельное право
21Конституционное право
22Конституционное право зарубежных стран
23Международное право
24Муниципальное право
25Налоговое право
26Римское право
27Семейное право
28Таможенное право
29Трудовое право
30Уголовное право и процесс
31Финансовое право
32Хозяйственное право
33Экологическое право
34Юриспруденция
 
35Иностранные языки
36Информатика, информационные технологии
37Базы данных
38Компьютерные сети
39Программирование
40Искусство и культура
41Краеведение
42Культурология
43Музыка
44История
45Биографии
46Историческая личность
47Литература
 
48Маркетинг и реклама
49Математика
50Медицина и здоровье
51Менеджмент
52Антикризисное управление
53Делопроизводство и документооборот
54Логистика
 
55Педагогика
56Политология
57Правоохранительные органы
58Криминалистика и криминология
59Прочее
60Психология
61Юридическая психология
 
62Радиоэлектроника
63Религия
 
64Сельское хозяйство и землепользование
65Социология
66Страхование
 
67Технологии
68Материаловедение
69Машиностроение
70Металлургия
71Транспорт
72Туризм
 
73Физика
74Физкультура и спорт
75Философия
 
76Химия
 
77Экология, охрана природы
78Экономика и финансы
79Анализ хозяйственной деятельности
80Банковское дело и кредитование
81Биржевое дело
82Бухгалтерский учет и аудит
83История экономических учений
84Международные отношения
85Предпринимательство, бизнес, микроэкономика
86Финансы
87Ценные бумаги и фондовый рынок
88Экономика предприятия
89Экономико-математическое моделирование
90Экономическая теория

 Анекдоты - это почти как рефераты, только короткие и смешные Следующий
Никак не привыкну быть взрослым. Ко мне на работе как-то обратились: "Константин Алексеевич, вы не могли бы нам помочь?". А в моей голове прозвучало: "Гы-гы-гы! Да, это я такой большой!"
Anekdot.ru

Узнайте стоимость курсовой, диплома, реферата на заказ.

Обратите внимание, реферат по математике "Критерий Вилкоксона", также как и все другие рефераты, курсовые, дипломные и другие работы вы можете скачать бесплатно.

Смотрите также:


Банк рефератов - РефератБанк.ру
© РефератБанк, 2002 - 2016
Рейтинг@Mail.ru